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\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) के तत्व हटाएं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove the elements of (A) from (U).
(A) में (b) और (d) हैं, इसलिए बचे हुए तत्व (a) और (c) पूरक में आएंगे। विकल्प चुनते समय केवल (U) के तत्व देखें। / (A) has (b) and (d), so the remaining elements (a) and (c) are in the complement. While choosing an option, use only elements of (U).
समुच्चय का पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में तो हैं पर \(A\) में नहीं। इसे सेट-डिफरेंस द्वारा व्यक्त किया जाता है, इसलिए \(A^c = U \setminus A\) सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(A \setminus U\) गलत है क्योंकि यह उन तत्वों का समुच्चय देता है जो \(A\) में हैं पर \(U\) में नहीं — परंतु सामान्यतः \(U\) सार्वभौमिक समुच्चय होता है और \(A\subseteq U\) होने पर यह शून्य होगा। विकल्प \(A \cap U\) केवल \(A\) देता है और \(A \cup U\) हमेशा \(U\) देता है; ये दोनों पूरक के लिए गलत हैं। परीक्षा टिप: "पूरक" को हमेशा "U में से A हटाना" के रूप में याद रखें — यानी \(U\setminus A\)। / The complement of a set consists of all elements that belong to the universal set \(U\) but not to \(A\). This is expressed by set difference, so \(A^c = U \setminus A\) is correct. The closest misleading option \(A \setminus U\) is wrong because it lists elements in \(A\) but not in \(U\); if \(A\subseteq U\) this is empty. \(A \cap U\) equals \(A\), and \(A \cup U\) equals \(U\); neither represents the complement. Exam tip: think "elements in U but not in A" to quickly recall \(A^c = U \setminus A\).
जो तत्व (U) में हो लेकिन (A) में न हो, वह \(A^c\) में होता है। सदस्यता वाले प्रश्नों में परिभाषा सीधे लगाएं। / An element that is in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). For membership questions, apply the definition directly.
जब (A=U) होता है, तब (U) में (A) से बाहर कोई तत्व नहीं बचता। इसलिए पूरक \(\varnothing\) होता है। / When (A=U), no element of (U) remains outside (A). Hence the complement is \(\varnothing\).
\(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता, इसलिए (U) के सभी तत्व पूरक में आते हैं। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / \(\varnothing\) has no element, so all elements of (U) come in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
समूह सिद्धान्त में, यदि \(A\subseteq U\) है तो पूरक का क्रमक (cardinality) होता है \(n(A^c)=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=20\) और \(n(A)=7\) हैं, अतः \(n(A^c)=20-7=13\)। विकल्प C (7) गलत है क्योंकि वह \(A\) का आकार है, न कि उसके पूरक का। विकल्प D (20) गलत है क्योंकि वह समष्टि‑समूह का कुल सदस्य‑संख्या है। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा यह जांचें कि आप समष्टि‑समूह \(U\) की कुल संख्या से केवल \(A\) के तत्व घटा रहे हैं। / In set theory, for \(A\subseteq U\) the cardinality of the complement is given by \(n(A^c)=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=20\) and \(n(A)=7\), we get \(n(A^c)=20-7=13\). Option C (7) is incorrect because it is the size of \(A\), not of its complement; option D (20) is the size of the universal set. Exam tip: always verify \(A\subseteq U\) and subtract the number of elements in \(A\) from \(n(U)\) to get \(n(A^c)\).
