Natural numbers are usually taken to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
The one-digit even natural numbers are (2,4,6,8).
Step 3
Exam Tip
Always check whether the question includes (0) or not. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्यतः (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: एक अंक वाली सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 3: (0) को प्राकृतिक संख्या मानना है या नहीं, प्रश्न की भाषा से जाँचें।
The condition includes all integers from (-2) to (2).
Step 2
Why this answer is correct
So the elements are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
When equality signs are present, include the endpoints. चरण 1: शर्त में (-2) से (2) तक के सभी पूर्णांक शामिल हैं। चरण 2: इसलिए तत्व (-2,-1,0,1,2) होंगे। चरण 3: सिरों पर बराबरी का चिन्ह हो तो सिरों को भी शामिल करें।
In \(-1\leq x\leq 3\), both endpoints are included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Do not forget (0) while writing roster form. चरण 1: \(-1\leq x\leq 3\) में दोनों सीमाएँ शामिल हैं। चरण 2: बीच के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय शून्य को भूलना नहीं चाहिए।
Since \(x\ne 0\), remove (0). Hence \(F=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
Always apply an additional exclusion condition at the end. चरण 1: (-4<x<4) में पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) आते हैं। चरण 2: \(x\ne 0\) होने से (0) हट जाएगा। इसलिए \(F=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\)। चरण 3: अलग से दी गई असमानता या निषेध शर्त को अंत में जरूर लगाएं।
From \(2x-1\le 9\), we get \(2x\le 10\), so \(x\le 5\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (x) is a natural number, the elements are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
While solving inequalities, use the inequality sign to decide whether the boundary is included. चरण 1: \(2x-1\le 9\) से \(2x\le 10\), इसलिए \(x\le 5\) मिलता है। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए सदस्य (1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: असमानता हल करते समय अंतिम सीमा को शामिल करना है या नहीं, यह चिन्ह देखकर तय करें।
As natural numbers, the positive multiples of (6) are \(6,12,18,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\le 36\), the last element is (36). So the list is (6,12,18,24,30,36).
Step 3
Exam Tip
Whether zero is included in natural numbers can vary by convention, but here the positive multiples are clearly intended. चरण 1: प्राकृतिक संख्या के रूप में (6) के धन गुणज \(6,12,18,\ldots\) होते हैं। चरण 2: \(x\le 36\) के कारण अंतिम सदस्य (36) होगा। इसलिए सूची (6,12,18,24,30,36) है। चरण 3: प्राकृतिक संख्या में शून्य शामिल है या नहीं, यह प्रश्न की परंपरा पर निर्भर हो सकता है, पर यहां धन गुणज साफ दिख रहे हैं।
From \(x^2\le 9\), possible integer values are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
From (x+1>0), we get (x>-1), so (-1) and smaller values are removed. The remaining set is ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
With two inequalities, take the common part of both conditions. चरण 1: \(x^2\le 9\) से (x=-3,-2,-1,0,1,2,3) संभव हैं। चरण 2: (x+1>0) से (x>-1), इसलिए (-1) और उससे छोटे मान हटेंगे। बचा समुच्चय ({0,1,2,3}) है। चरण 3: दो असमानताओं में दोनों का समान भाग लेना होता है।
This gives (x=1) or (x=-1), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
In square equations, do not ignore the negative solution. चरण 1: \(x^2-1=0\) को ((x-1)(x+1)=0) लिखा जाता है। चरण 2: इससे (x=1) या (x=-1) मिलता है, और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल को नजरअंदाज न करें।
(11,13,17,19,23) are prime, while numbers like (15,21,25) are composite.
Step 3
Exam Tip
While checking primes, test small divisors such as (2,3,5). चरण 1: (10) और (25) के बीच प्राकृतिक संख्याओं में अभाज्य संख्याएं खोजनी हैं। चरण 2: (11,13,17,19,23) अभाज्य हैं, जबकि (15,21,25) जैसी संख्याएं भाज्य हैं। चरण 3: अभाज्य पहचानते समय (2,3,5) जैसे छोटे भाजकों से जांच करें।
\(|x|\le 2\) means the distance of (x) from zero is at most (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In modulus, both negative and positive values can appear, so look at both sides of the number line. चरण 1: \(|x|\le 2\) का अर्थ है कि (x) की शून्य से दूरी अधिकतम (2) है। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) होंगे। चरण 3: मापांक में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मान आते हैं, इसलिए दोनों ओर की संख्या रेखा देखें।
From ((x-4)(x+2)<0), we get (-2<x<4), so the integer elements are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, boundary points are not included. चरण 1: \(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) में बदलें। चरण 2: ((x-4)(x+2)<0) से (-2<x<4) मिलता है, इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: सख्त असमानता में सीमा बिंदु शामिल नहीं किए जाते।
If a product is zero, at least one factor must be zero.
Step 2
Why this answer is correct
From (x-1=0), (x=1), and from (x+2=0), (x=-2). Hence \(Z=\{-2,1\}\).
