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ऑगस्टस को पहला रोमन सम्राट माना जाता है और उसके समय में साम्राज्य व्यवस्था मजबूत हुई। परीक्षा में उसे पैक्स रोमाना से जोड़ें। / Augustus is considered the first Roman emperor and imperial rule strengthened under him. For exams, connect him with Pax Romana.
6 जून 1944 की डी डे लैंडिंग ने पश्चिमी यूरोप में मित्र राष्ट्रों की प्रगति शुरू की। परीक्षा में नॉर्मंडी को याद रखें। / The D Day landing on 6 June 1944 began the Allied advance in Western Europe. For exams, remember Normandy.
अपार्थाइड दक्षिण अफ्रीका की नस्लभेदी व्यवस्था थी जिसका अंत लोकतांत्रिक बदलाव से हुआ। परीक्षा में नेल्सन मंडेला को इस घटना से जोड़ें। / Apartheid was South Africa's racial segregation system that ended through democratic change. In exams, connect Nelson Mandela with this event.
A. अमेरिकी स्वतंत्रता आंदोलन/American independence movement
Explanation
Simple Explanation
बोस्टन टी पार्टी 1773 में ब्रिटिश कर नीति के विरोध में हुई। परीक्षा में इसे अमेरिकी स्वतंत्रता आंदोलन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The Boston Tea Party took place in 1773 against British tax policy. For exams, connect it with the background of the American independence movement.
हैती क्रांति कैरेबियन क्षेत्र की महत्वपूर्ण क्रांति थी। परीक्षा में इसे दासता विरोधी क्रांति से जोड़ें। / The Haitian Revolution was an important revolution of the Caribbean region. For exams connect it with an anti-slavery revolution.
पनामा नहर अटलांटिक और प्रशांत महासागरों को जोड़ती है। परीक्षा में इसे विश्व व्यापार मार्गों से जोड़ें। / The Panama Canal connects the Atlantic and Pacific Oceans. For exams connect it with world trade routes.
फ्रांसीसी क्रांति फ्रांस में हुई थी। परीक्षा में इसे स्वतंत्रता समानता और बंधुत्व के विचारों से जोड़ें। / The French Revolution took place in France. For exams connect it with the ideas of liberty equality and fraternity.
A. क्योंकि महिलाओं ने शराब से जुड़े घरेलू और सामाजिक शोषण के विरुद्ध संगठित आवाज उठाई/Because women raised an organised voice against domestic and social exploitation linked with liquor
Explanation
Simple Explanation
एंटी अरैक आंदोलन शराब विरोध और महिला नेतृत्व से जुड़ा था। परीक्षा में आंध्र प्रदेश और सामाजिक सुधार याद रखें। / The Anti-Arrack Movement was linked with anti-liquor protest and women's leadership. Exam tip: remember Andhra Pradesh and social reform.
C. यह औपनिवेशिक सैन्य प्रशासन को बाधित करने की योजना थी/It was a plan to disrupt colonial military administration
Explanation
Simple Explanation
सूर्य सेन की योजना औपनिवेशिक ढांचे को चुनौती देने से जुड़ी थी। परीक्षा में चिटगांव और 1930 याद रखें। / Surya Sen's plan was linked with challenging colonial structure. Exam tip: remember Chittagong and 1930.
B. लगान और शोषण के विरुद्ध सामूहिक दबाव बनाने के लिए/To create collective pressure against revenue and exploitation
Explanation
Simple Explanation
एका आंदोलन अवध के किसानों की एकता और लगान विरोध से जुड़ा था। परीक्षा में किसान आंदोलनों की स्थानीय मांगें याद रखें। / The Eka Movement was linked with unity of Awadh peasants and revenue protest. Exam tip: remember local demands of peasant movements.
