A. युद्ध से संकट बढ़ा रौलेट ने दमन दिखाया और असहयोग ने व्यापक राजनीतिक उत्तर दिया/War increased crisis Rowlatt showed repression and Non-Cooperation gave a broad political response
Step 1
Concept
The war increased economic and social crisis.
Step 2
Why this answer is correct
The Rowlatt Act revealed repressive rule.
Step 3
Exam Tip
Non-Cooperation became a broad political response to these conditions. चरण 1: युद्ध ने आर्थिक और सामाजिक संकट बढ़ाया। चरण 2: रौलेट अधिनियम ने दमनकारी शासन को दिखाया। चरण 3: असहयोग आंदोलन इन स्थितियों का व्यापक राजनीतिक उत्तर बना।
Barak River is associated with the Barak Valley of Assam in Northeast India. For exams remember Brahmaputra Valley and Barak Valley separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. बराक घाटी / Barak Valley. Barak River is associated with the Barak Valley of Assam in Northeast India. For exams remember Brahmaputra Valley and Barak Valley separately.
Step 3
Exam Tip
बराक नदी पूर्वोत्तर भारत में असम की बराक घाटी से जुड़ी है। परीक्षा में ब्रह्मपुत्र और बराक घाटी को अलग याद रखें।
B. क्योंकि यह धारा परिवर्तन और अधिक गाद से प्रभावित होती है/Because it is affected by channel shifting and heavy silt
Step 1
Concept
Kosi is known for floods due to heavy silt and channel shifting. For exams remember Kosi as a Himalayan tributary of the Ganga system.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि यह धारा परिवर्तन और अधिक गाद से प्रभावित होती है / Because it is affected by channel shifting and heavy silt. Kosi is known for floods due to heavy silt and channel shifting. For exams remember Kosi as a Himalayan tributary of the Ganga system.
Step 3
Exam Tip
कोसी अधिक गाद और धारा परिवर्तन के कारण बाढ़ के लिए जानी जाती है। परीक्षा में कोसी को गंगा तंत्र की हिमालयी सहायक नदी याद रखें।
A. पश्चिमी और पूर्वी घाट का मिलन/Meeting of Western and Eastern Ghats
Step 1
Concept
Nilgiri is linked with the contact zone of Western and Eastern Ghats in South India. For exams see the map of southern hills.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पश्चिमी और पूर्वी घाट का मिलन / Meeting of Western and Eastern Ghats. Nilgiri is linked with the contact zone of Western and Eastern Ghats in South India. For exams see the map of southern hills.
Step 3
Exam Tip
नीलगिरि दक्षिण भारत में पश्चिमी और पूर्वी घाट के संपर्क क्षेत्र से जुड़ी हैं। परीक्षा में दक्षिणी पर्वतों का मानचित्र देखें।
A. राजनीतिक स्वायत्तता के साथ वैश्विक आर्थिक न्याय की मांग/Demand for global economic justice along with political autonomy
Step 1
Concept
The Non Aligned Movement raised issues of development and economic equality. For exams study politics and economy together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. राजनीतिक स्वायत्तता के साथ वैश्विक आर्थिक न्याय की मांग / Demand for global economic justice along with political autonomy. The Non Aligned Movement raised issues of development and economic equality. For exams study politics and economy together.
Step 3
Exam Tip
गुटनिरपेक्ष आंदोलन ने विकास और आर्थिक समानता के मुद्दे उठाए। परीक्षा में राजनीति और अर्थव्यवस्था साथ पढ़ें।
A. जबरन श्रम से बागान उत्पादन और यूरोपीय लाभ बढ़े/Forced labour increased plantation production and European profits
Step 1
Concept
Slave trade turned labour into a tool of profit. For exams connect it with plantation economy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जबरन श्रम से बागान उत्पादन और यूरोपीय लाभ बढ़े / Forced labour increased plantation production and European profits. Slave trade turned labour into a tool of profit. For exams connect it with plantation economy.
Step 3
Exam Tip
दास व्यापार ने श्रम को लाभ कमाने के साधन में बदल दिया। परीक्षा में इसे बागान अर्थव्यवस्था से जोड़ें।
A. वह इसका संस्थापक शासक था/He was its founding ruler
Step 1
Concept
Kublai Khan founded the Mongol Yuan dynasty in China. Exam tip: connect him with China and Mongol rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह इसका संस्थापक शासक था / He was its founding ruler. Kublai Khan founded the Mongol Yuan dynasty in China. Exam tip: connect him with China and Mongol rule.
Step 3
Exam Tip
कुबलाई खान ने चीन में मंगोल युआन राजवंश की स्थापना की। परीक्षा में उसे चीन और मंगोल शासन से जोड़ें।
A. भूख अस्थिरता बढ़ा सकती है और खाद्य सहायता तनाव घटा सकती है/Hunger can increase instability and food aid can reduce tension
Step 1
Concept
Food security is important from both humanitarian and peace perspectives. Exam tip: link WFP with hunger relief.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भूख अस्थिरता बढ़ा सकती है और खाद्य सहायता तनाव घटा सकती है / Hunger can increase instability and food aid can reduce tension. Food security is important from both humanitarian and peace perspectives. Exam tip: link WFP with hunger relief.
