Level 21 • 50/50 questions • 40 seconds per question.
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If \(U=\{2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{3,6\}\), what is \(A^c\)?
A. ({2,4,5})
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (U) से (A) के तत्व काट दें। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, cross out the elements of (A) from (U).
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If \(U=\{p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{p,s,t\}\), find \(A^c\).
A. \{q,r\}
पूरक \(A^c\) वे तत्व होते हैं जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर सेट \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व \(p,q,r,s,t\) हैं और \(A\) में \(p,s,t\) हैं, इसलिए बचे हुए तत्व \(q\) और \(r\) हैं। विकल्प C में अतिरिक्त तत्व \(p\) शामिल है जो गलत है; विकल्प B और D क्रमशः \(A\) और \(A\) के एक हिस्से को दिखाते हैं। परीक्षा-टिप: हमेशा पहले \(U\) के सभी तत्व लिखें और फिर उन तत्वों को हटा दें जो \(A\) में हैं। / The complement \(A^c\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Here \(U=\{p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{p,s,t\}\), so the remaining elements are \(q\) and \(r\), i.e. \(\{q,r\}\). Option C wrongly includes \(p\) which belongs to \(A\); option B is just \(A\) and option D omits \(q\). Exam tip: list all elements of \(U\) first, then remove those that appear in \(A\) to get \(A^c\).
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If \(x\in A^c\), which statement is definitely true?
A. \(x\in U\) और \(x\notin A\)\(x\in U\) and \(x\notin A\)
पूरक का तत्व (U) में होता है पर (A) में नहीं होता। सदस्यता वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ जांचें। / An element of the complement is in (U) but not in (A). In membership questions, check both conditions together.
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If \(U=\{5,10,15,20\}\) and \(A=U\), what is \(A^c\)?
A. \(\varnothing\)
किसी सेट का समपूरक परिभाषा है \(A^c=U\setminus A\), अर्थात् वे सभी तत्त्व जो विश्वविद्यालयी सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यदि \(A=U\) है, तो \(U\setminus A\) में कोई तत्त्व शेष नहीं रहता, अतः \(A^c=\varnothing\)। विकल्प B (\(U\)) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह वही सेट बताता है न कि बाहर के तत्त्व; विकल्प C और D केवल उपसमूह हैं और पूरे बाह्य भाग का प्रतिनिधित्व नहीं करते। परीक्षा सलाह: हमेशा समपूरक को \(U\setminus A\) के रूप में लिखें और सीधे सदस्यता निकालें। / By definition the complement is \(A^c=U\setminus A\), i.e. elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A=U\), then \(U\setminus A\) contains no elements, so \(A^c=\varnothing\). Option B (\(U\)) is incorrect because it confuses the set with its complement; options C and D are only proper subsets and do not represent the whole complement. Exam tip: compute complements as \(U\setminus A\) and check membership for each element.
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If \(U=\{7,8,9\}\) and \(A=\varnothing\), what will \(A^c\) be?
A. (U)universal set
\(\varnothing\) से कोई तत्व नहीं हटता, इसलिए पूरा (U) पूरक में आता है। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / No element is removed from \(\varnothing\), so the whole (U) comes in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
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If \(n(U)=36\) and \(n(A)=14\), what is \(n(A^{c})\)?
A. 22
मूल सिद्धांत: किसी समपूरक सेट के तत्वों की संख्या के लिए सूत्र \(n(A^{c})=n(U)-n(A)\) होता है। यहाँ \(n(A^{c})=36-14=22\) इसलिए 22 सही उत्तर है। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह \(A\) का क्रमांक है न कि \(A^{c}\) का; 36 गलत है क्योंकि वह यूनिवर्स \(U\) का कुल क्रमांक है; 50 स्पष्टतः गलत मान है। परीक्षा-टिप: यूनिवर्स और किसी सेट के क्रमांक दिए हों तो पूरक की संख्या सीधे घटाव से निकालें। / Core concept: For a finite universal set, the complement satisfies \(n(A^{c})=n(U)-n(A)\). So \(n(A^{c})=36-14=22\), making 22 correct. Option 14 is incorrect because it equals \(n(A)\), not the complement; 36 equals \(n(U)\); 50 is simply wrong. Exam tip: whenever \(n(U)\) and \(n(A)\) are given, compute the complement by subtraction.
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If \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and \(A^c={1,7}\), what is (A)?