Step 3
Exam Tip
Be careful with signs because sign errors are common in such questions. चरण 1: गुणनफल शून्य होने पर कम से कम एक गुणनखंड शून्य होता है। चरण 2: (x-1=0) से (x=1) और (x+2=0) से (x=-2) मिलता है। इसलिए \(Z=\{-2,1\}\)। चरण 3: चिन्ह बदलते समय सावधानी रखें, क्योंकि यही सबसे सामान्य गलती है।
The distinct letters of the word are (m,a,t,h,e,i,c,s), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
In letter-based sets, both order and repetition do not matter. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर केवल एक बार लिखे जाते हैं। चरण 2: शब्द में अलग-अलग अक्षर (m,a,t,h,e,i,c,s) हैं, इसलिए पहला विकल्प सही है। चरण 3: अक्षर वाले समुच्चय में क्रम और दोहराव दोनों का महत्व नहीं होता।
This gives (x(x-1)(x+1)=0), so (x=-1,0,1), and all are integers.
Step 3
Exam Tip
Factoring the equation helps identify the elements of the set quickly. चरण 1: \(x^3=x\) को \(x^3-x=0\) लिखा जा सकता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1) हैं और ये सभी पूर्णांक हैं। चरण 3: समीकरण को गुणनखंडों में बदलने से समुच्चय के सदस्य आसानी से मिलते हैं।
In \(-2<x\le 3\), (-2) is not included, but (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers in this range are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Pay attention to open and closed boundary signs because they change the elements. चरण 1: शर्त \(-2<x\le 3\) में (-2) शामिल नहीं है, लेकिन (3) शामिल है। चरण 2: इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: खुले और बंद चिन्हों पर ध्यान दें, क्योंकि एक ही सीमा में सदस्य बदल सकते हैं।
Since (x) is a natural number, the elements are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, list elements according to the given number system. चरण 1: असमानता (3x+1<16) से (3x<15), इसलिए (x<5) मिलता है। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए संभावित सदस्य (1,2,3,4) हैं। चरण 3: असमानता हल करने के बाद संख्या-समुच्चय के अनुसार ही सदस्य लिखें।
\(|x-2|\le 3\) means (x) is at most (3) units away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(-1\le x\le 5\), and since (x) is an integer, the elements are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
In modulus-based set questions, thinking in terms of distance makes the roster form easier. चरण 1: \(|x-2|\le 3\) का अर्थ है कि (x), (2) से अधिकतम (3) दूरी पर है। चरण 2: इसलिए \(-1\le x\le 5\) और (x) पूर्णांक है, तो सदस्य (-1,0,1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: मापांक वाले प्रश्नों में दूरी की सोच लगाने से रोस्टर रूप जल्दी बनता है।
Among these, the odd elements are only (1) and (3), so \(C=\{1,3\}\).
Step 3
Exam Tip
When two conditions are given, first make the larger list and then filter it using the second condition. चरण 1: (12) के धन भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 2: इनमें से विषम सदस्य केवल (1) और (3) हैं, इसलिए \(C=\{1,3\}\)। चरण 3: जब दो शर्तें दी हों, तो पहले बड़ी सूची बनाएं और फिर दूसरी शर्त लगाकर छांटें।
From \(x^2\le 16\), the integer values run from (-4) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
The prime numbers in this range are only (2) and (3), so removing them leaves (-4,-3,-2,-1,0,1,4).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that negative integers are not prime because a prime number is a natural number greater than (1). चरण 1: \(x^2\le 16\) से पूर्णांक मान (-4) से (4) तक मिलते हैं। चरण 2: अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं, इसलिए उन्हें हटाने पर (-4,-3,-2,-1,0,1,4) बचते हैं। चरण 3: परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं को अभाज्य न मानें, क्योंकि अभाज्य संख्या (1) से बड़ी प्राकृतिक संख्या होती है।
Here (x) is an integer, so only integer values are allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x>-3) gives possible values \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\), and \(x^2<10\) keeps the suitable values between (-3) and (3). Combining both conditions gives (-2,-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In exams, first identify the number system, then test all conditions together. चरण 1: यहां (x) पूर्णांक है, इसलिए केवल पूर्णांक मान ही लिए जाएंगे। चरण 2: शर्त (x>-3) से संभावित मान \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\) मिलते हैं, और \(x^2<10\) से (-3) से (3) के बीच के उपयुक्त मान आते हैं। दोनों शर्तों को साथ रखने पर (-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले संख्या-समुच्चय पहचानें, फिर सभी शर्तों को एक साथ जांचें।
((-1)2=1), \(0^2=0\), and \(1^2=1\), all less than (2).
