A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,3)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
C. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so it is not transitive either. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है।
\(a\equiv 2 \pmod{5}\) means (a) leaves remainder (2) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such integers are written as (5k+2).
Step 3
Exam Tip
While writing an equivalence class, include all elements with the same remainder. चरण 1: \(a\equiv 2 \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a) को (5) से भाग देने पर शेषफल (2) हो। चरण 2: ऐसे पूर्णांक (5k+2) के रूप में लिखे जाते हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग लिखते समय समान शेषफल वाले सभी तत्व शामिल करें।
C. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition already includes divisibility in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
For positive numbers, mutual divisibility means equality, so transitivity also holds. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: शर्त में दोनों दिशाओं की विभाज्यता पहले से शामिल है, इसलिए सममितता है। चरण 3: धनात्मक संख्याओं में दोनों दिशाओं की विभाज्यता समानता देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है।
(a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of two integer differences is an integer, so transitivity holds too. चरण 1: (a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a) भी पूर्णांक है, इसलिए सममितता है। चरण 3: दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक रहता है, इसलिए संक्रामकता भी है।
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the sum is (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) does not change when the order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) में योग (2) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: (a+b) का मान क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Every extra pair has its reverse pair, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,4}) is a closed block and (3) is alone, so transitivity also holds. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: अतिरिक्त युग्मों के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({1,2,4}) एक बंद समूह है और (3) अकेला है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है।
The \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) unordered pairs of distinct elements give independent choices.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of such relations is \(2^{15}\). चरण 1: परावर्तन के कारण (6) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) अनियोजित जोड़े स्वतंत्र चुनाव देते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{15}\) होगी।
There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: स्वयुग्मों के लिए (n) स्वतंत्र चुनाव हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है।
B. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1^2\le2^2\) is true but \(2^2\le1^2\) is false, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
The order relation \(\le\) remains transitive on squares, so it is transitive. चरण 1: \(a^2\le a^2\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: \(1^2\le2^2\) सही है पर \(2^2\le1^2\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: \(\le\) का गुण वर्गों पर भी संक्रामक रहता है, इसलिए संक्रामकता है।
C. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Over real numbers, \(a^2+b^2=0\) only when (a=0,b=0).
Step 2
Why this answer is correct
So the relation contains only ((0,0)), which is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
It is not reflexive because self-pairs for all real numbers are not present. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) केवल (a=0,b=0) पर होता है। चरण 2: इसलिए संबंध में केवल ((0,0)) है, जो सममित और संक्रामक है। चरण 3: सभी वास्तविक संख्याओं के स्वयुग्म नहीं हैं, इसलिए परावर्तन नहीं है।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Elements with the same remainder form one class.
Step 3
Exam Tip
Therefore (3) equivalence classes are formed. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) ही संभव हैं। चरण 2: समान शेषफल वाले तत्व एक वर्ग में आते हैं। चरण 3: इसलिए कुल (3) तुल्यता वर्ग बनेंगे।
The condition (a+b=6) relates (1) with (5), and (2) with (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3) remains with itself because (3+3=6) and self-pairs are included.
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({1,5},{2,4},{3}). चरण 1: (a+b=6) से (1) का संबंध (5) से और (2) का संबंध (4) से बनेगा। चरण 2: (3) अपने आप से जुड़ा रहेगा क्योंकि (3+3=6) और स्वयुग्म भी शामिल है। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) हैं।
B. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
There is no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Every required result of a forward chain is present, so the relation is transitive. चरण 1: कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम मौजूद है, इसलिए संबंध संक्रामक है।
C. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
No number can be (2) less than itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is less than (b), then (b) cannot be less than (a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a\le b-2\) and \(b\le c-2\), then \(a\le c-4\), so it is transitive. चरण 1: कोई संख्या स्वयं से (2) छोटी नहीं हो सकती, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: यदि (a) (b) से कम है, तो (b) (a) से कम नहीं हो सकता, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: यदि \(a\le b-2\) और \(b\le c-2\), तो \(a\le c-4\), इसलिए संक्रामकता है।
A. यह हमेशा तुल्यता संबंध होगा/It is always an equivalence relation
Step 1
Concept
Both relations are reflexive, so their intersection remains reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both are symmetric, so reverse pairs of common pairs remain common.