A. उन्होंने संतालों को शोषण के विरुद्ध संगठित किया/They organised Santhals against exploitation
Explanation
Simple Explanation
सिद्धू और कान्हू संताल विद्रोह के प्रमुख नेता थे। परीक्षा में नेता और समुदाय का मेल याद रखें। / Sidhu and Kanhu were major leaders of the Santhal Rebellion. Exam tip: remember the match of leader and community.
C. क्योंकि यहीं स्थानीय ग्रामीण और जनजातीय असंतोष उभरा/Because local rural and tribal discontent emerged there
Explanation
Simple Explanation
चुआर विद्रोह स्थानीय अधिकारों और राजस्व दबाव से जुड़ा था। परीक्षा में जंगलमहल को विद्रोह के क्षेत्र से जोड़ें। / The Chuar Rebellion was linked with local rights and revenue pressure. Exam tip: connect Jungle Mahal with the revolt region.
C. उन्होंने उरांव समुदाय में धार्मिक सुधार और अहिंसक प्रतिरोध को प्रेरित किया/He inspired religious reform and non-violent resistance among the Oraon community
Explanation
Simple Explanation
ताना भगत आंदोलन उरांव समुदाय के सामाजिक धार्मिक जागरण से जुड़ा था। परीक्षा में जत्रा भगत और अहिंसक प्रतिरोध याद रखें। / The Tana Bhagat Movement was linked with socio-religious awakening of the Oraon community. Exam tip: remember Jatra Bhagat and non-violent resistance.
A. उन्होंने विदेशों से ब्रिटिश शासन के विरुद्ध क्रांतिकारी गतिविधियां संगठित कीं/They organised revolutionary activities against British rule from abroad
Explanation
Simple Explanation
गदर आंदोलन प्रवासी भारतीयों के क्रांतिकारी राष्ट्रवाद से जुड़ा था। परीक्षा में गदर पार्टी और अमेरिका याद रखें। / The Ghadar Movement was linked with revolutionary nationalism of overseas Indians. Exam tip: remember Ghadar Party and the USA.
C. क्योंकि इससे पख्तून समाज में संगठित शांतिपूर्ण प्रतिरोध बना/Because it created organised peaceful resistance in Pashtun society
Explanation
Simple Explanation
खान अब्दुल गफ्फार खान ने अहिंसक आंदोलन को मजबूत किया। परीक्षा में सीमांत गांधी याद रखें। / Khan Abdul Ghaffar Khan strengthened a non-violent movement. Exam tip: remember Frontier Gandhi.
B. क्योंकि ब्रिटिश हस्तक्षेप के विरुद्ध स्थानीय राजनीतिक असंतोष था/Because there was local political discontent against British interference
Explanation
Simple Explanation
अहोम विद्रोह असम में ब्रिटिश प्रभाव के विरोध से जुड़ा था। परीक्षा में गोमधर कोंवर याद रखें। / The Ahom revolt was linked with opposition to British influence in Assam. Exam tip: remember Gomdhar Konwar.
B. क्योंकि यह मुंडाओं के परंपरागत भूमि अधिकारों से जुड़ी थी/Because it was linked with traditional Munda land rights
Explanation
Simple Explanation
खूंटकट्टी मुंडा भूमि अधिकारों से जुड़ी व्यवस्था थी। परीक्षा में बिरसा मुंडा और भूमि अधिकार साथ याद रखें। / Khuntkatti was linked with Munda land rights. Exam tip: remember Birsa Munda with land rights.
A. यह बाहरी शोषक समूहों के लिए प्रयोग होता था/It was used for outsider exploiters
Explanation
Simple Explanation
दिकु बाहरी हस्तक्षेप और शोषण का प्रतीक था। परीक्षा में जनजातीय आंदोलनों में भूमि और बाहरी दबाव समझें। / Diku symbolised outside interference and exploitation. Exam tip: understand land and outsider pressure in tribal movements.
