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(A') में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में हमेशा पहले (U) देखें। / (A') contains elements of (U) that are not in (A). In exams, always check (U) first.
(A) में (12) के भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं, इसलिए बाकी अवयव (A') में आते हैं। पहले शर्त से (A) बनाएं। / (A) contains the divisors (1,2,3,4,6,12) of (12), so the remaining elements are in (A'). First form (A) from the condition.
(B') में (U) से (B) के अवयव हटाए जाते हैं। पूरक निकालते समय बाहरी समुच्चय को (U) मानें। / (B') is found by removing elements of (B) from (U). While finding complement, treat (U) as the outer set.
A. \((W'={\)सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार})/\((W'={\)Monday,Tuesday,Wednesday,Thursday,Friday})
Explanation
Simple Explanation
(W) सप्ताहांत के दिनों का समुच्चय है, इसलिए (W') में बाकी पांच दिन आएंगे। पूरक हमेशा (U) के संदर्भ में निकालें। / (W) is the set of weekend days, so (W') contains the other five days. Always find complement with respect to (U).
(A) में (4) और (8) हैं, इसलिए शेष (2,6,10) पूरक में होंगे। गलती से (A) को ही उत्तर न मानें। / Since (A) has (4) and (8), the remaining (2,6,10) are in the complement. Do not mistakenly choose (A) itself.
\(A\cup B={1,2,3,4,6,7}\), इसलिए (U) में बचे (5,8,9) पूरक हैं। पहले संघ निकालना जरूरी है। / \(A\cup B={1,2,3,4,6,7}\), so the remaining (5,8,9) in (U) are the complement. Finding the union first is necessary.
यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) है और (A) हटाने पर (4,5,6) बचते हैं। \(\mathbb{N}\) की सीमा ध्यान से पढ़ें। / Here \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), and after removing (A), (4,5,6) remain. Read the limit of \(\mathbb{N}\) carefully.
\(A\cap B={2,4}\), इसलिए इसका पूरक (U-{2,4}) है। प्रतिच्छेद के बाद ही पूरक लें। / \(A\cap B={2,4}\), so its complement is (U-{2,4}). Take complement only after finding the intersection.
(U) में (-2,-1,0,1,2) हैं और (A) हटाने पर (-2,2) बचते हैं। अंतराल की दोनों सीमाएं शामिल हैं। / (U) contains (-2,-1,0,1,2), and removing (A) leaves (-2,2). Both endpoints of the interval are included.
(n(A)=n(U)-n(A')=64-19=45)। पूरक की संख्या दी हो तो कुल में से घटाएं। / (n(A)=n(U)-n(A')=64-19=45). If the complement count is given, subtract it from the total.
यदि (A') पूरा (U) है, तो (A) में कोई अवयव नहीं हो सकता। इसलिए \(A=\varnothing\) है। / If (A') is the whole (U), then (A) cannot have any element. Hence \(A=\varnothing\).
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। याद रखें \(\varnothing'=U\)। / The empty set has no elements, so its complement is the whole (U). Remember \(\varnothing'=U\).
(A') में (1) से (14) तक की सम संख्याएं आएंगी, जिनकी संख्या (7) है। विषम का पूरक यहां सम है। / (A') contains the even numbers from (1) to (14), and their count is (7). Here the complement of odd is even.
पूरक का पूरक मूल समुच्चय (A) होता है। यह दोहरे पूरक का महत्वपूर्ण नियम है। / The complement of the complement is the original set (A). This is the important double complement law.
यदि (A') दिया हो, तो (U) से (A') हटाकर (A) मिलता है। पूरक उल्टा पढ़ने पर भी (U) जरूरी है। / If (A') is given, removing (A') from (U) gives (A). Even in reverse complement questions, (U) is necessary.
(V') में (e,o) हैं, इसलिए (U) में बचे (a,i,u) ही (V) हैं। ऐसे प्रश्नों में दिए गए पूरक को पहले हटाएं। / (V') contains (e,o), so the remaining (a,i,u) in (U) form (V). In such questions, first remove the given complement.
(A) सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम संख्याएं होंगी। सेट-बिल्डर में शर्त को ध्यान से पढ़ें। / (A) is the set of even numbers, so the complement contains odd numbers. Read the condition in set-builder form carefully.