Step 3
Exam Tip
((-2)2=4) and \(2^2=4\), so they are not included. चरण 1: \(x^2<2\) के लिए पूर्णांक मान जाँचें। चरण 2: ((-1)2=1), \(0^2=0\), \(1^2=1\), ये सभी (2) से कम हैं। चरण 3: ((-2)2=4) और \(2^2=4\) होने से वे शामिल नहीं होंगे।
The integers between them are (6,7,8,9,10). चरण 1: (5) से अधिक का अर्थ है (5) शामिल नहीं होगा। चरण 2: (11) से कम का अर्थ है (11) भी शामिल नहीं होगा। चरण 3: बीच के पूर्णांक (6,7,8,9,10) ही लिखे जाएँगे।
From \(2x-1\leq 11\), we get \(2x\leq 12\), so \(x\leq 6\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\in \mathbb{N}\), take values from (1) to (6).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, always check the given number set. चरण 1: \(2x-1\leq 11\) से \(2x\leq 12\), इसलिए \(x\leq 6\)। चरण 2: \(x\in \mathbb{N}\) है, इसलिए (1) से (6) तक मान लिए जाएँगे। चरण 3: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय को जरूर देखें।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
The odd elements among them are (1,3,9).
Step 3
Exam Tip
Do not remove (1), because it is a divisor of (36) and an odd number. चरण 1: (36) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें विषम अवयव (1,3,9) हैं। चरण 3: (1) को हटाएँ नहीं, क्योंकि वह (36) का भाजक और विषम संख्या है।
Within (1) to (100), the last such number is (92).
Step 3
Exam Tip
Do not include (102), because it is outside the given range. चरण 1: अंतिम अंक (2) होने पर संख्याएँ \(2,12,22,\ldots\) के रूप में बढ़ती हैं। चरण 2: (1) से (100) की सीमा में आखिरी ऐसी संख्या (92) है। चरण 3: सीमा के बाहर (102) को शामिल नहीं करना चाहिए।
The integer values are (-3,-2,-1,0,1); endpoints are not included. चरण 1: (|x+1|<3) का अर्थ है (-3<x+1<3)। चरण 2: (1) घटाने पर (-4<x<2) मिलता है। चरण 3: पूर्णांक मान (-3,-2,-1,0,1) होंगे; सीमा के मान शामिल नहीं होंगे।
Include the last value because the condition says \(n\leq 5\). चरण 1: (n) के मान (1,2,3,4,5) रखे जाएँगे। चरण 2: (3n-1) से क्रमशः (2,5,8,11,14) मिलते हैं। चरण 3: सीमा में दिया आखिरी मान भी शामिल करें, क्योंकि \(n\leq 5\) लिखा है।
(2,3,7,19) are prime, so (x=1,2,6,18) are correct. चरण 1: (18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: (x+1) जाँचने पर (2,3,4,7,10,19) मिलते हैं। चरण 3: (2,3,7,19) अभाज्य हैं, इसलिए (x=1,2,6,18) सही हैं।
Both values are integers, so both belong to the set. चरण 1: \(x^2+x-6\) को ((x+3)(x-2)) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=-3) या (x=2) मिलता है। चरण 3: दोनों मान पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में आएँगे।
The given rule is \(x^2-4x=0\), which can be written as (x(x-4)=0).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=0) or (x=4), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
In roster form, write only the values that make the condition true. चरण 1: दिए गए नियम में \(x^2-4x=0\) है, जिसे (x(x-4)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=0) या (x=4) मिलता है और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय केवल वे मान लिखें जो शर्त को सच बनाते हैं।
Substituting these values in \(n^2-1\) gives (0,3,8,15,24).
Step 3
Exam Tip
In roster form, write only the obtained elements and do not add the rule or extra values. चरण 1: यहाँ (n) के मान (1,2,3,4,5) लिए जाएँगे। चरण 2: \(n^2-1\) में ये मान रखने पर (0,3,8,15,24) मिलते हैं। चरण 3: सूची विधि में केवल प्राप्त अवयव लिखें, नियम या अतिरिक्त मान न जोड़ें।
The positive divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
Checking \(x^2>24\), the values (6,8,12,24) remain; \(4^2=16\), so (4) is excluded.
Step 3
Exam Tip
Apply both the divisor condition and the inequality condition together. चरण 1: (24) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: \(x^2>24\) जाँचने पर (6,8,12,24) बचते हैं; \(4^2=16\) इसलिए (4) नहीं आएगा। चरण 3: भाजक और असमानता दोनों शर्तें साथ-साथ लागू करें।
Choose positive integers less than (15) that are not divisible by (3) or (5).
Step 3
Exam Tip
(1) is considered coprime to every positive integer. चरण 1: (15) के अभाज्य गुणनखंड (3) और (5) हैं। चरण 2: (15) से कम वे धनात्मक पूर्णांक लें जो (3) या (5) से विभाज्य न हों। चरण 3: (1) हर धनात्मक पूर्णांक से परस्पर अभाज्य माना जाता है।
Perfect squares less than (100) are (1,4,9,16,25,36,49,64,81).
Step 2
Why this answer is correct
The even elements among them are (4,16,36,64).
Step 3
Exam Tip
(100) is not included because the condition says less than (100). चरण 1: (100) से कम पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25,36,49,64,81) हैं। चरण 2: इनमें सम अवयव (4,16,36,64) हैं। चरण 3: (100) शामिल नहीं होगा, क्योंकि शर्त (100) से कम है।
Reading strict and non-strict inequalities carefully is very important in exams. चरण 1: (-2<x) होने से (-2) शामिल नहीं होगा। चरण 2: \(x\leq 3\) होने से (3) शामिल होगा। चरण 3: खुले और बंद असमानता चिह्नों को ध्यान से पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है।
From \(2x+3\leq 15\), we get \(2x\leq 12\), so \(x\leq 6\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\in \mathbb{N}\), take natural numbers from (1) to (6).