Step 3
Exam Tip
खाद्य सुरक्षा मानवीय और शांति दोनों दृष्टि से महत्त्वपूर्ण है। परीक्षा में डब्ल्यू एफ पी को भूख राहत से जोड़ें।
A. हैती ने अधिकार और समानता के विचारों को दासता विरोधी संघर्ष में लागू किया/Haiti applied ideas of rights and equality to an anti slavery struggle
Step 1
Concept
Ideas of rights from the French Revolution connected with anti slavery struggle in Haiti. For exams remember the spread of ideas.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हैती ने अधिकार और समानता के विचारों को दासता विरोधी संघर्ष में लागू किया / Haiti applied ideas of rights and equality to an anti slavery struggle. Ideas of rights from the French Revolution connected with anti slavery struggle in Haiti. For exams remember the spread of ideas.
Step 3
Exam Tip
फ्रांसीसी क्रांति के अधिकारों के विचार हैती में दासता विरोधी संघर्ष से जुड़े। परीक्षा में विचारों के प्रसार को याद रखें।
A. इसमें पश्चिमी मोर्चा खोलने पर मित्र राष्ट्रों की सहमति मजबूत हुई/It strengthened Allied agreement to open a Western Front
Step 1
Concept
At Tehran Soviet pressure and the western landing plan were important. For exams connect conferences with military campaigns.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. इसमें पश्चिमी मोर्चा खोलने पर मित्र राष्ट्रों की सहमति मजबूत हुई / It strengthened Allied agreement to open a Western Front. At Tehran Soviet pressure and the western landing plan were important. For exams connect conferences with military campaigns.
Step 3
Exam Tip
तेहरान में सोवियत दबाव और पश्चिमी उतराई योजना महत्वपूर्ण थी। परीक्षा में सम्मेलनों को सैन्य अभियानों से जोड़ें।
A. यह जापान के निकट आपात और सहायक वायु अड्डे के रूप में उपयोगी था/It was useful as an emergency and support air base near Japan
Step 1
Concept
Iwo Jima had strategic value for air operations near Japan. For exams see islands not only as land but as bases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह जापान के निकट आपात और सहायक वायु अड्डे के रूप में उपयोगी था / It was useful as an emergency and support air base near Japan. Iwo Jima had strategic value for air operations near Japan. For exams see islands not only as land but as bases.
Step 3
Exam Tip
इवो जीमा जापान के निकट वायु अभियानों में सामरिक महत्व रखता था। परीक्षा में द्वीपों को केवल भूमि नहीं बल्कि अड्डों के रूप में देखें।
Carthage developed as a Phoenician colony. For exams connect Carthage with maritime trade and Phoenician tradition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. फोनीशियाई / Phoenicians. Carthage developed as a Phoenician colony. For exams connect Carthage with maritime trade and Phoenician tradition.
Step 3
Exam Tip
कार्थेज फोनीशियाई उपनिवेश के रूप में विकसित हुआ। परीक्षा में कार्थेज को समुद्री व्यापार और फोनीशियाई परंपरा से जोड़ें।
A. भारत में प्रारंभिक पुर्तगाली उपस्थिति/Early Portuguese presence in India
Step 1
Concept
St Francis Church is linked with early European and Portuguese presence in India. Remember it with Kochi and maritime trade history.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भारत में प्रारंभिक पुर्तगाली उपस्थिति / Early Portuguese presence in India. St Francis Church is linked with early European and Portuguese presence in India. Remember it with Kochi and maritime trade history.
Step 3
Exam Tip
सेंट फ्रांसिस चर्च भारत में प्रारंभिक यूरोपीय और पुर्तगाली उपस्थिति से जुड़ा है। इसे कोच्चि और समुद्री व्यापार इतिहास के साथ याद रखें।
A. स्वर्ण मुद्राओं पर कुमारदेवी का उल्लेख/Mention of Kumaradevi on gold coins
Step 1
Concept
Coins of Chandragupta I and Kumaradevi show the Lichchhavi connection. In exams treat it as a key sign of Gupta rise.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वर्ण मुद्राओं पर कुमारदेवी का उल्लेख / Mention of Kumaradevi on gold coins. Coins of Chandragupta I and Kumaradevi show the Lichchhavi connection. In exams treat it as a key sign of Gupta rise.
Step 3
Exam Tip
चंद्रगुप्त प्रथम और कुमारदेवी की मुद्राएं लिच्छवि संबंध दिखाती हैं। परीक्षा में इसे गुप्त उदय का महत्वपूर्ण संकेत मानें।
B. यह उनके सिख साम्राज्य की राजधानी थी/It was the capital of his Sikh Empire
Step 1
Concept
Lahore was the capital of Maharaja Ranjit Singh. Remember him with Punjab and the Sikh Empire.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह उनके सिख साम्राज्य की राजधानी थी / It was the capital of his Sikh Empire. Lahore was the capital of Maharaja Ranjit Singh. Remember him with Punjab and the Sikh Empire.
Step 3
Exam Tip
महाराजा रणजीत सिंह की राजधानी लाहौर थी। उन्हें पंजाब और सिख साम्राज्य से जोड़कर याद करें।
A. वह बौद्ध धर्म के संरक्षण और सभा से जुड़ा माना जाता है/He is associated with patronage of Buddhism and a council
Step 1
Concept
Kanishka was a Kushan ruler famous for patronage of Buddhism. He is also associated with the Fourth Buddhist Council.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह बौद्ध धर्म के संरक्षण और सभा से जुड़ा माना जाता है / He is associated with patronage of Buddhism and a council. Kanishka was a Kushan ruler famous for patronage of Buddhism. He is also associated with the Fourth Buddhist Council.
