100 results found for "railway-expansion" in Class 10.
Nilgiri Mountain Railway is a heritage of which country?
D. भारतIndia
नीलगिरि पर्वतीय रेलवे भारत की पर्वतीय रेल धरोहर का हिस्सा है। परीक्षा में तमिलनाडु और नीलगिरि याद रखें। / Nilgiri Mountain Railway is part of India's mountain railway heritage. For exams remember Tamil Nadu and Nilgiri.
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Why is Semmering Railway important in mountain engineering?
B. क्योंकि यह कठिन पर्वतीय क्षेत्र में आरंभिक रेलवे निर्माण का उदाहरण हैBecause it is an example of early railway construction in difficult mountains
सेमरिंग रेलवे पर्वतीय रेलवे इंजीनियरिंग का शुरुआती उत्कृष्ट उदाहरण है। परीक्षा में ऑस्ट्रिया याद रखें। / Semmering Railway is an early outstanding example of mountain railway engineering. For exams remember Austria.
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Darjeeling Himalayan Railway is an example of which challenging technical achievement?
A. कठिन पर्वतीय ढाल पर रेलवे निर्माणRailway construction on difficult mountain slopes
यह पर्वतीय भूभाग में रेलवे इंजीनियरिंग का उदाहरण है। परीक्षा में भारत की पर्वतीय रेलें याद रखें। / It is an example of railway engineering in mountainous terrain. For exams remember Mountain Railways of India.
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The importance of Nilgiri Mountain Railway is linked with what?
D. पर्वतीय रेलवे विरासत और इंजीनियरिंगMountain railway heritage and engineering
नीलगिरि पर्वतीय रेलवे भारत की विरासत रेल प्रणाली का हिस्सा है। परीक्षा में तमिलनाडु और नीलगिरि याद रखें। / Nilgiri Mountain Railway is part of India's heritage railway system. For exams remember Tamil Nadu and Nilgiri.
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Kalka Shimla Railway is an example of what kind of technical heritage?
C. पर्वतीय क्षेत्र में रेलवे इंजीनियरिंगRailway engineering in mountain region
कालका शिमला रेलवे कठिन पर्वतीय भूभाग में इंजीनियरिंग का उदाहरण है। परीक्षा में भारत की पर्वतीय रेलें याद रखें। / Kalka Shimla Railway is an example of engineering in difficult mountain terrain. For exams remember Mountain Railways of India.
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Darjeeling Himalayan Railway is an example of what type of heritage?
A. विरासत परिवहन और पर्वतीय रेलवेHeritage transport and mountain railway
दार्जिलिंग हिमालयन रेलवे भारत की पर्वतीय रेल धरोहर का हिस्सा है। परीक्षा में विरासत परिवहन याद रखें। / Darjeeling Himalayan Railway is part of India's mountain railway heritage. For exams remember heritage transport.
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Kalka Shimla Railway is part of which World Heritage group?
C. भारत की पर्वतीय रेलेंMountain Railways of India
कालका शिमला रेलवे भारत की पर्वतीय रेलों का हिस्सा है। परीक्षा में विरासत रेलवे याद रखें। / Kalka Shimla Railway is part of Mountain Railways of India. For exams remember heritage railways.
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Darjeeling Himalayan Railway is part of which World Heritage group?
A. भारत की पर्वतीय रेलेंMountain Railways of India
दार्जिलिंग हिमालयन रेलवे भारत की पर्वतीय रेलों का हिस्सा है। परीक्षा में पर्वतीय रेल और विरासत परिवहन याद रखें। / Darjeeling Himalayan Railway is part of Mountain Railways of India. For exams remember mountain railway and heritage transport.
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In which year was the Darjeeling Himalayan Railway inscribed on the UNESCO World Heritage List?
C. 19991999
दार्जिलिंग हिमालयन रेलवे 1999 में यूनेस्को सूची में शामिल हुई। इसे पर्वतीय रेलवे और औपनिवेशिक तकनीकी विरासत से जोड़ें। / The Darjeeling Himalayan Railway was inscribed on the UNESCO list in 1999. Link it with mountain railways and colonial technical heritage.
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In which year did the first railway run in India?
D. 1853 ईस्वी1853 CE
भारत में पहली रेल 1853 ईस्वी में बंबई से ठाणे के बीच चली। आधुनिक परिवहन के इतिहास में यह तिथि महत्वपूर्ण है। / The first railway in India ran in 1853 CE between Bombay and Thane. This date is important in the history of modern transport.