समूह के पूर्णता का सिद्धांत कहता है कि \(A\) और \(A^{c}\) मिलकर सार्वभौमिक समूह \(U\) बनाते हैं। अतः \(A\) वह समूह है जिसमें \(U\) के वे सारे तत्व हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं। गणितीय रूप से \(A=U\setminus A^{c}\)। यहाँ \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\। इसलिए सही उत्तर \(\{1,2,3,4\}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्पों का विश्लेषण: विकल्प B (\(\{5,6\}\)) वास्तव में \(A^{c}\) है न कि \(A\); विकल्प C (\(\{1,5,6\}\)) में \(5,6\) शामिल हैं, जो गलत हैं; विकल्प D तभी सही होता यदि \(A^{c}=U\)। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र याद रखें — \(A=U\setminus A^{c}\) और \(A\cup A^{c}=U,\;A\cap A^{c}=\varnothing\)। / By definition of complement, \(A\) and \(A^{c}\) partition the universal set \(U\). So \(A\) consists of the elements of \(U\) that are not in \(A^{c}\); i.e. \(A=U\setminus A^{c}\). Here \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\. Thus option A is correct. Why other options are wrong: B is just the complement \(A^{c}\), C incorrectly keeps 5 and 6 which belong to \(A^{c}\), and D (\(\varnothing\)) would be true only if \(A^{c}=U\). Exam tip: use the identities \(A=U\setminus A^{c}\) or \(A\cup A^{c}=U\) to answer quickly.
(A) और \(A^c\) के सभी तत्व मिलकर (U) बनाते हैं। यह पूरक का सबसे महत्वपूर्ण गुण है। / All elements of (A) and \(A^c\) together form (U). This is one of the most important properties of complement.
कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) के बाहर नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। / No element can be both in (A) and outside (A) at the same time. Hence \(A\cap A^c=\varnothing\).
दोहरे पूरक का नियम (involution law) कहता है कि किसी भी समुच्चय का पूरक का फिर से पूरक मूल समुच्चय देता है। गणितीय रूप में \((A^c)^c = A\)। विकल्प B (\(A^c\)) सबसे नज़दीकी भ्रम है — वह केवल एक बार का पूरक है, जबकि दो बार का पूरक मूल समुच्चय लौटाता है। विकल्प C और D सामान्य रूप से गलत हैं क्योंकि \(A\) सार्वत्रिक या खाली तभी होगा जब दिया गया समुच्चय वैसे ही हो; यह सब समुच्चयों के लिए सच नहीं है। परिक्षा टिप: इस नियम को याद रखें जैसे एक इनवॉल्यूशन—दो बार लागू करने पर मूल वस्तु लौट आती है; Venn आरेख बनाकर तुरंत सत्यापित कर सकते हैं। / The involution (double-complement) law states that the complement of the complement of a set is the set itself: \((A^c)^c = A\). Option B (\(A^c\)) is a common distractor — it is the single complement, not the double complement. Options C and D are only true in special cases (if \(A=U\) or \(A=\varnothing\) respectively) and are not generally equal to \((A^c)^c\). Exam tip: remember the double-complement law and use a quick Venn diagram to check such statements.
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए क्रम उलट जाता है। \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The complement of the larger set is smaller, so the order reverses. From \(A\subseteq B\), we get \(B^c\subseteq A^c\).
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में विषम संख्याएं आएंगी। ऐसे प्रश्न में पहले पैटर्न पहचानें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement contains the odd numbers. In such questions, identify the pattern first.
\(A^c\) में (U) के वे अक्षर होंगे जो (A) में नहीं हैं। सूची वाले प्रश्नों में काटकर बचे तत्व लिखें। / \(A^c\) will contain the letters of (U) that are not in (A). In list questions, cross out and write the remaining elements.
(A) में दी हुई अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए बाकी तत्व \(A^c\) में हैं। (1) को अभाज्य न मानें। / (A) contains the given prime numbers, so the remaining elements are in \(A^c\). Do not treat (1) as a prime number.