Step 3
Exam Tip
कनिष्क कुषाण शासक था और बौद्ध धर्म के संरक्षण के लिए प्रसिद्ध था। उसे चौथी बौद्ध सभा से भी जोड़ा जाता है।
A. गुप्त काल में शिक्षा का विकास/Development of education in the Gupta period
Step 1
Concept
The founding of Nalanda is associated with Kumaragupta I. Remember it with the educational tradition of the Gupta period.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुप्त काल में शिक्षा का विकास / Development of education in the Gupta period. The founding of Nalanda is associated with Kumaragupta I. Remember it with the educational tradition of the Gupta period.
Step 3
Exam Tip
नालंदा की स्थापना कुमारगुप्त प्रथम से जोड़ी जाती है। इसे गुप्त काल की शिक्षा परंपरा से याद करें।
B. उसने बृहदीश्वर मंदिर बनवाया/He built the Brihadeeswarar Temple
Step 1
Concept
Rajaraja Chola I built the Brihadeeswarar Temple at Thanjavur. It is an excellent example of Chola architecture.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. उसने बृहदीश्वर मंदिर बनवाया / He built the Brihadeeswarar Temple. Rajaraja Chola I built the Brihadeeswarar Temple at Thanjavur. It is an excellent example of Chola architecture.
Step 3
Exam Tip
राजराज चोल प्रथम ने तंजावुर का बृहदीश्वर मंदिर बनवाया। यह चोल स्थापत्य का उत्कृष्ट उदाहरण है।
A. ह्वेनसांग ने हर्ष काल के भारत का विवरण दिया/Xuanzang described India during Harsha's period
Step 1
Concept
Xuanzang visited India during the time of Harshavardhana. His account gives information about seventh-century India.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ह्वेनसांग ने हर्ष काल के भारत का विवरण दिया / Xuanzang described India during Harsha's period. Xuanzang visited India during the time of Harshavardhana. His account gives information about seventh-century India.
Step 3
Exam Tip
ह्वेनसांग हर्षवर्धन के समय भारत आया था। उसका विवरण सातवीं शताब्दी के भारत की जानकारी देता है।
A. बौद्ध उच्च शिक्षा का राजकीय संरक्षण/Royal patronage of Buddhist higher learning
Step 1
Concept
Vikramashila Mahavihara is associated with Dharmapala. For exams, connect the Palas with educational patronage.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बौद्ध उच्च शिक्षा का राजकीय संरक्षण / Royal patronage of Buddhist higher learning. Vikramashila Mahavihara is associated with Dharmapala. For exams, connect the Palas with educational patronage.
Step 3
Exam Tip
धर्मपाल से विक्रमशिला महाविहार की स्थापना जोड़ी जाती है। परीक्षा में पालों को शिक्षा संरक्षण से जोड़ें।
A. भारतीय बौद्ध विद्या का अंतरराष्ट्रीय प्रसार/International spread of Indian Buddhist learning
Step 1
Concept
Atisha Dipankara played a role in carrying Indian Buddhist learning to Tibet. For exams, remember international contacts of learning.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भारतीय बौद्ध विद्या का अंतरराष्ट्रीय प्रसार / International spread of Indian Buddhist learning. Atisha Dipankara played a role in carrying Indian Buddhist learning to Tibet. For exams, remember international contacts of learning.
Step 3
Exam Tip
अतीश दीपंकर ने भारतीय बौद्ध ज्ञान को तिब्बत तक पहुंचाने में भूमिका निभाई। परीक्षा में विद्या के अंतरराष्ट्रीय संपर्क याद रखें।
A. दोनों ने मातृभूमि को भक्ति और सम्मान के केंद्र में रखा/Both placed the motherland at the centre of devotion and respect
Step 1
Concept
Vande Mataram was linked with worship of the motherland.
Step 2
Why this answer is correct
The image of Bharat Mata gave visual form to the same feeling.
Step 3
Exam Tip
In exams identify the emotional link between song and image. चरण 1: वंदे मातरम् गीत मातृभूमि की वंदना से जुड़ा था। चरण 2: भारत माता की छवि ने उसी भावना को दृश्य रूप दिया। चरण 3: परीक्षा में गीत और चित्र के बीच भावनात्मक संबंध पहचानें।
A. क्योंकि भावना लोगों को सक्रिय भागीदारी के लिए प्रेरित कर सकती थी/Because emotion could inspire people to active participation
Step 1
Concept
Facts increase understanding, but emotion motivates people to act.
Step 2
Why this answer is correct
Nationalist symbols created attachment and sacrifice toward the country.
Step 3
Exam Tip
Write the difference between facts and emotion in a balanced way. चरण 1: तथ्य समझ बढ़ाते हैं, पर भावना लोगों को कार्य करने के लिए प्रेरित करती है। चरण 2: राष्ट्रवादी प्रतीकों ने देश के प्रति लगाव और त्याग की भावना पैदा की। चरण 3: उत्तर में तथ्य और भावना के अंतर को संतुलित ढंग से लिखें।
A. नमक पर नियंत्रण को विदेशी शासन के अन्याय का प्रतीक बनाया गया/Control over salt was made a symbol of colonial injustice
Step 1
Concept
The salt tax affected ordinary people.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi linked it with colonial injustice and the need for swaraj.