A. ({2,3,4,5,6})
(A) में (U) के वे तत्व होंगे जो \(A^c\) में नहीं हैं। इसलिए (1) और (7) हटाकर बाकी तत्व लिखें। / (A) contains the elements of (U) that are not in \(A^c\). So remove (1) and (7) and write the remaining elements.
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If \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) and \(A=\{1,3,5,7\}\), what is \(A^c\)?
A. ({2,4,6,8})
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए \(A^c\) में सम संख्याएं आएंगी। पैटर्न पहचानकर उत्तर जल्दी मिलता है। / (A) contains odd numbers, so \(A^c\) contains even numbers. Identifying the pattern gives the answer quickly.
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A. {2,3,5,6,7,8}
A का पूरक Aᶜ उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो सार्वत्रिक समुच्चय U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं। इसलिए U में से 1, 4 और 9 हटाने पर Aᶜ = {2,3,5,6,7,8} मिलता है। विकल्प B, A का स्वयं का समुच्चय है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष A के तत्व हटाएँ। / The complement Aᶜ contains all elements of the universal set U that are not present in A. Removing 1, 4 and 9 from U gives Aᶜ = {2,3,5,6,7,8}. Option B is the set A itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the universal set.
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If \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) and \(A=\{4,8,12\}\), what is \(A^c\)?
A. ({1,2,3,5,6,7,9,10,11})
(A) में (4) के गुणज हैं, इसलिए (U) के बाकी तत्व \(A^c\) में होंगे। हमेशा (U) की सीमा तक ही उत्तर दें। / (A) contains multiples of (4), so the remaining elements of (U) are in \(A^c\). Always answer only within the boundary of (U).
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A. \(\{1,2,4,5\}\)
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में उपस्थित वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(U\) से \(0,3,6\) हटाने पर \(\{1,2,4,5\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए हमेशा पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखकर उसमें से \(A\) के तत्व हटाएँ। / The complement \(A^c\) contains all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Removing \(0,3,6\) from \(U\) leaves \(\{1,2,4,5\}\), so option A is correct. Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, start with the universal set and remove every element of the given set.
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\(If (U={x:x\in\mathbb{N},1\le x\le 10}) and (A={x:x\) is even\(}), what is (A^c)\)?
A. ({1,3,5,7,9})
दिए गए (U) में सम संख्याओं के बाहर विषम संख्याएं बचती हैं। सेट-बिल्डर रूप को पहले सूची रूप में बदलें। / In the given (U), odd numbers remain outside the even numbers. First convert set-builder form into roster form.
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A. {4, 5, 6}
\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A=\{1,2,3\}\) हैं। पूरक समुच्चय \(A^c\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं; इसलिए \(A^c=U-A=\{4,5,6\}\)। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, जबकि विकल्प D पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा टिप: पूरक निकालने से पहले सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य लिखें। / Here, \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{1,2,3\}\). The complement \(A^c\) contains the elements that belong to \(U\) but not to \(A\). Thus, \(A^c=U-A=\{4,5,6\}\). Option B is the set \(A\) itself, while option D is the entire universal set. Exam tip: Always identify the universal set before finding a complement.
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A. {3, 7}
पहले A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6} प्राप्त होता है। U के वे अवयव जो इस संघ में नहीं हैं, 3 और 7 हैं। इसलिए (A ∪ B) का पूरक {3, 7} है। विकल्प B केवल A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का पूरक निकालते समय पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से उसके सभी अवयव हटा दें। / First, A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}. The elements of the universal set U that are not in this union are 3 and 7. Therefore, the complement of (A ∪ B) is {3, 7}. Option B is only A ∪ B, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
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If the universal set U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,2,3,4}, and B={3,4,5}, what is (A ∩ B)ᶜ?
A. {1,2,5,6,7}
पहले A ∩ B={3,4} प्राप्त होता है। इसका U के सापेक्ष पूरक लेने पर U में से 3 और 4 को हटा देते हैं, इसलिए (A ∩ B)ᶜ={1,2,5,6,7}। विकल्प B केवल A ∩ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय U के वे अवयव चुनें जो मूल समुच्चय में नहीं हैं। / First, A ∩ B={3,4}. Taking its complement relative to U means removing 3 and 4 from the universal set, so (A ∩ B)ᶜ={1,2,5,6,7}. Option B is only A ∩ B, not its complement. Exam tip: To find a complement, list the elements of the universal set that are not in the given set.