Step 3
Exam Tip
Both are transitive, so the result of a chain in the intersection also lies in the intersection. चरण 1: दोनों संबंध परावर्ती हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद भी परावर्ती रहेगा। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए साझा युग्मों के उल्टे युग्म भी साझा रहेंगे। चरण 3: दोनों संक्रामक हैं, इसलिए प्रतिच्छेद में बनी शृंखला का परिणाम भी प्रतिच्छेद में होगा।
B. यह हमेशा परावर्ती और सममित होगा पर संक्रामक होना जरूरी नहीं/It is always reflexive and symmetric but need not be transitive
Step 1
Concept
Both relations contain all self-pairs, so the union is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both are symmetric, so the union is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Transitivity may fail because one pair of a chain may come from (R) and the other from (S). चरण 1: दोनों संबंधों में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए संघ परावर्ती रहेगा। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए संघ भी सममित रहेगा। चरण 3: संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि शृंखला का एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है।
Hence all three self-pairs appear in the transitive closure. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)) और ((3,3)) चाहिए। चरण 3: इसलिए तीनों स्वयुग्म संक्रामक आवरण में आ जाएंगे।
Transitivity forces ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number of pairs is (3+3=6). चरण 1: मूल (3) युग्म पहले से हैं। चरण 2: संक्रामकता से ((1,3)), ((2,4)) और ((1,4)) जोड़ने पड़ेंगे। चरण 3: कुल युग्म (3+3=6) होंगे।
The reverse of ((3,4)), namely ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Adding only ((4,3)) completes symmetry. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से संतुलित हैं। चरण 2: ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) गायब है। चरण 3: केवल ((4,3)) जोड़ने से सममितता पूरी हो जाती है।
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((2,2)), the greatest common divisor is (2), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest common divisor does not change on reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2R3) and (3R4) hold but (2R4) does not, so it is not transitive. चरण 1: ((2,2)) के लिए सबसे बड़ा समापवर्तक (2) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: (2R3) और (3R4) सही हैं पर (2R4) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=0) is not true for every real number, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b=0), then (b+a=0), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R(-1)) and ((-1)R1) hold but (1R1) does not, so transitivity fails. चरण 1: (a+a=0) हर वास्तविक संख्या के लिए सही नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: (a+b=0) होने पर (b+a=0) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 3: (1R(-1)) और ((-1)R1) हैं पर (1R1) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
C. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Since (a=a), every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (a=b) or (a=-b) remains true when reversed.
Step 3
Exam Tip
This is equality of absolute values, which is also transitive, so it is an equivalence relation. चरण 1: (a=a) होने से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। चरण 2: (a=b) या (a=-b) की शर्त उलटने पर भी सही रहती है। चरण 3: यह समान निरपेक्ष मान का संबंध है, जो संक्रामक भी होता है, इसलिए तुल्यता संबंध है।
This relation divides elements into even and odd classes.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is even, so its class contains all even elements.
Step 3
Exam Tip
The even elements in (A) are (2,4,6), so the class is ({2,4,6}). चरण 1: यह संबंध सम और विषम तत्वों को अलग-अलग वर्गों में बांटता है। चरण 2: (4) सम है, इसलिए इसका वर्ग सभी सम तत्वों वाला होगा। चरण 3: (A) में सम तत्व (2,4,6) हैं, इसलिए वर्ग ({2,4,6}) है।
The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}={1,3}) is independent of order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The classes are ({1,3},{2},{4}), so transitivity holds too. चरण 1: (a=b) के कारण सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ({a,b}={1,3}) क्रम पर निर्भर नहीं है, इसलिए सममितता है। चरण 3: वर्ग ({1,3},{2},{4}) बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है।
(a-b) being even means the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
The odd class ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs, and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4=8). चरण 1: (a-b) सम होने का अर्थ है कि दोनों संख्याएं समान सम-विषम प्रकार की हों। चरण 2: विषम वर्ग ({1,3}) से \(2^2=4\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (4+4=8) होंगे।
The number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
The universal relation is one of these reflexive relations.
