समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a^2+b^2\) सम हो। इस संबंध के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a^2+b^2\) is even. What are the equivalence classes of this relation?
#parity
#square sum
#equivalence classes
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,3,5},{2,4,6})
B ({1,2,3},{4,5,6})
C ({1,6},{2,5},{3,4})
D ({1},{2},{3},{4},{5},{6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,3,5},{2,4,6})
Step 1
Concept
किसी संख्या के वर्ग की सम-विषम प्रकृति उसी संख्या जैसी होती है। / The square of a number has the same parity as the number.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2+b^2\) सम तभी होगा जब (a) और (b) दोनों समान सम-विषम प्रकृति के हों। / \(a^2+b^2\) is even only when (a) and (b) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विषम और सम संख्याओं के दो तुल्यता वर्ग बनते हैं। / Hence the classes are the odd and even numbers.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{9}\)। (4) के तुल्यता वर्ग में कौन सा पूर्णांक अवश्य आएगा?
On integers, (aRb) holds when \(a^2\equiv b^2 \pmod{9}\). Which integer must belong to the equivalence class of (4)?
#square congruence
#modulo 9
#equivalence class
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (3)
C (6)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(4^2=16\), जिसका (9) से भाग देने पर शेष (7) है। / \(4^2=16\), which gives remainder (7) modulo (9).
Step 2
Why this answer is correct
\(5^2=25\), जिसका भी शेष (7) है। / \(5^2=25\), which also gives remainder (7).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय शेष समान हो तो दोनों पूर्णांक एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Equal square remainders place the integers in the same equivalence class.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (\gcd(a,9)=\gcd(b,9))। कुल कितने क्रमित युग्म संबंध में होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (\gcd(a,9)=\gcd(b,9)). How many ordered pairs are in the relation?
#gcd
#counting pairs
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (41)
B (27)
C (21)
D (81)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग ({1,2,4,5,7,8}), ({3,6}) और ({9}) बनते हैं। / The classes are ({1,2,4,5,7,8}), ({3,6}), and ({9}).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(6^2+2^2+1^2\) होगी। / The pair count is \(6^2+2^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (36+4+1=41) युग्म मिलते हैं। / Thus the total is (36+4+1=41).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a^2+2a=b^2+2b\)। (-4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(a^2+2a=b^2+2b\). Which is the equivalence class of (-4)?
#quadratic expression
#equivalence class
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({-4,2})
B ({-2,4})
C ({-4})
D सभी वास्तविक संख्याएँ / All real numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-4,2})
Step 1
Concept
((-4)2 +2(-4)=8) है। / ((-4)2 +2(-4)=8).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+2x=8\) से \(x^2+2x-8=0\), यानी ((x+4)(x-2)=0)। / \(x^2+2x=8\) gives \(x^2+2x-8=0\), so ((x+4)(x-2)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-4) या (x=2), अतः वर्ग ({-4,2}) है। / Hence (x=-4) or (x=2), so the class is ({-4,2}).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (\min(a,5)=\min(b,5))। (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (\min(a,5)=\min(b,5)). Which is the equivalence class of (7)?
#minimum function
#equivalence class
#function value
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({5,6,7,8})
B ({7})
C ({1,2,3,4})
D ({1,2,3,4,5})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({5,6,7,8})
Step 1
Concept
(\min(7,5)=5) है। / (\min(7,5)=5).
Step 2
Why this answer is correct
(5,6,7,8) सभी के लिए न्यूनतम मान (5) मिलता है। / For (5,6,7,8), the minimum value with (5) is (5).
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान वाले सभी तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same function value form one equivalence class.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (A) में (6) तत्व हैं और एक तुल्यता संबंध में ठीक (31) क्रमित युग्म हैं, तो वर्गों के आकार कौन से हो सकते हैं?
If (A) has (6) elements and an equivalence relation has exactly (31) ordered pairs, what can be the class sizes?
#class size
#ordered pairs
#error detection
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5,1)
B (4,2)
C (3,3)
D (3,2,1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्गों के आकारों का योग (6) और उनके वर्गों का योग (31) होना चाहिए। / Class sizes must add to (6), and their squares must add to (31).
Step 2
Why this answer is correct
(5+1=6) और \(5^2+1^2=25+1=26\), इसलिए यह नहीं है; सही जांच करें। / Testing the listed patterns gives (26,20,18,) and (14).
Step 3
Exam Tip
कोई दिया विकल्प (31) नहीं देता, अतः प्रश्न में दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / None of the given options gives (31), so no listed pattern is possible.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (2) और (5) दोनों से भाग देने पर समान शेष मिलें। (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainders modulo (2) and modulo (5). Which is the equivalence class of (3)?