Step 3
Exam Tip
Include (0) only when the question clearly allows whole numbers. चरण 1: असमानता \(2x+3\leq 15\) से \(2x\leq 12\), इसलिए \(x\leq 6\)। चरण 2: \(x\in \mathbb{N}\) है, इसलिए (1) से (6) तक प्राकृतिक संख्याएँ लें। चरण 3: शून्य को तभी लें जब प्रश्न में स्पष्ट रूप से अशून्येतर पूर्ण संख्या न दी हो।
\(x^2<20\) allows integers from (-4) to (4), but only odd integers are required.
Step 3
Exam Tip
Do not ignore negative odd integers, so the set is ({-3,-1,1,3}). चरण 1: \(x\in \mathbb{Z}\) का अर्थ है कि (x) पूर्णांक होगा। चरण 2: \(x^2<20\) से संभावित पूर्णांक (-4) से (4) तक हैं, पर केवल विषम पूर्णांक रखने हैं। चरण 3: ऋणात्मक विषम संख्याएँ भी न भूलें, इसलिए (-3,-1,1,3) मिलते हैं।
\(|x-2|\leq 1\) means (x) is at most (1) unit away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values (1,2,3) satisfy this condition.
Step 3
Exam Tip
Substitute the values and check the absolute value to avoid mistakes. चरण 1: \(|x-2|\leq 1\) का अर्थ है (x), संख्या (2) से अधिकतम (1) दूरी पर है। चरण 2: पूर्णांक मान (1,2,3) इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: मान रखने के बाद निरपेक्ष मान की जाँच करके गलती कम करें।
From (x(x-1)=0), we get (x=0) or (x=1), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
While writing a set, include each value only once. चरण 1: समीकरण \(x^2=x\) को \(x^2-x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-1)=0) से (x=0) या (x=1) मिलता है और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समुच्चय लिखते समय सभी मानों को एक बार ही लिखें।
The squares of (-1,0,1) are (1,0,1), so these are included.
Step 3
Exam Tip
In integer square questions, do not forget (0). चरण 1: पूर्णांक (x) के लिए \(x^2\leq 1\) देखना है। चरण 2: (-1,0,1) के वर्ग क्रमशः (1,0,1) हैं, इसलिए ये शामिल हैं। चरण 3: पूर्णांक वाले वर्ग प्रश्न में (0) को भूलना नहीं चाहिए।
(0) is not included because it is not odd. चरण 1: (-4) से (4) तक पूर्णांक देखें। चरण 2: विषम पूर्णांक (-3,-1,1,3) हैं। चरण 3: (0) न समुच्चय में आएगा क्योंकि वह विषम नहीं है।
Since the condition is \(\leq 11\), (11) is included.
Step 3
Exam Tip
When equality is included in the boundary, check the endpoint. चरण 1: (11) तक विषम प्राकृतिक संख्याएँ लिखें। चरण 2: \(\leq 11\) होने से (11) शामिल होगा। चरण 3: सीमा में बराबरी हो तो अंतिम मान को अवश्य जाँचें।
(0) is considered an even number, so do not omit it. चरण 1: (-5) और (5) के बीच के पूर्णांक लिखें। चरण 2: उनमें सम पूर्णांक (-4,-2,0,2,4) हैं। चरण 3: शून्य भी सम संख्या माना जाता है, इसे न छोड़ें।
Write the solutions as separate elements of the set. चरण 1: बहुपद को ((x-2)(x-3)=0) के रूप में लिख सकते हैं। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है। चरण 3: समुच्चय में हलों को अलग-अलग सदस्य के रूप में लिखें।
Both endpoints have \(\leq\), so (1) and (5) are included.
Step 3
Exam Tip
In closed-boundary questions, check both endpoint values. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है और (1) से (5) तक जा सकता है। चरण 2: दोनों सिरों पर \(\leq\) है, इसलिए (1) और (5) दोनों शामिल होंगे। चरण 3: बंद सीमा वाले प्रश्नों में दोनों अंतिम मान जरूर जाँचें।
(|x|<3) means the distance of (x) from (0) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In (|x|<3), (-3) and (3) are not included. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) की दूरी (0) से (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: (|x|<3) में (-3) और (3) शामिल नहीं होते।
For combined conditions, list possible elements first and then filter them. चरण 1: (18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: इनमें सम सदस्य (2,6,18) हैं। चरण 3: संयुक्त शर्त में पहले सभी संभावित सदस्य लिखकर फिर छँटाई करें।
Squares from \(1^2\) to \(7^2\) give (1,4,9,16,25,36,49).
Step 3
Exam Tip
\(8^2=64\) is outside the limit, so it is excluded. चरण 1: (50) से छोटे पूर्ण वर्ग पहचानें। चरण 2: \(1^2\) से \(7^2\) तक वर्ग (1,4,9,16,25,36,49) मिलते हैं। चरण 3: \(8^2=64\) सीमा से बाहर है, इसलिए शामिल नहीं होगा।
\(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) are all less than or equal to (25).
