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A. वे संरचना खोजने में मदद करती हैं और सुधार आसान बनाती हैं/They help find structure and make correction easier
Explanation
Simple Explanation
हल्की खोज रेखाएं प्रक्रिया का भाग हैं। परीक्षा में प्रारंभिक स्केच को योजना मानें। / Light searching lines are part of the process. Exam tip: treat initial sketch as planning.
A. अवलोकन तुलना करके गलत दिशा और अनुपात पहचानना/Identifying wrong direction and proportion through comparative observation
Explanation
Simple Explanation
सुधार देखने और तुलना करने से आता है। परीक्षा में अभ्यास को निरीक्षण से जोड़ें। / Correction comes from seeing and comparing. Exam tip: connect practice with observation.
C. अवलोकन और हाथ आंख समन्वय सुधारना/Improving observation and hand-eye coordination
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
बार बार अभ्यास से रेखा नियंत्रित होती है। परीक्षा में line practice का उद्देश्य control लिखें। / Repeated practice improves control of line. Exam tip: write control as purpose of line practice.
साफ हाथ से रेखा नियंत्रित और स्पष्ट बनती है। परीक्षा में line quality में control लिखें। / A steady hand makes line controlled and clear. Exam tip: write control in line quality.
मुक्त हाथ रेखा हाथ के अभ्यास से बनती है। परीक्षा में freehand को hand control से जोड़ें। / Freehand line is made through hand practice. Exam tip: connect freehand with hand control.
A. सरल सीधी और घुमावदार रेखाएं/Simple straight and curved lines
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में सरल रेखाओं का अभ्यास कराया जाता है। परीक्षा में basic line practice याद रखें। / Basic line practice starts with simple lines. Exam tip: remember basic line practice.
B. प्रकाश छाया और आयतन समझने में/Understanding light shadow and volume
Explanation
Simple Explanation
मान पट्टी प्रकाश और छाया के क्रम को समझाती है। परीक्षा में value scale को shading का आधार मानें। / A value scale explains the order of light and shadow. Exam tip: treat value scale as base of shading.
मान पट्टी हल्के से गहरे स्वर दिखाती है। परीक्षा में value scale को shading का आधार मानें। / A value scale shows tones from light to dark. Exam tip: treat value scale as the base of shading.
आकार और मान दोनों दृश्य भार बदलते हैं। परीक्षा में दृश्य भार को संतुलन से जोड़ें। / Both size and value change visual weight. Exam tip: connect visual weight with balance.
भाव रेखांकन में गति और मुद्रा जल्दी पकड़ी जाती है। परीक्षा में त्वरित गति रेखाचित्र को भाव रेखांकन से जोड़ें। / Gesture drawing quickly captures movement and pose. Exam tip: connect quick movement sketch with gesture drawing.
हल्का गहरा अंतर मान का मुख्य भाग है। परीक्षा में पेंसिल स्वरों को मान अध्ययन मानें। / Light and dark difference is the main part of value. Exam tip: treat pencil tones as value study.
सफेद से काले तक क्रम मान की पट्टी बनाता है। परीक्षा में value scale को light to dark order याद रखें। / An order from white to black makes a value scale. Exam tip: remember value scale as light to dark order.
छायांकन अभ्यास से हल्के और गहरे मान समझ आते हैं। परीक्षा में pencil shading को value study मानें। / Shading practice helps understand light and dark values. Exam tip: treat pencil shading as value study.
A. हिमालय उत्तरी मैदान प्रायद्वीपीय पठार तटीय मैदान/Himalayas Northern Plains Peninsular Plateau Coastal Plains
Explanation
Simple Explanation
उत्तर से दक्षिण क्रम में मुख्य स्थलरूपों को पढ़ना आसान होता है। परीक्षा में मानचित्र अभ्यास रोज करें। / It is easy to study main landforms in north to south order. For exams practice maps daily.
A. उत्तर से दक्षिण पर्वत मैदान पठार और तट/From north to south mountains plains plateau and coast
Explanation
Simple Explanation
भौतिक विभागों को उत्तर से दक्षिण और फिर द्वीपों तक पढ़ना आसान होता है। परीक्षा में मानचित्र अभ्यास जरूर करें। / It is easier to study physical divisions from north to south and then to islands. For exams practice maps.
