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In exams, always check the given domain before writing the roster form. चरण 1: दिए गए बहुपद को गुणनखंड करें: (x-2-7x+10=(x-2)(x-5))। चरण 2: इसलिए प्राकृतिक संख्याओं में (x=2) और (x=5) मिलते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले प्रतिबंध \(x\in \mathbb{N}\) जरूर देखें, फिर सूची बनाएं।
A. \(A=\left{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\right}\)
Step 1
Concept
Substitute the allowed values (n=1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
The expression \(\frac{n}{n+1}\) gives \(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
In roster form questions, apply the rule separately to every permitted value. चरण 1: दिए गए नियम में (n) के मान (1,2,3,4) रखने हैं। चरण 2: \(\frac{n}{n+1}\) से क्रमशः \(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\) मिलते हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय नियम को हर अनुमत मान पर अलग-अलग लागू करें।
In roster form, repeated factors or powers are not listed as separate elements. चरण 1: (84) का अभाज्य गुणनखंडन \(84=2^2\cdot3\cdot7\) है। चरण 2: अभाज्य भाजक केवल (2,3,7) हैं। चरण 3: सूची रूप में किसी तत्व को दोहराया नहीं जाता, इसलिए घातों को तत्व न मानें।
The possible values are (-2,-1,0,1,2), so there are (5) elements.
Step 3
Exam Tip
Pay close attention to open and closed boundaries in inequalities. चरण 1: (x) पूर्णांक है और \(-3<x\leq2\) दिया है। चरण 2: संभव मान (-2,-1,0,1,2) हैं, इसलिए (5) तत्व हैं। चरण 3: असमानता में खुली और बंद सीमा पर ध्यान देना बहुत जरूरी है।
When two conditions are given, apply both before writing the set. चरण 1: (36) के भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें विषम भाजक (1,3,9) हैं। चरण 3: दो शर्तें हों तो दोनों को साथ-साथ लागू करें।
In square-based conditions, do not forget zero and negative integers. चरण 1: \(x^2<10\) का अर्थ है \(|x|<\sqrt{10}\)। चरण 2: पूर्णांक मान (-3,-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाली शर्तों में शून्य और ऋणात्मक मान भूलना आम गलती है।
In such questions, first list all allowed values of the hidden variable. चरण 1: (n=-2,-1,0,1,2) रखिए। चरण 2: (x=2n+1) से मान (-3,-1,1,3,5) मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले छिपे हुए चर के सभी मान लिखें।
Check both the pattern and the starting and ending limits. चरण 1: (4,9,16,25) क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x=n^2\) और \(2\leq n\leq5\) सही है। चरण 3: केवल पैटर्न नहीं, आरंभ और अंत की सीमा भी जांचें।
Only (18) and (24) lie strictly inside the open interval.
Step 3
Exam Tip
With (<), boundary values are not included. चरण 1: (12) और (30) के बीच (6) से विभाज्य संख्याएं देखें। चरण 2: (18) और (24) ही खुली सीमा के अंदर आते हैं। चरण 3: (<) वाली सीमा में किनारे के मान शामिल नहीं होते।
Therefore \(x^2+1\) can never be (0) in real numbers.
Step 3
Exam Tip
Always check whether the domain is real or complex before solving. चरण 1: वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\geq0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1\) कभी (0) नहीं हो सकता। चरण 3: संख्या-समूह वास्तविक है या सम्मिश्र, यह पहले देखना चाहिए।
Repeated letters are not written again in a set, so we get (S,T,A,I,C).
Step 3
Exam Tip
In roster form, order and repetition do not matter. चरण 1: शब्द में आने वाले अलग-अलग अक्षर पहचानें। चरण 2: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर फिर से नहीं लिखे जाते, इसलिए (S,T,A,I,C) मिलते हैं। चरण 3: सूची रूप में क्रम और पुनरावृत्ति दोनों महत्वपूर्ण नहीं माने जाते।
Taking \(0\leq n\leq4\) gives exactly these squares.