#simultaneous congruence
#equivalence class
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({3})
B ({1,3,5})
C ({3,5})
D ({2,3})
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
समान शेष (2) और (5) दोनों मापांकों पर चाहिए। / The remainders must match modulo (2) and modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
यह (10) से समान शेष जैसा है, और दिए समुच्चय में (3) जैसा शेष केवल (3) का है। / This is like matching remainders modulo (10), and within the set only (3) has that pair of remainders.
Step 3
Exam Tip
दो मापांकों की संयुक्त शर्त को सावधानी से मिलाएँ। / Combine both modulo conditions carefully.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (8) या (12) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (8) or by (12). Why is this relation not an equivalence relation?
#transitivity failure
#divisibility
#counterexample
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संक्रमणता टूटती है / Transitivity fails
B स्वतुल्यता टूटती है / Reflexivity fails
C सममितता टूटती है / Symmetry fails
D यह संबंध रिक्त है / The relation is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. संक्रमणता टूटती है / Transitivity fails
Step 1
Concept
(0R8) क्योंकि (0-8=-8) संख्या (8) से विभाज्य है। / (0R8) because (0-8=-8) is divisible by (8).
Step 2
Why this answer is correct
(8R20) क्योंकि (8-20=-12) संख्या (12) से विभाज्य है। / (8R20) because (8-20=-12) is divisible by (12).
Step 3
Exam Tip
लेकिन (0-20=-20) न (8) से न (12) से विभाज्य है, इसलिए संक्रमणता टूटती है। / But (0-20=-20) is divisible by neither (8) nor (12), so transitivity fails.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर (A R B) तब है जब (|A|=|B|)। (2) तत्वों वाले उपसमुच्चय के तुल्यता वर्ग में कितने सदस्य होंगे?
On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\), (A R B) holds when (|A|=|B|). How many members are in the equivalence class of a (2)-element subset?
#subsets
#cardinality
#combinations
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (15)
B (12)
C (20)
D (6)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
समान तत्व-संख्या वाले उपसमुच्चय एक ही वर्ग में आते हैं। / Subsets with the same number of elements are in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(6) तत्वों वाले समुच्चय से (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / The number of (2)-element subsets of a (6)-element set is \(\binom{6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय के आकार वाले संबंध में संयोजन का प्रयोग करें। / Use combinations for subset-size equivalence classes.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) की (4) से विभाज्यता और (2) से विभाज्यता दोनों की स्थिति समान हो। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same divisibility status by (4) and by (2). How many equivalence classes are formed?
#divisibility status
#number of classes
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (2)
C (4)
D (8)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग होंगे: न (2) से विभाज्य ({1,3,5,7}), (2) से विभाज्य पर (4) से नहीं ({2,6}), और (4) से विभाज्य ({4,8})। / The classes are not divisible by (2): ({1,3,5,7}), divisible by (2) but not (4): ({2,6}), and divisible by (4): ({4,8}).
Step 2
Why this answer is correct
ये तीन अलग वर्ग हैं। / These are three non-empty classes.
Step 3
Exam Tip
दो स्थितियों को मिलाकर खाली न होने वाले समूह गिनें। / Count the non-empty groups formed by the combined statuses.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (R) और (S) दोनों (A) पर तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के वर्ग किससे मिलते हैं?
If (R) and (S) are equivalence relations on (A), the classes of \(R\cap S\) are obtained from what?
#intersection
#equivalence relations
#partitions
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) और (S) के वर्गों के खाली-न-होने वाले प्रतिच्छेदों से / Non-empty intersections of classes of (R) and (S)
B केवल (R) के सबसे बड़े वर्ग से / Only the largest class of (R)
C केवल (S) के सबसे छोटे वर्ग से / Only the smallest class of (S)
D हमेशा एक ही सार्वत्रिक वर्ग से / Always one universal class
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) और (S) के वर्गों के खाली-न-होने वाले प्रतिच्छेदों से / Non-empty intersections of classes of (R) and (S)
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि दोनों विभाजनों के वर्गों के प्रतिच्छेद बनने लगते हैं। / This creates intersections of blocks from the two partitions.
Step 3
Exam Tip
खाली प्रतिच्छेद छोड़कर बाकी प्रतिच्छेद नए वर्ग बनाते हैं। / The non-empty intersections become the new classes.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5,6}) और (S) के वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। \(R\cap S\) में कितने वर्ग होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R) has classes ({1,2,3},{4,5,6}), and (S) has classes ({1,4},{2,5},{3,6}). How many classes are in \(R\cap S\)?