A. पहले पर्वत श्रेणियां फिर मैदान पठार तट और द्वीप पहचानना/First identify mountain ranges then plains plateaus coasts and islands
Explanation
Simple Explanation
भौतिक फीचर्स मानचित्र पर क्रमबद्ध पहचानने से विषय स्पष्ट होता है। परीक्षा में स्थलरूपों को अलग रंगों से अभ्यास करें। / Identifying physical features systematically on a map makes the topic clear. For exams practice landforms with different colors.
B. मानचित्र पर पर्वत मैदान पठार तट और द्वीप पहचानना/Identifying mountains plains plateaus coasts and islands on a map
Explanation
Simple Explanation
भौतिक फीचर्स मानचित्र पर पहचानने से जल्दी समझ आते हैं। परीक्षा में रोज थोड़ा नक्शा अभ्यास करें। / Physical features are understood quickly by identifying them on a map. For exams practice maps a little daily.
A. नक्शे पर पर्वत मैदान पठार तट और द्वीप पहचानना/Identifying mountains plains plateaus coasts and islands on a map
Explanation
Simple Explanation
भौतिक फीचर्स मानचित्र पर पहचानने से जल्दी समझ आते हैं। परीक्षा में रोज थोड़ा नक्शा अभ्यास करें। / Physical features are understood quickly by identifying them on a map. For exams practice maps a little daily.
A. मुख्य पर्वत मैदान पठार तट और द्वीप/Main mountains plains plateaus coasts and islands
Explanation
Simple Explanation
भौतिक फीचर्स पढ़ते समय मुख्य स्थलरूपों को मानचित्र पर पहचानना सबसे उपयोगी है। परीक्षा में नक्शा अभ्यास करें। / While studying physical features identifying main landforms on the map is most useful. For exams practice maps.
सतपुड़ा पर्वतमाला नर्मदा नदी के दक्षिण में मानी जाती है। परीक्षा में मानचित्र अभ्यास करें। / The Satpura Range is considered south of the Narmada River. For exams practice maps.
A. कानून व्यवस्था घोषित होती थी पर अधिकार और दंड में नस्ली या प्रशासनिक भेद रह सकता था/Rule of law was declared but rights and punishments could remain racially or administratively unequal
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक कानून नियंत्रण और वैधता दोनों का साधन था। परीक्षा में कानून और न्याय का अंतर समझें। / Colonial law was a tool of both control and legitimacy. For exams understand the difference between law and justice.
A. क्योंकि यह व्यवहारिक जरूरतों से विकसित हुआ/Because it developed from practical needs
Explanation
Simple Explanation
शांति स्थापना संयुक्त राष्ट्र की व्यवहारिक शांति जरूरतों से विकसित हुई। परीक्षा में इसे चार्टर की व्यावहारिक व्याख्या मानें। / Peacekeeping developed from practical UN needs for peace. Exam tip: treat it as a practical interpretation of the Charter.
B. सभ्यता और संरक्षकता की भाषा के साथ बाहरी नियंत्रण जारी रहा/External control continued with the language of civilization and trusteeship
Explanation
Simple Explanation
मंडेट प्रणाली ने आत्मनिर्णय और नियंत्रण के बीच तनाव दिखाया। परीक्षा में आदर्श शब्दों और वास्तविक शक्ति को अलग पढ़ें। / The mandate system showed tension between self-determination and control. For exams read ideal language and real power separately.
A. राजकीय भविष्यवाणी और पूर्वज पूजा से जुड़ी परंपरा/Tradition linked with royal divination and ancestor worship
Explanation
Simple Explanation
ओरेकल हड्डियां भविष्यवाणी और प्रारंभिक चीनी लेखन दोनों का प्रमाण हैं। परीक्षा में इन्हें शांग राजसत्ता से जोड़ें। / Oracle bones prove both divination and early Chinese writing. Link them with Shang kingship in exams.
सती प्रथा 1829 ईस्वी में लॉर्ड विलियम बेंटिक के समय समाप्त की गई। सामाजिक सुधारों की तिथियों में इसे जरूर याद रखें। / Sati was legally abolished in 1829 CE during Lord William Bentinck's period. Remember it as a key date in social reforms.
सती प्रथा का उन्मूलन 1829 में किया गया था। इसे राजा राममोहन राय और लॉर्ड बेंटिंक से जोड़कर याद रखें। / Sati was abolished in 1829. Remember it with Raja Rammohan Roy and Lord Bentinck.
