निम्नलिखित में से कौन सा कथन किसी भी समुच्चय A के लिए हमेशा सत्य है?

Correct Answer: A. \(A^{c}\subseteq U\). Explanation: परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय A का पूरक \(A^{c}\) वह समुच्चय है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से A के तत्वों को हटाकर मिलता है, अर्थात् \(A^{c}=U\setminus A\). इसलिए स्पष्ट है कि \(A^{c}\) हमेशा \(U\) का ही एक उपसमुच्चय होगा, यानी \(A^{c}\subseteq U\) हमेशा सत्य है. अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) यदि \(U\subseteq A^{c}\) हो तो तब ही संभव है जब \(A^{c}=U\) अर्थात् \(A=\varnothing\) — पर यह सभी A के लिए सही नहीं है. (C) \(A^{c}=A\) सामान्यतः असंभव है, यह केवल विशेष (और व्यावहारिक रूप से दुर्लभ) स्थितियों में ही हो सकता है (उदाहरण: यदि \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) तभी होगा जब \(A=U\), जो हर A के लिए सत्य नहीं है. परीक्षा-टिप: हमेशा ध्यान रखें कि पूरक को परिभाषित करने में सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) का प्रयोग होता है, इसलिए पूरक से शुरू करते समय उसे \(U\setminus A\) के रूप में लिखें। / By definition the complement of A is the set of all elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A^{c}=U\setminus A\). Hence \(A^{c}\) is always a subset of U, so \(A^{c}\subseteq U\) is always true. Why the other options fail: (B) \(U\subseteq A^{c}\) would force \(A^{c}=U\) (and thus \(A=\varnothing\)), which need not hold for every A. (C) \(A^{c}=A\) is not generally true — it only happens in degenerate cases (for example when \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) means \(A=U\), again not true for every set. Exam tip: always express complement as \(U\setminus A\) to check subset relations quickly.