B. क्योंकि यह मुंडाओं की परंपरागत भूमि अधिकार व्यवस्था से जुड़ी थी/Because it was linked with traditional land rights of Mundas
Explanation
Simple Explanation
खूंटकट्टी व्यवस्था मुंडा भूमि अधिकारों से जुड़ी थी। परीक्षा में बिरसा मुंडा और भूमि अधिकार साथ याद रखें। / Khuntkatti system was linked with Munda land rights. Exam tip: remember Birsa Munda with land rights.
D. उन्होंने शोषण के विरुद्ध संतालों को संगठित किया/They organised Santhals against exploitation
Explanation
Simple Explanation
सिद्धू और कान्हू ने संताल असंतोष को संगठित रूप दिया। परीक्षा में नेता और समुदाय का मेल याद रखें। / Sidhu and Kanhu gave organised form to Santhal discontent. Exam tip: remember the match of leader and community.
B. क्योंकि दोनों ने स्थानीय असंतोष को बढ़ाने में भूमिका निभाई/Because both helped increase local discontent
Explanation
Simple Explanation
अकाल और कठोर राजस्व व्यवस्था ने बंगाल क्षेत्र में असंतोष बढ़ाया। परीक्षा में शुरुआती विद्रोहों के आर्थिक कारण याद रखें। / Famine and harsh revenue system increased discontent in Bengal. Exam tip: remember economic causes of early revolts.
A. क्योंकि क्षेत्र में दुर्लभ वन और जीव संसाधन थे/Because the region had rare forest and living resources
Explanation
Simple Explanation
साइलेंट वैली आंदोलन केरल के वन पारिस्थितिकी से जुड़ा था। परीक्षा में पर्यावरण आंदोलनों को पहचानें। / Silent Valley Movement was linked with forest ecology of Kerala. Exam tip: identify environmental movements.
A. क्योंकि संघर्ष जमींदारी शोषण और स्थानीय सत्ता संरचना से जुड़ा था/Because the struggle was linked with zamindari exploitation and local power structure
Explanation
Simple Explanation
तेलंगाना संघर्ष किसानों के शोषण और निजाम क्षेत्र से जुड़ा था। परीक्षा में क्षेत्रीय किसान आंदोलनों को पढ़ें। / Telangana struggle was linked with peasant exploitation and Nizam region. Exam tip: study regional peasant movements.
A. नेताओं की गिरफ्तारी के बाद संदेश फैलाने के लिए/To spread messages after leaders were arrested
Explanation
Simple Explanation
उषा मेहता का गुप्त कांग्रेस रेडियो 1942 में महत्वपूर्ण था। परीक्षा में भूमिगत गतिविधियां याद रखें। / Usha Mehta's secret Congress Radio was important in 1942. Exam tip: remember underground activities.
D. उन्होंने पूर्वी बंगाल में किसानों और अनुयायियों को संगठित किया/He organised peasants and followers in Eastern Bengal
Explanation
Simple Explanation
दुदू मियां ने फराइजी आंदोलन को ग्रामीण आधार दिया। परीक्षा में हाजी शरियतुल्लाह और दुदू मियां दोनों याद रखें। / Dudu Miyan gave the Faraizi Movement a rural base. Exam tip: remember both Haji Shariatullah and Dudu Miyan.
A. अवध के विलय और स्थानीय असंतोष ने विद्रोह को बल दिया/Annexation of Awadh and local discontent strengthened the revolt
Explanation
Simple Explanation
अवध का विलय 1857 के असंतोष का बड़ा कारण था। परीक्षा में बेगम हजरत महल और लखनऊ याद रखें। / Annexation of Awadh was a major cause of discontent in 1857. Exam tip: remember Begum Hazrat Mahal and Lucknow.
B. क्योंकि अकाल और औपनिवेशिक राजस्व नीतियों ने असंतोष बढ़ाया/Because famine and colonial revenue policies increased discontent
Explanation
Simple Explanation
संन्यासी विद्रोह में धार्मिक समूहों के साथ स्थानीय आर्थिक असंतोष भी था। परीक्षा में इसे प्रारंभिक औपनिवेशिक विरोध मानें। / The Sannyasi Rebellion also included local economic discontent with religious groups. Exam tip: treat it as early anti-colonial resistance.