A. सुल्तान की अलौकिक प्रतिष्ठा और राजसत्ता की गरिमा बढ़ाना/To raise the sacred prestige of the Sultan and dignity of kingship
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने दरबार को कठोर और भव्य बनाकर सुल्तान की प्रतिष्ठा बढ़ाई। इसे केंद्रीकृत सत्ता से जोड़ें। / Balban made the court strict and grand to raise the Sultan's prestige. Link it with centralized authority.
D. सुल्तान की प्रतिष्ठा बढ़ाना/To increase the Sultan's prestige
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने राजसत्ता की गरिमा बढ़ाने के लिए कठोर दरबारी अनुशासन अपनाया। उसे मजबूत शासक के रूप में याद करें। / Balban adopted strict court discipline to raise royal dignity. Remember him as a strong ruler.
बलबन ने सुल्तान की प्रतिष्ठा और कठोर दरबारी अनुशासन पर जोर दिया। इसे मजबूत राजसत्ता से जोड़ें। / Balban emphasized the Sultan's prestige and strict court discipline. Link it with strong kingship.
A. राजा की गरिमा और सत्ता को ऊंचा दिखाना/To elevate royal dignity and authority
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने सुल्तान की प्रतिष्ठा बढ़ाने के लिए कठोर दरबारी अनुशासन अपनाया। इसे राजसत्ता की मजबूती से जोड़ें। / Balban adopted strict court discipline to raise the Sultan's prestige. Link it with strengthening kingship.
A. देशी रियासतों की अनिवार्य भागीदारी नहीं मिली/Required participation of princely states did not happen
Explanation
Simple Explanation
1935 की संघीय योजना रियासतों की स्वीकृति पर निर्भर थी। परीक्षा में लागू और प्रस्तावित प्रावधानों का अंतर पढ़ें। / The federal scheme of 1935 depended on the consent of princely states. Exam tip: study the difference between implemented and proposed provisions.
A. सूफी संत की पुण्यतिथि का आध्यात्मिक आयोजन/Spiritual commemoration of a Sufi saint's death anniversary
Explanation
Simple Explanation
उर्स में संत की ईश्वर से मिलन की स्मृति मनाई जाती थी। परीक्षा में इसे दरगाह संस्कृति से जोड़ें। / Urs commemorated the saint's union with God. Exam tip is to connect it with Dargah culture.
A. अमीरों के सामने सुल्तान की गरिमा बढ़ाने के लिए/To raise the Sultan's dignity before nobles
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने शासक को अत्यंत प्रतिष्ठित दिखाने के लिए कठोर दरबारी शिष्टाचार अपनाया। परीक्षा में इसे उसकी राजत्व नीति से जोड़ें। / Balban adopted strict court etiquette to make the ruler appear highly dignified. Exam tip is to link it with his theory of kingship.
A. कृष्ण नाम संकीर्तन/Congregational chanting of Krishna's name
Explanation
Simple Explanation
चैतन्य महाप्रभु ने भावपूर्ण कृष्ण संकीर्तन को लोकप्रिय बनाया। परीक्षा में संकीर्तन को वैष्णव भक्ति से जोड़ें। / Chaitanya Mahaprabhu popularized emotional Krishna Sankirtana. Exam tip is to connect Sankirtana with Vaishnava Bhakti.
C. सुल्तान की गरिमा बढ़ाना/To enhance royal dignity
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने सुल्तान की प्रतिष्ठा बढ़ाने के लिए कठोर दरबारी रीति अपनाई। परीक्षा में इसे उसकी राजसत्ता की नीति से जोड़ें। / Balban used strict court customs to enhance royal prestige. Exam tip: link this with his theory of kingship.
बलबन ने शाही गरिमा बढ़ाने के लिए सिजदा और पैबोस जैसी दरबारी परंपराओं पर जोर दिया। दरबारी रीति और शासक को साथ याद रखें। / Balban emphasized court practices like sijda and paibos to enhance royal dignity. Remember court customs with rulers.
बलबन ने सुल्तान की गरिमा बढ़ाने के लिए सिजदा और पैबोस पर बल दिया। परीक्षा में उसकी राजसत्ता नीति याद रखें। / Balban emphasized Sijda and Paibos to increase royal dignity. For exams, remember his kingship policy.