(A) में (5) से छोटी संख्याएं (1,2,3,4) हैं, इसलिए पूरक (5) से शुरू होगा। असमानता (x<5) में (5) शामिल नहीं होता। / (A) contains numbers less than (5), namely (1,2,3,4), so the complement starts from (5). The inequality (x<5) does not include (5).
(A) में (7,8,9,10) हैं, इसलिए पूरक (1) से (6) तक है। \(x\ge 7\) में (7) भी (A) में आएगा। / (A) contains (7,8,9,10), so the complement is from (1) to (6). In \(x\ge 7\), (7) is also in (A).
(n(U)=12) और (n(A)=4), इसलिए (n(A')=12-4=8)। गणना में (U) की कुल संख्या से घटाएं। / (n(U)=12) and (n(A)=4), so (n(A')=12-4=8). Subtract from the total number in (U).
(A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(U)=15+35=50)। यह \(A\cup A'=U\) से आता है। / (A) and (A') together form (U), so (n(U)=15+35=50). This comes from \(A\cup A'=U\).
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए उसका पूरक ({6}) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), so its complement is ({6}). First find the union, then take complement.
\(A\cap B={b,d}\), इसलिए पूरक ({a,c,e}) है। पहले सामान्य अवयव पहचानें। / \(A\cap B={b,d}\), so the complement is ({a,c,e}). First identify common elements.
(A'={5,6}) और (B'={1,2,6}), इसलिए प्रतिच्छेद ({6}) है। पूरक अलग-अलग निकालकर मिलाएं। / (A'={5,6}) and (B'={1,2,6}), so the intersection is ({6}). Find complements separately and then combine.
(A'={2,4,6,7}) और (B'={1,4,5,7}), इसलिए संघ ({1,2,4,5,6,7}) है। यह (\(A\cap B\)') के बराबर भी है। / (A'={2,4,6,7}) and (B'={1,4,5,7}), so the union is ({1,2,4,5,6,7}). It is also equal to (\(A\cap B\)').
पूरक में वही अवयव होते हैं जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। परिभाषा में (U) का उल्लेख जरूरी है। / Complement contains elements that are in (U) but not in (A). Mentioning (U) is necessary in the definition.
(U-A) का अर्थ (U) से (A) हटाना है, यही (A') है। पूरक को (U-A) भी लिख सकते हैं। / (U-A) means removing (A) from (U), which is (A'). Complement can also be written as (U-A).
बड़े समुच्चय का पूरक छोटे समुच्चय के पूरक में समाहित होता है। समावेशन पूरक लेने पर उलट जाता है। / The complement of the larger set is contained in the complement of the smaller set. Inclusion reverses after taking complement.
A. \(A'\subseteq U\) हमेशा सत्य है/\(A'\subseteq U\) is always true
Explanation
Simple Explanation
(A') के सभी अवयव (U) से ही लिए जाते हैं, इसलिए \(A'\subseteq U\)। पूरक कभी (U) के बाहर नहीं जाता। / All elements of (A') are taken from (U), so \(A'\subseteq U\). Complement never goes outside (U).
हर समुच्चय और उसका पूरक मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। (A) अलग से निकालने की जरूरत नहीं है। / Every set and its complement together form the whole (U). There is no need to find (A) separately.
कोई अवयव (A) और (A') दोनों में नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। यह नियम हर समुच्चय पर लागू होता है। / No element belongs to both (A) and (A'), so the intersection is empty. This rule applies to every set.
(P) में (10) तक की अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए बाकी अवयव पूरक हैं। (1) अभाज्य नहीं है और पूरक में आएगा। / (P) contains prime numbers up to (10), so the remaining elements are in the complement. (1) is not prime and will be in the complement.
(S) में (1,4,9) हैं, इसलिए (U) के बाकी (2,3,5,6,7,8) पूरक हैं। पहले \(U={1,2,\ldots,9}\) लिखना सहायक है। / (S) has (1,4,9), so the remaining elements of (U), (2,3,5,6,7,8), are in the complement. Writing \(U={1,2,\ldots,9}\) first helps.
(C') में वे रंग आएंगे जो (U) में हैं पर (C) में नहीं हैं। शब्दों वाले समुच्चयों में भी वही नियम लागू होता है। / (C') contains colors that are in (U) but not in (C). The same rule applies to sets with words.