B. उन्होंने विदेशों से ब्रिटिश शासन के विरुद्ध क्रांतिकारी गतिविधियां संगठित कीं/They organised revolutionary activities against British rule from abroad
Explanation
Simple Explanation
गदर आंदोलन प्रवासी भारतीयों के क्रांतिकारी राष्ट्रवाद से जुड़ा था। परीक्षा में गदर पार्टी और अमेरिका याद रखें। / The Ghadar Movement was linked with revolutionary nationalism of overseas Indians. Exam tip: remember Ghadar Party and the USA.
A. बांध परियोजनाओं से लोगों के पुनर्वास का प्रश्न जुड़ा था/Dam projects raised the question of people's rehabilitation
Explanation
Simple Explanation
नर्मदा बचाओ आंदोलन बांध और पुनर्वास प्रश्न से जुड़ा था। परीक्षा में आधुनिक जन आंदोलनों के मुद्दे याद रखें। / Narmada Bachao Andolan was linked with dams and rehabilitation issue. Exam tip: remember issues of modern people's movements.
A. उन्होंने स्थानीय किसान समस्या को गांधीजी तक पहुंचाया/He brought the local peasant problem to Gandhi
Explanation
Simple Explanation
राजकुमार शुक्ल ने गांधीजी को चंपारण आने के लिए प्रेरित किया। परीक्षा में स्थानीय नेतृत्व याद रखें। / Raj Kumar Shukla motivated Gandhi to come to Champaran. Exam tip: remember local leadership.
C. उनके शोषण ने संताल असंतोष को बढ़ाया/Their exploitation increased Santhal discontent
Explanation
Simple Explanation
संताल विद्रोह आर्थिक शोषण और भूमि दबाव से जुड़ा था। परीक्षा में सिद्धू और कान्हू याद रखें। / The Santhal Rebellion was linked with economic exploitation and land pressure. Exam tip: remember Sidhu and Kanhu.
मोहम्मद अली और शौकत अली खिलाफत आंदोलन से जुड़े थे। परीक्षा में अली बंधु और असहयोग याद रखें। / Mohammad Ali and Shaukat Ali were linked with Khilafat Movement. Exam tip: remember Ali Brothers and Non-Cooperation.
तात्या टोपे 1857 के विद्रोह के प्रमुख सेनानी थे। परीक्षा में उन्हें नाना साहब से भी जोड़ें। / Tatya Tope was an important fighter of the Revolt of 1857. Exam tip: also connect him with Nana Sahib.
टीपू शाह पागल पंथी आंदोलन से जुड़े प्रमुख नेता थे। परीक्षा में छोटे क्षेत्रीय आंदोलनों के नेता भी याद रखें। / Tipu Shah was an important leader linked with the Pagal Panthi movement. Exam tip: also remember leaders of smaller regional movements.
दूसरे विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / In the second option the second equation is (3) times the first. Therefore both are the same line and the pair is dependent.
पहले विकल्प में (1/2=4/8) लेकिन (6/13) अलग है। इसलिए रेखाएं अलग समानांतर हैं। / In the first option (1/2=4/8) but (6/13) is different. Therefore the lines are distinct parallel.
चौथे विकल्प में \(1/2 \ne 3/5\) इसलिए एक अद्वितीय हल है। यही संगत और स्वतंत्र युग्म की पहचान है। / In the fourth option \(1/2 \ne 3/5\) so there is one unique solution. This identifies a consistent and independent pair.
तीसरे विकल्प में \(4/2 \ne 1/3\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। कटती रेखाएं एक अद्वितीय हल देती हैं। / In the third option \(4/2 \ne 1/3\) so the lines intersect. Intersecting lines give one unique solution.
दूसरे विकल्प में (1/2=2/4) लेकिन (7/15) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। / In the second option (1/2=2/4) but (7/15) is different. Therefore the lines are parallel and have no solution.