A. मृतकों के लिए स्मारक दफन परंपरा/Memorial burial tradition for the dead
Explanation
Simple Explanation
मेगालिथिक स्मारक दफन और पूर्वज स्मृति से जुड़े हैं। परीक्षा में समाधि प्रकारों को पहचानना सीखें। / Megalithic monuments are linked with burials and ancestor memory. For exams, learn to identify burial types.
प्रदक्षिणा पथ भक्तों की परिक्रमा से जुड़ा स्थापत्य अंग है। परीक्षा में स्तूप के भागों को उनके कार्य से याद रखें। / The circumambulatory path is an architectural part linked with devotees moving around the stupa. For exams, remember stupa parts with functions.
A. संघ अनुशासन और सामूहिक समीक्षा/Sangha discipline and collective review
Explanation
Simple Explanation
ऐसी प्रथाएं संघ को नियमित और अनुशासित संस्था बनाती थीं। परीक्षा में मठ नियमों को संगठन से जोड़ें। / Such practices made the Sangha a regulated and disciplined institution. For exams, connect monastic rules with organization.
A. विहार यात्रा या शिकार यात्रा/Pleasure or hunting tour
Explanation
Simple Explanation
अशोक ने शिकार जैसी यात्राओं के स्थान पर धम्मयात्रा पर बल दिया। परीक्षा में शिलालेखों से नीति परिवर्तन पहचानें। / Ashoka emphasized Dhammayatra instead of hunting or pleasure tours. For exams, identify policy change from edicts.
A. यह आरंभिक अभिलेखीय प्रमाणों में गिना जाता है/It is counted among early inscriptional evidences
Explanation
Simple Explanation
एरण अभिलेख सती के आरंभिक अभिलेखीय प्रमाणों में महत्वपूर्ण है। परीक्षा में सामाजिक इतिहास के लिए अभिलेखों का उपयोग समझें। / The Eran inscription is important among early inscriptional evidences of Sati. For exams, understand the use of inscriptions for social history.
कोल्डिहवा से चावल खेती के आरंभिक प्रमाण जुड़े माने जाते हैं। परीक्षा में नवपाषाण कृषि स्थलों को अलग याद रखें। / Koldihwa is linked with early evidence of rice cultivation. For exams, remember Neolithic farming sites separately.
कब्रिस्तान आर-37 हड़प्पाई दफन प्रथा को समझने में सहायक है। परीक्षा में पुरातात्त्विक साक्ष्यों को सामाजिक जीवन से जोड़ें। / Cemetery R-37 helps in understanding Harappan burial practices. For exams, link archaeological evidence with social life.
एरण अभिलेख को सती प्रथा के आरंभिक अभिलेखीय प्रमाणों में गिना जाता है। परीक्षा में इसे सामाजिक इतिहास के स्रोत के रूप में याद रखें। / The Eran inscription is counted among early inscriptional evidence of Sati practice. For exams, remember it as a source of social history.
अभ्यास समय \(45,60,75,\ldots\) है और \(S_n=2520\) से (n=16)। परीक्षा में कुल लक्ष्य को \(S_n\) के बराबर रखें। / The practice times are \(45,60,75,\ldots\) and \(S_n=2520\) gives (n=16). Exam tip: set the target total equal to \(S_n\).
\(S_{20}=1230\) और (a=14) रखने पर (d=5) मिलता है। परीक्षा में कुल अभ्यास से दैनिक वृद्धि निकाली जा सकती है। / Using \(S_{20}=1230\) and (a=14) gives (d=5). Exam tip: daily increase can be found from total practice.
अभ्यास समय \(35,40,45,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_{16}=1160\)। परीक्षा में कुल समय के लिए योग सूत्र लगाएं। / The practice times form the AP \(35,40,45,\ldots\) and \(S_{16}=1160\). Exam tip: use the sum formula for total time.
अभ्यास समय \(25,30,35,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_{14}=805\)। परीक्षा में समय बढ़ने पर भी वही योग सूत्र लगता है। / The practice times form the AP \(25,30,35,\ldots\) and \(S_{14}=805\). Exam tip: the same sum formula works when time increases regularly.
यह \(15,20,25,\ldots\) श्रेढ़ी है और (14) दिनों का योग (665) मिनट है। शब्द-प्रश्न में दिन को पदों की संख्या मानें। / This is the AP \(15,20,25,\ldots\), and the sum for (14) days is (665) minutes. In word problems, treat days as the number of terms.