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Which example should be understood as technical adaptation of heritage railway in difficult terrain?
B. भारत की पर्वतीय रेलेंMountain Railways of India
भारत की पर्वतीय रेलें कठिन पर्वतीय मार्गों पर रेलवे इंजीनियरिंग दिखाती हैं। परीक्षा में तकनीकी धरोहर याद रखें। / Mountain Railways of India show railway engineering on difficult mountain routes. For exams remember technical heritage.
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What was the role of the Railway Protection Movement in the Xinhai Revolution?
A. उसने स्थानीय आर्थिक अधिकारों और राज्य नीति के विरोध को क्रांतिकारी असंतोष से जोड़ाIt linked local economic rights and opposition to state policy with revolutionary discontent
रेल संरक्षण आंदोलन ने छिंग शासन के प्रति असंतोष को तेज किया। परीक्षा में आर्थिक मुद्दों को राजनीतिक क्रांति से जोड़ें। / The Railway Protection Movement intensified dissatisfaction with Qing rule. For exams connect economic issues with political revolution.
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Why is the role of railway networks in the Holocaust considered horrifying?
A. रेलवे ने लोगों को गेटो और शिविरों तक संगठित रूप से पहुंचाने में मदद कीRailways helped systematically transport people to ghettos and camps
आधुनिक परिवहन का उपयोग नरसंहार में हुआ। परीक्षा में तकनीक का नैतिक उपयोग और दुरुपयोग समझें। / Modern transport was used in genocide. For exams understand ethical use and misuse of technology.
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Charbagh Railway Station is a famous historical building of which city?
A. लखनऊLucknow
चारबाग रेलवे स्टेशन लखनऊ में स्थित है। परीक्षा में इसे औपनिवेशिक कालीन स्थापत्य से जोड़ें। / Charbagh Railway Station is located in Lucknow. In exams connect it with colonial-period architecture.
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The Kakori incident took place near which railway station?
D. काकोरीKakori
काकोरी कांड काकोरी स्टेशन के पास हुआ था। परीक्षा में घटना और स्थान का सही मेल याद रखें। / The Kakori incident took place near Kakori station. Exam tip: remember the correct match of event and place.
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How did British investors benefit under the railway guarantee system?
A. उन्हें भारतीय राजस्व से निश्चित लाभ की सुरक्षा मिलती थीThey were protected by assured returns from Indian revenue
गारंटी प्रणाली में निजी निवेशकों का जोखिम भारतीय वित्त पर डाला गया। परीक्षा में रेलवे को औपनिवेशिक पूँजी से जोड़ें। / Under the guarantee system the risk of private investors was shifted to Indian finances. Exam tip is to link railways with colonial capital.
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What was the colonial economic objective of Lord Dalhousie's railway policy?
B. कच्चा माल और ब्रिटिश माल के आवागमन को सरल बनानाTo ease movement of raw materials and British goods
रेलवे ने बाजारों बंदरगाहों और कच्चे माल के क्षेत्रों को जोड़ा। परीक्षा में रेलवे को आर्थिक और प्रशासनिक साधन दोनों मानें। / Railways linked markets ports and raw material areas. Exam tip is to see railways as both economic and administrative tools.
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B. (110) किमी(110) km
यह AP है जिसमें (a=12) और (d=7) है। \(a_{15}=12+14\times7=110\) किमी। / This is an AP with (a=12) and (d=7). \(a_{15}=12+14\times7=110\) km.
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What does plantation workers being stranded due to railway and steamer disruption show?
A. उनकी मुक्ति की आशा कठोर औपनिवेशिक व्यवस्था से टकरा गईTheir hope of freedom clashed with the harsh colonial system
मजदूर बागानों से निकलकर घर लौटना चाहते थे। / Workers wanted to leave plantations and return home.
परिवहन रुकावट और पुलिस कार्रवाई ने उनकी असहाय स्थिति दिखा दी। / Transport disruption and police action showed their helpless condition.
घटना को श्रमिक अस्वतंत्रता की गहराई से जोड़ें। / Connect the incident with the depth of labour unfreedom.
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C. (7)
हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। / The denominator has only powers of (2) and (5).
दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। / The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए। / When the word exactly appears, match the larger exponent carefully.
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Which option gives a number whose decimal expansion will not terminate?
D. \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\)
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। / In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें। / Always consider possible cancellation before deciding.
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After simplifying \(\frac{169}{338}\), after how many places will the decimal expansion terminate?
