पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब \(a^2+a=b^2+b\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) holds when \(a^2+a=b^2+b\). Which is the equivalence class of (2)?
#quadratic expression
#equivalence class
#integers
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? Hint Small clue
A ({-3,2})
B ({-2,3})
C ({2})
D सभी पूर्णांक / All integers
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Correct Answer
A. ({-3,2})
Step 1
Concept
\(2^2+2=6\) है। / \(2^2+2=6\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+x=6\) से \(x^2+x-6=0\) मिलता है, इसलिए ((x-2)(x+3)=0)। / Solving \(x^2+x=6\) gives \(x^2+x-6=0\), so ((x-2)(x+3)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=2) या (x=-3), अतः वर्ग ({-3,2}) है। / Hence (x=2) or (x=-3), so the class is ({-3,2}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (\gcd(a,8)=\gcd(b,8))। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (\gcd(a,8)=\gcd(b,8)). Which is the equivalence class of (6)?
#gcd
#equivalence class
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({2,6})
B ({1,3,5,7})
C ({4})
D ({8})
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Correct Answer
A. ({2,6})
Step 1
Concept
(\gcd(6,8)=2) है। / (\gcd(6,8)=2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (\gcd(2,8)=2) और (\gcd(6,8)=2) है। / In the given set, (\gcd(2,8)=2) and (\gcd(6,8)=2).
Step 3
Exam Tip
समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same greatest common divisor form one equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (\gcd(a,8)=\gcd(b,8)) से बने संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), how many ordered pairs are in the relation defined by (\gcd(a,8)=\gcd(b,8))?
#gcd
#counting pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (22)
B (18)
C (16)
D (64)
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Step 1
Concept
वर्ग ({1,3,5,7},{2,6},{4},{8}) बनते हैं। / The classes are ({1,3,5,7},{2,6},{4},{8}).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(4^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। / The number of pairs is \(4^2+2^2+1^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (16+4+1+1=22) युग्म होंगे। / The total is (16+4+1+1=22).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,4,5}) और ({2,3}) हैं। कौन सा युग्म (R) में अवश्य नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the classes of relation (R) are ({1,4,5}) and ({2,3}). Which pair will definitely not be in (R)?
#partition
#not related
#equivalence classes
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ((4,2))
B ((1,5))
C ((3,2))
D ((5,1))
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Correct Answer
A. ((4,2))
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के अंदर के तत्व संबंधित होते हैं। / In an equivalence relation, only elements inside the same class are related.
Step 2
Why this answer is correct
(4) पहले वर्ग में है और (2) दूसरे वर्ग में है। / (4) is in the first class and (2) is in the second class.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के तत्वों का युग्म संबंध में नहीं होगा। / A pair from different classes cannot belong to the relation.
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यदि (A) के (6) तत्वों पर तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (3,2,1) हैं, तो संबंध में युग्मों की संख्या कितनी होगी?
If an equivalence relation on a (6)-element set has class sizes (3,2,1), how many pairs are in the relation?
#class sizes
#counting pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (14)
B (12)
C (18)
D (36)
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Step 1
Concept
आकार (m) वाले तुल्यता वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल युग्म \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) होंगे। / The total is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध में (14) युग्म होंगे। / Hence the relation contains (14) pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1,2,3) एक ही वर्ग में हों?
How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have (1,2,3) in the same class?
#counting equivalence relations
#same class
#partition
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A (5)
B (6)
C (10)
D (15)
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Step 1
Concept
(1,2,3) को एक संयुक्त समूह मान सकते हैं। / Treat (1,2,3) as one combined block.
Step 2
Why this answer is correct
अब तीन वस्तुएँ बचती हैं: ({1,2,3},4,5)। तीन वस्तुओं के विभाजन (5) होते हैं। / Then there are three objects: ({1,2,3},4,5). Three objects have (5) partitions.
Step 3
Exam Tip
साथ रहने वाले तत्वों को पहले एक वस्तु मानना गिनती को सरल करता है। / Combine elements that must stay together before counting.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें ठीक तीन तुल्यता वर्ग हों?
How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have exactly three equivalence classes?
#three classes
#partition counting
#equivalence relations
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A (25)
B (20)
C (15)
D (30)
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Step 1
Concept
यह (5) तत्वों को ठीक (3) खाली-न-होने वाले समूहों में बाँटने की गिनती है। / This is the number of ways to partition (5) elements into exactly (3) non-empty blocks.
Step 2
Why this answer is correct
आकारों के प्रकार (3,1,1) और (2,2,1) होंगे। / The block-size patterns are (3,1,1) and (2,2,1).
Step 3
Exam Tip
गिनती (10+15=25) आती है, इसलिए (25) तुल्यता संबंध हैं। / The count is (10+15=25), so there are (25) equivalence relations.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1) और (2) अलग-अलग वर्गों में हों?