यदि कोई तत्त्व \(x\) \((A\cup B)^c\) में है तो वह \(A\cup B\) में नहीं है, यानी वह न तो \(A\) में है और न ही \(B\) में। इसलिए \(x\) दोनों के पूरक में होगा, अर्थात् \(x\in A^c\cap B^c\)। इससे पता चलता है कि \((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\)। विकल्प B (\(A^c\cup B^c\)) गलत है क्योंकि वह उन तत्त्वों का संघ है जो कम-से-कम एक सेट में नहीं हैं — वास्तव में \((A\cap B)^c = A^c\cup B^c\)। परीक्षा टिप: इसे साबित करने के लिए "तत्त्व-प्रवेशन विधि" (element-wise) या वेन आरेख इस्तेमाल करें। / If an element \(x\) belongs to \((A\cup B)^c\), then \(x\) is not in \(A\cup B\); so \(x\) is neither in \(A\) nor in \(B\). Hence \(x\) lies in both complements, i.e. \(x\in A^c\cap B^c\). Thus \((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\). Option B (\(A^c\cup B^c\)) is incorrect — it equals \((A\cap B)^c\), not the complement of a union. Exam tip: use element-wise argument or draw a Venn diagram to remember De Morgan transforms (union ↔ intersection and complement distributes).
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ है साझा भाग के बाहर का भाग। डी मॉर्गन नियम से यह \(A^c\cup B^c\) होता है। / (\(A\cap B\)^c) means the part outside the common part. By De Morgan's law, it is \(A^c\cup B^c\).
\(A\cup B=\{1,2,3,4\}\) — the union contains all elements from both sets. The complement means the elements of the universal set \(U\) that are not in this union. Removing \(\{1,2,3,4\}\) from \(U\) leaves \(\{5,6\}\). So the correct answer is \(\{5,6\}\). The closest distractor \(\{1,2,5,6\}\) is wrong because it incorrectly includes \(1\) and \(2\), which belong to \(A\cup B\) and cannot be in the complement. Exam tip: compute the union/intersection first, then get the complement by subtracting from the universal set.
कोर सिद्धांत: पहले \(A\cap B\) निकालें फिर उसका पूर्ण-पूरक (कॉम्प्लीमेंट) यूनिवर्सल सेट \(U\) में से घटाएँ। यहाँ \(A\cap B=\{3\}\)। अतः \((A\cap B)^{c}=U-\{3\}=\{1,2,4,5,6\}\)। निकटवर्ती ग़लत विकल्प: विकल्प C (\(\{1,2,3,4\}\)) में \(3\) शामिल है — इसलिए यह कॉम्प्लीमेंट नहीं हो सकता; विकल्प B केवल इंटरसेक्शन ही है, और विकल्प D (\(\varnothing\)) स्पष्ट रूप से गलत है। परीक्षा टिप: पहले इंटरसेक्शन निकालकर फिर यूनिवर्सल से घटाने की आदत डालें — इससे गलतियाँ कम होंगी। / Core idea: compute \(A\cap B\) first, then take its complement relative to the universal set \(U\). Here \(A\cap B=\{3\}\). Thus \((A\cap B)^{c}=U-\{3\}=\{1,2,4,5,6\}\), which is option A. Why other options fail: option C still contains 3 so it cannot be the complement; option B is just the intersection, not its complement; option D (\(\varnothing\)) is obviously incorrect. Exam tip: always find the intersection before taking the complement (or use a quick Venn sketch) to avoid mistakes.
(A) में (0), (2) और (4) हैं, इसलिए (U) में बचे (1) और (3) पूरक हैं। (0) को भी तत्व की तरह गिनें। / (A) has (0), (2), and (4), so the remaining elements (1) and (3) are the complement. Count (0) as an element too.