A. (1) स्थान(1) place
\(\frac{169}{338}=\frac{1}{2}\) है। / \(\frac{169}{338}=\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}=0.5\), इसलिए दशमलव एक स्थान पर समाप्त होता है। / \(\frac{1}{2}=0.5\), so the decimal terminates after one place.
बड़े संख्याओं में भी समान गुणनखंड काटकर सरल करें। / Even with large numbers, cancel common factors first.
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Which denominator should be checked to decide whether a decimal expansion terminates or not?
B. सरलतम रूप का हरDenominator of the lowest form
समाप्त दशमलव का नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। / The terminating decimal rule applies to the denominator in lowest form.
मूल हर में ऐसे गुणनखंड हो सकते हैं जो काटने के बाद हट जाएं। / The original denominator may contain factors that cancel out.
इसलिए पहले भिन्न घटाइए, फिर हर का गुणनखंडन कीजिए। / So reduce the fraction first, then factorise the denominator.
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After how many places will the decimal expansion of \(\frac{1}{128}\) terminate?
C. (7) स्थान(7) places
\(128=2^7\) है। / \(128=2^7\).
हर में केवल (2) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator has only (2), so the decimal terminates.
(2) की घात (7) होने से दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since the exponent of (2) is (7), it terminates after (7) places.
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A. कथन सत्य हैThe statement is true
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या निश्चित दोहराव देता है। / Its decimal expansion either terminates or has a fixed repetition.
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या का नहीं होता। / A non-terminating non-recurring decimal is not rational.
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After how many places will the decimal expansion of \(\frac{11}{6250}\) terminate?
B. (5) स्थान(5) places
\(6250=2\times5^5\) है। / \(6250=2\times5^5\).
हर में केवल (2) और (5) हैं। / The denominator contains only (2) and (5).
बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
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C. (4) स्थान(4) places
\(80=2^4\times5\) है। / \(80=2^4\times5\).
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (4), so it terminates after (4) places.
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What type of decimal expansion will \(\frac{21}{56}\) have in lowest form?
A. समाप्तTerminating
\(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\) है। / \(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\).
सरलतम हर \(8=2^3\) है, इसलिए हर में केवल (2) का गुणनखंड है। / The reduced denominator is \(8=2^3\), so it contains only the prime factor (2).
परीक्षा में मूल हर देखकर निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरलतम रूप में बदलें। / In exams, do not decide from the original denominator; reduce the fraction first.
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After simplifying \(\frac{121}{242}\), after how many places will the decimal expansion terminate?
A. (1) स्थान(1) place
\(\frac{121}{242}=\frac{1}{2}\) है। / \(\frac{121}{242}=\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}=0.5\), इसलिए दशमलव (1) स्थान पर समाप्त होता है। / \(\frac{1}{2}=0.5\), so the decimal terminates after (1) place.
बड़े अंकों से घबराएं नहीं, पहले भिन्न घटाएं। / Do not be distracted by large numbers; reduce the fraction first.
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What should be done first while deciding the type of decimal expansion?
A. भिन्न को सरलतम रूप में बदलनाReduce the fraction to lowest form
नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। / The rule applies to the denominator in lowest form.
सरल किए बिना हर में अनावश्यक गुणनखंड दिख सकते हैं। / Without reducing, extra factors may appear in the denominator.
परीक्षा में पहले महत्तम समापवर्तक से भिन्न घटाइए, फिर हर देखें। / In exams, reduce the fraction using the highest common factor and then check the denominator.
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After how many places does the decimal expansion of \(\frac{1}{40}\) terminate?
C. (3) स्थान(3) places
\(40=2^3\times5\) है। / \(40=2^3\times5\).
बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होता है। / The larger exponent is (3), so the decimal terminates after (3) places.
\(\frac{1}{40}=0.025\) से भी यही बात जांची जा सकती है। / This is also confirmed by \(\frac{1}{40}=0.025\).
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C. (3) स्थान(3) places
\(\frac{64}{4000}=\frac{2}{125}\) है। / \(\frac{64}{4000}=\frac{2}{125}\).
\(125=5^3\), इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(125=5^3\), the decimal terminates after (3) places.
हर (4000) देखकर (4) स्थान मान लेना सामान्य गलती है। / Assuming (4) places from (4000) without reducing is a common mistake.
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After how many decimal places will the decimal expansion of \(\frac{27}{125}\) terminate?
C. (3) स्थान(3) places
\(125=5^3\) है। / \(125=5^3\).