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between natural numbers and integers in mind. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए (1) से शुरू करें। चरण 2: \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) सभी (25) से कम या बराबर हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्या और पूर्णांक के अंतर को ध्यान में रखें।
(x) is an integer, so test both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
((-3)2=9) and \(3^2=9\), so both are elements.
Step 3
Exam Tip
In square equations, the negative solution is often missed. चरण 1: (x) पूर्णांक है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान जाँचें। चरण 2: ((-3)2=9) और \(3^2=9\), इसलिए दोनों सदस्य हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में ऋणात्मक हल अक्सर छूट जाता है।
The two-digit primes less than (15) are (11) and (13).
Step 3
Exam Tip
Apply all conditions together, not separately. चरण 1: दो अंकीय संख्या (10) से शुरू होती है। चरण 2: (15) से छोटी दो अंकीय अभाज्य संख्याएँ (11) और (13) हैं। चरण 3: शर्तों को अलग-अलग नहीं, साथ-साथ लागू करें।
In a set of factors, do not forget (1) and the number itself. चरण 1: (12) के धनात्मक गुणनखंड खोजें। चरण 2: (1,2,3,4,6,12) सभी (12) को पूरा-पूरा विभाजित करते हैं। चरण 3: गुणनखंडों के समुच्चय में संख्या स्वयं और (1) को न भूलें।
Here natural numbers are assumed to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
The one-digit even natural numbers are (2,4,6,8).
Step 3
Exam Tip
If the question defines \(\mathbb{N}\), follow that definition. चरण 1: यहाँ प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी गई हैं। चरण 2: एक अंकीय सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 3: प्रश्न में \(\mathbb{N}\) की परिभाषा दी हो तो उसी को मानें।
(-3) is excluded but (2) is included because of \(\leq\).
Step 3
Exam Tip
Read open and closed endpoints carefully in inequalities. चरण 1: (x) पूर्णांक है और (-3) से बड़ा होना चाहिए। चरण 2: (-3) शामिल नहीं होगा, लेकिन (2) शामिल होगा क्योंकि चिन्ह \(\leq\) है। चरण 3: असमानता में खुले और बंद सिरों को ध्यान से पढ़ें।
A set contains exactly the elements satisfying the given condition.
Step 2
Why this answer is correct
The usual vowels of the English alphabet are (a,e,i,o,u).
Step 3
Exam Tip
In roster form, write each element separately and only once. चरण 1: समुच्चय में वही तत्व आते हैं जो दी गई शर्त को पूरा करते हैं। चरण 2: अंग्रेजी वर्णमाला के सामान्य स्वर (a,e,i,o,u) हैं। चरण 3: रोस्टर रूप में हर तत्व को अलग-अलग और केवल एक बार लिखें।
A. \(A=\left{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\right}\)
Step 1
Concept
Substitute the allowed values (n=1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
The expression \(\frac{n}{n+1}\) gives \(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
In roster form questions, apply the rule separately to every permitted value. चरण 1: दिए गए नियम में (n) के मान (1,2,3,4) रखने हैं। चरण 2: \(\frac{n}{n+1}\) से क्रमशः \(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\) मिलते हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय नियम को हर अनुमत मान पर अलग-अलग लागू करें।
Consider numbers from (10) to (40) that contain the digit (3).
Step 2
Why this answer is correct
We get (13,23) from the units digit and (30) to (39) from the tens digit.
Step 3
Exam Tip
In digit-based questions, check both tens and units positions. चरण 1: (10) से (40) तक वे संख्याएं लें जिनमें अंक (3) आता है। चरण 2: इकाई स्थान पर (3) वाली (13,23) और दहाई स्थान पर (3) वाली (30) से (39) तक की संख्याएं मिलती हैं। चरण 3: अंक-आधारित प्रश्नों में दहाई और इकाई दोनों स्थान देखें।
Order does not matter in roster form, but both roots must be listed. चरण 1: (x-2-2x-8=(x-4)(x+2)) है। चरण 2: इसलिए (x=4) या (x=-2), दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: सूची रूप में क्रम जरूरी नहीं, पर दोनों मूल लिखना जरूरी है।
Adding (2) gives (3,5,7,11,17,47), all of which are prime.
Step 3
Exam Tip
Therefore all listed factors satisfy the condition, so the full set of factors is needed. चरण 1: (45) के भाजक (1,3,5,9,15,45) हैं। चरण 2: (x+2) जांचें: (3,5,7,11,17,47) मिलते हैं, और ये सभी अभाज्य हैं। चरण 3: इसलिए सभी भाजक लेने चाहिए, न कि केवल छोटे मान।
A number divisible by both (4) and (6) must be a multiple of (12).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (12) up to (50) are (12,24,36,48).