पहले विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / In the first option the second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
\(x^2-6x+7\) में (D=36-28=8) है। गुणांक परिमेय हैं और शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे। / For \(x^2-6x+7\), (D=36-28=8). The coefficients are rational and the zeroes are \(3\pm\sqrt{2}\).
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं। / Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है। / (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
ठीक (3) स्थानों के लिए बड़ी घात (3) होनी चाहिए। \(16=2^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / For exactly (3) places, the larger exponent must be (3). Since \(16=2^4\), it terminates after (4) places.
\(62=2\cdot 31\) है इसलिए (31) कट जाता है और सरल हर \(2^3\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें। / Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
\(58=2\cdot 29\) है इसलिए (29) कट जाता है और सरल हर \(2^2\cdot 5^2\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें। / Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
\(38=2\cdot 19\), इसलिए (19) कट जाता है और सरल हर \(2\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो भी पहले कटौती देखें। / Since \(38=2\cdot 19\), the factor (19) cancels and the reduced denominator is \(2\cdot 5^3\). Even if an extra prime appears, check cancellation first.
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें। / For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए। / For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator must have a prime factor other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\cdot 5\cdot 23\) में (23) मौजूद है। इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव देगा। / \(2^4\cdot 5\cdot 23\) contains (23). Hence it gives a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
केवल एक अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड भी सांतता रोक देता है। / Even one extra prime factor prevents termination.
ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। / \(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए। / For exact places, the larger exponent must match the required number.
हर में (2) और (5) के अलावा बचने वाले गुणनखंड को देखें। / Look for any factor other than (2) and (5) that remains in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\) में \(50=2\cdot 5^2\) कटता है, लेकिन (7) हर में बचता है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / In \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\), \(50=2\cdot 5^2\) cancels, but (7) remains. So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
पूरी कटौती के बाद बचे अभाज्य गुणनखंड निर्णायक होते हैं। / The remaining prime factors after cancellation decide the type.
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
\(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\) है, जिसका हर (3) है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। बाकी विकल्प सरल होकर (2) और (5) वाले हर देते हैं। / \(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\), whose denominator is (3), so the decimal is non-terminating recurring. The other options reduce to denominators with only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
हर विकल्प में सरलतम रूप सबसे पहले देखें। / Check the lowest form of every option first.
\(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। / \(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। / The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है। / An extra prime factor may cancel with the numerator.
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / A reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(80=2^4\cdot 5\), इसलिए यह संभव है। (48), (84), और (98) में (3) या (7) जैसे गुणनखंड हैं। / \(80=2^4\cdot 5\), so it is possible. (48), (84), and (98) contain primes like (3) or (7).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप बताया हो तो हर की सीधी अभाज्य जाँच करें। / If lowest form is given, check the prime factors of the denominator directly.
हर में (2), (5), और (13) हैं। / The denominator contains (2), (5), and (13).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (13) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (a) में (13) का गुणनखंड अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (13) must not remain in the reduced denominator. So (a) must contain the factor (13).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड कटने चाहिए। / Powers of (2) and (5) may remain, but other prime factors must cancel.
विकल्पों को सरल करें। \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), और \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\) सांत हैं। / Reduce each option. \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), and \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\), so they terminate.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), जिसके हर में (3) बचता है, इसलिए यह असांत आवर्ती है। / \(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), and the denominator still has (3), so it is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
हर विकल्प को सरल करना ही सुरक्षित तरीका है। / Reducing every option is the safest method.
C. सरलतम हर में केवल (2) और (5) हों तो दशमलव सांत होगा/If the reduced denominator has only (2) and (5), the decimal terminates
Step 1
Concept
दशमलव का प्रकार सरलतम रूप के हर से तय होता है। / The decimal type is decided by the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों, तो दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि हर में (3), (7) आदि भी हो सकते हैं। / If the reduced denominator has only factors (2) and (5), the decimal terminates. The other statements are incomplete because factors like (3) or (7) may also be present.