How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4\}\) have (1) and (2) in different classes?
#counting equivalence relations
#different classes
#partition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (10)
B (8)
C (5)
D (12)
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Step 1
Concept
(4) तत्वों पर कुल तुल्यता संबंध (15) होते हैं। / A (4)-element set has (15) equivalence relations.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) एक ही वर्ग में हों तो गिनती (5) है। / The number where (1) and (2) are in the same class is (5).
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों की गिनती (15-5=10) होगी। / Hence the number where they are in different classes is (15-5=10).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (5) से भाग देने पर समान शेष हो। संबंध में कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (5). How many pairs are in the relation?
#same remainder
#counting pairs
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (8)
B (10)
C (12)
D (6)
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Step 1
Concept
वर्ग ({1,6},{2},{3},{4},{5}) बनते हैं। / The classes are ({1,6},{2},{3},{4},{5}).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(2^2+1^2+1^2+1^2+1^2\) होगी। / The pair count is \(2^2+1^2+1^2+1^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (4+1+1+1+1=8) युग्म मिलेंगे। / The total is (4+1+1+1+1=8).
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (6) और (10) दोनों से विभाज्य हो। यह किस मापांक के समान तुल्यता संबंध है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by both (6) and (10). This is the same as congruence modulo which number?
#lcm
#congruence
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (30)
B (60)
C (16)
D (2)
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Step 1
Concept
अंतर (6) और (10) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / The difference must be divisible by both (6) and (10).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्या (\operatorname{lcm}(6,10)=30) से विभाज्य होगी। / Such a difference is divisible by (\operatorname{lcm}(6,10)=30).
Step 3
Exam Tip
दो मापांक शर्तों को साथ मिलाते समय लघुत्तम समापवर्त्य लें। / When two modulo conditions must hold together, use the least common multiple.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (4) या (6) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (4) or by (6). Why is this relation not an equivalence relation?
#transitivity failure
#divisibility
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
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A संक्रमणता टूटती है / Transitivity fails
B स्वतुल्यता टूटती है / Reflexivity fails
C सममितता टूटती है / Symmetry fails
D यह रिक्त संबंध है / It is the empty relation
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Correct Answer
A. संक्रमणता टूटती है / Transitivity fails
Step 1
Concept
(0-4=-4) (4) से विभाज्य है और (4-10=-6) (6) से विभाज्य है। / (0-4=-4) is divisible by (4), and (4-10=-6) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (0-10=-10) न (4) से और न (6) से विभाज्य है। / But (0-10=-10) is divisible by neither (4) nor (6).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दो जुड़े युग्म होने पर तीसरा जरूरी युग्म नहीं मिलता, अतः संक्रमणता टूटती है। / Thus transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\sin a=\sin b\)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(\sin a=\sin b\). What type of relation is it?
#function value
#sine
#equivalence relation
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(\sin a=\sin a\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin a=\sin a\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sin a=\sin b\), तो \(\sin b=\sin a\), इसलिए सममितता है। / If \(\sin a=\sin b\), then \(\sin b=\sin a\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of function values is transitive, so this is an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर \(\sin a=\sin b\) वाले संबंध में (0) के वर्ग का सही रूप कौन सा है?
For the relation \(\sin a=\sin b\) on real numbers, which is the correct form of the class of (0)?
#sine function
#equivalence class
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \({n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
B \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
C \({\frac{\pi}{2}+2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
D ({0})
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Correct Answer
A. \({n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
(0) के लिए \(\sin 0=0\) है। / For (0), \(\sin 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x=0\) के हल \(x=n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\sin x=0\) are \(x=n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन वाले वर्गों में सभी समान फलन मान वाले कोण शामिल करें। / For trigonometric function classes, include all angles with the same function value.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या समान हो। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same number of prime factors counted with repetition. Which is the equivalence class of (6)?
#prime factors
#equivalence class
#classification
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ({4,6,9})
B ({2,3,5,7})
C ({8})
D ({1})
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Correct Answer
A. ({4,6,9})
Step 1
Concept
\(6=2\cdot3\), इसलिए इसमें दो अभाज्य गुणनखंड हैं। / \(6=2\cdot3\), so it has two prime factors with repetition.
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\) और \(9=3^2\) में भी दो अभाज्य गुणनखंड हैं। / \(4=2^2\) and \(9=3^2\) also have two prime factors.
Step 3
Exam Tip
गुणनखंडों की संख्या गिनते समय पुनरावृत्ति को भी गिनना है। / Count repeated prime factors when the condition says so.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के (2) से भाग देने पर शेष और (3) से भाग देने पर शेष दोनों समान हों। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder modulo (2) and also the same remainder modulo (3). Which is the equivalence class of (5)?