पूरक सेट से सदस्यता पर ध्यान दें। \(A^c=\{2,3\}\) है क्योंकि यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\) के तत्व निकालने पर बचे तत्व 2 और 3 हैं। इसलिए \(2\in A^c\) सत्य है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(1\in A\) है, अतः \(1\notin A^c\)। प्रयोगिक परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले पूरक सेट लिखिए और फिर किसी तत्व की सदस्यता की जाँच कीजिए। / Use the definition of complement. Removing elements of \(A\) from the universal set \(U\) gives \(A^c=\{2,3\}\), so \(2\in A^c\) is true. Option B is wrong because \(1\in A\), hence \(1\notin A^c\). Quick exam tip: first list the complement explicitly, then check membership of the given element.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय A का पूरक \(A^{c}\) वह समुच्चय है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से A के तत्वों को हटाकर मिलता है, अर्थात् \(A^{c}=U\setminus A\). इसलिए स्पष्ट है कि \(A^{c}\) हमेशा \(U\) का ही एक उपसमुच्चय होगा, यानी \(A^{c}\subseteq U\) हमेशा सत्य है. अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) यदि \(U\subseteq A^{c}\) हो तो तब ही संभव है जब \(A^{c}=U\) अर्थात् \(A=\varnothing\) — पर यह सभी A के लिए सही नहीं है. (C) \(A^{c}=A\) सामान्यतः असंभव है, यह केवल विशेष (और व्यावहारिक रूप से दुर्लभ) स्थितियों में ही हो सकता है (उदाहरण: यदि \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) तभी होगा जब \(A=U\), जो हर A के लिए सत्य नहीं है. परीक्षा-टिप: हमेशा ध्यान रखें कि पूरक को परिभाषित करने में सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) का प्रयोग होता है, इसलिए पूरक से शुरू करते समय उसे \(U\setminus A\) के रूप में लिखें। / By definition the complement of A is the set of all elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A^{c}=U\setminus A\). Hence \(A^{c}\) is always a subset of U, so \(A^{c}\subseteq U\) is always true. Why the other options fail: (B) \(U\subseteq A^{c}\) would force \(A^{c}=U\) (and thus \(A=\varnothing\)), which need not hold for every A. (C) \(A^{c}=A\) is not generally true — it only happens in degenerate cases (for example when \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) means \(A=U\), again not true for every set. Exam tip: always express complement as \(U\setminus A\) to check subset relations quickly.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\) वह समुच्चय है जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A^c=\varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि \(U\) का कोई भी तत्व \(A\) के बाहर नहीं है; यानी \(A\) में सार्वभौमिक समुच्चय के सभी तत्व आ जाते हैं। अतः \(A=U\)। गलतीयां: विकल्प \(\varnothing\) तब गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A^c=U\) होता न कि \(\varnothing\)। विकल्प \(U^c\) भी खाली समुच्चय है पर वह \(A\) नहीं हो सकता;\(U^c=\varnothing\) हमेशा होता है पर इससे \(A\) की जानकारी नहीं बनती। परीक्षा टिप: याद रखें \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\); अगर \(A^c\) खाली है तो \(A\) स्वतः \(U\) होगा। / By definition, the complement \(A^c\) is the set of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A^c=\varnothing\), there are no elements of \(U\) outside \(A\); therefore \(A\) contains every element of \(U\), i.e. \(A=U\). Why other choices fail: \(\varnothing\) would imply \(A\) is empty, which would make \(A^c=U\), not \(\varnothing\). \(U^c\) denotes the complement of \(U\), which is always \(\varnothing\) but does not equal \(A\) unless the universe is empty (degenerate case). Exam tip: use identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\); if \(A^c\) is empty then \(A=U\).
यदि \(A^c = U\) है, तो यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व \(A\) के बाहर हैं, अर्थात् \(A\) में कोई तत्व नहीं है। गुणधर्मों से: \(A\cup A^c = U\) और \(A\cap A^c = \varnothing\)। यदि \(A^c=U\) हो तो ऊपर से स्पष्ट है कि \(A=\varnothing\) होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि यदि \(A=U\) होता तो \(A^c=\varnothing\) होता, न कि \(U\)। परीक्षा टिप: पूरक के गुणधर्म \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\) हमेशा ध्यान में रखें। / If \(A^c=U\), every element of the universal set lies outside \(A\), so \(A\) has no elements; therefore \(A=\varnothing\). Use the identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) to justify this. Option B is incorrect because if \(A=U\) then \(A^c=\varnothing\), not \(U\). Exam tip: recall the complement identities to answer such questions quickly.
