An odd number has remainder (1), so its form is (2q+1).
Step 3
Exam Tip
The remainder helps identify the type of number. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) होता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है, इसलिए रूप (2q+1) है। चरण 3: शेषफल से संख्या का प्रकार पहचानना आसान होता है।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An odd number leaves remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore, an odd number is written as (2q+1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है। चरण 3: इसलिए विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जाती है।
A. हर (1) से बड़ी पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही मूल रूप में लिखा जा सकता है/Every integer greater than (1) can be written as a product of primes in one basic way
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation except for order.
Step 2
Why this answer is correct
Option A states this correctly.
Step 3
Exam Tip
Unique means the same prime factors appear, only their order may change. चरण 1: अंकगणित का मूल सिद्धांत कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: विकल्प A यही बात सही ढंग से कहता है। चरण 3: अद्वितीयता का अर्थ है कि गुणनखंड वही रहेंगे, केवल क्रम बदल सकता है।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is connected with prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember it through prime factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। चरण 2: 1 से बड़ी हर धनात्मक पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: परीक्षा में इस विचार को अभाज्य गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is about prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember this theorem through factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडों के बारे में है। चरण 2: हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में इस प्रमेय को गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
\(1^2,3^2,5^2,7^2\) all leave remainder 1 when divided by 8.
Step 3
Exam Tip
Remember that the square of an odd number leaves remainder 1 on division by 8. चरण 1: ये सभी शेषफल विषम संख्या को दिखाते हैं। चरण 2: \(1^2,3^2,5^2,7^2\) सभी को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 8 से शेषफल 1 याद रखें।
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 8; for example, \(1^2\) and \(5^2\) both leave remainder 1.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule that odd squares leave remainder 1 on division by 8. चरण 1: (4q+1) रूप की संख्या विषम होती है। चरण 2: किसी विषम संख्या का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है; उदाहरण के लिए \(1^2\) और \(5^2\) दोनों 8 से 1 शेषफल देते हैं। चरण 3: विषम वर्गों में 8 से शेषफल 1 वाला नियम याद रखें।
\(1^2=1\) and \(3^2=9=4\times2+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 4. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 3 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(3^2=9=4\times2+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 4 से शेषफल 1 होता है।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
A number exactly divisible by (2) is even.
Step 3
Exam Tip
The general form of an even number is (2q). चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: (2) से पूरी तरह विभाजित संख्या सम होती है। चरण 3: सम संख्या का सामान्य रूप (2q) होता है।
Remainder (1) on division by (2) means the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
A number of the form (2q+1) is odd.
Step 3
Exam Tip
To identify an odd number, focus on remainder (1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) का अर्थ है संख्या (2q+1) के रूप में है। चरण 2: (2q+1) रूप वाली संख्या विषम होती है। चरण 3: विषम संख्या पहचानने के लिए शेषफल (1) पर ध्यान दें।
Every odd number can be written in the form (2q+1). चरण 1: (2q+1) में (2) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम संख्या होती है। चरण 3: हर विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जा सकती है।
Remember the form (2q) for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है कि (n), (2) से पूरी तरह विभाजित होता है। चरण 2: (2) से विभाजित होने वाली संख्या सम संख्या होती है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप याद रखें।
When divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the number has the form (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
This idea is the base for understanding even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्या (2q) या (2q+1) के रूप में होगी। चरण 3: यही विचार सम और विषम संख्या समझने का आधार है।
The form (2q) is very useful for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है (n) (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: इसलिए (n) सम संख्या है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप बहुत उपयोगी है।
If division by (2) leaves remainder (1), the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
Such a number is odd.
Step 3
Exam Tip
Not every odd number is prime or a perfect square, so avoid quick assumptions. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) हो तो संख्या (2q+1) के रूप में होती है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम होती है। चरण 3: हर विषम संख्या अभाज्य या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए जल्दी निष्कर्ष न निकालें।
On division by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for identifying even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल केवल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्याएँ (2q) या (2q+1) के रूप में होंगी। चरण 3: यही आधार सम और विषम संख्या पहचानने में काम आता है।
On division by (4), the possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the forms are (4q,4q+1,4q+2,4q+3).
Step 3
Exam Tip
These forms are very useful in questions related to even and odd numbers. चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या के रूप (4q,4q+1,4q+2,4q+3) होंगे। चरण 3: ऐसे रूप सम और विषम संख्याओं से जुड़े सवालों में बहुत काम आते हैं।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the number becomes (2q+0) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
These forms identify even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्या (2q+0) या (2q+1) बनती है। चरण 3: इन्हीं रूपों से सम और विषम संख्या पहचानी जाती है।
When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An even number has remainder (0), so its form is (2q).
Step 3
Exam Tip
Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions. चरण 1: किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। चरण 3: सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें।
With divisor (2), the remainder must satisfy \(0\le r<2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (r=0) or (r=1).
Step 3
Exam Tip
This idea also helps in understanding even and odd numbers. चरण 1: भाजक (2) होने पर शेषफल \(0\le r<2\) होगा। चरण 2: इसलिए (r=0) या (r=1) हो सकता है। चरण 3: यही विचार सम और विषम संख्याओं को समझने में भी काम आता है।
This helps form even and odd numbers. चरण 1: शेषफल \(0 \le r < 2\) होना चाहिए। चरण 2: इसलिए (r=0) या (r=1) ही संभव है। चरण 3: इसी से सम और विषम संख्याओं का रूप बनता है।
When divided by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
Even numbers leave (0), while odd numbers leave (1).
Step 3
Exam Tip
Write an odd number as (2q+1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) ही हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) और विषम संख्या में शेषफल (1) होता है। चरण 3: विषम संख्या को (2q+1) रूप में लिखें।