Step 3
Exam Tip
Negative (n) may repeat values, but option B is the clean exact representation. चरण 1: (0,1,4,9,16) ये \(0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\) हैं। चरण 2: \(0\leq n\leq4\) रखने पर ठीक यही वर्ग मिलते हैं। चरण 3: ऋणात्मक (n) लेने पर भी नए वर्ग नहीं मिलते, पर सरल सही रूप विकल्प B है।
Removing numbers divisible by (2), we get (3,9,15).
Step 3
Exam Tip
For combined conditions, first make a broad list and then filter it. चरण 1: (20) तक (3) के गुणज (3,6,9,12,15,18) हैं। चरण 2: इनमें (2) से विभाज्य संख्याएं हटाने पर (3,9,15) बचते हैं। चरण 3: मिली-जुली शर्तों में पहले बड़ी सूची बनाकर छांटना आसान रहता है।
Adding (2), we get \(-1\leq x\leq5\), so the integers are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
Convert modulus inequalities into a two-sided inequality. चरण 1: \(|x-2|\leq3\) से \(-3\leq x-2\leq3\) मिलता है। चरण 2: इसमें (2) जोड़ने पर \(-1\leq x\leq5\), इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3,4,5) हैं। चरण 3: परिमाप वाली असमानता को दो तरफ की असमानता में बदलें।
For power patterns, check the starting value of (n) carefully. चरण 1: दिए गए तत्व \(2^1,2^2,2^3,2^4,2^5\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x=2^n\) और \(1\leq n\leq5\) सही है। चरण 3: घात वाले पैटर्न में (n) की शुरुआती कीमत बहुत ध्यान से देखें।
In (x>12), the value (12) itself is not included. चरण 1: (48) के भाजक (1,2,3,4,6,8,12,16,24,48) हैं। चरण 2: (12) से बड़े भाजक (16,24,48) हैं। चरण 3: (x>12) में (12) शामिल नहीं होता।
A set is well-defined when membership can be clearly decided.
Step 2
Why this answer is correct
A beautiful number may mean different things to different people, so it is not clear.
Step 3
Exam Tip
In exams, be careful with opinion-based words. चरण 1: समुच्चय तभी सुव्यवस्थित होता है जब सदस्यता साफ तय हो सके। चरण 2: सुंदर संख्या अलग-अलग लोगों के लिए अलग हो सकती है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है। चरण 3: परीक्षा में मत-आधारित शब्दों से सावधान रहें।
Solve the equation first, then write the roster form. चरण 1: (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) है। चरण 2: अतः (x=1) या (x=3), दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समीकरण हल करने के बाद ही सूची रूप लिखें।
\(\sqrt{x}\in \mathbb{N}\) means (x) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The perfect squares between (10) and (50) are (16,25,36,49).
Step 3
Exam Tip
For square-root conditions, identify perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{x}\in \mathbb{N}\) का अर्थ है (x) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: (10) और (50) के बीच पूर्ण वर्ग (16,25,36,49) हैं। चरण 3: जड़ वाली शर्त में पूर्ण वर्गों की पहचान करें।
When \(\leq\) is used, boundary values are included. चरण 1: \(x^2\leq4\) का अर्थ \(-2\leq x\leq2\) है। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं। चरण 3: \(\leq\) होने पर सीमा के मान भी शामिल होते हैं।
In a two-digit number, the tens digit can be (1) to (9).
Step 2
Why this answer is correct
Making the digit sum (9) gives (18,27,36,45,54,63,72,81,90).