यह (4) के पहले (10) गुणजों का योग है, इसलिए कुल (220) प्रश्न होंगे। दिनों की संख्या को (n) मानें। / This is the sum of the first (10) multiples of (4), so the total is (220) questions. Treat the number of days as (n).
यहाँ (a=2), (d=4), (n=15) है, इसलिए \(S_{15}=450\)। सूत्र में (n-1) लिखना न भूलें। / Here (a=2), (d=4), and (n=15), so \(S_{15}=450\). Do not forget to use (n-1) in the formula.
(218=36+(n-1)7) से (182=7(n-1)) इसलिए (n=27)। दैनिक अभ्यास समय पद है कुल समय नहीं। / From (218=36+(n-1)7), (182=7(n-1)), so (n=27). Daily practice time is the term, not the total time.
दूसरे विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / In the second option the second equation is (3) times the first. Therefore both are the same line and the pair is dependent.
पहले विकल्प में (1/2=4/8) लेकिन (6/13) अलग है। इसलिए रेखाएं अलग समानांतर हैं। / In the first option (1/2=4/8) but (6/13) is different. Therefore the lines are distinct parallel.
चौथे विकल्प में \(1/2 \ne 3/5\) इसलिए एक अद्वितीय हल है। यही संगत और स्वतंत्र युग्म की पहचान है। / In the fourth option \(1/2 \ne 3/5\) so there is one unique solution. This identifies a consistent and independent pair.
तीसरे विकल्प में \(4/2 \ne 1/3\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। कटती रेखाएं एक अद्वितीय हल देती हैं। / In the third option \(4/2 \ne 1/3\) so the lines intersect. Intersecting lines give one unique solution.
दूसरे विकल्प में (1/2=2/4) लेकिन (7/15) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। / In the second option (1/2=2/4) but (7/15) is different. Therefore the lines are parallel and have no solution.
पहले विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / In the first option the second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
\(x^2-6x+7\) में (D=36-28=8) है। गुणांक परिमेय हैं और शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे। / For \(x^2-6x+7\), (D=36-28=8). The coefficients are rational and the zeroes are \(3\pm\sqrt{2}\).
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं। / Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है। / (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
ठीक (3) स्थानों के लिए बड़ी घात (3) होनी चाहिए। \(16=2^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / For exactly (3) places, the larger exponent must be (3). Since \(16=2^4\), it terminates after (4) places.
\(62=2\cdot 31\) है इसलिए (31) कट जाता है और सरल हर \(2^3\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें। / Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
\(58=2\cdot 29\) है इसलिए (29) कट जाता है और सरल हर \(2^2\cdot 5^2\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें। / Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
\(38=2\cdot 19\), इसलिए (19) कट जाता है और सरल हर \(2\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो भी पहले कटौती देखें। / Since \(38=2\cdot 19\), the factor (19) cancels and the reduced denominator is \(2\cdot 5^3\). Even if an extra prime appears, check cancellation first.
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें। / For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए। / For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator must have a prime factor other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\cdot 5\cdot 23\) में (23) मौजूद है। इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव देगा। / \(2^4\cdot 5\cdot 23\) contains (23). Hence it gives a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
केवल एक अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड भी सांतता रोक देता है। / Even one extra prime factor prevents termination.
ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। / \(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए। / For exact places, the larger exponent must match the required number.
हर में (2) और (5) के अलावा बचने वाले गुणनखंड को देखें। / Look for any factor other than (2) and (5) that remains in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\) में \(50=2\cdot 5^2\) कटता है, लेकिन (7) हर में बचता है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / In \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\), \(50=2\cdot 5^2\) cancels, but (7) remains. So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
पूरी कटौती के बाद बचे अभाज्य गुणनखंड निर्णायक होते हैं। / The remaining prime factors after cancellation decide the type.
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
\(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\) है, जिसका हर (3) है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। बाकी विकल्प सरल होकर (2) और (5) वाले हर देते हैं। / \(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\), whose denominator is (3), so the decimal is non-terminating recurring. The other options reduce to denominators with only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
हर विकल्प में सरलतम रूप सबसे पहले देखें। / Check the lowest form of every option first.
\(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। / \(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। / The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है। / An extra prime factor may cancel with the numerator.
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / A reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(80=2^4\cdot 5\), इसलिए यह संभव है। (48), (84), और (98) में (3) या (7) जैसे गुणनखंड हैं। / \(80=2^4\cdot 5\), so it is possible. (48), (84), and (98) contain primes like (3) or (7).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप बताया हो तो हर की सीधी अभाज्य जाँच करें। / If lowest form is given, check the prime factors of the denominator directly.