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If \(A\subseteq B\), which relation is correct?
A. \(B^c\subseteq A^c\)
उपसमुच्चय लेने पर पूरक में क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
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A. \((A^c)^c=A\)
किसी समुच्चय का पूरक लेने पर उसके सार्वत्रिक समुच्चय में उपस्थित लेकिन \(A\) में अनुपस्थित अवयव मिलते हैं। दोबारा पूरक लेने पर मूल समुच्चय \(A\) वापस प्राप्त होता है, इसलिए \((A^c)^c=A\) सदैव सत्य है। विकल्प B केवल कुछ विशेष समुच्चयों के लिए संभव है, जबकि \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\) होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के प्रमुख नियम याद रखें—\(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)। / The complement of \(A\) contains the elements of the universal set that are not in \(A\). Taking the complement again returns the original set, so \((A^c)^c=A\) is always true. Statement B may hold only for special sets, whereas \(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\). Exam tip: remember the two basic complement laws—\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\).
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In a Venn diagram, which region represents \(A^c\)?
A. (U) के अंदर (A) के बाहर का भागthe region inside (U) but outside (A)
\(A^c\) हमेशा (U) के अंदर लेकिन (A) के बाहर होता है। वेन आरेख में आयत से बाहर का भाग न गिनें। / \(A^c\) is always inside (U) but outside (A). In a Venn diagram, do not count the region outside the rectangle.
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A. बस से न आने वाले विद्यार्थीstudents who do not come by bus
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी आएंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह बस से न आने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not come by bus.
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\(If (U={\)red,blue,green,yellow\(}) and (A={\)red,yellow\(}), what is (A^c)\)?
A. ({नीला,हरा})({blue,green})
(A) के रंग हटाने पर (नीला) और (हरा) बचते हैं। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही नियम लगता है। / After removing the colors of (A), blue and green remain. The same rule applies to word sets.
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If the universal set \(U=\{x:x\text{ is a digit}\}\) and \(A=\{0,2,4,6,8\}\), what is \(A^c\)?
A. \(\{1,3,5,7,9\}\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में सभी अंक \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) होते हैं। \(A\) में सभी सम अंक हैं, इसलिए \(U\) में मौजूद लेकिन \(A\) में न होने वाले अंक \(1,3,5,7,9\) होंगे। अतः \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\)। परीक्षा में याद रखें: किसी समुच्चय का पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / The universal set \(U\) contains all digits, \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Since \(A\) contains all the even digits, the elements in \(U\) that are not in \(A\) are \(1,3,5,7,9\). Therefore, \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Exam tip: The complement of a set is always taken with respect to the specified universal set.
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A. 29
किसी सीमित समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) होता है। इसलिए \(n(A)=48-19=29\)। विकल्प C केवल पूरक समुच्चय की संख्या है, जबकि विकल्प D पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय की संख्या ज्ञात होने पर उसे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या से घटाएँ। / For a finite set, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Hence, \(n(A)=48-19=29\). Option C is the cardinality of the complement, while option D is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: To find the cardinality of a set from its complement, subtract the complement's cardinality from that of the universal set.
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If the finite universal set U has \(n(U)=24\) and \(n(A)=n(A^c)\), what is the value of \(n(A)\)?
A. 12
समुच्चय A और उसका पूरक \(A^c\) असंयुक्त होते हैं और मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय U बनाते हैं। इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\)। दोनों की सदस्य-संख्या समान है, अतः \(2n(A)=24\), जिससे \(n(A)=12\) प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: यदि किसी समुच्चय और उसके पूरक की कार्डिनैलिटी समान हो, तो प्रत्येक की कार्डिनैलिटी सार्वत्रिक समुच्चय की कार्डिनैलिटी की आधी होती है। / A set A and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set U. Thus, \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\). Since their cardinalities are equal, \(2n(A)=24\), giving \(n(A)=12\). Exam tip: when a set and its complement have equal cardinality, each contains half the elements of the universal set.
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If \(n(U)=31\) for the universal set \(U\), what is the value of \(n(A\cup A^c)\)?
A. \(31\)
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् \(A\cup A^c=U\)। इसलिए \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। परीक्षा-युक्ति: संघ और पूरक से संबंधित प्रश्नों में \(A\cup A^c=U\) तथा \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / The union of a set \(A\) and its complement \(A^c\) is the universal set, so \(A\cup A^c=U\). Therefore, \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\). Option B is incorrect because \(A\cap A^c=\varnothing\), not their union. Exam tip: remember \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) for complement-based questions.