Step 3
Exam Tip
Remember the link between symbol and goal. चरण 1: नमक पर कर साधारण लोगों को प्रभावित करता था। चरण 2: गांधीजी ने इसे विदेशी शासन के अन्याय और स्वराज की जरूरत से जोड़ दिया। चरण 3: प्रतीक और लक्ष्य का संबंध याद रखें।
A. स्वराज की बात वन अधिकार और आदिवासी असंतोष से जुड़ गई/The idea of swaraj became linked with forest rights and tribal discontent
Step 1
Concept
The message of the national movement reached different regions.
Step 2
Why this answer is correct
In Gudem it became linked with tribal forest rights.
Step 3
Exam Tip
Understand local forms of national ideas through examples. चरण 1: राष्ट्रीय आंदोलन का संदेश अलग क्षेत्रों में पहुंचा। चरण 2: गुडेम में यह संदेश आदिवासियों के वन अधिकारों से जुड़ गया। चरण 3: राष्ट्रीय विचारों के स्थानीय रूप को उदाहरण से समझें।
A. क्योंकि यह दिखाता है कि श्रमिकों ने भी राष्ट्रीय विचारों को अपनी पीड़ा से जोड़ा/Because it shows workers also linked national ideas with their suffering
Step 1
Concept
Plantation workers lived under strict control.
Step 2
Why this answer is correct
They linked swaraj with their freedom and return home.
Step 3
Exam Tip
Treat worker participation as proof of the movement’s wider reach. चरण 1: बागान मजदूर कठोर नियंत्रण में रहते थे। चरण 2: उन्होंने स्वराज को अपनी मुक्ति और घर वापसी से जोड़ा। चरण 3: श्रमिक भागीदारी को राष्ट्रीय आंदोलन की व्यापकता का प्रमाण मानें।
B. यह माता और भ्रूण के बीच पोषण ऑक्सीजन और अपशिष्ट का आदान प्रदान कराती है/It allows exchange of nutrients oxygen and wastes between mother and embryo
Step 1
Concept
The embryo cannot take food by itself.
Step 2
Why this answer is correct
It receives nutrients and oxygen from the mother.
Step 3
Exam Tip
Placenta also helps in removal of wastes. चरण 1: भ्रूण स्वयं भोजन नहीं ले सकता। चरण 2: उसे माता से पोषण और ऑक्सीजन मिलते हैं। चरण 3: गर्भनाल अपशिष्ट हटाने में भी मदद करती है।
A. बहिष्कार के बाद शिक्षा के स्वदेशी विकल्प की जरूरत थी/After boycott an indigenous alternative for education was needed
Step 1
Concept
Non-Cooperation involved distancing from government institutions.
Step 2
Why this answer is correct
Ending education was not the aim.
Step 3
Exam Tip
Therefore national schools emerged as alternative education centres. चरण 1: असहयोग में सरकारी संस्थानों से दूरी बनाई गई। चरण 2: शिक्षा बंद करना लक्ष्य नहीं था। चरण 3: इसलिए राष्ट्रीय विद्यालय वैकल्पिक शिक्षा के रूप में सामने आए।
A. दमनकारी शासन से सहयोग वापस लेने की सोच मजबूत हुई/The idea of withdrawing cooperation from repressive rule became stronger
Step 1
Concept
The Rowlatt Act showed repressive rule.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi argued against cooperating with unjust rule.
Step 3
Exam Tip
This idea developed further in Non-Cooperation. चरण 1: रौलेट अधिनियम ने दमनकारी शासन को दिखाया। चरण 2: गांधीजी ने अन्यायपूर्ण शासन से सहयोग न करने की बात रखी। चरण 3: यही सोच असहयोग आंदोलन में आगे बढ़ी।
A. रौलेट विरोध की पृष्ठभूमि में पंजाब में दमन बढ़ा और घटना हुई/In the background of Rowlatt protests repression increased in Punjab and the incident occurred
Step 1
Concept
There were widespread protests against the Rowlatt Act.
Step 2
Why this answer is correct
Tension and repression increased in Punjab.
Step 3
Exam Tip
In this context the Jallianwala Bagh tragedy occurred. चरण 1: रौलेट अधिनियम के विरुद्ध व्यापक विरोध हुआ। चरण 2: पंजाब में तनाव और दमन बढ़ा। चरण 3: इसी संदर्भ में जलियाँवाला बाग जैसी क्रूर घटना हुई।
A. रौलेट विरोध की पृष्ठभूमि में पंजाब में दमन बढ़ा और जलियाँवाला बाग जैसी घटना हुई/In the background of Rowlatt protests repression increased in Punjab and an incident like Jallianwala Bagh occurred
Step 1
Concept
Protests spread against the Rowlatt Act.
Step 2
Why this answer is correct
Repression and tension increased in Punjab.
Step 3
Exam Tip
In this context the brutal Jallianwala Bagh incident took place. चरण 1: रौलेट अधिनियम के खिलाफ देश में विरोध हुआ। चरण 2: पंजाब में दमन और तनाव बढ़ा। चरण 3: इसी संदर्भ में जलियाँवाला बाग की क्रूर घटना हुई।
A. इससे राष्ट्र की छवि आम लोगों के करीब लगी/It made the image of the nation feel close to common people
Step 1
Concept
A popular name feels familiar and close to people.