आयत के अंदर और (A) के बाहर वाला भाग \(A^c\) होता है। वेन आरेख में (U) की सीमा से बाहर न जाएं। / The part inside the rectangle and outside (A) is \(A^c\). In Venn diagrams, do not go outside the boundary of (U).
स्वरों को (U) से हटाने पर व्यंजन बचते हैं। पूरक हमेशा दिए गए (U) के संदर्भ में समझें। / Removing vowels from (U) leaves consonants. Always understand complement with respect to the given (U).
(A) में (3) के गुणज हैं, इसलिए (U) में बचे हुए तत्व \(A^c\) हैं। जल्दी करने के लिए (U) से (A) को काटें। / (A) contains multiples of (3), so the remaining elements of (U) form \(A^c\). For speed, cross out (A) from (U).
सम्बन्ध है \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=n(U)-n(A^c)=30-18=12\)। विकल्प B (48) गलत है क्योंकि यह \(n(U)\) से भी बड़ा है और संभव नहीं; विकल्प C (18) केवल A के पूरक का आकार है, न कि A का; विकल्प D (30) समूच्चय U का पूरा आकार है। परीक्षात्मक टिप: किसी भी सेट और उसके पूरक के लिए हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) याद रखें। / The relation is \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). So \(n(A)=n(U)-n(A^c)=30-18=12\). Option B (48) is impossible because it exceeds the size of U; option C (18) is the size of A's complement (not A); option D (30) is the size of the universal set. Exam tip: Use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\) to compute quickly and avoid sign errors.
क्यों सही है: सेट \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) मिलकर यूनिवर्सल सेट \(U\) बनाते हैं, अतः \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). दिया है कि \(n(A)=n(A^c)\), इसलिए दोनों की संयुक्त संख्या बराबर भाग में बंटी है। फलतः \(n(A)=\dfrac{16}{2}=8\).
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(16\) गलत है क्योंकि तब \(n(A^c)=0\) होगा और बराबरी नहीं बनी। \(0\) भी गलत होगा क्योंकि तब अन्य सेट का कार्डिनैलिटी \(16\) होगा। \(4\) गलत है क्योंकि \(4+4=8\) होता, जो \(n(U)=16\) से मेल नहीं खाता।
परīk्षा टिप: जब कोई सेट और उसका पूरक बराबर बताये हों तो प्रत्येक का मान कुल का आधा होता है। / Why correct: A and its complement \(A^c\) partition the universal set \(U\), so \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). Given \(n(A)=n(A^c)\), the total 16 is split equally, hence \(n(A)=\dfrac{16}{2}=8\).
Why other options are wrong: 16 would imply \(n(A^c)=0\), contradicting equality; 0 similarly contradicts equality. 4 is wrong because \(4+4=8\), not 16.
Exam tip: If two disjoint parts are equal and cover the whole, each part equals half of the whole.
\(A\cap A^c=\varnothing\), इसलिए (A) और \(A^c\) हमेशा असंबद्ध होते हैं। यह गुण वेन आरेख में तुरंत दिखता है। / \(A\cap A^c=\varnothing\), so (A) and \(A^c\) are always disjoint. This property is clear in a Venn diagram.