(n(U)=15) और (n(M)=3), इसलिए (n(M')=12)। पूरक की संख्या के लिए कुल में से चुने गए अवयव घटाएं। / (n(U)=15) and (n(M)=3), so (n(M')=12). For the number of complement elements, subtract selected elements from the total.
\(A'\cup A=U\), इसलिए उत्तर पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। विकल्पों में (U) को सूची रूप में पहचानें। / \(A'\cup A=U\), so the answer is the whole universal set. Identify (U) in list form among the options.
(A) और (A') असंयुक्त होते हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। पूरक में (A) का कोई अवयव नहीं रहता। / (A) and (A') are disjoint, so their intersection is \(\varnothing\). No element of (A) remains in its complement.
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7}\), इसलिए पूरक ({8,9}) है। पहले सभी शामिल अवयवों का संघ बनाएं। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7}\), so the complement is ({8,9}). First form the union of all included elements.
\(A\cap B={3,5}\), इसलिए (U) से इन्हें हटाने पर पूरक मिलता है। पहले प्रतिच्छेद निकालना जरूरी है। / \(A\cap B={3,5}\), so removing these from (U) gives the complement. Finding the intersection first is necessary.
(A') में (A) का कोई अवयव नहीं होता, इसलिए (A'-A=A') है। पहले (A'={1,3,5,6}) निकालें। / (A') has no element of (A), so (A'-A=A'). First find (A'={1,3,5,6}).
(A') में (A) का कोई अवयव नहीं होता, इसलिए (A-A'=A) है। पूरक असंयुक्तता का उपयोग करें। / (A') has no element of (A), so (A-A'=A). Use the disjointness of a set and its complement.
(A) में (2) के गुणज हैं, इसलिए पूरक में गैर-गुणज (1,3,5,7,9) होंगे। शर्त को (U) के अंदर ही लागू करें। / (A) contains multiples of (2), so the complement contains non-multiples (1,3,5,7,9). Apply the condition only inside (U).
\(A={13,14,\ldots,20}\) में (8) अवयव हैं, इसलिए (A') में (12) अवयव होंगे। (x>12) में (12) शामिल नहीं है। / \(A={13,14,\ldots,20}\) has (8) elements, so (A') has (12) elements. (x>12) does not include (12).
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए पूरक ({6,7,8}) में (3) अवयव हैं। पहले संघ की संख्या देखें। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), so its complement ({6,7,8}) has (3) elements. First count the union.
\(A\cap B={3,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) अवयव होंगे। प्रतिच्छेद की संख्या कुल से घटाएं। / \(A\cap B={3,4}\), so the complement has (10-2=8) elements. Subtract the size of the intersection from the total.
(A') में (A) के बाहर के अवयव (2,4,6) होंगे। दिए गए विकल्पों में केवल (2) ऐसा है। / (A') contains elements outside (A), namely (2,4,6). Among the options, only (2) fits.
(A') में (A) के अवयव नहीं आते, इसलिए (n) (A') में नहीं होगा। ऐसे प्रश्नों में नहीं शब्द को ध्यान से पढ़ें। / Elements of (A) do not appear in (A'), so (n) will not be in (A'). In such questions, read the word not carefully.
(A) में (4) तक के अवयव हैं, इसलिए पूरक में (4) से बड़े अवयव होंगे। असमानता का उल्टा करते समय बराबरी हटती है। / (A) contains elements up to (4), so the complement contains elements greater than (4). When reversing the inequality, equality is removed.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) के तत्व हटाएं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove the elements of (A) from (U).
(A) में (b) और (d) हैं, इसलिए बचे हुए तत्व (a) और (c) पूरक में आएंगे। विकल्प चुनते समय केवल (U) के तत्व देखें। / (A) has (b) and (d), so the remaining elements (a) and (c) are in the complement. While choosing an option, use only elements of (U).
\(A^c\) का अर्थ है (U) में से (A) को हटाना। सूत्र \(A^c=U-A\) को हमेशा याद रखें। / \(A^c\) means removing (A) from (U). Always remember the formula \(A^c=U-A\).
जो तत्व (U) में हो लेकिन (A) में न हो, वह \(A^c\) में होता है। सदस्यता वाले प्रश्नों में परिभाषा सीधे लगाएं। / An element that is in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). For membership questions, apply the definition directly.