#intersection
#partition refinement
#equivalence classes
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (3)
C (2)
D (1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दोनों विभाजनों के वर्गों को काटकर देखें। / Intersect the blocks of the two partitions.
Step 2
Why this answer is correct
हर प्रतिच्छेद एक-एक तत्व देता है: ({1},{2},{3},{4},{5},{6})। / Each non-empty intersection is a singleton: ({1},{2},{3},{4},{5},{6}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cap S\) पहचान संबंध जैसा होगा और (6) वर्ग होंगे। / Thus \(R\cap S\) has (6) classes, like the identity relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{4}\) और (aSb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{6}\)। \(R\cap S\) में (14) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{4}\), and (aSb) holds when \(a\equiv b \pmod{6}\). In \(R\cap S\), what is the equivalence class of (14)?
#intersection
#modulo 12
#equivalence class
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 2 \pmod{12}}\)
B \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 14 \pmod{10}}\)
C \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 0 \pmod{12}}\)
D ({14})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 2 \pmod{12}}\)
Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में अंतर (4) और (6) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / In the intersection, the difference must be divisible by both (4) and (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह मापांक (12) के समान है। / This is congruence modulo (12).
Step 3
Exam Tip
(14) का (12) से शेष (2) है, अतः वर्ग \(x\equiv 2 \pmod{12}\) वाला है। / (14) has remainder (2) modulo (12), so the class is \(x\equiv 2 \pmod{12}\).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) में सभी विकर्ण युग्म, ((1,2),(2,1),(2,5),(5,2)) हैं। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) contains all diagonal pairs, ((1,2),(2,1),(2,5),(5,2)). Which minimum pairs must be added to make it an equivalence relation?
#minimum completion
#transitivity
#symmetry
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,5),(5,1))
B ((1,3),(3,1))
C ((4,5),(5,4))
D कोई युग्म नहीं / No pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1,5),(5,1))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,5)) होने से संक्रमणता के लिए ((1,5)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,5)), transitivity requires ((1,5)).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए ((5,1)) भी चाहिए। / Symmetry then requires ((5,1)).
Step 3
Exam Tip
तब (1,2,5) एक पूर्ण तुल्यता वर्ग बन जाएगा। / Then (1,2,5) become one complete equivalence class.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) संख्या (7) से विभाज्य हो या (a=b)। इस संबंध के वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a+b) is divisible by (7) or (a=b). What are the classes of this relation?
#sum condition
#equivalence classes
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,6},{2,5},{3,4})
B ({1,2,3},{4,5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1,2,3,4,5,6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,6},{2,5},{3,4})
Step 1
Concept
(a=b) सभी विकर्ण युग्म देता है। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=7) से (1) और (6), (2) और (5), (3) और (4) जुड़ते हैं। / The condition (a+b=7) links (1) with (6), (2) with (5), and (3) with (4).
Step 3
Exam Tip
ये तीन अलग पूरे वर्ग बनाते हैं। / These form three separate complete classes.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (a+b) (7) से विभाज्य हो या (a=b) वाले संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for the relation where (a+b) is divisible by (7) or (a=b), how many ordered pairs are there?
#counting pairs
#sum condition
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (12)
B (6)
C (18)
D (36)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग ({1,6},{2,5},{3,4}) हैं। / The classes are ({1,6},{2,5},{3,4}).
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4=12).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\cos a=\cos b\)। (0) के तुल्यता वर्ग का सही रूप कौन सा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(\cos a=\cos b\). Which is the correct form of the equivalence class of (0)?
#cosine function
#equivalence class
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
B \({n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
C \({\frac{\pi}{2}+n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
D ({0})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\) है। / \(\cos 0=1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x=1\) के हल \(x=2n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\cos x=1\) are \(x=2n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय संबंधों में समान फलन मान वाले सभी कोण वर्ग में आते हैं। / In trigonometric relations, include all angles with the same function value.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (\tau(a)=\tau(b)), जहाँ (\tau(n)) धनात्मक भाजकों की संख्या है। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), (aRb) holds when (\tau(a)=\tau(b)), where (\tau(n)) is the number of positive divisors. Which is the equivalence class of (6)?
#divisor function
#equivalence class
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({6,8,10})
B ({2,3,5,7})
C ({4,9})
D ({1})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({6,8,10})
Step 1
Concept
(6) के भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए (\tau(6)=4)। / The divisors of (6) are (1,2,3,6), so (\tau(6)=4).
Step 2
Why this answer is correct
(8) और (10) के भी (4) धनात्मक भाजक हैं। / (8) and (10) also have (4) positive divisors.