किसी भी सेट के लिए \(A\cup A^c=U\) का समीकरण सत्य है क्योंकि किसी भी तत्व या तो A में होगा या A के पूरक में। अतः \(n(A\cup A^c)=n(U)=25\)। विकल्प C (\(n(A)\)) और D (\(n(A^c)\)) केवल A अथवा उसके पूरक की संख्या बताते हैं, न कि पूरे यूनिवर्स की; इसलिए वे गलत हैं। विकल्प B (0) केवल तब सही होता यदि \(n(U)=0\) होता, पर यहाँ \(n(U)=25\) दिया है। परीक्षा-टिप: सेट पहचान सूत्र याद रखें — \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\)। / For any set A, \(A\cup A^c=U\) because every element of the universal set is either in A or in its complement. Therefore \(n(A\cup A^c)=n(U)=25\). Options C (\(n(A)\)) and D (\(n(A^c)\)) refer only to the sizes of A or its complement, not the whole universal set, so they are incorrect. Option B (0) would be true only if \(n(U)=0\), which is not the case here. Exam tip: memorize identities \(A\cup A^c=U\), \(A\cap A^c=\varnothing\) and for finite U, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
किसी भी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का अन्तराल (intersection) हमेशा रिक्त समुच्चय होता है: \(A\cap A^c=\varnothing\). रिक्त समुच्चय की सदस्यों की संख्या \(n(\varnothing)=0\) होती है। इसलिए \(n(A\cap A^c)=0\)। विकल्प (D) \(n(A)\) गलत है क्योंकि चाहे \(n(A)\) कितनी भी हो, सुविधा यही है कि किसी सेट और उसके पूरक का अन्तराल खाली ही रहेगा; विकल्प (B) "1" तब ही सही होता अगर अन्तराल में एक तत्व अपना होता, जो संभव नहीं है। परीक्षा युक्ति: हमेशा याद रखें \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(n(\varnothing)=0\)। / The intersection of a set and its complement is always the empty set: \(A\cap A^c=\varnothing\). The cardinality of the empty set is \(n(\varnothing)=0\). Hence \(n(A\cap A^c)=0\). Option D (\(n(A)\)) is incorrect because the intersection is empty regardless of the size of \(A\); option B (1) is incorrect since there cannot be exactly one element common to a set and its complement. Exam tip: memorize \(A\cap A^c=\varnothing\) and that \(n(\varnothing)=0\).
U−A का अर्थ है U में से A के सभी तत्वों को हटा देना। यही A^c (A का पूरक) की परिभाषा है। इसलिए सामान्यतः U−A = A^c। विकल्प B (A) गलत है क्योंकि वह A के तत्वों को ही दिखाता है, न कि A के बाहर के तत्वों को। विकल्प C (U) तब भी गलत है क्योंकि U−A में A के तत्व हट चुके होते हैं; विकल्प D (∅) केवल विशेष स्थिति में सही होगा—जब A = U हो—पर सामान्य प्रश्न में यह गलत विकल्प है। परीक्षा-सुझाव: पूरक की परिभाषा याद रखें और विशेष मामलों (A = ∅, A = U) को अलग से जाँचे। / U−A means removing all elements of A from U, which by definition is the complement of A \(A^c\). Hence U−A = A^c. Option B (A) is incorrect because it denotes the elements of A, not the elements outside A. Option C (U) is wrong since elements of A are excluded in U−A. Option D (∅) is only true in the special case A = U; generally it is incorrect. Exam tip: Memorize the definition of complement and check edge cases A = ∅ and A = U when answering such questions.
\(U-A=A^c\) होता है, इसलिए (A) के तत्व हटाने पर (5) और (6) बचते हैं। अंतर और पूरक को (U) के संदर्भ में जोड़कर देखें। / \(U-A=A^c\), so after removing the elements of (A), (5) and (6) remain. Link difference and complement with respect to (U).
(A) में (2), (3), (5), (7) हैं, इसलिए बाकी (1), (4), (6) पूरक हैं। दिए हुए (U) से बाहर कोई संख्या न जोड़ें। / (A) has (2), (3), (5), (7), so (1), (4), (6) are the complement. Do not add any number outside the given (U).
A. ({सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार})/weekdays
Explanation
Simple Explanation
(A) में सप्ताहांत के दिन हैं, इसलिए \(A^c\) में कार्यदिवस होंगे। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही पूरक नियम लगता है। / (A) contains weekend days, so \(A^c\) contains weekdays. The same complement rule applies to word sets also.