#simultaneous congruence
#equivalence class
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ({5})
B ({2,5})
C ({1,5})
D ({5,6})
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Step 1
Concept
दो संख्याओं के शेष (2) और (3) दोनों मापांकों पर समान होने चाहिए। / The two numbers must have the same remainders modulo (2) and modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह असल में (6) से समान शेष जैसा है। / This is the same as having the same remainder modulo (6).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (5) जैसा (6) से शेष (5) केवल (5) का है। / In the given set, only (5) has remainder (5) modulo (6).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (10) से समान महत्तम समापवर्तक रखते हों। कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same greatest common divisor with (10). How many equivalence classes are formed?
#gcd
#number of classes
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (4)
B (5)
C (3)
D (10)
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Step 1
Concept
(\gcd(a,10)) के संभावित मान (1,2,5,10) हैं। / The possible values of (\gcd(a,10)) are (1,2,5,10).
Step 2
Why this answer is correct
इन चार अलग मानों से चार अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। / These four distinct values create four equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या देती है। / The number of distinct function values gives the number of classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\gcd(a,10)=\gcd(b,10)) से बने संबंध में (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), for the relation (\gcd(a,10)=\gcd(b,10)), which is the equivalence class of (8)?
#gcd
#equivalence class
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({2,4,6,8})
B ({1,3,7,9})
C ({5})
D ({10})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({2,4,6,8})
Step 1
Concept
(\gcd(8,10)=2) है। / (\gcd(8,10)=2).
Step 2
Why this answer is correct
(2,4,6,8) सभी का (10) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है। / (2,4,6,8) all have greatest common divisor (2) with (10).
Step 3
Exam Tip
समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व ही उसी वर्ग में आएँगे। / Only elements with the same greatest common divisor belong to the class.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (aRb) तब है जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। (-1.2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (aRb) holds when \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). Which is the equivalence class of (-1.2)?
#floor function
#equivalence class
#negative numbers
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A ([-2,-1))
B ([-1,0))
C ((-2,-1])
D ({-1.2})
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Correct Answer
A. ([-2,-1))
Step 1
Concept
\(\lfloor -1.2\rfloor=-2\) है। / \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (-2) है, वे ([-2,-1)) में आती हैं। / Real numbers with floor value (-2) lie in ([-2,-1)).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्याओं में पूर्णांक भाग निकालते समय बाएँ छोटे पूर्णांक पर ध्यान दें। / For negative numbers, be careful that the floor goes to the smaller integer.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), (cRd) हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अवश्य सही है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), (cRd), which conclusion must be true?
#transitivity chain
#equivalence relation
#classes
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A (aRd)
B \(a\not R d\)
C \([a]\cap[d]=\varnothing\)
D (dRa) कभी नहीं / (dRa) never
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Step 1
Concept
(aRb) और (bRc) से संक्रमणता द्वारा (aRc) मिलता है। / From (aRb) and (bRc), transitivity gives (aRc).
Step 2
Why this answer is correct
(aRc) और (cRd) से फिर संक्रमणता द्वारा (aRd) मिलता है। / From (aRc) and (cRd), transitivity gives (aRd).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में एक श्रृंखला के सभी तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, all elements connected in a chain lie in the same class.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), तो कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), which statement is correct?
#intersection of classes
#equivalence classes
#partition
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A ([a]=[b]=[c])
B तीनों वर्ग अलग-अलग हैं / The three classes are distinct
C तीनों वर्ग रिक्त हैं / The three classes are empty
D केवल ([a]=[b]), पर ([c]) अलग है / Only ([a]=[b]), but ([c]) is different
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Correct Answer
A. ([a]=[b]=[c])
Step 1
Concept
तीनों वर्गों में कोई एक समान तत्व है। / The three classes share at least one common element.
Step 2
Why this answer is correct
दो तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली न हो तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes have non-empty intersection, they are equal.
Step 3
Exam Tip
यही बात तीनों पर लागू होगी, इसलिए तीनों वर्ग समान हैं। / Applying this to all three classes gives ([a]=[b]=[c]).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (\max(a,4)=\max(b,4))। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (\max(a,4)=\max(b,4)). Which is the equivalence class of (2)?
#maximum function
#equivalence class
#function value
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2,3,4})
B ({2})
C ({5})
D ({5,6})
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Correct Answer
A. ({1,2,3,4})
Step 1
Concept
(\max(2,4)=4) है। / (\max(2,4)=4).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3,4) सभी के लिए (\max(a,4)=4) मिलता है। / For (1,2,3,4), the value of (\max(a,4)) is (4).
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान से बने संबंध में समान मान वाले सभी तत्व एक वर्ग बनाते हैं। / A relation based on equal function value groups all elements with the same value.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (\max(a,4)=\max(b,4)) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many equivalence classes are formed by the relation (\max(a,4)=\max(b,4))?