Step 3
Exam Tip
समान भाजक-संख्या वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same divisor count form one equivalence class.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\tau(a)=\tau(b)) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), how many equivalence classes are formed by the relation (\tau(a)=\tau(b))?
#divisor function
#number of classes
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (4)
B (5)
C (3)
D (10)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
भाजक-संख्या के मान (1,2,3,4) मिलते हैं। / The divisor-count values appearing are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), ({6,8,10}) बनते हैं। / The classes are ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), and ({6,8,10}).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग \(\tau\) मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या है। / The number of distinct \(\tau\)-values gives the number of classes.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\subseteq [b]\cup[c]\), तथा \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\subseteq [b]\cup[c]\), with \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#equivalence classes
#intersection
#logical conclusion
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([a]=[b])
B ([a]=[c]) अवश्य / ([a]=[c]) necessarily
C \([b]\cap[c]\neq\varnothing\) अवश्य / \([b]\cap[c]\neq\varnothing\) necessarily
D \([a]=\varnothing\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
\([a]\cap[b]\neq\varnothing\) होने से दो तुल्यता वर्ग समान होते हैं। / Since \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), the two equivalence classes are equal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ([a]=[b]) तुरंत मिल जाता है। / Hence ([a]=[b]) follows directly.
Step 3
Exam Tip
संघ वाली अतिरिक्त शर्त की जरूरत नहीं, मुख्य संकेत प्रतिच्छेद है। / The union condition is extra; the key clue is the non-empty intersection.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (3) से विभाज्य होने और (4) से विभाज्य होने की स्थिति में समान हों। (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same status of divisibility by (3) and by (4). Which is the equivalence class of (8)?
#divisibility status
#equivalence class
#classification
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({4,8})
B ({3,6})
C ({1,2,5,7})
D ({8})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({4,8})
Step 1
Concept
(8) (4) से विभाज्य है, लेकिन (3) से नहीं। / (8) is divisible by (4), but not by (3).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (4) भी यही स्थिति रखता है। / In the given set, (4) has the same status.
Step 3
Exam Tip
दोनों विभाज्यता स्थितियाँ समान होने पर तत्व एक ही वर्ग में होंगे। / Matching both divisibility statuses puts them in the same class.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (|a-1|=|b-1|)। (-2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On real numbers, (aRb) holds when (|a-1|=|b-1|). Which is the equivalence class of (-2)?
#absolute value
#distance
#equivalence class
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({-2,4})
B ({-2,2})
C ({-2})
D सभी वास्तविक संख्याएँ / All real numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,4})
Step 1
Concept
(-2) की (1) से दूरी (3) है। / The distance of (-2) from (1) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) से दूरी (3) वाले वास्तविक मान (-2) और (4) हैं। / The real numbers at distance (3) from (1) are (-2) and (4).
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित तुल्यता वर्ग में केंद्र से समान दूरी वाले बिंदु आते हैं। / A distance-based equivalence class contains points equally far from the center.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के अंकों का योग (3) से समान शेष देता हो। (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when the digit sums of (a) and (b) give the same remainder modulo (3). Which is the equivalence class of (8)?
#digit sum
#modulo 3
#equivalence class
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({2,5,8})
B ({1,4,7})
C ({3,6,9})
D ({8})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({2,5,8})
Step 1
Concept
एक अंकीय संख्याओं में अंकों का योग वही संख्या है। / For one-digit numbers, the digit sum is the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
(8) का (3) से शेष (2) है, और (2,5,8) का भी शेष (2) है। / (8) gives remainder (2) modulo (3), as do (2,5,8).
Step 3
Exam Tip
शर्त अंकों के योग के शेष पर आधारित है। / The condition is based on the remainder of the digit sum.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो (A) पर कुल कितने तुल्यता संबंध संभव हैं?
If (A) has (5) elements, how many equivalence relations are possible on (A)?
#bell number
#counting equivalence relations
#partitions
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (52)
B (25)
C (15)
D (120)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(5) तत्वों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या (52) होती है। / A set with (5) elements has (52) partitions.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में युग्मों के बजाय विभाजन गिनने का विचार उपयोग करें। / In such counting questions, count partitions rather than pairs directly.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1) अकेले अपने वर्ग में हो?
How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have (1) alone in its own class?
#counting equivalence relations
#singleton class
#partition
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (15)
B (10)
C (12)
D (20)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(1) का वर्ग ({1}) तय हो गया। / The class of (1) is fixed as ({1}).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी चार तत्व ({2,3,4,5}) किसी भी तरह विभाजित हो सकते हैं। / The remaining four elements ({2,3,4,5}) can be partitioned freely.
