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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

यदि ext{\(\sqrt{3}\)} को ext{\(p/q\)} के रूप में, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, मानकर प्रमाण किया जाए, तो विरोधाभास किस तथ्य से उत्पन्न होता है?

If ext{\(\sqrt{3}\)} is assumed to be ext{\(p/q\)} , where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime integers, which fact produces the contradiction in the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. ext{\(p\)} और ext{\(q\)} दोनों 3 से विभाज्य होते हैंBoth ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

ext{\(p^2=3q^2\)} से ext{\(p^2\)} , अतः ext{\(p\)} , 3 से विभाज्य है। ext{\(p=3k\)} रखने पर ext{\(q^2=3k^2\)} मिलता है, इसलिए ext{\(q\)} भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From ext{\(p^2=3q^2\)} , ext{\(p^2\)} and hence ext{\(p\)} are divisible by 3. Put ext{\(p=3k\)} to get ext{\(q^2=3k^2\)} , so ext{\(q\)} is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square property.

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यदि ext{\(\sqrt{3}\)} को ext{\(p/q\)} के रूप में, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, मानकर प्रमाण किया जाए, तो विरोधाभास किस तथ्य से उत्पन्न होता है? / If ext{\(\sqrt{3}\)} is assumed to be ext{\(p/q\)} , where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime integers, which fact produces the contradiction in the proof?

Correct Answer: A. ext{\(p\)} और ext{\(q\)} दोनों 3 से विभाज्य होते हैं / Both ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are divisible by 3. Explanation: ext{\(p^2=3q^2\)} से ext{\(p^2\)} , अतः ext{\(p\)} , 3 से विभाज्य है। ext{\(p=3k\)} रखने पर ext{\(q^2=3k^2\)} मिलता है, इसलिए ext{\(q\)} भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From ext{\(p^2=3q^2\)} , ext{\(p^2\)} and hence ext{\(p\)} are divisible by 3. Put ext{\(p=3k\)} to get ext{\(q^2=3k^2\)} , so ext{\(q\)} is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square property.