#maximum function
#number of classes
#equivalence relation
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (3)
B (2)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
(\max(a,4)) के संभावित मान (4,5,6) हैं। / The possible values of (\max(a,4)) are (4,5,6).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग ({1,2,3,4},{5},{6}) बनते हैं। / The classes are ({1,2,3,4},{5},{6}).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग फलन मानों की संख्या ही तुल्यता वर्गों की संख्या है। / The number of distinct function values gives the number of classes.
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समतल के बिंदुओं पर (P R Q) तब है जब (P) और (Q) की मूलबिंदु से दूरी समान हो। ((3,4)) के तुल्यता वर्ग में कौन सा बिंदु आएगा?
For points in the plane, (P R Q) holds when (P) and (Q) have the same distance from the origin. Which point belongs to the equivalence class of ((3,4))?
#distance from origin
#equivalence class
#coordinate geometry
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? Hint Small clue
A ((0,5))
B ((1,1))
C ((3,5))
D ((5,5))
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Correct Answer
A. ((0,5))
Step 1
Concept
((3,4)) की मूलबिंदु से दूरी \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) है। / The distance of ((3,4)) from the origin is \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
((0,5)) की दूरी भी (5) है। / The point ((0,5)) also has distance (5).
Step 3
Exam Tip
समान दूरी वाले सभी बिंदु उसी तुल्यता वर्ग में आते हैं। / All points with the same distance from the origin belong to the same class.
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समतल के बिंदुओं पर मूलबिंदु से समान दूरी वाला संबंध किस प्रकार के तुल्यता वर्ग बनाता है?
For points in the plane, what kind of equivalence classes are formed by the relation of having the same distance from the origin?
#geometry
#circles
#equivalence classes
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? Hint Small clue
A मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्त / Circles centered at the origin
B सभी सीधी रेखाएँ / All straight lines
C केवल (x)-अक्ष / Only the (x)-axis
D केवल एकल बिंदु / Only singleton points
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Correct Answer
A. मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्त / Circles centered at the origin
Step 1
Concept
मूलबिंदु से समान दूरी का अर्थ एक निश्चित त्रिज्या है। / Having the same distance from the origin means having a fixed radius.
Step 2
Why this answer is correct
निश्चित त्रिज्या वाले सभी बिंदु मूलबिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं। / All points with a fixed radius form a circle centered at the origin.
Step 3
Exam Tip
ज्यामितीय संबंधों में तुल्यता वर्ग अक्सर आकृतियों के रूप में दिखते हैं। / In geometric relations, equivalence classes often appear as shapes.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर तुल्यता संबंध हैं और \(R\subseteq S\), तो (R) के वर्गों और (S) के वर्गों में क्या संबंध होगा?
If (R) and (S) are equivalence relations on (A) and \(R\subseteq S\), what is the relation between the classes of (R) and the classes of (S)?
#refinement
#equivalence relations
#classes
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? Hint Small clue
A (R) के वर्ग (S) के वर्गों से छोटे या बराबर भाग होंगे / Classes of (R) are smaller or equal parts of classes of (S)
B (R) के वर्ग हमेशा बड़े होंगे / Classes of (R) are always larger
C दोनों के वर्ग हमेशा समान होंगे / Their classes are always identical
D (S) के वर्ग रिक्त होंगे / Classes of (S) are empty
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Correct Answer
A. (R) के वर्ग (S) के वर्गों से छोटे या बराबर भाग होंगे / Classes of (R) are smaller or equal parts of classes of (S)
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) का अर्थ है कि (R) में जितने संबंध हैं वे (S) में भी हैं। / \(R\subseteq S\) means every pair related by (R) is also related by (S).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (S) अधिक तत्वों को एक साथ जोड़ सकता है। / Thus (S) may merge more elements together.
Step 3
Exam Tip
अतः (R) का प्रत्येक वर्ग (S) के किसी वर्ग के भीतर होगा। / Each (R)-class is contained in some (S)-class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3,4},{5,6}) हैं और (S) के वर्ग ({1,2,3,4},{5,6}) हैं। कौन सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R) has classes ({1,2},{3,4},{5,6}), and (S) has classes ({1,2,3,4},{5,6}). Which statement is correct?
#refinement
#subset of relations
#equivalence classes
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? Hint Small clue
A \(R\subseteq S\)
B \(S\subseteq R\)
C (R=S)
D दोनों संबंध रिक्त हैं / Both relations are empty
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Correct Answer
A. \(R\subseteq S\)
Step 1
Concept
(S) ने (R) के दो वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) को मिलाकर बड़ा वर्ग बनाया है। / (S) merges the two (R)-classes ({1,2}) and ({3,4}) into a larger class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R) के अंदर के सभी युग्म (S) में मौजूद रहेंगे। / Therefore every pair inside an (R)-class remains inside an (S)-class.
Step 3
Exam Tip
अतः \(R\subseteq S\) सही है। / Hence \(R\subseteq S\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3,4}) हैं और (S) के वर्ग ({1,3},{2,4}) हैं। \(R\cap S\) के वर्ग कौन से होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) has classes ({1,2},{3,4}), and (S) has classes ({1,3},{2,4}). What are the classes of \(R\cap S\)?