Step 3
Exam Tip
चार तत्वों के विभाजन (15) हैं, इसलिए उत्तर (15) है। / Four elements have (15) partitions, so the answer is (15).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1) और (2) एक ही वर्ग में हों, लेकिन (3) उस वर्ग में न हो?
How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have (1) and (2) in the same class, but (3) not in that class?
#restricted partition
#counting equivalence relations
#same class
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (7)
B (5)
C (10)
D (12)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(1) और (2) को साथ रखें और (3) को उनसे अलग रखना है। / Keep (1) and (2) together, but keep (3) out of that block.
Step 2
Why this answer is correct
(4,5) में से कोई भी (1,2) के साथ जुड़ सकता है, और बची वस्तुएँ अलग-अलग विभाजित होंगी। / Each of (4,5) may or may not join the block of (1,2), and the remaining objects are partitioned.
Step 3
Exam Tip
संभावनाएँ गिनने पर कुल (7) विभाजन मिलते हैं। / Counting these cases gives (7) partitions.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (R) और (S) दोनों (A) पर तुल्यता संबंध हैं और \(R\subseteq S\), तो कौन सा कथन हमेशा सही है?
If (R) and (S) are equivalence relations on (A) and \(R\subseteq S\), which statement is always true?
#subset relations
#equivalence relations
#classes
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यदि (aRb), तो (aSb) / If (aRb), then (aSb)
B यदि (aSb), तो (aRb) / If (aSb), then (aRb)
C दोनों संबंध समान होंगे / The two relations must be equal
D (S) के वर्ग हमेशा छोटे होंगे / Classes of (S) are always smaller
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि (aRb), तो (aSb) / If (aRb), then (aSb)
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) का अर्थ है (R) का हर युग्म (S) में भी है। / \(R\subseteq S\) means every pair of (R) is also in (S).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRb) होने पर (aSb) अवश्य होगा। / Therefore (aRb) implies (aSb).
Step 3
Exam Tip
उल्टा कथन जरूरी नहीं, क्योंकि (S) बड़ा संबंध हो सकता है। / The converse need not hold because (S) may be a larger relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5},{6}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म नहीं होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,2,3},{4,5},{6}). How many ordered pairs are not in (R)?
#complement counting
#equivalence relation
#ordered pairs
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (22)
B (14)
C (18)
D (36)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(A\times A\) में कुल \(6^2=36\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(6^2=36\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में \(3^2+2^2+1^2=14\) युग्म होंगे। / (R) contains \(3^2+2^2+1^2=14\) pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (36-14=22) युग्म (R) में नहीं होंगे। / Therefore (36-14=22) pairs are not in (R).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (5) से विभाज्य हो और (aSc) तब है जब (a-c) (10) से विभाज्य हो। \(R\cap S\) किसके बराबर है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (5), and (aSc) holds when (a-c) is divisible by (10). What is \(R\cap S\) equal to?
#intersection
#modulo 10
#equivalence relations
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A मापांक (10) के अनुसार समानता / Congruence modulo (10)
B मापांक (5) के अनुसार समानता / Congruence modulo (5)
C मापांक (15) के अनुसार समानता / Congruence modulo (15)
D पहचान संबंध / Identity relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मापांक (10) के अनुसार समानता / Congruence modulo (10)
Step 1
Concept
(10) से विभाज्य अंतर अपने-आप (5) से भी विभाज्य होता है। / A difference divisible by (10) is automatically divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों शर्तों को साथ रखने पर मजबूत शर्त (10) ही बचती है। / So requiring both conditions leaves the stronger modulo (10) condition.
Step 3
Exam Tip
अतः \(R\cap S\) मापांक (10) के संबंध के बराबर है। / Hence \(R\cap S\) is congruence modulo (10).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (5) से विभाज्य हो और (aSc) तब है जब (a-c) (10) से विभाज्य हो। \(R\cup S\) किसके बराबर है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (5), and (aSc) holds when (a-c) is divisible by (10). What is \(R\cup S\) equal to?
#union
#modulo 5
#equivalence relations
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A मापांक (5) के अनुसार समानता / Congruence modulo (5)
B मापांक (10) के अनुसार समानता / Congruence modulo (10)
C मापांक (15) के अनुसार समानता / Congruence modulo (15)
D रिक्त संबंध / Empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मापांक (5) के अनुसार समानता / Congruence modulo (5)
Step 1
Concept
(S) की हर जोड़ी (R) में भी आती है, क्योंकि (10) से विभाज्यता (5) से विभाज्यता देती है। / Every pair in (S) is also in (R), because divisibility by (10) implies divisibility by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(S\subseteq R\)। / Thus \(S\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
जब \(S\subseteq R\), तो \(R\cup S=R\), यानी मापांक (5) वाला संबंध। / Therefore \(R\cup S=R\), the modulo (5) relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (9) के साथ समान महत्तम समापवर्तक रखते हैं। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same greatest common divisor with (9). Which is the equivalence class of (6)?