हर में केवल (5) है और उसकी घात (3) है। / The denominator has only (5) with exponent (3).
ऐसी भिन्न का दशमलव प्रसार (3) स्थानों पर समाप्त होता है। / Such a fraction terminates after (3) decimal places.
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A. समाप्तTerminating
सरलतम रूप में हर \(8=2^3\) है। / In lowest form, the denominator is \(8=2^3\).
हर में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। / It contains only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
परीक्षा में पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन अवश्य देखिए। / In exams, always factorise the denominator first.
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Choose the correct conclusion about the decimal expansion of \(\frac{96}{450}\).
B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
\(\frac{96}{450}\) को (6) से सरल करने पर \(\frac{16}{75}\) मिलता है। / \(\frac{96}{450}\) simplifies by (6) to \(\frac{16}{75}\).
\(75=3\times5^2\), इसलिए हर में (3) बचता है और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / Since \(75=3\times5^2\), factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
परीक्षा सुझाव: सरल रूप के हर में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड हो तो दशमलव आवर्ती होता है। / Exam tip: If the reduced denominator has a factor other than (2) and (5), the decimal is recurring.
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In which option will the decimal expansion be non-terminating recurring?
A. \(\frac{18}{75}\)
\(\frac{18}{75}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{6}{25}\) नहीं बल्कि \(\frac{6}{25}\) मिलता है, यह समाप्त है; इसलिए इसे फिर जाँचते हैं। / \(\frac{18}{75}\) simplifies by (3) to \(\frac{6}{25}\), which is terminating, so it must be checked again.
\(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), और \(\frac{22}{125}\) भी समाप्त हैं। / \(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), and \(\frac{22}{125}\) are also terminating.
परीक्षा सुझाव: दिए गए विकल्पों में कोई असमाप्त आवर्ती नहीं है, इसलिए प्रश्न में सही उत्तर उपलब्ध नहीं होता। / Exam tip: Here no option is non-terminating recurring, so the given option set has no valid answer.
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Choose the correct conclusion about the decimal expansion of \(\frac{27}{150}\).
A. समाप्तTerminating
\(\frac{27}{150}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{50}\) मिलता है। / \(\frac{27}{150}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{50}\).
\(50=2\times5^2\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। / Since \(50=2\times5^2\), the denominator has only (2) and (5).
परीक्षा सुझाव: दशमलव का प्रकार बताने से पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में जरूर लिखें। / Exam tip: Always reduce the fraction to lowest form before deciding the decimal type.
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Choose the correct option about the decimal expansion of \(\frac{45}{120}\).
A. समाप्तTerminating
\(\frac{45}{120}\) को (15) से सरल करने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। / \(\frac{45}{120}\) simplifies by (15) to \(\frac{3}{8}\).
\(8=2^3\), इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। / Since \(8=2^3\), the decimal expansion is terminating.
परीक्षा सुझाव: हर में (3) या (5) देखकर तुरंत निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरल करें। / Exam tip: Do not decide quickly from the original denominator; reduce the fraction first.
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Choose the correct option for the decimal expansion of \(\frac{1}{11}\).
B. \(0.\overline{09}\) के रूप में आवर्तीRecurs as \(0.\overline{09}\)
\(\frac{1}{11}\) सबसे सरल रूप में है। / \(\frac{1}{11}\) is in lowest form.
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) is not made of (2) or (5), so the decimal is non-terminating recurring.
परीक्षा सुझाव: (0.09) और \(0.\overline{09}\) में अंतर जरूर समझें। / Exam tip: Understand the difference between (0.09) and \(0.\overline{09}\).
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Which case cannot occur in the decimal expansion of a rational number?
C. असमाप्त अनावर्तीNon-terminating non-recurring
परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। / A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। / Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है। / Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers.
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Which statement is correct about the decimal expansion of \(\frac{7}{28}\)?
A. यह समाप्त हैIt is terminating
\(\frac{7}{28}=\frac{1}{4}\) है। / \(\frac{7}{28}=\frac{1}{4}\).
\(4=2^2\), इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / Since \(4=2^2\), the decimal terminates.
परीक्षा सुझाव: सबसे सरल रूप ही सही निर्णय देता है। / Exam tip: The lowest form gives the correct decision.
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When does the decimal expansion of a fraction \(\frac{p}{q}\) in lowest form terminate?
A. जब (q) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड होंWhen (q) has only factors (2) and (5)
नियम हमेशा सबसे सरल रूप की भिन्न पर लगाया जाता है। / The rule is applied only after reducing the fraction to lowest form.