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If the universal set is \(U=\{2,4,6,8,10,12\}\) and \(A=\{4,8,12\}\), what is the value of \(U-A\)?
A. \(\{2,6,10\}\)
\(U-A\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। \(U\) से \(4,8,12\) हटाने पर \(\{2,6,10\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A\) है, जबकि विकल्प D पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय अंतर निकालते समय पहले बड़े समुच्चय से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / \(U-A\) contains all elements that belong to \(U\) but do not belong to \(A\). Removing \(4,8,12\) from \(U\) leaves \(\{2,6,10\}\), so option A is correct. Option B is just \(A\), while option D is the entire universal set. Exam tip: To find a set difference, remove every element of the second set from the first set.
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If \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) and \(A^c=\{2,4,6,8\}\), what is the value of \(A\cap A^c\)?
A. \(\varnothing\)
समुच्चय \(A^c\) के तत्व वे हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं हो सकता, अतः \(A\cap A^c=\varnothing\)। विकल्प C वास्तव में \(A\) है, न कि दोनों का प्रतिच्छेद। परीक्षा-युक्ति: किसी भी समुच्चय के लिए \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / The elements of \(A^c\) are precisely those that are not in \(A\). Hence, \(A\) and its complement \(A^c\) have no common element, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Option C represents \(A\), not the intersection. Exam tip: remember the identity \(A\cap A^c=\varnothing\) for every set \(A\).
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A. U
किसी भी समुच्चय A और उसके पूरक Aᶜ का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् A ∪ Aᶜ = U। यहाँ Aᶜ = {b, e} होने पर A = {a, c, d} होगा, और दोनों का संघ {a, b, c, d, e} = U है। विकल्प B केवल Aᶜ है, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-टिप: A ∪ Aᶜ = U और A ∩ Aᶜ = ∅ को याद रखें। / For any set A, the union of A and its complement is the universal set: A ∪ Aᶜ = U. Here, since Aᶜ = {b, e}, A = {a, c, d}; therefore, their union is {a, b, c, d, e} = U. Option B gives only Aᶜ, not the union. Exam tip: Remember the identities A ∪ Aᶜ = U and A ∩ Aᶜ = ∅.
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If \(6\in U\) and \(6\notin A\), which conclusion is correct?
A. \(6\in A^c\)
जो तत्व (U) में है लेकिन (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यही पूरक की सदस्यता शर्त है। / An element that is in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the membership condition of complement.
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If \(5\notin A^c\) and \(5\in U\), which statement is correct?
A. \(5\in A\)
(U) का कोई तत्व या तो (A) में होगा या \(A^c\) में। यदि वह \(A^c\) में नहीं है, तो वह (A) में होगा। / An element of (U) belongs either to (A) or to \(A^c\). If it is not in \(A^c\), then it is in (A).
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If (U=[1,9]) and (A=[1,5)), what is \(A^c\)?
A. ([5,9])
(5) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए (5) पूरक में आएगा। (9) (U) में शामिल है, इसलिए ([5,9]) सही है। / (5) is not included in (A), so (5) comes in the complement. Since (9) is included in (U), ([5,9]) is correct.
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If the universal set U = (-3, 4] and A = (-3, 1], what is the complement Aᶜ of A with respect to U?
A. (1, 4]
Aᶜ = U − A होता है, अर्थात U में वे सभी अवयव जो A में नहीं हैं। यहाँ 1, A में शामिल है, इसलिए 1 पूरक में शामिल नहीं होगा और अंतराल 1 के बाद खुले सिरे से शुरू होगा। 4, U में शामिल है और A में नहीं है, इसलिए 4 शामिल रहेगा। अतः Aᶜ = (1, 4]। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय और दिए गए समुच्चय के अंतराल के सिरों की समावेशिता जाँचें। / The complement is Aᶜ = U − A, meaning all elements of U that are not in A. Since 1 is included in A, it is excluded from the complement, so the interval starts with an open parenthesis at 1. The endpoint 4 is included in U and not in A, so it remains included. Therefore, Aᶜ = (1, 4]. Exam tip: When finding an interval complement, carefully check whether each endpoint is included in the universal set and in the given set.