हर में (2), (5), और (13) हैं। / The denominator contains (2), (5), and (13).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (13) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (a) में (13) का गुणनखंड अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (13) must not remain in the reduced denominator. So (a) must contain the factor (13).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड कटने चाहिए। / Powers of (2) and (5) may remain, but other prime factors must cancel.
विकल्पों को सरल करें। \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), और \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\) सांत हैं। / Reduce each option. \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), and \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\), so they terminate.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), जिसके हर में (3) बचता है, इसलिए यह असांत आवर्ती है। / \(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), and the denominator still has (3), so it is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
हर विकल्प को सरल करना ही सुरक्षित तरीका है। / Reducing every option is the safest method.
C. सरलतम हर में केवल (2) और (5) हों तो दशमलव सांत होगा/If the reduced denominator has only (2) and (5), the decimal terminates
Step 1
Concept
दशमलव का प्रकार सरलतम रूप के हर से तय होता है। / The decimal type is decided by the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों, तो दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि हर में (3), (7) आदि भी हो सकते हैं। / If the reduced denominator has only factors (2) and (5), the decimal terminates. The other statements are incomplete because factors like (3) or (7) may also be present.
Step 3
Exam Tip
हमेशा शब्द देखकर सावधानी रखें। / Be careful with words like always.
हर में (2) या (5) के साथ (3) होने पर दशमलव असांत आवर्ती होता है। / A denominator with (3) along with (2) or (5) gives a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}\) में (2) की घात (1) है, इसलिए आवर्ती भाग जल्दी शुरू होता है। दूसरे विकल्पों में \(2^2\), (5), या \(2\cdot 5\) से पहले छोटा सांत भाग बनता है। / \(\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}\), so the recurring part starts earliest. The others have \(2^2\), (5), or \(2\cdot 5\), causing a longer non-repeating start.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित हर में (2) और (5) की घातें आवर्ती भाग शुरू होने की देरी बताती हैं। / In mixed denominators, powers of (2) and (5) show how much the recurring part is delayed.
\(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\) हो जाता है। / \(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में हर (2) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी विकल्पों में (3) या (7) जैसे गुणनखंड पूरी तरह नहीं कटते। / The reduced denominator is (2), so the decimal terminates. In the other options, factors like (3) or (7) do not cancel completely.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न सरलतम रूप की जाँच करवाते हैं। / Such questions test whether you reduce the fraction first.
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। / In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें। / Always consider possible cancellation before deciding.
हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत होगा। / The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (6) स्थानों के लिए (\max(a,b)=6) चाहिए। / The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (6) places, (\max(a,b)=6).
Step 3
Exam Tip
ऐसी समस्याओं में योग नहीं, बड़ी घात देखें। / In such questions, use the larger exponent, not the sum.
समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। / For a terminating decimal, the number of places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (2) की घात (4) और (5) की घात (6) है। / Here the exponent of (2) is (4), and the exponent of (5) is (6).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
\(\frac{44}{242}\) को (22) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / \(\frac{44}{242}\) simplifies by (22) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) is not made of (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सभी विकल्पों को सरल करके ही अंतिम चयन करें। / Exam tip: Simplify every option before making the final choice.
\(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। / For \(\frac{7}{125}\), \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें। / Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent.
भाजक में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{11}{250}\) समाप्त दशमलव देगा। / The denominator has only (2) and (5), so \(\frac{11}{250}\) has a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में (2) और (5) से बने भाजक को चुनें। / Choose the denominator made only of (2) and (5).
भाजक में (3) है, इसलिए \(\frac{7}{18}\) का दशमलव समाप्त नहीं होगा। / The denominator contains (3), so \(\frac{7}{18}\) will not terminate.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में उस भाजक को पहचानें जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हो। / In options, identify the denominator that has a factor other than (2) and (5).
\(\frac{5}{12}\) सरल रूप में है और भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव आवर्ती होगा। / \(\frac{5}{12}\) is in lowest form and the denominator contains (3), so its decimal is recurring.
Step 3
Exam Tip
सरल रूप और भाजक के अतिरिक्त गुणनखंड दोनों जांचें। / Check both reduction and extra prime factors.