जब (A=U) होता है, तब (U) में (A) से बाहर कोई तत्व नहीं बचता। इसलिए पूरक \(\varnothing\) होता है। / When (A=U), no element of (U) remains outside (A). Hence the complement is \(\varnothing\).
\(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता, इसलिए (U) के सभी तत्व पूरक में आते हैं। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / \(\varnothing\) has no element, so all elements of (U) come in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
(A) और \(A^c\) मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। इसलिए (A) में (5) और (6) को छोड़कर बाकी तत्व होंगे। / (A) and \(A^c\) together make the whole (U). So (A) has all elements except (5) and (6).
(A) और \(A^c\) के सभी तत्व मिलकर (U) बनाते हैं। यह पूरक का सबसे महत्वपूर्ण गुण है। / All elements of (A) and \(A^c\) together form (U). This is one of the most important properties of complement.
कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) के बाहर नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। / No element can be both in (A) and outside (A) at the same time. Hence \(A\cap A^c=\varnothing\).
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए क्रम उलट जाता है। \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The complement of the larger set is smaller, so the order reverses. From \(A\subseteq B\), we get \(B^c\subseteq A^c\).
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में विषम संख्याएं आएंगी। ऐसे प्रश्न में पहले पैटर्न पहचानें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement contains the odd numbers. In such questions, identify the pattern first.
\(A^c\) में (U) के वे अक्षर होंगे जो (A) में नहीं हैं। सूची वाले प्रश्नों में काटकर बचे तत्व लिखें। / \(A^c\) will contain the letters of (U) that are not in (A). In list questions, cross out and write the remaining elements.
(A) में दी हुई अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए बाकी तत्व \(A^c\) में हैं। (1) को अभाज्य न मानें। / (A) contains the given prime numbers, so the remaining elements are in \(A^c\). Do not treat (1) as a prime number.
(\(A\cup B\)^c) में दोनों समुच्चयों से बाहर के तत्व आते हैं। इसलिए यह \(A^c\cap B^c\) के बराबर है। / (\(A\cup B\)^c) contains elements outside both sets. Therefore it equals \(A^c\cap B^c\).
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ है साझा भाग के बाहर का भाग। डी मॉर्गन नियम से यह \(A^c\cup B^c\) होता है। / (\(A\cap B\)^c) means the part outside the common part. By De Morgan's law, it is \(A^c\cup B^c\).
पहले \(A\cup B={1,2,3,4}\) बनता है। इसका पूरक (U) में बचे (5) और (6) हैं। / First \(A\cup B={1,2,3,4}\). Its complement is the remaining elements (5) and (6) in (U).
(A) में (0), (2) और (4) हैं, इसलिए (U) में बचे (1) और (3) पूरक हैं। (0) को भी तत्व की तरह गिनें। / (A) has (0), (2), and (4), so the remaining elements (1) and (3) are the complement. Count (0) as an element too.
\(A^c={2,3}\), इसलिए \(2\in A^c\) सही है। सदस्यता में पहले पूरक स्पष्ट लिखें। / \(A^c={2,3}\), so \(2\in A^c\) is correct. For membership, write the complement clearly first.
\(A^c\) हमेशा (U) के अंदर ही होता है। इसलिए \(A^c\subseteq U\) हर बार सही है। / \(A^c\) is always inside (U). Therefore \(A^c\subseteq U\) is always true.
पूरक खाली होने का अर्थ है कि (U) का कोई तत्व (A) से बाहर नहीं है। इसलिए (A=U) होगा। / An empty complement means no element of (U) is outside (A). Therefore (A=U).
यदि पूरा (U) ही (A) के बाहर है, तो (A) में कोई तत्व नहीं है। इसलिए \(A=\varnothing\) होगा। / If the whole (U) is outside (A), then (A) has no element. Therefore \(A=\varnothing\).
आयत के अंदर और (A) के बाहर वाला भाग \(A^c\) होता है। वेन आरेख में (U) की सीमा से बाहर न जाएं। / The part inside the rectangle and outside (A) is \(A^c\). In Venn diagrams, do not go outside the boundary of (U).