यदि हर (q) का रूप \(2^m5^n\) है, तो दशमलव समाप्त होता है। / If the denominator (q) is of the form \(2^m5^n\), the decimal terminates.
परीक्षा सुझाव: भिन्न को सरल किए बिना निष्कर्ष न निकालें। / Exam tip: Do not decide before simplifying the fraction.
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Which of the following decimals is not the decimal expansion of a rational number?
C. \(0.10100100010000\ldots\)
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
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What type of decimal expansion will the rational number \(\frac{3}{8}\) have?
A. समाप्तTerminating
\(8=2^3\) है। / \(8=2^3\).
भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। / The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें। / In exams, first check the prime factors of the simplified denominator.
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B. (4)
\(19^2\) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। ऐसे प्रश्न में आवर्तीपन और आरंभिक देरी अलग-अलग देखें। / Since \(19^2\) remains, the decimal is non-terminating recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (4). In such questions, separate recurrence from the initial delay.
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What type of decimal expansion will \(\frac{2^5\cdot 17}{2^9\cdot 5^2\cdot 17^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\) बचेगा। (17) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\). Since (17) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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What type of decimal expansion will \(\frac{320}{2^7\cdot 5^3\cdot 11}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(320=2^6\cdot 5\) कटने पर हर \(2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(320=2^6\cdot 5\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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C. (7)
(41) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (7) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (41) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (7), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
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What type of decimal expansion will \(\frac{22}{2^2\cdot 5^4\cdot 11^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(22=2\cdot 11\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(22=2\cdot 11\), the denominator becomes \(2\cdot 5^4\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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If the reduced denominator is \(q=2^7\cdot 5^7\), what is certain about the decimal expansion?
A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्तTerminates exactly after (7) places
सरलतम हर \(10^7\) है इसलिए दशमलव ठीक (7) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
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What type of decimal expansion will \(\frac{245}{2^2\cdot 5^2\cdot 7^3}\) have?
C. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(245=5\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(245=5\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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What type of decimal expansion will \(\frac{55}{2^2\cdot 5^3\cdot 11^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(55=5\cdot 11\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(55=5\cdot 11\), the denominator becomes \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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C. (9) स्थान(9) places
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
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What type of decimal expansion will \(\frac{2^4\cdot 13}{2^7\cdot 5^3\cdot 13^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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What type of decimal expansion will \(\frac{200}{2^3\cdot 5^3\cdot 7}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(200=2^3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(200=2^3\cdot 5^2\), the reduced denominator is \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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C. (6)
(31) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (6) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (31) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (6), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
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What type of decimal expansion will \(\frac{14}{2^2\cdot 5^3\cdot 7^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(2\cdot 5^3\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(2\cdot 5^3\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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If the reduced denominator is \(q=2^6\cdot 5^6\), what is certain about the decimal expansion?
A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्तTerminates exactly after (6) places
सरलतम हर \(10^6\) है इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
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What type of decimal expansion will \(\frac{175}{2^2\cdot 5^3\cdot 7^2}\) have?
C. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(175=5^2\cdot 7\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(175=5^2\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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What type of decimal expansion will \(\frac{147}{2\cdot 3\cdot 5^4\cdot 7^2}\) have?
A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्तTerminating after (4) places
\(147=3\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(147=3\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
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C. (8) स्थान(8) places
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
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B. (4) स्थान(4) places
\(242=2\cdot 11^2\), इसलिए कटौती के बाद हर \(2^2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए पहले सरल करें फिर दशमलव स्थान गिनें। / Since \(242=2\cdot 11^2\), the reduced denominator becomes \(2^2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so reduce first and then count decimal places.
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What type of decimal expansion will \(\frac{2^5\cdot 7}{2^8\cdot 5^2\cdot 7^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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B. (4)
(37) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) अनावर्ती आरंभ देगी। ऐसे मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (37) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (4), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
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What type of decimal expansion will \(\frac{14}{2\cdot 5^2\cdot 7^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
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What type of decimal expansion will \(\frac{189}{2^2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7}\) have?
A. सांत और (2) स्थानों पर समाप्तTerminating after (2) places
\(189=3^3\cdot 7\), इसलिए सरल हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा। बड़ी घात (2) है, इसलिए दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(189=3^3\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\). The larger exponent is (2), so the decimal terminates after (2) places.
