A. दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना/Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
In \(9k^2=3q^2\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing by (3) gives \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Remove only valid common factors while simplifying. चरण 1: \(9k^2=3q^2\) में साझा गुणनखंड (3) है। चरण 2: (3) से भाग देने पर \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में केवल वैध समान गुणनखंड हटाएँ।
In \(25n^2=5y^2\), both sides can be divided by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(5n^2=y^2\), that is \(y^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
While simplifying, remove only the common factor, not the whole (25). चरण 1: \(25n^2=5y^2\) में दोनों पक्ष (5) से भाग दिए जा सकते हैं। चरण 2: इससे \(5n^2=y^2\), अर्थात \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में (25) को पूरा नहीं हटाएँ, केवल समान गुणनखंड हटाएँ।
Reduce factors correctly during simplification. चरण 1: (p=5r) रखने पर \(25r^2=5q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(q^2=5r^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में गुणक सही घटाएँ।
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Square the whole expression. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलेगा। चरण 2: सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें।
From \(4r^2=2q^2\), dividing both sides by (2) gives \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2q^2\) से दोनों ओर (2) से भाग करने पर \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
D. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
Its correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to square the coefficient. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलता है। चरण 2: इसका सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: गुणांक का वर्ग न भूलें।
Square the coefficient while squaring. चरण 1: (p=2k) है तो (p-2=(2k)2)। चरण 2: इसका सही मान \(4k^2\) है, \(2k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय गुणांक का भी वर्ग करें।
This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। चरण 3: यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है।
D. \(q^2=2k^2\) होना चाहिए/It should be \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
Substituting (p=2k) in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Reduce factors carefully during algebraic simplification. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण में गुणक ठीक से घटाएँ।
A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
Step 1
Concept
Putting (p=2k) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
A simplification error can spoil the proof. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: सरलीकरण की गलती प्रमाण को गलत बना देती है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है।
This indicates that (q) is even later. चरण 1: \(4k^2=2q^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। चरण 2: \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: यही आगे (q) के सम होने का संकेत देता है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) के (3) से विभाज्य होने की राह खुलती है।
This helps show that (b) is divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (b) के (5) से विभाज्य होने की राह मिलती है।
Then conclude that (b) is divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3b^2\) में दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=b^2\) मिलेगा, यानी \(b^2=3k^2\)। चरण 3: फिर (b) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लें।
In such steps, divide both sides by the same number. चरण 1: \(4k^2=2b^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। चरण 2: इससे \(2k^2=b^2\), अर्थात \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: ऐसे चरण में दोनों ओर समान संख्या से भाग करें।
Do this simplification carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह सरलीकरण ध्यान से करें।
A. \(3\sqrt{7}\) और अपरिमेय/\(3\sqrt{7}\) and irrational
Step 1
Concept
Since \(28=4\cdot 7\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In exams, combine like radicals by adding their coefficients. चरण 1: \(28=4\cdot 7\) इसलिए \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। चरण 2: अब \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: परीक्षा में समान वर्गमूल वाले पदों को गुणांक जोड़कर सरल करें।
B. अपरिमेय क्योंकि यह \(\sqrt{5}\) के बराबर है/Irrational because it equals \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even after division check the remaining radical. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: हर से भाग देने पर भी बचा हुआ वर्गमूल जांचना जरूरी है।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
In long surd expressions, write the coefficients separately and add them. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)। चरण 2: \(1\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: लंबे मूल वाले प्रश्न में गुणांक अलग लिखकर जोड़ना आसान रहता है।
\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), so the correct value is \(3\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
Match the options with your simplified result carefully. चरण 1: \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)। चरण 2: \(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), इसलिए सही मान \(3\sqrt{6}\) है। चरण 3: विकल्प मिलाते समय अपनी सरल गणना से मिलान करें।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(3\sqrt{3}\), so division gives (3).
Step 3
Exam Tip
Subtract first, then divide by the denominator. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) हैं। चरण 2: ऊपर का अंतर \(3\sqrt{3}\) है, इसलिए भाग देने पर (3) मिलता है। चरण 3: घटाव के बाद ही हर से भाग दें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=5\sqrt{2}\), so \(\frac{x}{\sqrt{2}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Division is easier after combining like surds. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(x=5\sqrt{2}\), इसलिए \(\frac{x}{\sqrt{2}}=5\)। चरण 3: समान मूल वाले पदों को जोड़ने के बाद भाग देना आसान होता है।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Keep the signs carefully while adding or subtracting coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: चिह्नों को ध्यान से रखकर गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
Write \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator is \(5\sqrt{3}\), so \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Combine like surds before division. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) लिखें। चरण 2: ऊपर का योग \(5\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\)। चरण 3: भाग से पहले समान मूल वाले पदों को जोड़ें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The total is \(1\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=10\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
In ordered surds, identify the coefficient pattern. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: कुल योग \(1\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=10\sqrt{2}\) है। चरण 3: क्रमबद्ध मूलों में गुणांक का पैटर्न पहचानें।
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For like surds, work with the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। चरण 2: \(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। चरण 3: एक ही मूल वाले पदों में गुणांकों पर काम करें।
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), so none of the listed options is correct.