\(A\cap A^c=\varnothing\) होता है, (U) नहीं। गलत कथन पहचानने में मूल गुणों को याद रखें। / \(A\cap A^c=\varnothing\), not (U). To identify a false statement, remember the basic properties.
किसी भी समुच्चय \(A\) के लिए वैश्विक गुण है कि \(A\cap A^{c}=\varnothing\)। कारण: \(A^{c}\) में वे ही तत्व होंगे जो \(A\) में नहीं हैं, अतः कोई भी तत्व एक साथ दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए प्रतिच्छेद शून्य समुच्चय होगा। निकटतम भ्रांत विकल्प \(\{2,5\}\) (विकल्प B) गलत है क्योंकि वह \(A^{c}\) है — पर प्रश्न दोनों का सामान्य तत्व पूछता है; सामान्य तत्व कोई नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जब भी किसी प्रश्न में \(A\) और \(A^{c}\) एक साथ आएँ, तुरंत \(A\cap A^{c}=\varnothing\) याद कर लें। / For any set \(A\), the identity \(A\cap A^{c}=\varnothing\) always holds. Reason: elements of \(A^{c}\) are exactly those not in \(A\), so no element can belong to both simultaneously; hence the intersection is empty. The closest distractor \(\{2,5\}\) (option B) is just \(A^{c}\), not the intersection — the intersection has no elements. Exam tip: whenever a question involves \(A\) and its complement together, immediately use \(A\cap A^{c}=\varnothing\).
किसी सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष किसी भी सेट \(A\) के लिए मूल गुण है कि \(A\cup A^c=U\)। यहाँ \(A^c=\{2,5\}\) होने पर \(A=U\setminus A^c=\{1,3,4\}\)। इनके योग (यूनियन) से \(\{1,3,4\}\cup\{2,5\}=\{1,2,3,4,5\}=U\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(U\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\{1,3,4\}\) सिर्फ \(A\) है (अलग से), और \(\{2,5\}\) सिर्फ \(A^c\) है; दोनों का यूनियन ही \(U\) बनेगा। परीक्षा-टिप: हमेशा याद रखें कि किसी भी सेट और उसके पूर्णपरक का यूनियन सार्वभौमिक सेट होता है। / For any set \(A\) relative to a universal set \(U\), the identity \(A\cup A^c=U\) holds. Given \(A^c=\{2,5\}\), we have \(A=U\setminus A^c=\{1,3,4\}\). Their union is \(\{1,3,4\}\cup\{2,5\}=\{1,2,3,4,5\}=U\). Thus the correct answer is \(U\). The closest distractors: \(\{1,3,4\}\) is only \(A\), and \(\{2,5\}\) is only \(A^c\); neither alone equals the union. Exam tip: memorize that a set union its complement always gives the universal set.
जो तत्व (U) में है और (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यह पूरक की मूल सदस्यता शर्त है। / An element in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the basic membership condition of complement.
A. \(4\in U\) और \(4\notin A\)/\(4\in U\) and \(4\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) का तत्व हमेशा (U) में होता है और (A) में नहीं होता। ऐसे प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ लिखें। / An element of \(A^c\) is always in (U) and not in (A). In such questions, write both conditions together.
समंजन: A का परिशिष्ट A^c, सार्वभौमिक समुच्चय U में वे सभी तत्व हैं जो A में नहीं हैं, यानी A^c = U \ A. यहाँ U = {1,2,3,4,5} और A = {x : x<4} = {1,2,3}. अतः U \ A = {4,5}.