Step 3
Exam Tip
Removing it gives \(2^6-1\). चरण 1: परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6\) है। चरण 2: इनमें सार्वत्रिक संबंध भी एक परावर्ती संबंध है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को हटाने पर संख्या \(2^6-1\) होगी।
A. जब (A) में ठीक एक तत्व हो/When (A) has exactly one element
Step 1
Concept
The identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The universal relation contains every possible ordered pair.
Step 3
Exam Tip
If the set has only one element, both contain the same single self-pair, so they are equal. चरण 1: पहचान संबंध में केवल स्वयुग्म होते हैं। चरण 2: सार्वत्रिक संबंध में हर संभव क्रमित युग्म होता है। चरण 3: यदि समुच्चय में केवल एक तत्व हो, तो दोनों में वही एक स्वयुग्म रहेगा और दोनों समान होंगे।
C. यह रिक्त संबंध ही है/It is the empty relation itself
Step 1
Concept
To form the inverse relation, existing pairs are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so there is nothing to reverse.
Step 3
Exam Tip
Therefore its inverse relation is also the empty relation. चरण 1: विलोम संबंध बनाने के लिए मौजूद युग्मों को उलटा जाता है। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म है ही नहीं, इसलिए उलटने के लिए भी कुछ नहीं है। चरण 3: इसलिए उसका विलोम संबंध भी रिक्त संबंध ही होगा।
The reverse of ((3,4)), which is ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Adding only ((4,3)) makes the relation symmetric. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से दोनों हैं। चरण 2: ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: केवल ((4,3)) जोड़ने से सममितता पूरी हो जाएगी।
No given pair involves (4), so pairs with (4) are not forced. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) जरूरी होगा। चरण 3: (4) से कोई दिया हुआ युग्म नहीं है, इसलिए (4) वाले युग्म अनिवार्य नहीं हैं।
B. (S) सममित हो भी सकता है और नहीं भी/(S) may or may not be symmetric
Step 1
Concept
A symmetric larger relation does not force every subrelation to contain reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If (S) contains ((a,b)) but not ((b,a)), symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
Hence (S) may or may not be symmetric. चरण 1: बड़े संबंध के सममित होने से उसके हर उपसंबंध में उल्टे युग्म अपने आप नहीं आते। चरण 2: यदि (S) में ((a,b)) रखा गया पर ((b,a)) नहीं रखा गया, तो सममितता टूट जाएगी। चरण 3: इसलिए उपसंबंध सममित हो भी सकता है और नहीं भी।
Since (R) is reflexive, it contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Because \(R\subseteq S\), all those self-pairs are also in (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore (S) must be reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी स्वयुग्म हैं। चरण 2: \(R\subseteq S\) होने से वे सभी स्वयुग्म (S) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए (S) परावर्ती अवश्य रहेगा।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((2,2)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The removed pair is its own reverse, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) and ((1,2)) are present but ((2,2)) is missing, so transitivity fails. चरण 1: ((2,2)) गायब है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: हटाया गया युग्म स्वयं का उल्टा है, इसलिए सममितता बनी रहती है। चरण 3: ((2,1)) और ((1,2)) मौजूद हैं पर ((2,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
No self-pair is removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,2)) and ((2,1)) are removed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
But ((1,3)) and ((3,2)) are present while ((1,2)) is missing, so it is not transitive. चरण 1: कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हटे हैं, इसलिए सममितता बनी है। चरण 3: बचे हुए वर्ग ({1},{2},{3}) नहीं, बल्कि जांचने पर ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए जो नहीं है; इसलिए यह संक्रामक नहीं है।
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are still present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,2)) are present but ((1,2)) is missing, so transitivity fails. चरण 1: सभी स्वयुग्म अभी भी मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,2)) मौजूद हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
In an equivalence relation, all ordered pairs inside each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives \(1^2=1\) pair.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+1=10). चरण 1: तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म आते हैं। चरण 2: ({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से \(1^2=1\) युग्म मिलेगा। चरण 3: कुल (9+1=10) युग्म होंगे।
C. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
A number cannot have a different remainder from itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition of different remainders remains true when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R2) and (2R3) hold but (1R3) does not, so transitivity fails. चरण 1: किसी संख्या का शेषफल अपने आप से अलग नहीं हो सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: (1R2) और (2R3) सही हैं पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((3,3)), the sum is (6), so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
In \(a+b\le5\), reversing order does not change the sum, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((4,1)) and ((1,4)) exist but ((4,4)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((3,3)) के लिए योग (6) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: \(a+b\le5\) में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((4,1)) और ((1,4)) हैं पर ((4,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
C. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<2), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R1.5) and (1.5R3) hold but (0R3) does not, so transitivity fails. चरण 1: (|a-a|=0<2), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: (0R1.5) और (1.5R3) सही हैं पर (0R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both are odd is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Odd elements ({1,3,5}) form one closed class and even elements stay single, so it is transitive. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: दोनों विषम होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। चरण 3: विषम तत्व ({1,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और सम तत्व अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता है।
Equal equivalence classes mean both elements are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
Two elements in the same equivalence class are related to each other.