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B. 9
यदि हरभाज्य का हर (denominator) मात्र दोनों गुणनखण्डों के रूप में \(2^a5^b\) हो और संख्या का गुणनखंड (numerator) 17 है, तो 17 किसी भी 2 या 5 से समीकरण नहीं घटाता — अर्थात् भिन्न पहले से ही साधारण रूप में है। एक अंक के दशमलव समाप्त होने की अधिकतम आवश्यक दशमलव-स्थानों की संख्या \(\max(a,b)\) होती है। दिया हुआ है कि दशमलव ठीक 9 स्थानों पर समाप्त होता है और \(a<b\), तो अधिकतम घात् बड़ा होगा और वही 9 के बराबर होना चाहिए। अतः \(b=9\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: 8 और 10 क्रमशः कम या अधिक हैं; \(a+9\) का अर्थ गैर-विशिष्ट है और समस्या के दिये गए शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-टिप: यदि हरभाज्य केवल 2 और 5 के गुणनखण्ड हैं, तो समाप्ति की संख्या \(\max(a,b)\) के बराबर होती है, बशर्ते भिन्न न समीकृत हो। / When the denominator is of the form \(2^a5^b\) and the numerator is 17 (which is coprime to 2 and 5), the fraction is already in lowest terms. A terminating decimal requires only factors 2 and 5 in the denominator, and the number of decimal places required equals \(\max(a,b)\). Given the decimal terminates exactly after 9 places and \(a<b\), the larger exponent is \(b\), so \(b=9\). Why other choices fail: 8 is too small, 10 is too large, and \(a+9\) is not implied by the condition \(a<b\). Exam tip: first reduce the fraction if possible; then the termination length equals the larger exponent of 2 or 5 in the reduced denominator.
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What type of decimal expansion will \(\frac{125}{2^8\cdot 5^6\cdot 11}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(125=5^3\) कटने पर भी हर में (11) बचता है। सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य रहे तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / Even after \(125=5^3\) cancels, (11) remains in the denominator. If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
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B. (7) स्थान(7) places
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
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C. (5)
\(45=3^2\cdot 5\) है। / \(45=3^2\cdot 5\).
कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^3\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
दशमलव स्थान गिनने से पहले अंश और हर को सरलतम रूप में जरूर लिखें। / Always reduce the fraction before counting decimal places.
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What type of decimal expansion will \(\frac{18}{999}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\) है। / \(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\).
\(111=3\cdot 37\), जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(111=3\cdot 37\), which has factors other than (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
आवर्ती दशमलव से आई भिन्नों में हर में अक्सर (9) वाले गुणनखंड होते हैं। / Fractions from recurring decimals often have denominators made from (9)'s.
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A. \(q=2^4\cdot 5^3\)
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। / A decimal terminates when the reduced denominator contains only (2) and (5).
\(q=2^4\cdot 5^3\) इस शर्त को पूरा करता है। बाकी विकल्पों में (3), (7), या (11) हैं। / \(q=2^4\cdot 5^3\) satisfies this condition. The other options contain (3), (7), or (11).
हर के अभाज्य गुणनखंडों को ध्यान से देखें। / Check the prime factors of the denominator carefully.
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C. (6)
अंश का \(3^2\cdot 5\) हर से कटेगा। / The numerator \(3^2\cdot 5\) cancels from the denominator.
सरलतम हर \(2^6\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The reduced denominator is \(2^6\cdot 5^3\). The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
कटौती के बाद ही बड़ी घात देखें। / Look for the larger exponent only after cancellation.
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What type of decimal expansion will \(\frac{98}{2\cdot 5\cdot 7^3}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(98=2\cdot 7^2\) है। / \(98=2\cdot 7^2\).
कटौती के बाद हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
घात पूरी कटे या नहीं, यह ध्यान से देखें। / Check whether the whole power cancels or only part of it cancels.
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What type of decimal expansion will \(\frac{6}{375}\) have after reducing it to lowest form?
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्तTerminating after (3) places
\(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\) है। / \(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\).
\(125=5^3\), इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(125=5^3\), the decimal terminates after (3) places.
छोटी भिन्नों में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है। / Even for small fractions, reduce to lowest form first.
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What type of decimal expansion will \(\frac{2^4\cdot 3}{2^7\cdot 3^2\cdot 5^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
अंश से \(2^4\cdot 3\) कटेगा। / The numerator cancels \(2^4\cdot 3\).
सरलतम हर \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\) बचेगा। इसमें (3) बचा है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator becomes \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\). Since (3) remains, the decimal is non-terminating recurring.