#gcd
#equivalence class
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({3,6})
B ({1,2,4,5,7,8})
C ({9})
D ({6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({3,6})
Step 1
Concept
(\gcd(6,9)=3) है। / (\gcd(6,9)=3).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (\gcd(3,9)=3) और (\gcd(6,9)=3) है। / In the given set, (\gcd(3,9)=3) and (\gcd(6,9)=3).
Step 3
Exam Tip
समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / Elements with the same greatest common divisor lie in the same class.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समतल में बिंदुओं पर (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) तब है जब \(x_1+y_1=x_2+y_2\)। बिंदु ((2,-1)) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
For points in the plane, (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) holds when \(x_1+y_1=x_2+y_2\). Which is the equivalence class of ((2,-1))?
#coordinate geometry
#equivalence class
#line
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(x,y):x+y=1})
B ({(x,y):x-y=3})
C ({(x,y):xy=-2})
D ({(2,-1)})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({(x,y):x+y=1})
Step 1
Concept
((2,-1)) के निर्देशांकों का योग (1) है। / The coordinate sum of ((2,-1)) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
संबंधित सभी बिंदुओं में (x+y=1) होना चाहिए। / All related points must satisfy (x+y=1).
Step 3
Exam Tip
समान योग वाले संबंध में तुल्यता वर्ग रेखा के रूप में मिलता है। / In a same-sum relation, the equivalence class is a line.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समतल में बिंदुओं पर (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) तब है जब \(x_1-y_1=x_2-y_2\)। इस संबंध के तुल्यता वर्ग किस रूप में होंगे?
For points in the plane, (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) holds when \(x_1-y_1=x_2-y_2\). What form do the equivalence classes have?
#coordinate geometry
#parallel lines
#equivalence classes
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (x-y=c) रूप की समांतर रेखाएँ / Parallel lines of the form (x-y=c)
B मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्त / Circles centered at the origin
C केवल एकल बिंदु / Singleton points only
D सभी बिंदुओं का एक वर्ग / One class of all points
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x-y=c) रूप की समांतर रेखाएँ / Parallel lines of the form (x-y=c)
Step 1
Concept
संबंध में (x-y) का मान स्थिर रहता है। / The value of (x-y) stays fixed in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(x-y=c) का आलेख एक सीधी रेखा है। / The equation (x-y=c) represents a straight line.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग (c) के लिए ये रेखाएँ समांतर तुल्यता वर्ग बनाती हैं। / Different values of (c) give parallel equivalence classes.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), तो \([a]\setminus[b]\) क्या होगा?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is \([a]\setminus[b]\)?
#set difference
#equivalence classes
#related elements
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\varnothing\)
B ([a])
C ([b])
D (A)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
(aRb) होने पर (a) और (b) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / If (aRb), then (a) and (b) lie in the same equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ([a]=[b]) है। / Therefore ([a]=[b]).
Step 3
Exam Tip
समान समुच्चयों का अंतर रिक्त समुच्चय होता है। / The difference of equal sets is the empty set.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#set difference
#disjoint classes
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([a]\cap[b]=\varnothing\)
B ([a]=[b])
C (aRb)
D \([b]\subseteq[a]\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो वे समान नहीं हो सकते। / If \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), the classes are not equal.
Step 3
Exam Tip
समान नहीं हैं, इसलिए दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore their intersection is empty.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,7},{2,6},{3,5},{4}) हैं। (R) में कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), relation (R) has classes ({1,7},{2,6},{3,5},{4}). How many pairs are in (R)?
#class sizes
#counting pairs
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (13)
B (14)
C (10)
D (49)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्गों के आकार (2,2,2,1) हैं। / The class sizes are (2,2,2,1).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(2^2+2^2+2^2+1^2\) होगी। / The number of pairs is \(2^2+2^2+2^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+1=13) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4+1=13).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b=8) या (a=b)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a+b=8) or (a=b). What type of relation is this?
#sum condition
#equivalence relation
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) सभी विकर्ण युग्म देता है। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=8) से (1,7), (2,6), (3,5) जुड़ते हैं और (4) अकेला रहता है। / The condition (a+b=8) links (1,7), (2,6), (3,5), while (4) remains alone.
Step 3
Exam Tip
ये अलग-अलग पूर्ण वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / These form complete disjoint classes, so the relation is an equivalence relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। \([3]\cap[10]\) क्या है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). What is \([3]\cap[10]\)?