Step 3
Exam Tip
In such questions, trust your simplification before matching options. चरण 1: \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)। चरण 2: \(4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं दिखता। चरण 3: ऐसे प्रश्न में विकल्प से पहले अपनी गणना पर भरोसा करें।
A. \(x=3+2\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(x=3+2\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
So \(x=3+2\sqrt{2}\), which contains an irrational part.
Step 3
Exam Tip
Do not combine rational and irrational terms into a single radical. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। चरण 2: इसलिए \(x=3+2\sqrt{2}\), जिसमें अपरिमेय भाग है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय पदों को सीधे जोड़कर एक मूल न बनाएं।
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\sqrt{2}+6\sqrt{2}-7\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Once all terms are like surds, add or subtract only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)। चरण 2: \(5\sqrt{2}+6\sqrt{2}-7\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। चरण 3: सभी पद समान मूल में बदल जाएँ तो केवल गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(5\sqrt{5}\), so \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Before division, convert the numerator surds into like terms. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) हैं। चरण 2: ऊपर का योग \(5\sqrt{5}\) है, इसलिए \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\)। चरण 3: भाग से पहले ऊपर के मूलों को समान रूप में बदलें।
Therefore \(\sqrt{8}-2\sqrt{2}=0\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Sometimes terms that look irrational cancel completely. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{8}-2\sqrt{2}=0\), जो परिमेय है। चरण 3: कभी-कभी अपरिमेय जैसे दिखने वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं।
So \(x=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify radicals to like terms before adding. चरण 1: \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) है। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करके समान पद बनाएँ, फिर जोड़ें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=6\sqrt{2}\), so \(\frac{y}{\sqrt{2}}=6\).
Step 3
Exam Tip
First add like surds, then divide. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(y=6\sqrt{2}\), इसलिए \(\frac{y}{\sqrt{2}}=6\)। चरण 3: पहले समान मूल वाले पदों को जोड़ें, फिर भाग दें।
Simplify surd terms before squaring. चरण 1: \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए \(x=3\sqrt{5}\)। चरण 2: (x-2=\(3\sqrt{5}\)2=9\times5=45)। चरण 3: वर्ग करने से पहले मूल वाले पदों को सरल करें।
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose an answer in multiplication or division of surds without simplifying. चरण 1: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\frac{3\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}\) है। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: भाग और गुणन वाले विकल्पों को सरल किए बिना उत्तर न चुनें।
On simplifying, \(x-4=\sqrt{6}\), and since (6) is not a perfect square, \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
When rational terms cancel, check the nature of the remaining radical. चरण 1: (x-4=\(4+\sqrt{6}\)-4) है। चरण 2: सरल करने पर \(x-4=\sqrt{6}\), और (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: व्यंजक में परिमेय पद कट जाए तो बचे हुए मूल की प्रकृति देखें।
\(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use the largest perfect square factor for quick simplification. चरण 1: \(72=36\times2\) है। चरण 2: \(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड लेने से सरल रूप जल्दी मिलता है।
B. यह \(2\sqrt{3}\) के बराबर है और अपरिमेय है/It is equal to \(2\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(12=4\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
After simplification, if a non-square remains inside the root, the number stays irrational. चरण 1: \(12=4\times3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करने के बाद भी अंदर पूर्ण वर्ग न बचे तो संख्या अपरिमेय रहती है।
\(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate the largest perfect square factor while simplifying surds. चरण 1: \(45=9\times5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें।
So \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify like radical terms before deciding the type of number. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों को पहले सरल करें।
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(11\sqrt{2}+7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=14\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Convert all radicals into like form before adding or subtracting. चरण 1: \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(11\sqrt{2}+7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=14\sqrt{2}\)। चरण 3: सभी वर्गमूलों को समान रूप में बदलकर ही जोड़-घटाव करें।
\(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\), and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
Before addition or subtraction, write all radicals in like form. चरण 1: \(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\), और \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)। चरण 2: \(7\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}\)। चरण 3: जोड़-घटाव से पहले सभी वर्गमूलों को समान रूप में लिखें।
Rationalisation is not always needed; first evaluate square roots of perfect squares. चरण 1: पहले \(\sqrt{9}=3\) लिखें। चरण 2: \(\frac{9}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3\)। चरण 3: हर बार परिमेयकरण जरूरी नहीं, पूर्ण वर्ग का वर्गमूल सीधे निकालें।
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}+5\sqrt{7}=10\sqrt{7}\).