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A. \(\{-2,2,3\}\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) है। किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वत्रिक समुच्चय में मौजूद, लेकिन उस समुच्चय में शामिल न होने वाले तत्वों का समुच्चय होता है। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{-2,2,3\}\)। विकल्प B केवल \(A\) स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने से पहले सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य लिखें। / The universal set is \(U=\{-2,-1,0,1,2,3\}\). The complement of a set consists of the elements of the universal set that are not in that set. Hence, \(A^c=U\setminus A=\{-2,2,3\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Always write the universal set before finding a complement.
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A. 9
समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(9\in U\) और \(9\notin A\), इसलिए \(9\in A^c\)। विकल्प 2, 3 और 5 पहले से ही \(A\) में हैं। परीक्षा में पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय और दिए गए समुच्चय का अंतर निकालें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here, \(9\in U\) and \(9\notin A\), so \(9\in A^c\). The elements 2, 3, and 5 already belong to \(A\). Exam tip: To find a complement, list the elements of the universal set and remove those in the given set.
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A. \(4\in A^c\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{1,3,4\}\) है। इसलिए \(4\in A^c\) सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(2\in A\), विकल्प C गलत है क्योंकि \(5\in A\), और विकल्प D गलत है क्योंकि \(1\notin A\)। परीक्षा में पूरक निकालते समय हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के सभी अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{1,3,4\}\). Therefore, \(4\in A^c\) is correct. Option B is false because \(2\in A\), option C is false because \(5\in A\), and option D is false because \(1\notin A\). Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
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\(If (U={x:x\) is one of the four main directions\(}) and (A={\)north,south\(}), what is (A^c)\)?
A. ({पूर्व,पश्चिम})({east,west})
चार दिशाओं में (उत्तर) और (दक्षिण) हटाने पर (पूर्व) और (पश्चिम) बचते हैं। पूरक संदर्भ समुच्चय पर निर्भर करता है। / Among the four directions, removing north and south leaves east and west. Complement depends on the reference set.
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A. 42
संगीत न सीखने वाले विद्यार्थी \(A\) के पूरक समुच्चय \(A^c\) में होंगे। इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-18=42\)। अतः सही उत्तर 42 है। परीक्षा में पूरक समुच्चय की संख्या निकालने के लिए कुल संख्या में दिए गए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / Students who do not learn music belong to the complement \(A^c\) of set \(A\). Thus, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-18=42\). Therefore, the correct answer is 42. Exam tip: To find the size of a complement, subtract the size of the set from the size of the universal set.
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If in a class (n(U)=45) and (n(A)=28), what does (n\(A^c\)) mean?
A. (A) में न आने वाले विद्यार्थियों की संख्याnumber of students not in (A)
(n\(A^c\)) उन तत्वों की संख्या है जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। इसका मान यहां (45-28=17) होगा। / (n\(A^c\)) is the number of elements in (U) but not in (A). Its value here is (45-28=17).
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If (A) is a proper subset of the universal set (U), which statement is correct?
A. \(A^c\ne\varnothing\)
वास्तविक उपसमुच्चय में (U) का कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होता है। इसलिए \(A^c\) खाली नहीं होगा। / In a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\) will not be empty.
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A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदल गया हैbecause the universal set has changed
किसी समुच्चय का पूरक चुने गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित होता है। यहाँ \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3\}\), जबकि \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5\}\) है। इसलिए अलग-अलग मान सार्वत्रिक समुच्चय बदलने के कारण मिलते हैं, न कि \(A\) बदलने के कारण। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य देखें। / The complement of a set is defined relative to the chosen universal set. Here, with respect to \(U_1\), \(A^c=\{1,3\}\), while with respect to \(U_2\), \(A^c=\{1,3,5\}\). Thus, the different values arise because the universal set changes, not because \(A\) changes. Exam tip: Always identify the universal set before finding a complement.
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What is the best test to check whether a given (B) is the complement of (A)?
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
पूरक होने के लिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनाने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे सुरक्षित जांच है। / For (B) to be the complement of (A), they must have no common element and together form (U). This is the safest exam check.
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If \(U=\{10,11,12,13,14,15\}\) and \(A=\{11,13,15\}\), what will \(A^c\) be?
A. ({10,12,14})
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (11,13,15) हटाने पर (10,12,14) बचते हैं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). So after removing (11,13,15), (10,12,14) remain.