स्वरों को (U) से हटाने पर व्यंजन बचते हैं। पूरक हमेशा दिए गए (U) के संदर्भ में समझें। / Removing vowels from (U) leaves consonants. Always understand complement with respect to the given (U).
(A) में (3) के गुणज हैं, इसलिए (U) में बचे हुए तत्व \(A^c\) हैं। जल्दी करने के लिए (U) से (A) को काटें। / (A) contains multiples of (3), so the remaining elements of (U) form \(A^c\). For speed, cross out (A) from (U).
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं और दोनों की संख्या बराबर है। इसलिए \(16\div 2=8\) होगा। / (A) and \(A^c\) together form (U), and their counts are equal. Hence \(16\div 2=8\).
\(A\cap A^c=\varnothing\), इसलिए (A) और \(A^c\) हमेशा असंबद्ध होते हैं। यह गुण वेन आरेख में तुरंत दिखता है। / \(A\cap A^c=\varnothing\), so (A) and \(A^c\) are always disjoint. This property is clear in a Venn diagram.
\(A\cap A^c=\varnothing\), इसलिए इसमें कोई तत्व नहीं होता। अतः इसकी संख्या (0) है। / \(A\cap A^c=\varnothing\), so it has no element. Hence its cardinality is (0).
(U-A) का अर्थ (U) में से (A) के तत्व हटाना है। यही \(A^c\) की परिभाषा है। / (U-A) means removing the elements of (A) from (U). This is the definition of \(A^c\).
\(U-A=A^c\) होता है, इसलिए (A) के तत्व हटाने पर (5) और (6) बचते हैं। अंतर और पूरक को (U) के संदर्भ में जोड़कर देखें। / \(U-A=A^c\), so after removing the elements of (A), (5) and (6) remain. Link difference and complement with respect to (U).
(A) में (2), (3), (5), (7) हैं, इसलिए बाकी (1), (4), (6) पूरक हैं। दिए हुए (U) से बाहर कोई संख्या न जोड़ें। / (A) has (2), (3), (5), (7), so (1), (4), (6) are the complement. Do not add any number outside the given (U).
A. ({सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार})/weekdays
Explanation
Simple Explanation
(A) में सप्ताहांत के दिन हैं, इसलिए \(A^c\) में कार्यदिवस होंगे। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही पूरक नियम लगता है। / (A) contains weekend days, so \(A^c\) contains weekdays. The same complement rule applies to word sets also.
\(A\cap A^c=\varnothing\) होता है, (U) नहीं। गलत कथन पहचानने में मूल गुणों को याद रखें। / \(A\cap A^c=\varnothing\), not (U). To identify a false statement, remember the basic properties.
किसी भी (A) के लिए \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। यहां (A) निकालने की भी जरूरत नहीं है। / For any (A), \(A\cap A^c=\varnothing\). Here there is no need to find (A) first.
जो तत्व (U) में है और (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यह पूरक की मूल सदस्यता शर्त है। / An element in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the basic membership condition of complement.
A. \(4\in U\) और \(4\notin A\)/\(4\in U\) and \(4\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) का तत्व हमेशा (U) में होता है और (A) में नहीं होता। ऐसे प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ लिखें। / An element of \(A^c\) is always in (U) and not in (A). In such questions, write both conditions together.
\(U=\{1,2,3,4,5\}\) और \(A=\{1,2,3\}\) है। इसलिए बचे हुए तत्व (4) और (5) हैं। / \(U=\{1,2,3,4,5\}\) and \(A=\{1,2,3\}\). Therefore the remaining elements are (4) and (5).
\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) है और (A) में विषम संख्याएं हैं। पूरक में सम संख्याएं आएंगी। / \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), and (A) has odd numbers. The complement contains even numbers.
(A) में (4) शामिल है, इसलिए पूरक (4) के बाद से शुरू होगा। (10) (U) में शामिल है, इसलिए ((4,10]) सही है। / (4) is included in (A), so the complement starts after (4). Since (10) is included in (U), ((4,10]) is correct.
(A) में (-1) शामिल नहीं है, इसलिए (-1) पूरक में आएगा। (2) (A) में है, इसलिए पूरक (2) के बाद शुरू होगा। / (-1) is not included in (A), so (-1) is in the complement. (2) is in (A), so the complement starts after (2).