एक ही अभाज्य गुणनखंड आंशिक रूप से कट सकता है। / A prime factor may cancel only partially.
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A rational number has decimal expansion \(5.27000\ldots\). Which statement is correct?
B. यह सांत दशमलव के बराबर हैIt is equal to a terminating decimal
\(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। / In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। / So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है। / Continuing zeros at the end still represent a terminating value.
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A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता हैBoth assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
\(\frac{35}{280}\) को (35) से भाग देने पर \(\frac{1}{8}\) मिलता है। / Dividing \(\frac{35}{280}\) by (35) gives \(\frac{1}{8}\).
\(8=2^3\), इसलिए दशमलव सांत होगा। कारण कथन को सही ढंग से समझाता है। / Since \(8=2^3\), the decimal terminates. The reason correctly explains the assertion.
कथन-कारण प्रश्न में कारण की व्याख्या भी जाँचें। / In assertion-reason questions, also check whether the reason explains the assertion.
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After how many decimal places will the decimal expansion of \(\frac{9}{15625}\) terminate?
C. (6)
\(15625=5^6\) है। / \(15625=5^6\).
हर में (2) की घात (0) और (5) की घात (6) है। इसलिए बड़ी घात (6) होगी। / The powers are (0) for (2) and (6) for (5). So the larger exponent is (6).
(5) की बड़ी घातों को पहचानने का अभ्यास करें। / Practise identifying higher powers of (5).
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Which fraction has a decimal expansion terminating exactly after (6) places?
B. \(\frac{9}{64000}\)
\(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। / \(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
\(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
घातों की गणना सावधानी से करें। / Calculate prime powers carefully.
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If \(\frac{x}{540}\) has a terminating decimal expansion, what factor must (x) contain at minimum?
B. (27)
\(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। / \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
(2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं। / (2) and (5) may remain, but (3) must not.
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B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
भिन्न सरलतम रूप में है, इसलिए हर का (17) नहीं कटेगा। / The fraction is in lowest form, so the factor (17) will not cancel.
सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (17) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator has (17) besides (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
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Which fraction will not have a terminating decimal expansion?
C. \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\)
हर में (2) और (5) के अलावा बचने वाले गुणनखंड को देखें। / Look for any factor other than (2) and (5) that remains in the denominator.
\(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\) में \(50=2\cdot 5^2\) कटता है, लेकिन (7) हर में बचता है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / In \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\), \(50=2\cdot 5^2\) cancels, but (7) remains. So the decimal is non-terminating recurring.
पूरी कटौती के बाद बचे अभाज्य गुणनखंड निर्णायक होते हैं। / The remaining prime factors after cancellation decide the type.
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What type of decimal expansion will \(\frac{154}{2\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11}\) have?
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्तTerminating after (3) places
\(154=2\cdot 7\cdot 11\) है। / \(154=2\cdot 7\cdot 11\).
हर से \(2\cdot 7\cdot 11\) कटने पर \(5^3\) बचता है। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancelling \(2\cdot 7\cdot 11\), the denominator becomes \(5^3\). So the decimal terminates after (3) places.
अतिरिक्त गुणनखंड अंश से कट सकते हैं, इसलिए पहले सरल करें। / Extra factors may cancel with the numerator, so reduce first.
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C. (63)
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। / The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए। / When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors.
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Which fraction will have a decimal expansion terminating exactly after (5) places?
C. \(\frac{3}{6250}\)
\(6250=2\cdot 5^5\) है। / \(6250=2\cdot 5^5\).
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
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A. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगाIf \(q=2^m5^n\), the decimal will terminate
नियम सरलतम हर पर लागू होता है। / The rule applies to the denominator in lowest form.
यदि \(q=2^m5^n\), तो हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि (q) में अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। / If \(q=2^m5^n\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates. The other statements are incomplete because (q) may contain other prime factors.
हमेशा और कभी नहीं जैसे शब्दों पर सावधानी रखें। / Be careful with words like always and never.
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What type of decimal expansion will \(\frac{13}{2^2\cdot 5^2\cdot 13^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
अंश का (13) हर के \(13^2\) में से केवल एक (13) काटेगा। / The numerator (13) cancels only one factor (13) from \(13^2\).
सरलतम हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
पूरी और आंशिक कटौती में फर्क समझें। / Understand the difference between complete and partial cancellation.
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After how many decimal places will the decimal expansion of \(\frac{1}{640}\) terminate?