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A. \(\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14\}\)
\(U\) में 5 के गुणज \(5,10,15\) हैं, इसलिए \(A=\{5,10,15\}\)। किसी समुच्चय का पूरक \(A^c=U\setminus A\) होता है; अतः \(U\) से 5, 10 और 15 हटाने पर \(\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखकर उसमें से दिए गए समुच्चय के तत्व हटाएँ। / The multiples of 5 in \(U\) are 5, 10, and 15, so \(A=\{5,10,15\}\). The complement is defined by \(A^c=U\setminus A\); therefore, removing 5, 10, and 15 from \(U\) gives \(\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14\}\). Option B is just \(A\), not its complement. Exam tip: To find a complement, first write the universal set and remove all elements of the given set.
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If \(U=\{a,e,i,o,u,b,c,d\}\) and \(A=\{a,e,i,o,u\}\), what is \(A^c\)?
A. ({b,c,d})
(A) में स्वर हैं, इसलिए (U) में बचे (b,c,d) पूरक में होंगे। पूरक हमेशा (U) के आधार पर निकाला जाता है। / (A) contains vowels, so the remaining elements (b,c,d) of (U) are in the complement. Complement is always found with respect to (U).
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A. {4, 5, 6}
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 8} प्राप्त होता है। अब सार्वत्रिक समुच्चय U में से इस संघ के सभी अवयव हटाने पर {4, 5, 6} बचते हैं, इसलिए (A ∪ B)ᶜ = {4, 5, 6}। विकल्प B केवल A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय का पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 8}. Removing these elements from the universal set U leaves {4, 5, 6}; therefore, (A ∪ B)ᶜ = {4, 5, 6}. Option B is merely A ∪ B, not its complement. Exam tip: The complement of a set is always taken with respect to the given universal set.
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A. \(\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{6\}\), क्योंकि दोनों समुच्चयों में केवल 6 समान है। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष इसका पूरक \(U\setminus\{6\}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\) होगा। विकल्प B केवल \(A\cap B\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के सभी अवयव हटा दें। / First find the intersection: \(A\cap B=\{6\}\), since 6 is the only element common to both sets. Its complement relative to the universal set is \(U\setminus\{6\}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\). Option B is just \(A\cap B\), not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
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If the universal set \(U\) has \(n(U)=72\) and \(n(A^c)=31\), what is the value of \(n(A)\)?
A. 41
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\) मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं और दोनों असंयुक्त होते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), अतः \(n(A)=72-31=41\)। विकल्प 31, \(A^c\) की संख्या है, जबकि विकल्प 72 पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा में याद रखें: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Hence, \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), so \(n(A)=72-31=41\). The value 31 is the cardinality of \(A^c\), while 72 is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: remember \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
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If (U=[0,12]) and (A=(3,8]), what will \(A^c\) be?
A. ([0,3]\cup(8,12])
(3) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए वह पूरक में आएगा। (8) (A) में है, इसलिए पूरक (8) के बाद से शुरू होगा। / (3) is not included in (A), so it comes in the complement. (8) is in (A), so the complement starts after (8).
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A. \(\{-3,-1,1,3\}\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। समुच्चय \(A\) के पूरक में \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(-2,0,2,4\) को हटाने पर \(A^c=\{-3,-1,1,3\}\) मिलता है। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखें और उसमें से दिए गए समुच्चय के तत्व हटाएँ। / The universal set is \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The complement of \(A\) contains all elements of \(U\) that are not in \(A\). Removing \(-2,0,2,4\) from \(U\) gives \(A^c=\{-3,-1,1,3\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Write the universal set first, then remove the elements of the given set to find its complement.
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A. 18
गणित पसंद न करने वाले विद्यार्थी A के पूरक समुच्चय \(A^c\) में होंगे। पूरक समुच्चय का सूत्र \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) है। इसलिए \(n(A^c)=55-37=18\)। विकल्प 37 केवल गणित पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या है, जबकि 55 कुल विद्यार्थियों की संख्या है। परीक्षा में पूरक समुच्चय के लिए कुल संख्या में से दिए गए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / Students who do not like mathematics belong to the complement set \(A^c\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(n(A^c)=55-37=18\). The number 37 represents students who like mathematics, while 55 represents the total number of students. Exam tip: To find the size of a complement, subtract the size of the set from the size of the universal set.
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If (B) is called the complement of (A), which statement must be true?
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
पूरक समुच्चय (A) से असंबद्ध होता है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। यही पूरक जांचने का सबसे सरल नियम है। / A complement set is disjoint from (A), and together they form (U). This is the simplest rule to check complement.
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