Step 3
Exam Tip
Once radicals become like terms, add only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\)। चरण 2: योग \(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}+5\sqrt{7}=10\sqrt{7}\) है। चरण 3: समान वर्गमूल बनने पर केवल गुणांक जोड़ें।
\(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7\sqrt{3}-5\sqrt{3}=2\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Before subtracting radicals, convert them into like radicals. चरण 1: \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। चरण 2: \(7\sqrt{3}-5\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूलों को घटाने से पहले समान वर्गमूल में बदलना जरूरी है।
\(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8\sqrt{2}+6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=9\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Convert all radicals into like form before adding or subtracting. चरण 1: \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। चरण 2: \(8\sqrt{2}+6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=9\sqrt{2}\)। चरण 3: सभी वर्गमूलों को समान रूप में बदलकर ही जोड़-घटाव करें।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\sqrt{3}+10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=11\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify all radicals before addition and subtraction. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)। चरण 2: \(5\sqrt{3}+10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=11\sqrt{3}\)। चरण 3: जोड़ और घटाव से पहले सभी वर्गमूलों को सरल करें।
Rationalisation helps when the denominator contains a square root. चरण 1: हर से वर्गमूल हटाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{7}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{7}{\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{7}=\sqrt{7}\)। चरण 3: हर में वर्गमूल हो तो परिमेयकरण मदद करता है।
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}=10\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
Once radicals are like terms, add only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)। चरण 2: योग \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}=10\sqrt{5}\) है। चरण 3: समान वर्गमूल बनने पर केवल गुणांक जोड़ें।
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Convert radicals into like radicals before subtracting. चरण 1: \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: वर्गमूलों को घटाने से पहले समान वर्गमूल में बदलें।
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The total is \(6\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Decide the nature of the number only after simplification. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। चरण 2: कुल योग \(6\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: सरलीकरण के बाद ही संख्या की प्रकृति तय करें।
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=9\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Add or subtract only after converting all terms to like radicals. चरण 1: \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(7\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=9\sqrt{2}\)। चरण 3: सभी पदों को समान वर्गमूल में बदलने के बाद ही जोड़-घटाव करें।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
Convert all radicals to like form before adding or subtracting. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)। चरण 2: \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)। चरण 3: जोड़ और घटाव से पहले सभी वर्गमूलों को समान रूप में बदलें।
Rationalising is useful when a square root appears in the denominator. चरण 1: हर को सरल करने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{5}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\)। चरण 3: हर में वर्गमूल हो तो परिमेयकरण उपयोगी होता है।
Once radicals are like terms, add only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। चरण 2: जोड़ने पर \(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\)। चरण 3: समान वर्गमूल बनने पर केवल गुणांक जोड़ें।
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify both square roots before subtracting. चरण 1: \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: घटाने से पहले दोनों वर्गमूलों को सरल करना जरूरी है।
The remaining (6) has no perfect square factor, so the form is simplified. चरण 1: \(216=36 \times 6\) है। चरण 2: \(\sqrt{216}=\sqrt{36 \times 6}=6\sqrt{6}\)। चरण 3: अंदर बचे (6) में कोई पूर्ण वर्ग गुणनखंड नहीं है, इसलिए रूप सरल है।
Choosing a larger perfect square simplifies the answer in one step. चरण 1: \(243=81 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{243}=\sqrt{81 \times 3}=9\sqrt{3}\)। चरण 3: बड़ा पूर्ण वर्ग चुनने से उत्तर एक ही चरण में सरल हो जाता है।
Take the perfect square factor outside to simplify the answer. चरण 1: \(275=25 \times 11\) है। चरण 2: \(\sqrt{275}=\sqrt{25 \times 11}=5\sqrt{11}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालकर उत्तर को सरल बनाएं।