Step 2
Why this answer is correct
Marianne emotionally connected the nation with common people.
Step 3
Exam Tip
In exams identify the social effect of the name. चरण 1: लोकप्रिय नाम लोगों को अपना और परिचित लगता है। चरण 2: मैरिआन ने राष्ट्र को जनसाधारण से भावनात्मक रूप से जोड़ा। चरण 3: परीक्षा में नाम के सामाजिक प्रभाव को पहचानें।
C. बलूत पत्ते और जर्मन वीरता/Oak leaves and German heroism
Step 1
Concept
The oak was linked with German symbolic tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Oak leaves carried the meaning of heroism.
Step 3
Exam Tip
In exams connect Germania's crown with German identity. चरण 1: बलूत जर्मन प्रतीक परंपरा से जुड़ा था। चरण 2: बलूत पत्ते वीरता का अर्थ देते थे। चरण 3: परीक्षा में जर्मानिया के मुकुट को जर्मन पहचान से जोड़ें।
A. वे नागरिकों को साझा फ्रांसीसी पहचान से जोड़ती थीं/They connected citizens with a shared French identity
Step 1
Concept
Public statues remain in people's view.
Step 2
Why this answer is correct
Marianne's statues strengthened a shared French identity.
Step 3
Exam Tip
Treat them as symbols of public nationalism. चरण 1: सार्वजनिक मूर्तियां लोगों की नजर में रहती हैं। चरण 2: मेरीआन की मूर्तियां साझा फ्रांसीसी पहचान को मजबूत करती थीं। चरण 3: इन्हें सार्वजनिक राष्ट्रवाद का प्रतीक मानें।
A. इससे नागरिकों में समानता और साझा व्यवस्था बनी/It created equality and a common system among citizens
Step 1
Concept
Uniform laws reduce discrimination.
Step 2
Why this answer is correct
They strengthened equality and shared identity among citizens.
Step 3
Exam Tip
Remember this as a feature of a modern nation. चरण 1: समान कानून भेदभाव को कम करते हैं। चरण 2: इससे नागरिकों में समानता और साझा पहचान मजबूत हुई। चरण 3: इसे आधुनिक राष्ट्र की विशेषता के रूप में याद रखें।
A. राष्ट्रवाद को जनता तक पहुंचाने की सामाजिक चुनौती/The social challenge of taking nationalism to the masses
Step 1
Concept
Nationalist ideas were initially stronger among educated and political groups.
Step 2
Why this answer is correct
Spreading them to rural people was not easy.
Step 3
Exam Tip
This shows that Italian unification was also socially challenging. चरण 1: राष्ट्रवादी विचार पहले अधिकतर शिक्षित और राजनीतिक समूहों में मजबूत थे। चरण 2: ग्रामीण जनता तक इन्हें फैलाना आसान नहीं था। चरण 3: इससे पता चलता है कि इटली का एकीकरण सामाजिक स्तर पर भी चुनौतीपूर्ण था।
A. राष्ट्रीय चेतना को समाज के हर भाग तक पहुंचाने की चुनौती/The challenge of spreading national consciousness to all sections of society
Step 1
Concept
Many rural people in Italy were not fully familiar with nationalist ideas.
Step 2
Why this answer is correct
Unity had to become not only a leaders' idea but also a people's feeling.
Step 3
Exam Tip
This was a social challenge of unification. चरण 1: इटली में बहुत से ग्रामीण लोग राष्ट्रवादी विचारों से पूरी तरह परिचित नहीं थे। चरण 2: इससे एकता को केवल नेताओं का विचार नहीं बल्कि जनता की भावना बनाना जरूरी था। चरण 3: यह एकीकरण की सामाजिक चुनौती थी।
A. जनता से भावनात्मक जुड़ाव कमजोर रह सकता था/Emotional connection with the masses could remain weak
Step 1
Concept
Political ideas do not reach everyone equally.
Step 2
Why this answer is correct
Symbols songs and images make emotional connection easier.
Step 3
Exam Tip
Mention both emotion and ideas in nationalism. चरण 1: राजनीतिक बातें हर व्यक्ति तक समान रूप से नहीं पहुंचतीं। चरण 2: प्रतीक गीत और चित्र भावनात्मक जुड़ाव को सरल बनाते हैं। चरण 3: राष्ट्रवाद में भावना और विचार दोनों का महत्व लिखें।
A. वे राष्ट्र से भावनात्मक रूप से जुड़ सकते थे/They could become emotionally connected with the nation
Step 1
Concept
A human form creates belonging in people's minds.
Step 2
Why this answer is correct
The female allegory made the nation feel emotionally close.
Step 3
Exam Tip
In exams link this with the making of national feeling. चरण 1: मानवीय रूप लोगों के मन में अपनापन बनाता है। चरण 2: महिला रूपक से राष्ट्र भावनात्मक रूप से निकट लगा। चरण 3: परीक्षा में इसे राष्ट्रीय भावना के निर्माण से जोड़ें।
A. वे राष्ट्र को मानवीय रूप में दिखाते थे/They showed the nation in human form
Step 1
Concept
People connect easily with a human form.