Step 3
Exam Tip
Therefore ([a]=[b]) implies (aRb). चरण 1: समान तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि दोनों तत्व एक ही समूह में हैं। चरण 2: एक ही तुल्यता वर्ग के दो तत्व आपस में संबंधित होते हैं। चरण 3: इसलिए ([a]=[b]) होने पर (aRb) अवश्य होगा।
Equivalence classes divide the set into disjoint parts.
Step 2
Why this answer is correct
Elements from different classes are not related to each other.
Step 3
Exam Tip
Hence if (a) and (b) are in different equivalence classes, (aRb) is false. चरण 1: तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। चरण 2: अलग वर्गों के तत्व एक-दूसरे से संबंधित नहीं होते। चरण 3: इसलिए अलग-अलग तुल्यता वर्गों में होने पर (aRb) असत्य होगा।
Every equivalence class contributes all ordered pairs within it.
Step 2
Why this answer is correct
The classes contribute \(2^2=4\), \(3^2=9\), and \(1^2=1\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+9+1=14). चरण 1: हर तुल्यता वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म बनते हैं। चरण 2: वर्गों से क्रमशः \(2^2=4\), \(3^2=9\), और \(1^2=1\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+9+1=14) युग्म होंगे।
The number of relations containing all self-pairs is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
Hence the number not containing all self-pairs is \(2^{16}-2^{12}\). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^{16}\) है। चरण 2: सभी स्वयुग्म रखने वाले परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{12}\) है। चरण 3: सभी स्वयुग्म न रखने वाले संबंधों की संख्या \(2^{16}-2^{12}\) होगी।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(4) is not related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (4) remains true after reversal.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete inside ({1,2,3}), so it is transitive. चरण 1: (4) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (4) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है। चरण 3: संबंध ({1,2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है।
(1) and (2) are both less than (3), so they lie in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) and (4) are related only to themselves.
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({1,2},{3},{4}). चरण 1: (1) और (2) दोनों (3) से छोटे हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। चरण 2: (3) और (4) केवल अपने स्वयुग्मों से जुड़े हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,2},{3},{4}) बनते हैं।
A. \(R^{-1}\) भी संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity of (R), ((c,a)) is in (R).
Step 3
Exam Tip
Therefore ((a,c)) is in \(R^{-1}\), so \(R^{-1}\) is transitive. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R^{-1}\) में हैं, तो ((b,a)) और ((c,b)) (R) में होंगे। चरण 2: (R) की संक्रामकता से ((c,a)) (R) में होगा। चरण 3: इसलिए ((a,c)) \(R^{-1}\) में होगा और \(R^{-1}\) संक्रामक है।
A. \(R^{-1}\) परावर्ती होगा/\(R^{-1}\) will be reflexive
Step 1
Concept
A reflexive relation contains every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Hence all self-pairs remain in the inverse relation, so it is reflexive. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर ((a,a)) मौजूद होता है। चरण 2: ((a,a)) का उल्टा फिर ((a,a)) ही होता है। चरण 3: इसलिए विलोम संबंध में भी सभी स्वयुग्म रहेंगे और वह परावर्ती होगा।
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Within ({1,2,3}), all reverse pairs are present and (4) is related to itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) is a complete closed class and (4) is a singleton class, so transitivity holds too. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ({1,2,3}) के बीच सभी उल्टे युग्म मौजूद हैं और (4) अपने आप से जुड़ा है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({1,2,3}) एक पूरा बंद वर्ग है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संक्रामकता भी है।