Step 3
Exam Tip
Use the least common multiple for divisibility by both numbers. चरण 1: (4) और (6) दोनों से विभाज्य संख्या (12) के गुणज होगी। चरण 2: (50) तक (12) के गुणज (12,24,36,48) हैं। चरण 3: दोनों से विभाज्यता के लिए लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग करें।
In modulus equations, remember to write both cases. चरण 1: (|x+1|=3) से (x+1=3) या (x+1=-3) मिलता है। चरण 2: इसलिए (x=2) या (x=-4)। चरण 3: परिमाप समीकरण में दोनों संभावनाएं लिखना न भूलें।
It is less than or equal to (0) for \(2\leq x\leq3\).
Step 3
Exam Tip
With \(\leq\), both roots are included. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है। चरण 2: यह (0) से छोटा या बराबर \(2\leq x\leq3\) में है। चरण 3: \(\leq\) होने पर दोनों मूल शामिल होते हैं।
Composite numbers are (6,8,9,10,12,14,15); (5,7,11,13) are prime.
Step 3
Exam Tip
Test the nature of each number within the boundary. चरण 1: (5) से (15) तक संख्याएं देखें। चरण 2: संयुक्त संख्याएं (6,8,9,10,12,14,15) हैं; (5,7,11,13) अभाज्य हैं। चरण 3: सीमा के अंदर हर संख्या की प्रकृति जांचें।
Check every factor-based solution in the given domain. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1)। चरण 3: गुणनखंडन से मिले हर मूल को दिए गए समूह में जांचें।
While listing integers, do not skip (0). चरण 1: बायीं सीमा \(-2\leq x\) होने से (-2) शामिल है। चरण 2: दायीं सीमा (x<4) होने से (4) शामिल नहीं है। चरण 3: पूर्णांक सूची बनाते समय (0) को न छोड़ें।
Substitute each allowed value of (n) carefully to form the roster. चरण 1: (n=1,2,3,4,5) रखें। चरण 2: (3n-1) से (2,5,8,11,14) मिलते हैं। चरण 3: सूत्र में (n) की हर कीमत अलग से रखकर सूची बनाएं।
For square equations, check both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) से \(x=\pm3\) मिलता है। चरण 2: दोनों (-3) और (3) पूर्णांक हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मूल जांचें।
Be careful about whether (0) is included in natural numbers; here the intended positive multiples are listed. चरण 1: (25) से छोटी (4) की धनात्मक गुणज संख्याएं लिखें। चरण 2: वे (4,8,12,16,20,24) हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्या की परिभाषा में (0) शामिल है या नहीं, प्रश्न के पाठ्यक्रम के अनुसार सावधानी रखें; यहां धनात्मक गुणज लिए गए हैं।
Solve the equation first, then write the roster form. चरण 1: (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) है। चरण 2: अतः (x=1) या (x=3), दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समीकरण हल करने के बाद ही सूची रूप लिखें।
Adding (2), we get \(-1\leq x\leq5\), so the integers are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
Convert modulus inequalities into a two-sided inequality. चरण 1: \(|x-2|\leq3\) से \(-3\leq x-2\leq3\) मिलता है। चरण 2: इसमें (2) जोड़ने पर \(-1\leq x\leq5\), इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3,4,5) हैं। चरण 3: परिमाप वाली असमानता को दो तरफ की असमानता में बदलें।
Repeated letters are not written again in a set, so we get (S,T,A,I,C).
Step 3
Exam Tip
In roster form, order and repetition do not matter. चरण 1: शब्द में आने वाले अलग-अलग अक्षर पहचानें। चरण 2: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर फिर से नहीं लिखे जाते, इसलिए (S,T,A,I,C) मिलते हैं। चरण 3: सूची रूप में क्रम और पुनरावृत्ति दोनों महत्वपूर्ण नहीं माने जाते।
In such questions, first list all allowed values of the hidden variable. चरण 1: (n=-2,-1,0,1,2) रखिए। चरण 2: (x=2n+1) से मान (-3,-1,1,3,5) मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले छिपे हुए चर के सभी मान लिखें।
In square-based conditions, do not forget zero and negative integers. चरण 1: \(x^2<10\) का अर्थ है \(|x|<\sqrt{10}\)। चरण 2: पूर्णांक मान (-3,-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाली शर्तों में शून्य और ऋणात्मक मान भूलना आम गलती है।
When two conditions are given, apply both before writing the set. चरण 1: (36) के भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें विषम भाजक (1,3,9) हैं। चरण 3: दो शर्तें हों तो दोनों को साथ-साथ लागू करें।
In roster form, repeated factors or powers are not listed as separate elements. चरण 1: (84) का अभाज्य गुणनखंडन \(84=2^2\cdot3\cdot7\) है। चरण 2: अभाज्य भाजक केवल (2,3,7) हैं। चरण 3: सूची रूप में किसी तत्व को दोहराया नहीं जाता, इसलिए घातों को तत्व न मानें।
In exams, always check the given domain before writing the roster form. चरण 1: दिए गए बहुपद को गुणनखंड करें: (x-2-7x+10=(x-2)(x-5))। चरण 2: इसलिए प्राकृतिक संख्याओं में (x=2) और (x=5) मिलते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले प्रतिबंध \(x\in \mathbb{N}\) जरूर देखें, फिर सूची बनाएं।
((x+5)(x-4)=0), so the solutions are (-5) and (4), but only (4) is natural.