Step 2
Why this answer is correct
Marianne and Germania made the nation feel familiar and recognisable.
Step 3
Exam Tip
In exams write them as tools of emotional connection. चरण 1: मानवीय रूप से लोग आसानी से जुड़ते हैं। चरण 2: मैरिआन और जर्मानिया ने राष्ट्र को अपना और पहचान योग्य बनाया। चरण 3: परीक्षा में इन्हें भावनात्मक जुड़ाव के साधन लिखें।
C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\)/Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\)
Step 1
Concept
Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\) / Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\). Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
Step 3
Exam Tip
केवल पहले तीन पदों की जांच पूरे अनुक्रम के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में पूरी शर्त में हर (n) या सभी लगातार पद शामिल होने चाहिए।
A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा/It remains the old common difference
Step 1
Concept
Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा / It remains the old common difference. Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 3
Exam Tip
हर पद में समान संख्या जोड़ने से लगातार अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान स्थानांतरण को अंतर पर असरहीन मानें।
D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता/(d) cannot be determined
Step 1
Concept
In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता / (d) cannot be determined. In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में \(a_2+a_4=2a_3\) अपने-आप सही होता है, इसलिए (d) नहीं मिलता। परीक्षा में पहचानें कि दी गई सूचना नई है या केवल पहचान है।
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Step 1
Concept
Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु / Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\). Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
Step 3
Exam Tip
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं।
C. यह (3) और (4) के बीच होगा/It will be between (3) and (4)
Step 1
Concept
Since \(3^2<12<4^2\), \(\sqrt{12}\) lies between (3) and (4). A square root can be much smaller than the number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यह (3) और (4) के बीच होगा / It will be between (3) and (4). Since \(3^2<12<4^2\), \(\sqrt{12}\) lies between (3) and (4). A square root can be much smaller than the number.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(3^2<12<4^2\), इसलिए \(\sqrt{12}\) (3) और (4) के बीच है। वर्गमूल संख्या को छोटा कर सकता है।
A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या/Any non-zero real number
Step 1
Concept
The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या / Any non-zero real number. The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
Step 3
Exam Tip
योग (a) और गुणनफल (a) दोनों समान हैं। इसलिए \(a\neq0\) के लिए हर अशून्य (a) काम करता है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (64), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (64), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (64) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (49) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (36) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (25) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
A. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है/Every irrational number is a real number
Step 1
Concept
Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the inclusion of number systems.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है / Every irrational number is a real number. Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the inclusion of number systems.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। परीक्षा में संख्या पद्धति का समावेशन याद रखें।
A. ऐसा कोई वास्तविक (n) नहीं है/No such real (n) exists
Step 1
Concept
For equal zeroes, (D=0), so (4-4n=0) and (n=1). Then the zero is (1), which is not irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा कोई वास्तविक (n) नहीं है / No such real (n) exists. For equal zeroes, (D=0), so (4-4n=0) and (n=1). Then the zero is (1), which is not irrational.
Step 3
Exam Tip
समान शून्यकों के लिए (D=0), यानी (4-4n=0), इसलिए (n=1)। तब शून्यक (1) है, जो अपरिमेय नहीं है।
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा/At least one coefficient will be irrational
Step 1
Concept
The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा / At least one coefficient will be irrational. The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए।
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या प्रतिच्छेदों की संख्या के बराबर होती है/The number of real zeroes equals the number of intersection points
Step 1
Concept
Geometrically each (x)-axis intersection gives one real zero. A quadratic may have (0), (1), or (2) real zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक शून्यकों की संख्या प्रतिच्छेदों की संख्या के बराबर होती है / The number of real zeroes equals the number of intersection points. Geometrically each (x)-axis intersection gives one real zero. A quadratic may have (0), (1), or (2) real zeroes.
Step 3
Exam Tip
ज्यामितीय अर्थ में हर (x)-अक्ष प्रतिच्छेद एक वास्तविक शून्यक देता है। द्विघात में वास्तविक शून्यक (0), (1), या (2) हो सकते हैं।
A. हर (y)-प्रतिच्छेद शून्यक होता है/Every (y)-intercept is a zero
Step 1
Concept
A zero is related to the (x)-axis not a general (y)-intercept. A (y)-intercept gives a zero only if it is the origin.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर (y)-प्रतिच्छेद शून्यक होता है / Every (y)-intercept is a zero. A zero is related to the (x)-axis not a general (y)-intercept. A (y)-intercept gives a zero only if it is the origin.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (x)-अक्ष से संबंधित है न कि सामान्य (y)-प्रतिच्छेद से। (y)-प्रतिच्छेद तभी शून्यक देगा जब वह मूल बिंदु हो।
A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है/\(\frac{1}{2}\) is a zero
Step 1
Concept
A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है / \(\frac{1}{2}\) is a zero. A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
शून्यक भिन्न भी हो सकता है और छूना पर्याप्त है। जरूरी बात (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0) है।
A. पूरा ग्राफ (x)-अक्ष है/The whole graph is the (x)-axis
Step 1
Concept
(p(x)=0) gives (y=0) for every (x). Therefore the whole (x)-axis is the graph.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूरा ग्राफ (x)-अक्ष है / The whole graph is the (x)-axis. (p(x)=0) gives (y=0) for every (x). Therefore the whole (x)-axis is the graph.