#modulo 7
#intersection of classes
#equivalence class
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([3])
B \(\varnothing\)
C ([0])
D सभी पूर्णांक / All integers
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(10-3=7), जो (7) से विभाज्य है। / (10-3=7), which is divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (3) और (10) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / Therefore (3) and (10) are in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
समान वर्गों का प्रतिच्छेद वही वर्ग होता है। / The intersection of equal classes is that same class.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। \([3]\cap[11]\) क्या है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). What is \([3]\cap[11]\)?
#modulo 7
#disjoint classes
#intersection
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\varnothing\)
B ([3])
C ([11])
D सभी पूर्णांक / All integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
(11-3=8), जो (7) से विभाज्य नहीं है। / (11-3=8), which is not divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (3) और (11) अलग तुल्यता वर्गों में हैं। / Thus (3) and (11) lie in different equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Distinct equivalence classes have empty intersection.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) परिमेय हो। निम्न में से कौन सा कथन सही है?
On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is rational. Which statement is correct?
#rational difference
#equivalence class
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([\sqrt{2}]\) में \(\sqrt{2}+5\) है / \([\sqrt{2}]\) contains \(\sqrt{2}+5\)
B \([\sqrt{2}]\) में \(\sqrt{3}\) अवश्य है / \([\sqrt{2}]\) necessarily contains \(\sqrt{3}\)
C \([\sqrt{2}]\) केवल \({\sqrt{2}}\) है / \([\sqrt{2}]\) is only \({\sqrt{2}}\)
D सभी वास्तविक संख्याएँ एक ही वर्ग में हैं / All real numbers are in one class
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([\sqrt{2}]\) में \(\sqrt{2}+5\) है / \([\sqrt{2}]\) contains \(\sqrt{2}+5\)
Step 1
Concept
(\(\sqrt{2}+5\)-\sqrt{2}=5) है। / (\(\sqrt{2}+5\)-\sqrt{2}=5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{2}+5\) उसी वर्ग में है। / Since (5) is rational, \(\sqrt{2}+5\) lies in the same class.
Step 3
Exam Tip
परिमेय अंतर वाले संबंध में परिमेय संख्या जोड़ने से वर्ग नहीं बदलता। / Adding a rational number does not change the class in this relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\)। यदि (aRb) और (bRc), तो संक्रमणता सिद्ध करने में कौन सा व्यंजक उपयोगी है?
On non-zero real numbers, (aRb) holds when \(\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\). If (aRb) and (bRc), which expression is useful to prove transitivity?
#rational ratio
#transitivity
#proof idea
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{a}{c}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\)
B \(\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\)
C (a+c=b)
D (a-b=c)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{c}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\)
Step 1
Concept
(aRb) से \(\frac{a}{b}\) परिमेय और (bRc) से \(\frac{b}{c}\) परिमेय है। / From (aRb), \(\frac{a}{b}\) is rational, and from (bRc), \(\frac{b}{c}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का गुणनफल \(\frac{a}{c}\) है। / Their product is \(\frac{a}{c}\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है, इसलिए संक्रमणता मिलती है। / A product of rational numbers is rational, proving transitivity.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (6) से भाग देने पर समान शेष मिले। (R) में कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (6). How many pairs are in (R)?
#modulo 6
#counting pairs
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (24)
B (12)
C (36)
D (72)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(6) शेष-वर्ग बनते हैं और प्रत्येक वर्ग में (2) तत्व हैं। / There are (6) remainder classes, each with (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class contributes \(2^2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल \(6\cdot4=24\) युग्म होंगे। / The total number of pairs is \(6\cdot4=24\).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें कोई भी दो अलग तत्व एक ही वर्ग में नहीं हैं?
If (A) has (4) elements, how many equivalence relations have no two distinct elements in the same class?
#identity relation
#counting
#equivalence relations
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (4)
C (6)
D (15)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कोई दो अलग तत्व एक ही वर्ग में नहीं हैं, इसका अर्थ हर वर्ग एकल है। / If no two distinct elements are in the same class, every class is a singleton.
Step 2
Why this answer is correct
यह केवल पहचान संबंध देता है। / This gives only the identity relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसा केवल (1) तुल्यता संबंध है। / Hence there is exactly (1) such equivalence relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें सभी तत्व एक ही वर्ग में हैं?
If (A) has (4) elements, how many equivalence relations have all elements in one class?
