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\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
शून्यकों का गुणनफल (-18) है। एक शून्यक (3) है, इसलिए दूसरा \(-18\div3=-6\) है। / The product of zeroes is (-18). Since one zero is (3), the other is \(-18\div3=-6\).
शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है। / The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0))/Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक (3) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
(x=0) रखने पर \(3x^3-2x=0\) मिलता है। (x=0) को शून्य बनाने के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(3x^3-2x\) gives (0). To make (x=0) a zero, the constant term must be (0).
(x=0) रखने पर \(x^2+1=1\), इसलिए (0) इसका शून्य नहीं है। (x=0) पर अचर पद निर्णायक होता है। / On substituting (x=0), \(x^2+1=1\), so (0) is not its zero. The constant term is decisive at (x=0).
\(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{11}\) है। परीक्षा में (a=0) वाला संयुग्मी भी पहचानें। / The conjugate of \(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) is \(-\sqrt{11}\). In exams also identify the case (a=0).
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है। / For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
A. दूसरा \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)/Other \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
गुणनफल (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) होगा। योग \(2\sqrt{5}=2k\), अतः \(k=\sqrt{5}\) है। / The product is (5), so the other zero is \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\). The sum is \(2\sqrt{5}=2k\), hence \(k=\sqrt{5}\).
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
शून्य बहुपद की परिभाषा ऐसी बहुपद के लिए है जिसका मान हर \(x\) पर \(0\) होता है। इसलिए हर वास्तविक संख्या उस बहुपद का शून्यक (root) होती है। गलत विकल्पों में से विशेषकर "कोई शून्यक नहीं" गलत है क्योंकि वह स्थिति सीधा विरोध करती है — शून्य बहुपद की मान हर जगह शून्य है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को 'identically zero' कहा जाता है और इसकी हर संख्या शून्यक होती है; इसे दूसरे बहुपदों के शून्य (isolated roots) से अलग समझें। / By definition the zero (identically zero) polynomial satisfies \(p(x)=0\) for every \(x\), so every number is a root (zero) of the polynomial. Distractors are wrong: for example "not a root" is false because the polynomial equals \(0\) at every \(x\). Exam tip: remember the zero polynomial is identically zero and therefore has infinitely many roots (every value of \(x\)); this is a special case when discussing degree and roots.
A. बहुपद का मान \(P(x)\)/Value of the polynomial \(P(x)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी बहुपद के लिए कोई मान \(x=a\) शून्यक है तो बहुपद का मान वहाँ पर \(P(a)=0\) होगा। इसलिए शून्यक पहचानने के लिए बहुपद का मान शून्य होना आवश्यक है। स्थिर पद (option D) कभी-कभी शून्य हो सकता है पर यह आवश्यक शर्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(P(x)=x-1\) का स्थिर पद \(-1\) है पर शून्यक \(x=1\) है। चर के गुणांक या घातांक का शून्य होना शून्यक की परिभाषा नहीं बताता। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ \(y=0\) अर्थात x-अक्ष से मिलान होता है; सीधे x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु खोजें। / For a number \(x=a\) to be a root of a polynomial we must have \(P(a)=0\). Thus the value of the polynomial at that x must be zero, so option A is correct. The constant term (option D) may be zero in some polynomials but it is not a necessary condition (e.g. \(P(x)=x-1\) has constant term \(-1\) yet root at \(x=1\)). Coefficients or exponents being zero do not by themselves indicate a root. Exam tip: on the graph, roots are the x-intercepts where \(y=0\); read off x-coordinates of those intercepts.
दोनों की गुणज संख्या में दोनों संख्याओं के लिए जरूरी सभी अभाज्य घातें होनी चाहिए। / A common multiple must contain all prime powers required by both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^6\), \(3^3\), (5) और (7) हैं। / The highest powers are \(2^6\), \(3^3\), (5), and (7).
Step 3
Exam Tip
गुणज जाँचते समय कोई आवश्यक अभाज्य गुणनखंड न छोड़ें। / Do not miss any required prime factor while checking a multiple.
दोनों की गुणज संख्या में दोनों संख्याओं के लिए जरूरी सभी अभाज्य घातें होनी चाहिए। / A common multiple must contain all required prime powers of both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
आवश्यक बड़ी घातें \(2^4\), \(3^3\) और (5) हैं। / The required highest powers are \(2^4\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
गुणज की जाँच में कोई आवश्यक अभाज्य छूटना नहीं चाहिए। / Do not miss any required prime factor while checking a multiple.
माया गणना और समय मापन में शून्य का उपयोग करते थे। परीक्षा में माया को गणितीय उपलब्धि से जोड़ें। / The Maya used zero in calculation and timekeeping. For exams connect the Maya with mathematical achievement.
