यदि \(A\subseteq U\) और \(A' = U\) है, तो \(A\) क्या होना चाहिए?

Correct Answer: A. \(A=\varnothing\). Explanation: परिभाषा के अनुसार \(A'\) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में जो तत्व \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A' = U\), तो यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व \(A\) में नहीं हैं — इसका अर्थ है कि \(A\) में कोई तत्व नहीं है, यानी \(A=\varnothing\)। विकल्प (B) गलत है क्योंकि यदि \(A=U\) होता तो \(A' = \varnothing\) होता न कि \(U\)। विकल्प (C) केवल तब संभव हो सकता है जब दोनों \(A\) और \(U\) ख़ास अवस्थाओं में हों (जैसे \(U=\varnothing\)) — सामान्य रूप से यह सही नहीं है। विकल्प (D) सीधे विरोधाभासी है क्योंकि \(A' = U\) होने पर \(A\) खाली होना चाहिए। परीक्षा टिप: याद रखें कि किसी सेट का पूरक पूरी तरह उस सेट में न होने वाले यूनिवर्सल तत्वों का समूह होता है; यदि पूरक यूनिवर्सल है तो मूल सेट शून्यसमूह होता है। / By definition, \(A'\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A' = U\), every element of \(U\) is not in \(A\), so \(A\) contains no elements; hence \(A=\varnothing\). Option B is wrong because if \(A=U\) then \(A' = \varnothing\), not \(U\). Option C (\(A=A'\)) is not generally true — it would force special cases (e.g., only possible if \(U=\varnothing\)), so it's not the required conclusion. Option D contradicts the given condition. Exam tip: remember complements swap empty and universal: \((\varnothing)'=U\) and \(U'=\varnothing\); use this to check answers quickly.