Step 3
Exam Tip
From all equation solutions, keep only values allowed by the set condition. चरण 1: \(x^2+x=20\) को \(x^2+x-20=0\) लिखें। चरण 2: ((x+5)(x-4)=0), इसलिए हल (-5) और (4) हैं, पर प्राकृत संख्या केवल (4) है। चरण 3: समीकरण के सभी हलों में से वही चुनें जो दिए गए समुच्चय की शर्त में आते हों।
From numbers (1) to (20), remove those divisible by (2) or by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The remaining numbers are (1,5,7,11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
In a neither-nor condition, exclude both categories. चरण 1: (1) से (20) तक की संख्याओं में (2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ हटाएँ। चरण 2: बची संख्याएँ (1,5,7,11,13,17,19) हैं। चरण 3: न यह न वह वाली शर्त में दोनों प्रकार की संख्याएँ हटानी पड़ती हैं।
When (x) appears on both sides, avoid canceling without checking (x=0). चरण 1: \(x^2=2x\) को \(x^2-2x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-2)=0), इसलिए (x=0) या (x=2)। चरण 3: जब (x) दोनों पक्ष में हो, तो सीधे काटने से पहले (x=0) की संभावना जाँचें।
For \(\frac{20}{x}\) to be natural, (x) must divide (20).
Step 2
Why this answer is correct
The natural divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20).
Step 3
Exam Tip
In fraction-based conditions, choose denominators that divide exactly. चरण 1: \(\frac{20}{x}\) प्राकृत हो, इसके लिए (x) को (20) का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (20) के प्राकृत भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। चरण 3: भिन्न वाली शर्त में हर को ऐसा चुनें कि भाग पूरा-पूरा हो।
Since the number is two-digit and less than (20), check from (10) to (19).
Step 2
Why this answer is correct
The prime numbers there are (11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
Not every two-digit number starting with (1) is prime, so test divisibility. चरण 1: दो अंकों और (20) से कम होने के कारण संख्याएँ (10) से (19) तक देखें। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ (11,13,17,19) हैं। चरण 3: (1) से शुरू होने वाली सभी दो अंकीय संख्याएँ अभाज्य नहीं होतीं, इसलिए जाँच जरूरी है।
\(x=\frac{12}{n}\) must be natural, so (n) must divide (12).
Step 2
Why this answer is correct
The possible (x)-values are (12,6,4,3,2,1), written as ({1,2,3,4,6,12}).
Step 3
Exam Tip
Order does not matter in a set. चरण 1: \(x=\frac{12}{n}\) प्राकृत होना चाहिए, इसलिए (n) को (12) का भाजक होना चाहिए। चरण 2: मिलने वाले (x) मान (12,6,4,3,2,1) हैं, जिन्हें समुच्चय में सामान्य क्रम से ({1,2,3,4,6,12}) लिख सकते हैं। चरण 3: समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता।
\(x\le 1\) includes (1), so integers from (-4) to (1) are listed.
Step 3
Exam Tip
In mixed boundaries, decide each endpoint separately. चरण 1: (-5<x) में (-5) शामिल नहीं है। चरण 2: \(x\le 1\) में (1) शामिल है, इसलिए (-4) से (1) तक के पूर्णांक मिलेंगे। चरण 3: मिश्रित सीमा में बाएँ और दाएँ छोर अलग-अलग तय करें।
Find numbers divisible by (7) between (30) and (60).
Step 2
Why this answer is correct
The values are (35,42,49,56) within the strict range.
Step 3
Exam Tip
Check divisibility and boundary conditions together. चरण 1: (30) और (60) के बीच (7) से विभाज्य संख्याएँ खोजें। चरण 2: (35,42,49,56) ही इस खुली सीमा में आते हैं। चरण 3: विभाज्यता और सीमा दोनों शर्तें साथ-साथ जाँचें।
From \(1^2\) to \(7^2\), we get (1,4,9,16,25,36,49), and \(8^2=64\) is outside.
Step 3
Exam Tip
Do not include a square beyond the upper limit. चरण 1: (1) से (50) तक की वर्ग संख्याएँ चाहिए। चरण 2: \(1^2\) से \(7^2\) तक (1,4,9,16,25,36,49) मिलते हैं और \(8^2=64\) बाहर है। चरण 3: वर्ग संख्याओं में ऊपरी सीमा से आगे का वर्ग शामिल न करें।
When a set is defined by an equation, factorize and list all solutions. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1)। चरण 3: नियम रूप में समीकरण हो तो गुणनखंड बनाकर सभी हल लिखें।
(18,36,54,72,90) are less than (100), while (108) is not.
Step 3
Exam Tip
When listing multiples, stop before crossing the given bound. चरण 1: (18) के धनात्मक गुणज लिखें। चरण 2: (18,36,54,72,90) (100) से कम हैं, जबकि (108) नहीं है। चरण 3: गुणजों की सूची बनाते समय अंतिम मान सीमा से बाहर न जाने दें।
Multiples of (3) less than (20) are (3,6,9,12,15,18).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (5) are (5,10,15); repeated (15) is written once.