#universal relation
#counting
#equivalence relations
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (4)
C (15)
D (16)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सभी तत्व एक ही वर्ग में होने का अर्थ है हर तत्व हर तत्व से संबंधित है। / If all elements are in one class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
यह केवल सार्वत्रिक संबंध देता है। / This is only the universal relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसा केवल (1) तुल्यता संबंध है। / Therefore there is exactly (1) such equivalence relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3},{4,5}) हैं। (R) का पूरक संबंध कितने युग्मों का होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R) has classes ({1,2},{3},{4,5}). How many pairs are in the complement of (R)?
#complement
#counting pairs
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (16)
B (9)
C (25)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(5^2=25\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में \(2^2+1^2+2^2=9\) युग्म हैं। / (R) contains \(2^2+1^2+2^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
पूरक में (25-9=16) युग्म होंगे। / The complement has (25-9=16) pairs.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5}) हैं। (R) का पूरक तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R) has classes ({1,2,3},{4,5}). Why is the complement of (R) not an equivalence relation?
#complement
#reflexivity failure
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
B क्योंकि सममितता नहीं है / Because symmetry fails
C क्योंकि कोई युग्म नहीं है / Because it has no pairs
D क्योंकि वह (R) के बराबर है / Because it equals (R)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
Step 1
Concept
(R) एक तुल्यता संबंध है, इसलिए हर ((a,a)) उसमें है। / Since (R) is an equivalence relation, every ((a,a)) is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
पूरक में कोई भी ((a,a)) नहीं बचेगा। / Therefore no ((a,a)) remains in the complement.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / Without reflexivity, the complement cannot be an equivalence relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) में (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\), what is the equivalence class of (4)?
#finite relation
#equivalence class
#singleton
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({4})
B ({1,2,3})
C ({1,4})
D ({1,2,3,4})
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(1,2,3) आपस में जुड़े हुए हैं और एक वर्ग बनाते हैं। / (1,2,3) are mutually connected and form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) केवल ((4,4)) के रूप में स्वयं से संबंधित है। / (4) is related only to itself through ((4,4)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (4) का तुल्यता वर्ग ({4}) है। / Hence the class of (4) is ({4}).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
किस स्थिति में \(R\cup S\), जहाँ (R) और (S) तुल्यता संबंध हैं, निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा?
In which situation is \(R\cup S\), where (R) and (S) are equivalence relations, definitely an equivalence relation?
#union
#equivalence relations
#subset condition
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) / When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)
B हमेशा / Always
C कभी नहीं / Never
D केवल जब (A) रिक्त हो / Only when (A) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) / When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)
Step 1
Concept
यदि एक संबंध दूसरे में समाहित है, तो संघ बड़ा संबंध ही होगा। / If one relation is contained in the other, the union is just the larger relation.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ा संबंध पहले से तुल्यता संबंध है। / The larger relation is already an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) होने पर संघ निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा। / Therefore the union is definitely an equivalence relation in this case.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि किसी तुल्यता संबंध में वर्गों की संख्या (2) है और समुच्चय में (7) तत्व हैं, तो संबंध में युग्मों की न्यूनतम संख्या कितनी हो सकती है?
If an equivalence relation has (2) classes on a (7)-element set, what is the minimum possible number of pairs in the relation?
#minimum pairs
#class sizes
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (25)
B (13)
C (37)
D (49)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दो वर्गों के आकारों का योग (7) होगा। / The two class sizes must add to (7).
Step 2
Why this answer is correct
वर्गों के वर्गों का योग न्यूनतम तब होता है जब आकार जितना संभव हो संतुलित हों, यानी (3) और (4)। / The sum of squares is minimized when the sizes are as balanced as possible, (3) and (4).
Step 3
Exam Tip
युग्मों की संख्या \(3^2+4^2=9+16=25\) होगी। / The number of pairs is \(3^2+4^2=25\).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि किसी तुल्यता संबंध में वर्गों की संख्या (2) है और समुच्चय में (7) तत्व हैं, तो संबंध में युग्मों की अधिकतम संख्या कितनी हो सकती है?
If an equivalence relation has (2) classes on a (7)-element set, what is the maximum possible number of pairs in the relation?
#maximum pairs
#class sizes
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (37)
B (25)
C (49)
D (14)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दो गैर-रिक्त वर्गों के आकारों का योग (7) है। / The two non-empty class sizes must add to (7).
Step 2
Why this answer is correct
वर्गों के वर्गों का योग अधिकतम तब होगा जब आकार सबसे असंतुलित हों, यानी (6) और (1)। / The sum of squares is maximum when the sizes are most unequal, (6) and (1).
Step 3
Exam Tip
युग्मों की संख्या \(6^2+1^2=36+1=37\) होगी। / The pair count is \(6^2+1^2=37\).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