#intersection of relations
#partitions
#equivalence classes
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A ({1},{2},{3},{4})
B ({1,2,3,4})
C ({1,4},{2,3})
D ({1,2},{3,4})
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Correct Answer
A. ({1},{2},{3},{4})
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ होंगे जब वे दोनों संबंधों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ कोई दो अलग तत्व दोनों विभाजनों में एक साथ नहीं हैं। / Here no two distinct elements are together in both partitions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल एकल वर्ग बचेंगे। / Therefore all classes are singleton classes.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a-b\in\mathbb{Q}\)। \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) के वर्ग में कौन सा तत्व आएगा?
On real numbers, (aRb) holds when \(a-b\in\mathbb{Q}\). Which element belongs to the class of \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)?
#rational difference
#equivalence class
#irrational numbers
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A \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)
B \(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
C \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{5}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)
Step 1
Concept
(\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)-\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)=7) है। / (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)-\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)=7).
Step 2
Why this answer is correct
(7) परिमेय है, इसलिए यह उसी तुल्यता वर्ग में है। / Since (7) is rational, it is in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
परिमेय अंतर वाले संबंध में जोड़ने वाला परिमेय पद वर्ग नहीं बदलता। / Adding a rational number does not change the class in a rational-difference relation.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{a}{b}\) धनात्मक परिमेय हो। \(-2\sqrt{5}\) के वर्ग में कौन सा तत्व है?
On non-zero real numbers, (aRb) holds when \(\frac{a}{b}\) is a positive rational number. Which element is in the class of \(-2\sqrt{5}\)?
#positive rational ratio
#equivalence class
#nonzero real numbers
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A \(-6\sqrt{5}\)
B \(6\sqrt{5}\)
C \(-2\sqrt{3}\)
D \(2\sqrt{5}\)
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Correct Answer
A. \(-6\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\frac{-6\sqrt{5}}{-2\sqrt{5}}=3\) है। / \(\frac{-6\sqrt{5}}{-2\sqrt{5}}=3\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) धनात्मक परिमेय है, इसलिए \(-6\sqrt{5}\) उसी वर्ग में है। / (3) is a positive rational number, so \(-6\sqrt{5}\) is in the same class.
Step 3
Exam Tip
यहाँ अनुपात का धनात्मक परिमेय होना जरूरी है, केवल समान मूल चिह्न पर्याप्त नहीं। / Here the ratio must be positive rational, not just similar-looking.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^3\equiv b^3 \pmod{7}\)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों है?
On integers, (aRb) holds when \(a^3\equiv b^3 \pmod{7}\). Why is this an equivalence relation?
#cubic congruence
#modulo 7
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्योंकि यह \(a^3\) के समान शेष पर आधारित है / Because it is based on the same remainder of \(a^3\)
B क्योंकि हर पूर्णांक बराबर है / Because all integers are equal
C क्योंकि यह रिक्त संबंध है / Because it is the empty relation
D क्योंकि इसमें सममितता कभी नहीं होती / Because it is never symmetric
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Correct Answer
A. क्योंकि यह \(a^3\) के समान शेष पर आधारित है / Because it is based on the same remainder of \(a^3\)
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / For every (a), \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष की बराबरी उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of remainders is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान शेष की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / Equality of remainders is transitive, so the relation is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\). Which is the equivalence class of (2)?
#square congruence
#modulo 5
#equivalence class
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A ({2,3,7,8})
B ({1,4,6})
C ({5})
D ({2})
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Correct Answer
A. ({2,3,7,8})
Step 1
Concept
\(2^2=4\), इसलिए वर्ग में वे तत्व आएँगे जिनके वर्ग का शेष (4) हो। / \(2^2=4\), so the class contains elements whose square has remainder (4) modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,7,8) के वर्ग (5) से भाग देने पर शेष (4) देते हैं। / (2,3,7,8) have square remainder (4) modulo (5).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय शेष की तुलना करते समय संख्या नहीं, उसके वर्ग का शेष देखें। / Compare square remainders, not the numbers themselves.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), how many equivalence classes are formed by \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)?
#square congruence
#number of classes
#finite set
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A (3)
B (4)
C (5)
D (8)
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Step 1
Concept
दिए गए तत्वों के वर्गीय शेष (0,1,4) ही मिलते हैं। / The square remainders that appear are only (0,1,4).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग ({5},{1,4,6},{2,3,7,8}) बनते हैं। / The classes are ({5},{1,4,6},{2,3,7,8}).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग वर्गीय शेषों की संख्या ही तुल्यता वर्गों की संख्या है। / The number of distinct square remainders gives the number of classes.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3,4,5\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर (A R B) तब है जब (|A|=|B|)। (3) तत्वों वाले किसी उपसमुच्चय के तुल्यता वर्ग में कितने सदस्य होंगे?