Step 3
Exam Tip
Do not miss (90), because (9+0=9). चरण 1: दो अंकों की संख्या में दहाई अंक (1) से (9) तक हो सकता है। चरण 2: अंकों का योग (9) रखने पर (18,27,36,45,54,63,72,81,90) मिलते हैं। चरण 3: (90) को न भूलें, क्योंकि (9+0=9) है।
After solving, check whether the solution belongs to the given domain. चरण 1: (3x+2=11) से (3x=9) मिलता है। चरण 2: (x=3) है और यह पूर्णांक है, इसलिए \(U=\{3\}\)। चरण 3: हल मिलने के बाद जांचें कि वह दिए गए संख्या-समूह में आता है या नहीं।
Be careful about whether (0) is included in natural numbers; here the intended positive multiples are listed. चरण 1: (25) से छोटी (4) की धनात्मक गुणज संख्याएं लिखें। चरण 2: वे (4,8,12,16,20,24) हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्या की परिभाषा में (0) शामिल है या नहीं, प्रश्न के पाठ्यक्रम के अनुसार सावधानी रखें; यहां धनात्मक गुणज लिए गए हैं।
Even natural numbers \(2,4,6,\ldots\) continue without end.
Step 3
Exam Tip
If a bound is given, the set is often finite. चरण 1: अनंत समुच्चय में तत्वों की संख्या समाप्त नहीं होती। चरण 2: सम प्राकृतिक संख्याएं \(2,4,6,\ldots\) बिना अंत के चलती हैं। चरण 3: सीमा लगी हो तो अक्सर समुच्चय परिमित होता है।
For square equations, check both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) से \(x=\pm3\) मिलता है। चरण 2: दोनों (-3) और (3) पूर्णांक हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मूल जांचें।
Substitute each allowed value of (n) carefully to form the roster. चरण 1: (n=1,2,3,4,5) रखें। चरण 2: (3n-1) से (2,5,8,11,14) मिलते हैं। चरण 3: सूत्र में (n) की हर कीमत अलग से रखकर सूची बनाएं।
Values for which (x+2) is also prime are (3,5,11,17).
Step 3
Exam Tip
Check the second condition separately for every candidate. चरण 1: (20) से छोटे अभाज्य (2,3,5,7,11,13,17,19) हैं। चरण 2: जिनके साथ (x+2) भी अभाज्य है, वे (3,5,11,17) हैं। चरण 3: प्रत्येक मान पर दूसरी शर्त अलग से जांचें।
While listing integers, do not skip (0). चरण 1: बायीं सीमा \(-2\leq x\) होने से (-2) शामिल है। चरण 2: दायीं सीमा (x<4) होने से (4) शामिल नहीं है। चरण 3: पूर्णांक सूची बनाते समय (0) को न छोड़ें।
In natural numbers, only (1) is accepted, not (-1).
Step 3
Exam Tip
Always match the roots with the given domain. चरण 1: \(x^2-1=0\) से \(x=\pm1\) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्या में केवल (1) स्वीकार होगा, (-1) नहीं। चरण 3: समीकरण के मूलों को दिए गए संख्या-समूह से जरूर मिलाएं।
Factors of (72) are (1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72).
Step 2
Why this answer is correct
Among them, multiples of (6) are (6,12,24,36,72).
Step 3
Exam Tip
Every multiple is not necessarily a factor, so verify both conditions. चरण 1: (72) के भाजक (1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72) हैं। चरण 2: इनमें (6) के गुणज (6,12,24,36,72) हैं। चरण 3: हर गुणज जरूरी नहीं कि भाजक भी हो, इसलिए दोनों शर्तें जांचें।
B. \(C_1={x:x=n^3,,n\in \mathbb{N},,1\leq n\leq4}\)
Step 1
Concept
(1,8,27,64) are \(1^3,2^3,3^3,4^3\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=n^3\) with \(1\leq n\leq4\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Distinguish squares and cubes carefully. चरण 1: (1,8,27,64) क्रमशः \(1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x=n^3\) और \(1\leq n\leq4\) सही है। चरण 3: वर्ग और घन में अंतर पहचानना जरूरी है।
Since \(2<x^2\), only square values (4,9,16) work, so \(x=\pm2,\pm3,\pm4\).