C. (7)
\(640=64\cdot 10=2^6\cdot 2\cdot 5=2^7\cdot 5\) है। / \(640=64\cdot 10=2^6\cdot 2\cdot 5=2^7\cdot 5\).
बड़ी घात (7) है, इसलिए दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (7), so the decimal terminates after (7) places.
हर को सीधे (2) और (5) की घातों में बदलें। / Convert the denominator directly into powers of (2) and (5).
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C. (231)
\(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\) है। / \(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\).
सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। / For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं। / (2) and (5) may remain, but other prime factors must not.
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In \(\frac{1}{2^a5^b3^c}\), (c>0). What type of decimal expansion will this fraction have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
अंश (1) है, इसलिए हर का \(3^c\) कट नहीं सकता। / The numerator is (1), so \(3^c\) cannot cancel.
सरलतम हर में (3) बचता है, जो (2) और (5) से अलग अभाज्य गुणनखंड है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator contains (3), a prime other than (2) and (5). Hence the decimal is non-terminating recurring.
अंश (1) हो तो हर की जाँच सीधी होती है। / When the numerator is (1), the denominator test is direct.
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What type of decimal expansion will \(0.\overline{6}+0.\overline{3}\) have?
A. सांतTerminating
\(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) और \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\) है। / \(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) and \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\).
योग (1) है, जिसका दशमलव (1.0) के रूप में सांत है। / Their sum is (1), whose decimal (1.0) is terminating.
आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत भी हो सकता है। / The sum of recurring decimals can sometimes be terminating.
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What type of decimal expansion will \(\frac{55}{2\cdot 5^2\cdot 11^2}\) have?
B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(55=5\cdot 11\) है। / \(55=5\cdot 11\).
कटौती के बाद हर \(2\cdot 5\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने के कारण दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
आंशिक कटौती के बाद बचे हुए गुणनखंडों को जरूर जाँचें। / After partial cancellation, always check the remaining factors.
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A. सांत और (5) दशमलव स्थानTerminating with (5) decimal places
\(7^0=1\), इसलिए हर में (7) का वास्तविक गुणनखंड नहीं है। / \(7^0=1\), so there is no actual factor (7) in the denominator.
हर \(2^5\cdot 5^3\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा और बड़ी घात (5) स्थान देगी। / The denominator is \(2^5\cdot 5^3\), so the decimal terminates with (5) places.
शून्य घात को देखकर भ्रमित न हों। / Do not get confused by a zero exponent.
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A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता हैBoth assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
\(\frac{17}{200}\) सरलतम रूप में है। / \(\frac{17}{200}\) is in lowest form.
\(200=2^3\cdot 5^2\), यानी हर में केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा और कारण सही समझाता है। / \(200=2^3\cdot 5^2\), so the denominator has only (2) and (5). Hence the decimal terminates, and the reason explains the assertion.
कथन-कारण में कारण की व्याख्या करने की क्षमता भी देखें। / In assertion-reason questions, check whether the reason truly explains the assertion.
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C. (4)
\(18=2\cdot 3^2\) है। / \(18=2\cdot 3^2\).
कटौती के बाद हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
अंश में मौजूद अभाज्य घातों को ध्यान से काटें। / Carefully cancel prime powers present in the numerator.
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Which of the following fractions has a non-terminating recurring decimal expansion?
B. \(\frac{121}{363}\)
विकल्पों को सरल करें। / Reduce the options.
\(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\) है, जिसका हर (3) है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। बाकी विकल्प सरल होकर (2) और (5) वाले हर देते हैं। / \(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\), whose denominator is (3), so the decimal is non-terminating recurring. The other options reduce to denominators with only (2) and (5).
हर विकल्प में सरलतम रूप सबसे पहले देखें। / Check the lowest form of every option first.
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If \(\frac{m}{735}\) has a terminating decimal expansion, what factor must (m) contain at minimum?
C. (147)
\(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। / \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
(5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए। / The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel.
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A. \(\frac{91}{2^2\cdot 5\cdot 13}\)
\(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। / \(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। / The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है। / An extra prime factor may cancel with the numerator.
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C. (3)
\(75=3\cdot 5^2\) है। / \(75=3\cdot 5^2\).
हर से \(3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(2^3\) बचेगा। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / Cancelling \(3\cdot 5^2\) from the denominator leaves \(2^3\). So the decimal terminates after (3) places.
पहले अंश और हर की पूरी कटौती करें। / Always complete cancellation before counting decimal places.
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