Step 3
Exam Tip
An or condition forms the combined set of both lists. चरण 1: (20) से कम (3) के गुणज (3,6,9,12,15,18) हैं। चरण 2: (5) के गुणज (5,10,15) हैं; दोहराए गए (15) को एक बार रखें। चरण 3: या वाली शर्त में दोनों सूचियों का सम्मिलित समुच्चय बनता है।
Tens digit (2) means the number lies from (20) to (29).
Step 2
Why this answer is correct
Since (x<30), all values from (20) to (29) are valid.
Step 3
Exam Tip
In digit-based conditions, understand place value carefully. चरण 1: दहाई अंक (2) होने का मतलब संख्या (20) से (29) के बीच है। चरण 2: (x<30) होने से (20) से (29) तक सभी मान मान्य हैं। चरण 3: अंक-आधारित शर्तों में स्थानमान को ध्यान से समझें।
(|x|<3) means the distance of (x) from zero is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integers satisfying it are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In absolute value conditions, check both positive and negative sides. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) शून्य से दूरी में (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांकों में (-2,-1,0,1,2) ही इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: परम मान में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों पक्ष जाँचें।
From (2x+1<12), we get (2x<11), so \(x<\frac{11}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers satisfying this are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, list values according to the given number set. चरण 1: (2x+1<12) से (2x<11), इसलिए \(x<\frac{11}{2}\)। चरण 2: प्राकृत संख्याओं में (1,2,3,4,5) इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय के अनुसार ही उत्तर लिखें।
The letters (l) and (e) repeat in the word, but appear once in the set.
Step 3
Exam Tip
While forming a set from letters, remove repeated letters. चरण 1: समुच्चय में अलग-अलग सदस्य ही लिखे जाते हैं। चरण 2: शब्द में (l) और (e) दोहरते हैं, पर समुच्चय में वे एक बार आएँगे। चरण 3: अक्षरों के समुच्चय बनाते समय दोहराए गए अक्षर हटाएँ।
Among natural numbers up to (10), (1) is neither prime nor composite.
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,5,7) are prime and (4,6,8,9,10) are composite.
Step 3
Exam Tip
Remember the special status of (1); it is not prime. चरण 1: (10) तक की प्राकृत संख्याओं में (1) न अभाज्य है न भाज्य। चरण 2: (2,3,5,7) अभाज्य हैं और (4,6,8,9,10) भाज्य हैं। चरण 3: (1) की विशेष स्थिति याद रखें, यह अभाज्य नहीं माना जाता।
In equation-based sets, list every value satisfying the condition. चरण 1: समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को गुणनखंडों में लिखें। चरण 2: ((x-2)(x-3)=0), इसलिए (x=2) या (x=3)। चरण 3: समीकरण आधारित समुच्चय में सभी मान लिखें जो शर्त को पूरा करते हैं।
Because the condition says two-digit, one-digit values such as (1) are excluded. चरण 1: संख्या दो अंकों की होनी चाहिए। चरण 2: दोनों अंक समान हों तो (11,22,33,44,55,66,77,88,99) मिलते हैं। चरण 3: दो अंकों की शर्त के कारण (1) जैसे एक अंकीय मान शामिल नहीं होंगे।
First list the parameter values to avoid missing an endpoint. चरण 1: (n) के मान (2,3,4,5,6) हैं। चरण 2: (3n) करने पर (6,9,12,15,18) मिलते हैं। चरण 3: नियम रूप में दिए गए सहायक चर की सीमा को पहले लिख लेना गलती कम करता है।
The prime digits are (2,3,5,7), while (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
A prime number has exactly two positive factors. चरण 1: अंक (0) से (9) तक होते हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं, जबकि (1) अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या के लिए ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होने चाहिए।
While listing divisors, remember to include (1) and the number itself. चरण 1: (24) के सभी प्राकृत भाजक लिखने हैं। चरण 2: (1,2,3,4,6,8,12,24) से (24) पूरा-पूरा विभाजित होता है। चरण 3: भाजक लिखते समय (1) और स्वयं संख्या को कभी न भूलें।
(x) is an integer, so negative values, zero, and positive values are possible.
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\le x\) includes (-2), but (x<3) excludes (3).
Step 3
Exam Tip
Read inclusive and exclusive bounds separately. चरण 1: (x) पूर्णांक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या, शून्य और धनात्मक संख्या आ सकती हैं। चरण 2: \(-2\le x\) में (-2) शामिल है, लेकिन (x<3) में (3) शामिल नहीं है। चरण 3: बंद और खुली सीमाओं को अलग-अलग पढ़ें।
Always check where the parameter starts; here (n=0) is not included. चरण 1: \(n\in \mathbb{N}\) और (n<5), इसलिए (n=1,2,3,4)। चरण 2: (x=2n+1) रखने पर (3,5,7,9) मिलते हैं। चरण 3: चर किससे शुरू हो रहा है, यह हमेशा जाँचें क्योंकि यहाँ (n=0) नहीं लिया गया।