Step 3
Exam Tip
Apply both parts of a compound inequality together. चरण 1: \(x^2\leq16\) से \(-4\leq x\leq4\) मिलता है। चरण 2: \(2<x^2\) होने से \(x^2\) के मान (4,9,16) ही चलेंगे, इसलिए \(x=\pm2,\pm3,\pm4\)। चरण 3: संयुक्त असमानता में दोनों भागों को साथ लागू करें।
\(\frac{30}{n}\) is natural only when (n) is a divisor of (30).
Step 2
Why this answer is correct
The possible (x) values are all positive divisors of (30).
Step 3
Exam Tip
For division-based conditions, identify when the quotient remains an integer. चरण 1: \(\frac{30}{n}\) प्राकृतिक संख्या तभी होगा जब (n), (30) का भाजक हो। चरण 2: तब मिलने वाले (x) भी (30) के सभी धनात्मक भाजक होंगे। चरण 3: भाग वाली शर्तों में पूर्ण भागफल की शर्त पहचानें।
Numbers with exactly two positive factors are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Primes less than (15) are (2,3,5,7,11,13).
Step 3
Exam Tip
(1) is not prime because it does not have two distinct positive factors. चरण 1: ठीक दो धनात्मक भाजक वाली संख्याएं अभाज्य संख्याएं होती हैं। चरण 2: (15) से छोटी अभाज्य संख्याएं (2,3,5,7,11,13) हैं। चरण 3: (1) अभाज्य नहीं है, क्योंकि उसके दो अलग भाजक नहीं होते।
Check every factor-based solution in the given domain. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1)। चरण 3: गुणनखंडन से मिले हर मूल को दिए गए समूह में जांचें।
Composite numbers are (6,8,9,10,12,14,15); (5,7,11,13) are prime.
Step 3
Exam Tip
Test the nature of each number within the boundary. चरण 1: (5) से (15) तक संख्याएं देखें। चरण 2: संयुक्त संख्याएं (6,8,9,10,12,14,15) हैं; (5,7,11,13) अभाज्य हैं। चरण 3: सीमा के अंदर हर संख्या की प्रकृति जांचें।
\(\frac{x}{2}\in \mathbb{Z}\) means (x) is an even integer.
Step 2
Why this answer is correct
Even integers between (-5) and (5) are (-4,-2,0,2,4).
Step 3
Exam Tip
Remember that (0) is also an even integer. चरण 1: \(\frac{x}{2}\in \mathbb{Z}\) का अर्थ है (x) सम पूर्णांक है। चरण 2: (-5) और (5) के बीच सम पूर्णांक (-4,-2,0,2,4) हैं। चरण 3: सम पूर्णांकों में (0) भी शामिल होता है।
No natural number lies strictly between (2) and (3), so the correct set should be empty; among the given options, none exactly matches, so this item must be treated carefully. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है। चरण 2: यह (0) से छोटा (2<x<3) के बीच होता है; प्राकृतिक संख्या में ऐसा कोई नहीं, लेकिन जांचने पर (x=3) देने से (0) आता है, इसलिए यह भी नहीं। चरण 3: सख्त असमानता में मूल शामिल नहीं होते, इसलिए कोई तत्व नहीं है।
It is less than or equal to (0) for \(2\leq x\leq3\).
Step 3
Exam Tip
With \(\leq\), both roots are included. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है। चरण 2: यह (0) से छोटा या बराबर \(2\leq x\leq3\) में है। चरण 3: \(\leq\) होने पर दोनों मूल शामिल होते हैं।
In modulus equations, remember to write both cases. चरण 1: (|x+1|=3) से (x+1=3) या (x+1=-3) मिलता है। चरण 2: इसलिए (x=2) या (x=-4)। चरण 3: परिमाप समीकरण में दोनों संभावनाएं लिखना न भूलें।
Being a square is not enough; it must also divide (100). चरण 1: (100) के भाजक (1,2,4,5,10,20,25,50,100) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,25,100) हैं। चरण 3: केवल वर्ग संख्या होना काफी नहीं, वह (100) का भाजक भी होनी चाहिए।
When a product is zero, set each factor equal to zero. चरण 1: (x-2+x=x(x+1)) है। चरण 2: (x(x+1)=0) से (x=0) या (x=-1) मिलता है। चरण 3: गुणनफल शून्य हो तो हर गुणनखंड को शून्य मानकर हल करें।
A number divisible by both (4) and (6) must be a multiple of (12).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (12) up to (50) are (12,24,36,48).