Step 3
Exam Tip
हमेशा शब्द देखकर सावधानी रखें। / Be careful with words like always.
हर में (2) या (5) के साथ (3) होने पर दशमलव असांत आवर्ती होता है। / A denominator with (3) along with (2) or (5) gives a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}\) में (2) की घात (1) है, इसलिए आवर्ती भाग जल्दी शुरू होता है। दूसरे विकल्पों में \(2^2\), (5), या \(2\cdot 5\) से पहले छोटा सांत भाग बनता है। / \(\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}\), so the recurring part starts earliest. The others have \(2^2\), (5), or \(2\cdot 5\), causing a longer non-repeating start.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित हर में (2) और (5) की घातें आवर्ती भाग शुरू होने की देरी बताती हैं। / In mixed denominators, powers of (2) and (5) show how much the recurring part is delayed.
\(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\) हो जाता है। / \(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में हर (2) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी विकल्पों में (3) या (7) जैसे गुणनखंड पूरी तरह नहीं कटते। / The reduced denominator is (2), so the decimal terminates. In the other options, factors like (3) or (7) do not cancel completely.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न सरलतम रूप की जाँच करवाते हैं। / Such questions test whether you reduce the fraction first.
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। / In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें। / Always consider possible cancellation before deciding.
हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत होगा। / The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (6) स्थानों के लिए (\max(a,b)=6) चाहिए। / The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (6) places, (\max(a,b)=6).
Step 3
Exam Tip
ऐसी समस्याओं में योग नहीं, बड़ी घात देखें। / In such questions, use the larger exponent, not the sum.
\(\frac{44}{242}\) को (22) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / \(\frac{44}{242}\) simplifies by (22) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) is not made of (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सभी विकल्पों को सरल करके ही अंतिम चयन करें। / Exam tip: Simplify every option before making the final choice.
\(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। / For \(\frac{7}{125}\), \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें। / Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent.
भाजक में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{11}{250}\) समाप्त दशमलव देगा। / The denominator has only (2) and (5), so \(\frac{11}{250}\) has a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में (2) और (5) से बने भाजक को चुनें। / Choose the denominator made only of (2) and (5).
भाजक में (3) है, इसलिए \(\frac{7}{18}\) का दशमलव समाप्त नहीं होगा। / The denominator contains (3), so \(\frac{7}{18}\) will not terminate.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में उस भाजक को पहचानें जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हो। / In options, identify the denominator that has a factor other than (2) and (5).
\(\frac{5}{12}\) सरल रूप में है और भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव आवर्ती होगा। / \(\frac{5}{12}\) is in lowest form and the denominator contains (3), so its decimal is recurring.
Step 3
Exam Tip
सरल रूप और भाजक के अतिरिक्त गुणनखंड दोनों जांचें। / Check both reduction and extra prime factors.
भाजक में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और भिन्न परिमेय है, इसलिए आवर्ती होगा। / The factor (3) makes the decimal non-terminating, and since the number is rational, it is recurring.
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) से अलग गुणनखंड देखते ही सावधान हो जाएं। / Be alert when a factor other than (2) or (5) appears.
\(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। / In \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\), the numbers inside the roots are not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Hence both are irrational.
Step 3
Exam Tip
युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की जांच जरूरी है। / In pair questions, check both numbers, not just one.
\(33=3\times11\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(330=2\times3\times5\times11\)। / \(33=3\times11\) and \(10=2\times5\), so \(330=2\times3\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए। / In the final form, all factors must be prime.
(148-140=8), इसलिए (r=8)। / (148-140=8), so (r=8).
Step 3
Exam Tip
यदि विकल्पों में (20) या उससे बड़ा शेषफल हो, तो उसे तुरंत गलत मानें। / If an option gives a remainder equal to or greater than (20), reject it immediately.