The form is simplified when the remaining number inside has no perfect square factor. चरण 1: \(135=9 \times 15\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{135}=\sqrt{9 \times 15}=3\sqrt{15}\)। चरण 3: अंदर बची संख्या में पूर्ण वर्ग गुणनखंड न हो, तब रूप सरल माना जाता है।
To fully simplify the answer, take out the largest perfect square. चरण 1: \(192=64 \times 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{192}=\sqrt{64 \times 3}=8\sqrt{3}\)। चरण 3: उत्तर को पूरा सरल करने के लिए सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें।
Using a large perfect square gives the simplified form directly. चरण 1: \(288=144 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{288}=\sqrt{144 \times 2}=12\sqrt{2}\)। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्ग का उपयोग करने से उत्तर सीधे सरल रूप में मिलता है।
When you see a perfect square like (100), take it outside as (10). चरण 1: \(300=100 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{300}=\sqrt{100 \times 3}=10\sqrt{3}\)। चरण 3: (100) जैसा पूर्ण वर्ग दिखे तो उसे बाहर (10) के रूप में निकालें।
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Radicals can be added only when they become like radicals. चरण 1: \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)। चरण 2: \(4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}\)। चरण 3: समान वर्गमूल बनने पर ही उन्हें जोड़ा जा सकता है।
Take the perfect square factor outside and keep the remaining number inside. चरण 1: \(175=25 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{175}=\sqrt{25 \times 7}=5\sqrt{7}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर और बाकी संख्या को अंदर रखें।
Recognising large perfect squares like (121) is very useful in simplification. चरण 1: \(242=121 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{242}=\sqrt{121 \times 2}=11\sqrt{2}\)। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्ग जैसे (121) को पहचानना सरलीकरण में बहुत उपयोगी है।
While simplifying a square root, choosing the largest perfect square factor is helpful. चरण 1: \(108=36 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{108}=\sqrt{36 \times 3}=6\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनना अच्छा रहता है।
If (6) remains inside, it cannot be simplified further because it has no perfect square factor. चरण 1: \(24=4 \times 6\) है। चरण 2: \(\sqrt{24}=\sqrt{4 \times 6}=2\sqrt{6}\)। चरण 3: यदि अंदर (6) बचे तो वह आगे सरल नहीं होगा क्योंकि (6) में पूर्ण वर्ग गुणनखंड नहीं है।
Recognising the perfect square (49) is the main step here. चरण 1: \(147=49 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{147}=\sqrt{49 \times 3}=7\sqrt{3}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग (49) को पहचानना यहां मुख्य कदम है।
After simplification, check that the remaining number has no perfect square factor. चरण 1: \(112=16 \times 7\) है। चरण 2: \(\sqrt{112}=\sqrt{16 \times 7}=4\sqrt{7}\)। चरण 3: सरलीकरण में अंदर बची संख्या को फिर पूर्ण वर्ग के लिए जांचें।
Take the perfect square outside and keep the remaining part inside. चरण 1: \(90=9 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{90}=\sqrt{9 \times 10}=3\sqrt{10}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग को बाहर निकालकर शेष भाग अंदर रखें।
Remember to take a perfect square like (9) outside the root. चरण 1: \(63=9 \times 7\) है। चरण 2: \(\sqrt{63}=\sqrt{9 \times 7}=3\sqrt{7}\)। चरण 3: (9) जैसे पूर्ण वर्ग को बाहर निकालना याद रखें।
Recognising a large perfect square like (100) gives the answer quickly. चरण 1: \(200=100 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{200}=\sqrt{100 \times 2}=10\sqrt{2}\)। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्ग (100) को पहचानने से उत्तर जल्दी मिलता है।
Take the perfect square factor outside and leave the remaining factor inside. चरण 1: \(150=25 \times 6\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{150}=\sqrt{25 \times 6}=5\sqrt{6}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालकर बाकी गुणनखंड अंदर छोड़ें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Radicals can be added only after they become like radicals. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। चरण 3: समान वर्गमूल बनने पर ही उन्हें जोड़ा जा सकता है।
Take the perfect square (25) outside as (5). चरण 1: \(125=25 \times 5\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{125}=\sqrt{25 \times 5}=5\sqrt{5}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग (25) को बाहर (5) के रूप में निकालें।
Recognising larger perfect squares like (49) helps in simplification. चरण 1: \(98=49 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{98}=\sqrt{49 \times 2}=7\sqrt{2}\)। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्ग जैसे (49) को पहचानना सरलीकरण में मदद करता है।
While simplifying a square root, take the perfect square factor outside. चरण 1: \(28=4 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{28}=\sqrt{4 \times 7}=2\sqrt{7}\)। चरण 3: वर्गमूल सरल करते समय पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें।