Step 3
Exam Tip
Use the least common multiple for divisibility by both numbers. चरण 1: (4) और (6) दोनों से विभाज्य संख्या (12) के गुणज होगी। चरण 2: (50) तक (12) के गुणज (12,24,36,48) हैं। चरण 3: दोनों से विभाज्यता के लिए लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग करें।
Multiples of (5) less than (30) are (5,10,15,20,25).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (7) are (7,14,21,28); combine and remove repetition.
Step 3
Exam Tip
The word or means at least one condition must be satisfied. चरण 1: (30) से छोटे (5) के गुणज (5,10,15,20,25) हैं। चरण 2: (7) के गुणज (7,14,21,28) हैं; दोनों सूचियां मिलाकर दोहराव हटाएं। चरण 3: या का अर्थ है कम से कम एक शर्त पूरी होनी चाहिए।
A. \(Q_1={x:x=3n,,n\in \mathbb{N},,1\leq n\leq5}\)
Step 1
Concept
The given elements are the first five positive multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (x=3n) with \(1\leq n\leq5\) is correct.
Step 3
Exam Tip
If (n=0), (0) would be added, which is not in the set. चरण 1: दिए गए तत्व (3) के पहले पांच धनात्मक गुणज हैं। चरण 2: इसलिए (x=3n) और \(1\leq n\leq5\) सही है। चरण 3: (n=0) लेने पर (0) जुड़ जाएगा, जो दिए गए समुच्चय में नहीं है।
Apply both the numerical boundary and the type condition. चरण 1: \(x^2\leq9\) से \(-3\leq x\leq3\) मिलता है। चरण 2: इस सीमा में विषम पूर्णांक (-3,-1,1,3) हैं। चरण 3: समुच्चय बनाते समय संख्या-सीमा और प्रकार दोनों लागू करें।
Adding (2) gives (3,5,7,11,17,47), all of which are prime.
Step 3
Exam Tip
Therefore all listed factors satisfy the condition, so the full set of factors is needed. चरण 1: (45) के भाजक (1,3,5,9,15,45) हैं। चरण 2: (x+2) जांचें: (3,5,7,11,17,47) मिलते हैं, और ये सभी अभाज्य हैं। चरण 3: इसलिए सभी भाजक लेने चाहिए, न कि केवल छोटे मान।
Order does not matter in roster form, but both roots must be listed. चरण 1: (x-2-2x-8=(x-4)(x+2)) है। चरण 2: इसलिए (x=4) या (x=-2), दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: सूची रूप में क्रम जरूरी नहीं, पर दोनों मूल लिखना जरूरी है।
Consider numbers from (10) to (40) that contain the digit (3).
Step 2
Why this answer is correct
We get (13,23) from the units digit and (30) to (39) from the tens digit.
Step 3
Exam Tip
In digit-based questions, check both tens and units positions. चरण 1: (10) से (40) तक वे संख्याएं लें जिनमें अंक (3) आता है। चरण 2: इकाई स्थान पर (3) वाली (13,23) और दहाई स्थान पर (3) वाली (30) से (39) तक की संख्याएं मिलती हैं। चरण 3: अंक-आधारित प्रश्नों में दहाई और इकाई दोनों स्थान देखें।
A number that is both a square and a cube is a sixth power.
Step 2
Why this answer is correct
Sixth powers less than (100) are \(1^6=1\) and \(2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
Both conditions must be satisfied together, not separately. चरण 1: जो संख्या वर्ग और घन दोनों हो, वह छठी घात होती है। चरण 2: (100) से छोटी छठी घातें \(1^6=1\) और \(2^6=64\) हैं। चरण 3: दोनों शर्तों को अलग-अलग नहीं, साथ में पूरा करना होता है।