On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3,4,5\}\), (A R B) holds when (|A|=|B|). How many members are in the equivalence class of a (3)-element subset?
#subsets
#cardinality
#combinations
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A (10)
B (5)
C (15)
D (20)
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Step 1
Concept
समान आकार वाले उपसमुच्चय एक ही वर्ग में आते हैं। / Subsets with the same size belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(5) तत्वों वाले समुच्चय के (3) तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। / The number of (3)-element subsets of a (5)-element set is \(\binom{5}{3}=10\).
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंधों में संयोजन का प्रयोग करें। / Use combinations in subset-cardinality questions.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3,4\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर (A R B) तब है जब \(|A\cap{1,2}|=|B\cap{1,2}|\)। ({1,3}) का तुल्यता वर्ग कितना बड़ा है?
On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3,4\}\), (A R B) holds when \(|A\cap{1,2}|=|B\cap{1,2}|\). What is the size of the equivalence class of ({1,3})?
#subsets
#intersection cardinality
#equivalence class
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (8)
B (4)
C (6)
D (2)
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Step 1
Concept
\({1,3}\cap{1,2}={1}\), इसलिए संख्या (1) है। / \({1,3}\cap{1,2}={1}\), so the count is (1).
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) से ठीक एक तत्व चुनने के (2) तरीके हैं और ({3,4}) से कोई भी उपसमुच्चय चुनने के (4) तरीके हैं। / Choose exactly one element from ({1,2}) in (2) ways and any subset of ({3,4}) in (4) ways.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2\cdot4=8\) उपसमुच्चय होंगे। / The class size is \(2\cdot4=8\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) में सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,2),(2,1),(2,4),(4,2)) हैं। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) contains all diagonal pairs and ((1,2),(2,1),(2,4),(4,2)). Which minimum pairs must be added to make it an equivalence relation?
#minimum completion
#transitivity
#symmetry
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A ((1,4),(4,1))
B ((1,3),(3,1))
C ((4,5),(5,4))
D कोई युग्म नहीं / No pair
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Correct Answer
A. ((1,4),(4,1))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,4)) होने से संक्रमणता के लिए ((1,4)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,4)), transitivity requires ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता बनाए रखने के लिए ((4,1)) भी चाहिए। / Symmetry then requires ((4,1)).
Step 3
Exam Tip
तब (1,2,4) एक पूरा तुल्यता वर्ग बन जाएगा। / Then (1,2,4) become one complete equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) है। (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), let \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\). Which statement about (R) is correct?
#finite relation
#equivalence test
#classes
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+10 Time+ 10 sec extra
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A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रमण नहीं है क्योंकि ((1,3)) नहीं है / It is not transitive because ((1,3)) is missing
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। / All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) और ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)).
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) पूरे हैं, इसलिए संक्रमणता भी पूरी है। / The classes ({1,2}) and ({3,4}) are complete, so transitivity holds.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है और ([a]) में ठीक (4) तत्व हैं, तो ([a]) के भीतर (R) से कितने क्रमित युग्म मिलेंगे?
If (R) is an equivalence relation on (A) and ([a]) has exactly (4) elements, how many ordered pairs of (R) come from inside ([a])?
#class size
#counting pairs
#equivalence class
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A (16)
B (8)
C (4)
D (12)
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Step 1
Concept
एक तुल्यता वर्ग के अंदर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Inside one equivalence class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
(4) तत्वों वाले वर्ग से \(4^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class with (4) elements contributes \(4^2\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इस वर्ग से (16) युग्म मिलेंगे। / Hence this class contributes (16) pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \(a\in[b]\), \(b\in[c]\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \(a\in[b]\), \(b\in[c]\), which conclusion is correct?
#class equality
#equivalence classes
#transitivity
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A ([a]=[b]=[c])
B \([a]\cap[c]=\varnothing\)
C \(a\notin[c]\)
D \(c\notin[a]\)
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Correct Answer
A. ([a]=[b]=[c])
Step 1
Concept
\(a\in[b]\) से (a) और (b) संबंधित हैं, इसलिए ([a]=[b])। / \(a\in[b]\) means (a) is related to (b), so ([a]=[b]).
Step 2
Why this answer is correct
\(b\in[c]\) से ([b]=[c])। / \(b\in[c]\) gives ([b]=[c]).
Step 3
Exam Tip
इसलिए तीनों तुल्यता वर्ग समान होंगे। / Therefore all three equivalence classes are equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) के गुणज होने की स्थिति और (4) के गुणज होने की स्थिति में समान हों। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same status of being a multiple of (2) and the same status of being a multiple of (4). Which is the equivalence class of (6)?