माया सभ्यता में गणना और कैलेंडर प्रणाली उन्नत थी। परीक्षा में इसे खगोल ज्ञान से जोड़ें। / Maya civilization had an advanced counting and calendar system. Link it with astronomical knowledge in exams.
ब्रह्मगुप्त ने शून्य और संख्याओं पर महत्वपूर्ण गणितीय नियम दिए। परीक्षा में शून्य को भारतीय गणित की प्रमुख उपलब्धि से जोड़ें। / Brahmagupta gave important mathematical rules on zero and numbers. For exams, connect zero with a major achievement of Indian mathematics.
(4x+6=0) से \(x=-\frac{3}{2}\), जो (-2) और (-1) के बीच है। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न का अंतराल सावधानी से पहचानें। / From (4x+6=0), \(x=-\frac{3}{2}\), which lies between (-2) and (-1). In exams, identify the interval of a negative fraction carefully.
(3x-7=0) से \(x=\frac{7}{3}\), जो (2) और (3) के बीच है। परीक्षा में पहले शून्यक निकालें फिर स्थान तय करें। / From (3x-7=0), \(x=\frac{7}{3}\), which lies between (2) and (3). In exams, first find the zero and then locate it.
(2x+5=0) से \(x=-\frac{5}{2}=-2.5\) मिलता है। परीक्षा में शून्यक निकालकर उसे वास्तविक संख्या की तरह रखें। / From (2x+5=0), we get \(x=-\frac{5}{2}=-2.5\). In exams, find the zero and place it like a real number.
(6x-18=0) से (x=3) मिलता है। परीक्षा में शून्यक निकालकर उसे संख्या रेखा पर सही बिंदु पर रखें। / From (6x-18=0), we get (x=3). In exams, find the zero first and then place it correctly on the number line.
(p(x)=x) में (x=0) रखने पर (p(x)=0) होता है। परीक्षा में शून्यक वह मान है जहां बहुपद का मान (0) हो। / For (p(x)=x), putting (x=0) gives (p(x)=0). In exams, a zero is the value where the polynomial becomes (0).
शून्यक (-5) ऋणात्मक है इसलिए वह (0) के बाईं ओर होगा। परीक्षा में शून्यक का चिह्न उसकी दिशा बताता है। / The zero (-5) is negative, so it lies to the left of (0). In exams, the sign of the zero tells its direction.
(x+3=0) से (x=-3) मिलता है। परीक्षा में शून्यक निकालकर उसे संख्या रेखा पर बिंदु की तरह दिखाएं। / From (x+3=0), we get (x=-3). In exams, find the zero and show it as a point on the number line.
(p(-2)=-8-8+26-10=0), इसलिए (-2) शून्यक है। विकल्पों में दिए छोटे मानों को सीधे रखकर जाँचें। / (p(-2)=-8-8+26-10=0), so (-2) is a zero. Test small option values by direct substitution.
(16x-2-24x+9=(4x-3)2), इसलिए शून्य \(x=\frac{3}{4}\) है। पूर्ण वर्ग पहचानें। / (16x-2-24x+9=(4x-3)2), so the zero is \(x=\frac{3}{4}\). Recognize the perfect square.
(p(-3)=9-3k-18=0), इसलिए (-3k=9) और (k=-3)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(-3)=9-3k-18=0), so (-3k=9) and (k=-3). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
A. हर पद में (x) गुणनखंड है/Every term has factor (x)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=x\(7x^2-2\)), इसलिए (x=0) पर मान (0) होता है। यदि हर पद में (x) हो, तो (0) शून्यक होता है। / (p(x)=x\(7x^2-2\)), so at (x=0) the value is (0). If every term has (x), then (0) is a zero.
(4x-12=0) से (x=3) मिलता है। शून्यक वह मान है जहाँ बहुपद का मान (0) हो। / From (4x-12=0), we get (x=3). A zero is the value where the polynomial becomes (0).
(ax+b=0) रखने पर \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। रेखीय बहुपद में केवल एक शून्यक होता है। / Putting (ax+b=0) gives \(x=-\frac{b}{a}\). A linear polynomial has exactly one zero.
A. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी घात परिभाषित नहीं होती। स्थिर अशून्य बहुपद की घात (0) होती है। / The zero polynomial has no non-zero term, so its degree is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
(p(2)=8-16+2+6=0), इसलिए (2) शून्यक है। विकल्पों में छोटे पूर्णांकों को पहले जाँचें। / (p(2)=8-16+2+6=0), so (2) is a zero. Test small integer options first.
(9x-2+12x+4=(3x+2)2), इसलिए शून्य \(x=-\frac{2}{3}\) है। पूर्ण वर्ग पहचानें। / (9x-2+12x+4=(3x+2)2), so the zero is \(x=-\frac{2}{3}\). Recognize the perfect square.