Step 3
Exam Tip
(p(x)=0) हर (x) के लिए (y=0) देता है। इसलिए पूरा (x)-अक्ष ग्राफ है।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं / Only (2) and (5) can occur. For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^4\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा।
\(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) and \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत / Terminating. \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) and \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) और \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं / Only (2) and (5) can occur. For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^3\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा।
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) and \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत / Terminating. \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) and \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) और \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है।
A. यदि (q) \(10^k\) का भाजक है तो दशमलव सांत होगा/If (q) divides \(10^k\), the decimal terminates
Step 1
Concept
\(10^k\) has only prime factors (2) and (5), so any divisor gives a terminating decimal. The other statements are not always true because extra factors may occur.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि (q) \(10^k\) का भाजक है तो दशमलव सांत होगा / If (q) divides \(10^k\), the decimal terminates. \(10^k\) has only prime factors (2) and (5), so any divisor gives a terminating decimal. The other statements are not always true because extra factors may occur.
Step 3
Exam Tip
\(10^k\) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड होते हैं इसलिए उसके भाजक से सांत दशमलव मिलेगा। बाकी कथन अतिरिक्त गुणनखंडों के कारण हमेशा सही नहीं हैं।
\(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) and \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can sometimes be terminating.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत / Terminating. \(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) and \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can sometimes be terminating.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) और \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत हो सकता है।
C. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal terminates
Step 1
Concept
A decimal terminates when the reduced denominator has only (2) and (5). The other statements are incomplete because other prime factors may also be present.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा / If \(q=2^m5^n\), the decimal terminates. A decimal terminates when the reduced denominator has only (2) and (5). The other statements are incomplete because other prime factors may also be present.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
In \(q^2\), the powers of the same primes increase, but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
Powers may change, but the prime types do not. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। चरण 2: \(q^2\) में भी उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों की घातें बढ़ेंगी, नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। चरण 3: घात बदल सकती है, अभाज्य प्रकार नहीं।
\(0.\overline{81}=\frac{81}{99}\) and \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(\frac{99}{99}=1\), which is terminating.
Step 3
Exam Tip
The sum of two recurring decimals can be terminating. चरण 1: \(0.\overline{81}=\frac{81}{99}\) और \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\) है। चरण 2: योग \(\frac{99}{99}=1\) है, जो सांत दशमलव है। चरण 3: दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है।
A. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal will terminate
Step 1
Concept
The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If \(q=2^m5^n\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates. The other statements are incomplete because (q) may contain other prime factors.
Step 3
Exam Tip
Be careful with words like always and never. चरण 1: नियम सरलतम हर पर लागू होता है। चरण 2: यदि \(q=2^m5^n\), तो हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि (q) में अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। चरण 3: हमेशा और कभी नहीं जैसे शब्दों पर सावधानी रखें।
\(\frac{7}{9}=0.\overline{7}\), so dividing by (10) gives \(0.0\overline{7}\).
Step 3
Exam Tip
A factor (10) in the denominator shifts the decimal one place. चरण 1: \(\frac{7}{90}=\frac{7}{9\cdot 10}\) है। चरण 2: \(\frac{7}{9}=0.\overline{7}\), इसलिए (10) से भाग देने पर \(0.0\overline{7}\) मिलता है। चरण 3: हर में (10) होने से दशमलव एक स्थान आगे खिसकता है।
\(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) and \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (1), whose decimal (1.0) is terminating.
Step 3
Exam Tip
The sum of recurring decimals can sometimes be terminating. चरण 1: \(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) और \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\) है। चरण 2: योग (1) है, जिसका दशमलव (1.0) के रूप में सांत है। चरण 3: आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत भी हो सकता है।
\(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Break composite factors into primes first. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। चरण 2: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। चरण 3: संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें।
C. यह असांत आवर्ती होगा/It is non-terminating recurring
Step 1
Concept
The denominator has (7), and the numerator (1) cannot cancel it.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator has (7) besides (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Having (2) and (5) in the denominator does not guarantee termination. चरण 1: हर में (7) है और अंश (1) होने से वह कट नहीं सकता। चरण 2: सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (7) बचता है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: (2) और (5) की मौजूदगी सांत होने की गारंटी नहीं देती।
C. सरलतम हर में केवल (2) और (5) हों तो दशमलव सांत होगा/If the reduced denominator has only (2) and (5), the decimal terminates
Step 1
Concept
The decimal type is decided by the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the reduced denominator has only factors (2) and (5), the decimal terminates. The other statements are incomplete because factors like (3) or (7) may also be present.
Step 3
Exam Tip
Be careful with words like always. चरण 1: दशमलव का प्रकार सरलतम रूप के हर से तय होता है। चरण 2: यदि सरलतम हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों, तो दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि हर में (3), (7) आदि भी हो सकते हैं। चरण 3: हमेशा शब्द देखकर सावधानी रखें।
Since \(10^k=2^k\cdot 5^k\), the powers must become equal. The larger power is (3), so (k=3).