#divisibility status
#equivalence class
#classification
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A ({2,6})
B ({4,8})
C ({1,3,5,7})
D ({6})
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Correct Answer
A. ({2,6})
Step 1
Concept
(6) (2) का गुणज है, लेकिन (4) का गुणज नहीं है। / (6) is a multiple of (2), but not a multiple of (4).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2) भी यही स्थिति रखता है। / In the given set, (2) has the same status.
Step 3
Exam Tip
दोहरी स्थिति मिलाने पर (6) का वर्ग ({2,6}) होगा। / Matching both statuses gives the class ({2,6}).
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\), और (aSb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{5}\)। \(R\cap S\) में (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{3}\), and (aSb) holds when \(a\equiv b \pmod{5}\). In \(R\cap S\), which is the equivalence class of (7)?
#intersection
#congruence modulo 15
#equivalence class
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A \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 7 \pmod{15}}\)
B \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 7 \pmod{8}}\)
C \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 2 \pmod{3}}\)
D ({7})
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Correct Answer
A. \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 7 \pmod{15}}\)
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में (3) और (5) दोनों मापांकों पर समान शेष चाहिए। / In \(R\cap S\), numbers must have the same remainder modulo (3) and modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (3) और (5) परस्पर अभाज्य हैं, यह (15) से समान शेष जैसा है। / Since (3) and (5) are coprime, this is the same as congruence modulo (15).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (7) का वर्ग (15) मापांक में (7) शेष वाले पूर्णांकों का है। / Hence the class of (7) is the integers congruent to (7) modulo (15).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (A) में (7) तत्व हैं। (R) में (19) क्रमित युग्म हैं। कौन सा वर्ग-आकार संभव है?
If (R) is an equivalence relation on a (7)-element set and (R) has (19) ordered pairs. Which class-size pattern is possible?
#class size pattern
#counting pairs
#equivalence relation
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A (3,3,1)
B (4,2,1)
C (5,1,1)
D (2,2,2,1)
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Correct Answer
A. (3,3,1)
Step 1
Concept
वर्ग-आकारों के वर्गों का योग युग्मों की संख्या देता है। / The sum of squares of class sizes gives the number of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\) है। / \(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3,3,1) संभव वर्ग-आकार हैं। / Therefore (3,3,1) is a possible class-size pattern.
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यदि (A) में (5) तत्व हैं और (R) ऐसा तुल्यता संबंध है जिसमें (13) युग्म हैं, तो वर्गों के आकार क्या हो सकते हैं?
If (A) has (5) elements and (R) is an equivalence relation with (13) pairs, what can be the class sizes?
#class sizes
#counting relation pairs
#equivalence relation
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A (3,2)
B (4,1)
C (2,2,1)
D (5)
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Step 1
Concept
वर्ग-आकारों का योग (5) होना चाहिए और उनके वर्गों का योग (13) होना चाहिए। / The class sizes must add to (5), and their squares must add to (13).
Step 2
Why this answer is correct
(3+2=5) और \(3^2+2^2=9+4=13\)। / (3+2=5) and \(3^2+2^2=9+4=13\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग-आकार (3,2) हो सकते हैं। / Thus the class sizes can be (3,2).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (7) से भाग देने पर समान शेष हो। यह संबंध कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (7). What is this relation?
#modulo 7
#identity relation
#finite set
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A पहचान संबंध / Identity relation
B सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
C रिक्त संबंध / Empty relation
D तुल्यता संबंध नहीं / Not an equivalence relation
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Correct Answer
A. पहचान संबंध / Identity relation
Step 1
Concept
(1,2,3,4,5,6) सभी का (7) से भाग देने पर अलग-अलग शेष है। / The numbers (1,2,3,4,5,6) have distinct remainders modulo (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कोई दो अलग तत्व संबंधित नहीं होंगे। / So no two different elements are related.
Step 3
Exam Tip
केवल ((a,a)) युग्म बचेंगे, इसलिए यह पहचान संबंध है। / Only the pairs ((a,a)) remain, making it the identity relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) (6) से विभाज्य हो या (a=b)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (a+b) is divisible by (6) or (a=b). Why is this an equivalence relation?
#sum divisibility
#equivalence classes
#finite set
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? Hint Small clue
A इसके वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) बनते हैं / Its classes are ({1,5},{2,4},{3})
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रमण नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. इसके वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) बनते हैं / Its classes are ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
(a=b) से सभी विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) (6) से विभाज्य होने पर (1) और (5), (2) और (4) जुड़ते हैं। / Divisibility of (a+b) by (6) links (1) with (5), and (2) with (4).
Step 3
Exam Tip
ये पूरे अलग-अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / These form complete separate classes, so the relation is an equivalence relation.
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यदि (R) एक तुल्यता संबंध है और \([a]\subseteq B\subseteq A\), फिर भी (B) कोई तुल्यता वर्ग नहीं है। कौन सा कारण संभव है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\subseteq B\subseteq A\), but (B) is not an equivalence class. Which reason is possible?