(p(-2)=4-2k-8=0), इसलिए (-2k=4) और (k=-2)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(-2)=4-2k-8=0), so (-2k=4) and (k=-2). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(p(2)=0) रखने पर (4k-10+6=0) से (k=1) मिलता है। शून्यक के लिए (p\(\alpha\)=0) लगाएं। / Putting (p(2)=0) gives (4k-10+6=0), so (k=1). For a zero, use (p\(\alpha\)=0).
(p\left\(\frac{3}{2}\right\)=9-18+9=0)। भिन्न मान रखते समय वर्ग और गुणा सही करें। / (p\left\(\frac{3}{2}\right\)=9-18+9=0). While using a fraction, square and multiply correctly.
(p(3)=9-3k+12=0), इसलिए (21=3k) और (k=7)। शून्य की शर्त में बहुपद का मान (0) रखें। / (p(3)=9-3k+12=0), so (21=3k) and (k=7). For a zero, set the polynomial value equal to (0).
(p(2)=4a+8-12=0), इसलिए (4a=4) और (a=1)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(2)=4a+8-12=0), so (4a=4) and (a=1). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(cx+d=0) से \(x=-\frac{d}{c}\) मिलता है। सूत्र में ऋण चिह्न ध्यान रखें। / From (cx+d=0), we get \(x=-\frac{d}{c}\). Remember the negative sign in the formula.
(4x+20=0) से (x=-5) मिलता है। शून्य वह मान है जिससे बहुपद (0) हो जाए। / From (4x+20=0), we get (x=-5). A zero is the value that makes the polynomial equal to (0).
(9x-27=0) से (x=3) मिलता है। रैखिक बहुपद का शून्य समीकरण हल करके निकालें। / From (9x-27=0), we get (x=3). Find the zero of a linear polynomial by solving the equation.
(p(-3)=-3+3=0), इसलिए (x=-3) इसका शून्य है। शून्य जांचने के लिए मान रखकर परिणाम (0) देखें। / (p(-3)=-3+3=0), so (x=-3) is its zero. To test a zero, substitute the value and check for (0).
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। गैर-शून्य नियत बहुपद की घात (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
(p(2)=12+2b-10=0), इसलिए (2b=-2) और (b=-1)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(2)=12+2b-10=0), so (2b=-2) and (b=-1). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(ax+b=0) से \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। सामान्य सूत्र याद रखें लेकिन संकेत न भूलें। / From (ax+b=0), we get \(x=-\frac{b}{a}\). Remember the general formula but do not miss the sign.
(3x+12=0) से (x=-4) मिलता है। शून्य वह मान है जिससे बहुपद (0) हो जाए। / From (3x+12=0), we get (x=-4). A zero is the value that makes the polynomial equal to (0).
(7x-14=0) से (x=2) मिलता है। रैखिक बहुपद का शून्य जल्दी निकालने के लिए समीकरण हल करें। / From (7x-14=0), we get (x=2). Solve the equation to find the zero of a linear polynomial.
(p(2)=2-2=0), इसलिए (x=2) इसका शून्य है। शून्य जांचने के लिए मान रखकर (0) देखें। / (p(2)=2-2=0), so (x=2) is its zero. To test a zero, substitute and check for (0).
(0x) एक ऐसा पद है जिसका गुणांक (0) है। शून्य गुणांक वाला पद लिखने पर भी मान नहीं बदलता। / (0x) is one term whose coefficient is (0). A zero-coefficient term does not change the value.
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। इसे गैर-शून्य नियत बहुपद से अलग याद रखें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Remember it separately from a non-zero constant polynomial.
(0) को शून्य बहुपद कहते हैं क्योंकि इसका हर गुणांक शून्य होता है। इसकी घात पर सामान्य घात नियम न लगाएं। / (0) is the zero polynomial because every coefficient is zero. Do not apply the usual degree rule to it.
((x-6)=0) या ((x-13)=0), इसलिए (x=6) या (x=13) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-6)=0) or ((x-13)=0), so (x=6) or (x=13). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-5)=0) या ((x-11)=0), इसलिए (x=5) या (x=11) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-5)=0) or ((x-11)=0), so (x=5) or (x=11). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-4)=0) या ((x-9)=0), इसलिए (x=4) या (x=9) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-4)=0) or ((x-9)=0), so (x=4) or (x=9). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-3)=0) या ((x-7)=0), इसलिए (x=3) या (x=7) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-3)=0) or ((x-7)=0), so (x=3) or (x=7). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-9)=0) या ((x+2)=0), इसलिए (x=9) या (x=-2) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग-अलग शून्य रखें। / ((x-9)=0) or ((x+2)=0), so (x=9) or (x=-2). In exams, set each factor equal to zero separately.