A. क्रिकेट न खेलने वाले विद्यार्थी/students who do not play cricket
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह क्रिकेट न खेलने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not play cricket.
वास्तविक उपसमुच्चय होने पर (U) में कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होगा। इसलिए \(A^c\ne\varnothing\) है। / If (A) is a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\ne\varnothing\).
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदलता है/because the universal set changes
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / The complement always depends on the given universal set. When (U) changes, \(A^c\) may also change.
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
सही पूरक के लिए (A) से कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे अच्छा जांच तरीका है। / For a correct complement, there should be no common element with (A), and both together should form (U). This is the best checking method in exams.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (U) से (A) के तत्व काट दें। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, cross out the elements of (A) from (U).
(A) में (p,s,t) हैं, इसलिए (q,r) बचे हैं। पूरक हमेशा दिए हुए (U) के अंदर ही लिखें। / (A) has (p,s,t), so (q,r) are left. Always write the complement only inside the given (U).
A. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक का तत्व (U) में होता है पर (A) में नहीं होता। सदस्यता वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ जांचें। / An element of the complement is in (U) but not in (A). In membership questions, check both conditions together.
जब (A=U) हो, तो (U) में (A) से बाहर कोई तत्व नहीं बचता। इसलिए \(A^c=\varnothing\) होता है। / When (A=U), no element of (U) remains outside (A). Hence \(A^c=\varnothing\).
\(\varnothing\) से कोई तत्व नहीं हटता, इसलिए पूरा (U) पूरक में आता है। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / No element is removed from \(\varnothing\), so the whole (U) comes in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
(A) में (U) के वे तत्व होंगे जो \(A^c\) में नहीं हैं। इसलिए (1) और (7) हटाकर बाकी तत्व लिखें। / (A) contains the elements of (U) that are not in \(A^c\). So remove (1) and (7) and write the remaining elements.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए \(A^c\) में सम संख्याएं आएंगी। पैटर्न पहचानकर उत्तर जल्दी मिलता है। / (A) contains odd numbers, so \(A^c\) contains even numbers. Identifying the pattern gives the answer quickly.
(A) में (U) के वर्ग संख्याएं (1,4,9) हैं। पूरक में बाकी तत्व आते हैं। / (A) contains the square numbers (1,4,9) from (U). The complement contains the remaining elements.
(A) में (4) के गुणज हैं, इसलिए (U) के बाकी तत्व \(A^c\) में होंगे। हमेशा (U) की सीमा तक ही उत्तर दें। / (A) contains multiples of (4), so the remaining elements of (U) are in \(A^c\). Always answer only within the boundary of (U).
(0,3,6) हटाने पर (1,2,4,5) बचते हैं। (0) को भी समुच्चय का वैध तत्व मानें। / After removing (0,3,6), the elements (1,2,4,5) remain. Treat (0) as a valid element of the set.
दिए गए (U) में सम संख्याओं के बाहर विषम संख्याएं बचती हैं। सेट-बिल्डर रूप को पहले सूची रूप में बदलें। / In the given (U), odd numbers remain outside the even numbers. First convert set-builder form into roster form.
उपसमुच्चय लेने पर पूरक में क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
पूरक का पूरक मूल समुच्चय होता है। इसलिए (\(A^c\)^c=A) हमेशा सही है। / The complement of the complement is the original set. Hence (\(A^c\)^c=A) is always true.
A. (U) के अंदर (A) के बाहर का भाग/the region inside (U) but outside (A)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) हमेशा (U) के अंदर लेकिन (A) के बाहर होता है। वेन आरेख में आयत से बाहर का भाग न गिनें। / \(A^c\) is always inside (U) but outside (A). In a Venn diagram, do not count the region outside the rectangle.
A. बस से न आने वाले विद्यार्थी/students who do not come by bus
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी आएंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह बस से न आने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not come by bus.
(A) के रंग हटाने पर (नीला) और (हरा) बचते हैं। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही नियम लगता है। / After removing the colors of (A), blue and green remain. The same rule applies to word sets.
(U) में सभी अंक हैं और (A) में सम अंक हैं। इसलिए \(A^c\) में विषम अंक होंगे। / (U) contains all digits and (A) contains even digits. Therefore \(A^c\) contains odd digits.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं और दोनों बराबर हैं। इसलिए \(24\div 2=12\) होगा। / (A) and \(A^c\) together form (U), and both have equal size. Hence \(24\div 2=12\).