#equivalence class
#subset
#partition logic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (B) में एक से अधिक अलग तुल्यता वर्गों के तत्व हैं / (B) contains elements from more than one distinct equivalence class
B ([a]) रिक्त है / ([a]) is empty
C \(a\notin[a]\)
D हर उपसमुच्चय तुल्यता वर्ग होता है / Every subset is an equivalence class
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Correct Answer
A. (B) में एक से अधिक अलग तुल्यता वर्गों के तत्व हैं / (B) contains elements from more than one distinct equivalence class
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग पूरा समूह होता है, उसका मनचाहा बड़ा उपसमुच्चय जरूरी नहीं कि वर्ग हो। / An equivalence class is a complete block, not any larger chosen subset.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (B) में ([a]) के साथ दूसरे वर्ग के कुछ तत्व भी हैं, तो (B) एक वर्ग नहीं रहेगा। / If (B) contains ([a]) plus elements from another class, it is not a single class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्गों को काटकर या जोड़कर नया वर्ग नहीं बनाया जा सकता। / You cannot cut or arbitrarily combine classes to make a new class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,2,6},{3,5},{4}) हैं। (R) में ((6,1)), ((5,3)) और कौन सा युग्म अवश्य होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,2,6},{3,5},{4}). Along with ((6,1)) and ((5,3)), which pair must be in (R)?
#same class
#ordered pairs
#equivalence relation
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? Hint Small clue
A ((2,6))
B ((2,5))
C ((4,6))
D ((1,3))
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Correct Answer
A. ((2,6))
Step 1
Concept
एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements of the same equivalence class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (6) दोनों ({1,2,6}) में हैं। / (2) and (6) both lie in ({1,2,6}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,6)) संबंध में अवश्य होगा। / Therefore ((2,6)) must belong to the relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) सम है और (aSc) तब है जब (a-c) (3) से विभाज्य है। \(R\cap S\) में कितने तुल्यता वर्ग होंगे?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is even, and (aSc) holds when (a-c) is divisible by (3). How many equivalence classes are there in \(R\cap S\)?
#intersection
#modulo 6
#number of classes
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? Hint Small clue
A (6)
B (5)
C (3)
D (2)
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Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में अंतर (2) और (3) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / In the intersection, the difference must be divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अंतर (\operatorname{lcm}(2,3)=6) से विभाज्य होगा। / Hence the difference is divisible by (\operatorname{lcm}(2,3)=6).
Step 3
Exam Tip
मापांक (6) के अनुसार पूर्णांकों के (6) तुल्यता वर्ग बनते हैं। / Congruence modulo (6) has (6) equivalence classes on integers.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब \(|a-b|\leq 1\)। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when \(|a-b|\leq 1\). Why is it not an equivalence relation?
#transitivity failure
#absolute difference
#counterexample
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A संक्रमणता टूटती है / Transitivity fails
B स्वतुल्यता टूटती है / Reflexivity fails
C सममितता टूटती है / Symmetry fails
D यह कोई संबंध नहीं है / It is not a relation
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Correct Answer
A. संक्रमणता टूटती है / Transitivity fails
Step 1
Concept
\(|1-2|\leq 1\) और \(|2-3|\leq 1\), इसलिए (1R2) और (2R3) हैं। / \(|1-2|\leq 1\) and \(|2-3|\leq 1\), so (1R2) and (2R3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (|1-3|=2), इसलिए (1R3) नहीं है। / But (|1-3|=2), so (1R3) is false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है और तुल्यता संबंध नहीं बनता। / Therefore transitivity fails, so it is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (3) से समान शेष हो। (R) का पूरक संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder modulo (3). What type of relation is the complement of (R)?
#complement
#reflexivity failure
#modulo 3
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध नहीं, क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Not an equivalence relation because reflexivity fails
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C पहचान संबंध / Identity relation
D सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध नहीं, क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Not an equivalence relation because reflexivity fails
Step 1
Concept
(R) में सभी ((a,a)) युग्म हैं क्योंकि हर संख्या का शेष स्वयं के समान है। / (R) contains every ((a,a)) because each number has the same remainder as itself.
Step 2
Why this answer is correct
पूरक संबंध में कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होगा। / The complement contains no ((a,a)) pair.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं है। / Without reflexivity, the complement is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य होने की स्थिति और (2) से विभाज्य होने की स्थिति में समान हों। इस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same divisibility status by (3) and the same divisibility status by (2). How many ordered pairs are in this relation?
#divisibility status
#counting pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (15)
B (13)
C (17)
D (49)
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Step 1
Concept
वर्ग ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), ({6}) बनते हैं। / The classes are ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), and ({6}).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। / The number of ordered pairs is \(3^2+2^2+1^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (9+4+1+1=15) युग्म होंगे। / The total is (9+4+1+1=15).
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