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प C ({1,2,3,4}) में A के तत्व (1,2,3) भी शामिल हैं इसलिए यह परिशिष्ट नहीं हो सकता। विकल्प B ({1,2,3}) तो A के बराबर है, जबकि परिशिष्ट A में नहीं होने वाले तत्वों का समूह होता है। विकल्प D ({5}) केवल एक तत्व छोड़कर अधूरा है।
परिक्षात्मक सुझाव: हमेशा पहले U और A को स्पष्ट रूप से लिखकर A^c = U \ A लगाएँ — इससे भूल-चूक कम होती है। / Core idea: The complement A^c means the elements of the universal set U that are not in A, i.e. A^c = U \ A. Here U = {1,2,3,4,5} and A = {x : x < 4} = {1,2,3}. Therefore U \ A = {4,5}.
Why other choices are wrong: Choice C ({1,2,3,4}) wrongly includes elements of A (1,2,3), so it cannot be the complement. Choice B ({1,2,3}) is just A itself, not the complement. Choice D ({5}) omits 4, so it is incomplete.
Exam tip: First list U and A explicitly, then compute A^c = U \ A — writing sets out avoids sign/inequality mistakes.
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से सेट \(A\) के सदस्य हटा देना। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) है और \(A=\{1,3,5,7\}\) है। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\) — यानी सभी सम संख्या। विकल्प D (\{5,6,7,8\}) गलत है क्योंकि उसमें 2 और 4 नहीं हैं और 5,7 जैसे तत्वों को शामिल करके गलत पूरक दे रहा है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले यूनिवर्सल सेट की सूचि लिखें फिर उससे A के तत्व हटा दें। / Complement means all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) and \(A=\{1,3,5,7\}\), so \(A^c=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\), the even numbers up to 8. Option D (\{5,6,7,8\}) is incorrect because it omits 2 and 4 and wrongly includes 5 and 7. Exam tip: list U explicitly and remove A's elements to find the complement quickly.
(A) में (4) शामिल है, इसलिए पूरक (4) के बाद से शुरू होगा। (10) (U) में शामिल है, इसलिए ((4,10]) सही है। / (4) is included in (A), so the complement starts after (4). Since (10) is included in (U), ((4,10]) is correct.
(A) में (-1) शामिल नहीं है, इसलिए (-1) पूरक में आएगा। (2) (A) में है, इसलिए पूरक (2) के बाद शुरू होगा। / (-1) is not included in (A), so (-1) is in the complement. (2) is in (A), so the complement starts after (2).
A. क्रिकेट न खेलने वाले विद्यार्थी/students who do not play cricket
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह क्रिकेट न खेलने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not play cricket.
सम्पूर्ण सेट के गुण के अनुसार \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अत: \(n(A)=n(U)-n(A^c)=40-15=25\)। विकल्प C (15) गलत है क्योंकि वह A का नहीं बल्कि A का पूरक है। विकल्प B (55) असंभव है क्योंकि किसी भी सबसेट का कार्डिनैलिटी यूनिवर्स से अधिक नहीं हो सकती। विकल्प D (40) तब ही सही होगा जब \(A^c\) का आकार शून्य हो, पर यहां \(n(A^c)=15\) है। परीक्षा टिप: पूरक के साथ काम करते समय हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) सूत्र याद रखें। / By the property of complements, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). So \(n(A)=n(U)-n(A^c)=40-15=25\). Option C (15) is incorrect because it is the size of the complement, not of A. Option B (55) is impossible since a subset cannot have more elements than the universal set. Option D (40) would mean the complement has 0 elements, which contradicts \(n(A^c)=15\). Exam tip: Always use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\) when given a complement.
वास्तविक उपसमुच्चय होने पर (U) में कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होगा। इसलिए \(A^c\ne\varnothing\) है। / If (A) is a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\ne\varnothing\).
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदलता है/because the universal set changes
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / The complement always depends on the given universal set. When (U) changes, \(A^c\) may also change.
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
सही पूरक के लिए (A) से कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे अच्छा जांच तरीका है। / For a correct complement, there should be no common element with (A), and both together should form (U). This is the best checking method in exams.