Step 3
Exam Tip
To form \(10^k\), make the powers of (2) and (5) equal. चरण 1: हर \(2^2\cdot 5^3\) है। चरण 2: \(10^k=2^k\cdot 5^k\) बनाने के लिए दोनों घात बराबर करनी होती हैं। बड़ी घात (3) है, इसलिए (k=3)। चरण 3: \(10^k\) बनाते समय दोनों अभाज्य घातों को समान करने का विचार रखें।
The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
The square root of a prime number is usually irrational. चरण 1: धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
Subtracting a rational number from an irrational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=(q-p)+p) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=(q-p)+p) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
Subtracting an irrational number from a rational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=p-(p-q)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=p-(p-q)) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Such rules can also be checked by reverse reasoning. चरण 1: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। चरण 2: यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं।
C. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है/The square root of a perfect square is rational
Step 1
Concept
Square roots of perfect squares are integers.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{36}=6\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume every square root is irrational. चरण 1: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। चरण 2: जैसे \(\sqrt{36}=6\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: हर वर्गमूल को अपरिमेय मान लेना गलत है।
A. दोनों संख्याओं का गुणनफल (9450) है/The product of the two numbers is (9450)
Step 1
Concept
For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the product is \(15\times 630=9450\). The sum or the exact numbers are not fixed without more information.
Step 3
Exam Tip
In relation-based questions, choose only what is definitely proved. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: इसलिए गुणनफल \(15\times 630=9450\) निश्चित है। योग या संख्याएँ अलग जानकारी के बिना निश्चित नहीं होतीं। चरण 3: संबंध आधारित प्रश्न में केवल निश्चित रूप से सिद्ध होने वाला कथन चुनें।
\(This relation is very useful in two-number problems. चरण 1: दो संख्याओं के लिए (xy=\)महत्तम समापवर्तक\(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य) होता है। चरण 2: इसलिए (xy) को महत्तम समापवर्तक से भाग देने पर लघुत्तम समापवर्त्य मिलता है। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
This also follows from prime powers because the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: यह संबंध अभाज्य घातों से भी समझ आता है क्योंकि छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
A. 1 से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Every number greater than 1 has a unique prime factorisation except for order
Step 1
Concept
The theorem is about prime factorisation of numbers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
This factorisation is unique except for order.
Step 3
Exam Tip
Do not mix it with separate rules of HCF or co-primality. चरण 1: मूल प्रमेय 1 से बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। चरण 2: यह गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 3: इसे महत्तम समापवर्तक या सह-अभाज्यता के अलग नियमों से न मिलाएं।
A. 1 न अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, so it is not prime.
Step 3
Exam Tip
A composite number needs more than two factors, so 1 is not composite either. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है। चरण 3: संयुक्त संख्या के लिए दो से अधिक भाजक चाहिए, इसलिए 1 संयुक्त भी नहीं है।
A. हर संयुक्त संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Every composite number has a unique prime factorisation except for order
Step 1
Concept
The main idea of the theorem is prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number greater than 1 can be written in a fixed way as prime factors.
Step 3
Exam Tip
The order may change, but the prime factors do not change. चरण 1: प्रमेय का मुख्य विचार अभाज्य गुणनखंडन है। चरण 2: 1 से बड़ी हर संयुक्त संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में निश्चित रूप से लिखा जा सकता है। चरण 3: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते।
A. 1 न अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, so it is not prime.
Step 3
Exam Tip
A composite number needs more than two factors, so 1 is not composite either. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है। चरण 3: संयुक्त संख्या के भी दो से अधिक भाजक चाहिए, इसलिए 1 संयुक्त भी नहीं है।
A. क्योंकि उसके ठीक दो धनात्मक भाजक नहीं होते/Because it does not have exactly two positive factors
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, 1.
Step 3
Exam Tip
Therefore, 1 is neither prime nor composite. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक 1 है। चरण 3: इसलिए 1 न अभाज्य है और न संयुक्त।
A. 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याएं/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is stated for positive integers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Every such number can be prime factorised.
Step 3
Exam Tip
1 is not included in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए कहा जाता है। चरण 2: ऐसी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन किया जा सकता है। चरण 3: 1 को सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल नहीं किया जाता।
A. 1 न अभाज्य है न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, 1, so it is neither prime nor composite.
Step 3
Exam Tip
Treating 1 as prime is a common exam mistake. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक 1 है, इसलिए वह न अभाज्य है न संयुक्त। चरण 3: 1 को अभाज्य मानना परीक्षा में आम गलती है।
A. धनात्मक पूर्णांक जो 1 से बड़े हों/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is about writing positive integers greater than 1 as products of primes.
Step 2
Why this answer is correct
So it discusses numbers greater than 1.
Step 3
Exam Tip
Do not include 1 in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। चरण 2: इसलिए सही चर्चा ऐसी संख्याओं की है जो 1 से बड़ी हों। चरण 3: 1 को इस प्रमेय के सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल न करें।
A. 1 न तो अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, 1, so it is neither prime nor composite.
Step 3
Exam Tip
Treating 1 as prime is a common mistake. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक 1 है, इसलिए वह न अभाज्य है और न संयुक्त। चरण 3: 1 को अभाज्य मानना आम गलती है।
B. शेषफल 0 से 31 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 31
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=32), so the remainder can be from 0 to 31.
Step 3
Exam Tip
Include 0 in the list of remainders and do not include 32. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=32), इसलिए शेषफल 0 से 31 तक हो सकता है। चरण 3: शेषफलों की सूची में 0 शामिल करें और 32 शामिल न करें।