(A) और \(A^c\) में कोई साझा तत्व नहीं होता। इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\) सीधे मिलता है। / (A) and \(A^c\) have no common element. Therefore \(A\cap A^c=\varnothing\) directly.
जो तत्व (U) में है लेकिन (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यही पूरक की सदस्यता शर्त है। / An element that is in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the membership condition of complement.
(U) का कोई तत्व या तो (A) में होगा या \(A^c\) में। यदि वह \(A^c\) में नहीं है, तो वह (A) में होगा। / An element of (U) belongs either to (A) or to \(A^c\). If it is not in \(A^c\), then it is in (A).
(5) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए (5) पूरक में आएगा। (9) (U) में शामिल है, इसलिए ([5,9]) सही है। / (5) is not included in (A), so (5) comes in the complement. Since (9) is included in (U), ([5,9]) is correct.
(1) (A) में शामिल है, इसलिए पूरक (1) के बाद से शुरू होगा। (4) (U) में शामिल है। / (1) is included in (A), so the complement starts after (1). (4) is included in (U).
\(9\in U\) है और \(9\notin A\), इसलिए \(9\in A^c\)। विकल्पों में वही तत्व चुनें जो (A) में न हो। / \(9\in U\) and \(9\notin A\), so \(9\in A^c\). Choose the option that is not in (A).
\(A^c={1,3,4}\), इसलिए \(4\in A^c\) सही है। पहले पूरक लिखने से भ्रम कम होता है। / \(A^c={1,3,4}\), so \(4\in A^c\) is correct. Writing the complement first reduces confusion.
चार दिशाओं में (उत्तर) और (दक्षिण) हटाने पर (पूर्व) और (पश्चिम) बचते हैं। पूरक संदर्भ समुच्चय पर निर्भर करता है। / Among the four directions, removing north and south leaves east and west. Complement depends on the reference set.
A. (A) में न आने वाले विद्यार्थियों की संख्या/number of students not in (A)
Explanation
Simple Explanation
(n\(A^c\)) उन तत्वों की संख्या है जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। इसका मान यहां (45-28=17) होगा। / (n\(A^c\)) is the number of elements in (U) but not in (A). Its value here is (45-28=17).
वास्तविक उपसमुच्चय में (U) का कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होता है। इसलिए \(A^c\) खाली नहीं होगा। / In a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\) will not be empty.
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदल गया है/because the universal set has changed
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा चुने गए (U) पर निर्भर करता है। (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / Complement always depends on the chosen (U). When (U) changes, \(A^c\) may also change.
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक होने के लिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनाने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे सुरक्षित जांच है। / For (B) to be the complement of (A), they must have no common element and together form (U). This is the safest exam check.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (11,13,15) हटाने पर (10,12,14) बचते हैं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). So after removing (11,13,15), (10,12,14) remain.
\(A=\{5,10,15\}\) है। (U) से इन्हें हटाने पर बाकी तत्व \(A^c\) बनाते हैं। / \(A=\{5,10,15\}\). Removing these from (U) gives the remaining elements of \(A^c\).
(A) में स्वर हैं, इसलिए (U) में बचे (b,c,d) पूरक में होंगे। पूरक हमेशा (U) के आधार पर निकाला जाता है। / (A) contains vowels, so the remaining elements (b,c,d) of (U) are in the complement. Complement is always found with respect to (U).
(3) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए वह पूरक में आएगा। (8) (A) में है, इसलिए पूरक (8) के बाद से शुरू होगा। / (3) is not included in (A), so it comes in the complement. (8) is in (A), so the complement starts after (8).
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। इसमें से (A) के तत्व हटाने पर (-3,-1,1,3) बचते हैं। / \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). Removing the elements of (A) leaves (-3,-1,1,3).
गणित पसंद न करने वाले विद्यार्थी \(A^c\) में हैं। इसलिए संख्या (55-37=18) होगी। / Students who do not like mathematics are in \(A^c\). Therefore the number is (55-37=18).
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक समुच्चय (A) से असंबद्ध होता है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। यही पूरक जांचने का सबसे सरल नियम है। / A complement set is disjoint from (A), and together they form (U). This is the simplest rule to check complement.
