समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((a,b)\in R\) तभी जब (a-b) (3) से विभाज्य हो। इस संबंध के तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) is defined by \((a,b)\in R\) if (a-b) is divisible by (3). How many equivalence classes does this relation have?
#equivalence relation
#modulo
#classes
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (3)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
समान शेषफल वाले अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder modulo (3) belong to one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) ही संभव हैं, इसलिए तीन वर्ग बनते हैं। / The possible remainders are (0,1,2), so there are three classes.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में शेषफलों को अलग-अलग समूहों में लिखें। / In exams, first group the elements by their remainders.
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\(यदि (R={(a,b):a+b\) is even}) संबंध पूर्णांकों के समुच्चय पर परिभाषित है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?
\(If (R={(a,b):a+b\) is even}) is defined on the set of integers, which statement about (R) is correct?
#equivalence relation
#parity
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह केवल स्वतुल्य है / It is only reflexive
B यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C यह केवल सममित है / It is only symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
B. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी भी (a) के लिए (a+a=2a) सम है, इसलिए संबंध स्वतुल्य है। / For every (a), (a+a=2a) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a+b) सम है तो (b+a) भी सम है और समान समता से संक्रामकता भी मिलती है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, and parity also gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम के समूह बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं। / For such questions, separate even and odd integers first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) दिया है। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) is given. What is the equivalence class of (1)?
#equivalence class
#ordered pairs
#relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1})
B ({1,2})
C ({1,2,3})
D ({3,4})
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Correct Answer
B. ({1,2})
Step 1
Concept
(1) के साथ जुड़े सभी अवयव देखें। / Look for all elements related to (1).
Step 2
Why this answer is correct
(R) में ((1,1)) और ((1,2)) हैं, इसलिए (1) का वर्ग ({1,2}) है। / Since ((1,1)) and ((1,2)) are in (R), the class of (1) is ({1,2}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले दिए गए युग्मों में पहला अवयव तय करके देखें। / In exams, fix the first element and list all related second elements.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Why is this not an equivalence relation?
#transitivity
#equivalence relation
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्वतुल्यता नहीं है / Reflexivity fails
B सममिति नहीं है / Symmetry fails
C संक्रामकता नहीं है / Transitivity fails
D समुच्चय रिक्त है / The set is empty
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Correct Answer
C. संक्रामकता नहीं है / Transitivity fails
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए तीनों ((a,a)) मौजूद हैं। / Reflexivity holds because all three ((a,a)) pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति के लिए दिए गए उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। / Symmetry also holds for the given non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((x,y)\in R\) तभी जब \(x-y\in \mathbb{Z}\)। इस संबंध का सही वर्णन क्या है?
On real numbers, relation (R) is defined by \((x,y)\in R\) if \(x-y\in \mathbb{Z}\). Which description is correct?
#real numbers
#integer difference
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
D यह केवल सीमित समुच्चय पर सही है / It works only on finite sets
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(x-x=0\in \mathbb{Z}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(x-x=0\in \mathbb{Z}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x-y\in \mathbb{Z}\), तो \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), इसलिए सममिति है। / If \(x-y\in \mathbb{Z}\), then \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता मिलती है। / The sum of integers is an integer, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (5)?
#modulo
#equivalence class
#remainders
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,5})
B ({2,6})
C ({4,8})
D ({5})
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Correct Answer
A. ({1,5})
Step 1
Concept
(5) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / (5) leaves remainder (1) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में वही अवयव लें जिनका शेषफल (1) है, यानी (1) और (5)। / In (A), elements with the same remainder are (1) and (5).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल सबसे तेज तरीका है। / For modulo relations, use remainders as the fastest method.
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यदि किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq \varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
If (R) is an equivalence relation on a set (A) and \([a]\cap[b]\neq \varnothing\), which conclusion is definitely true?
#equivalence classes
#partition
#intersection
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \([a]\subset [b]\)
B ([a]=[b])
C \([a]\cup[b]=\varnothing\)
D (a=b) अनिवार्य है / (a=b) is necessary
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Correct Answer
B. ([a]=[b])
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में तुल्यता वर्ग या तो अलग-अलग होते हैं या बिल्कुल समान। / In an equivalence relation, two equivalence classes are either disjoint or identical.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई साझा अवयव है, तो वे एक ही वर्ग बन जाते हैं। / If they have a common element, they must be the same class.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में साझा अवयव दिखते ही वर्गों की समानता याद रखें। / In exams, a non-empty intersection of classes directly implies equality.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का विभाजन ({{1,3,5},{2,4}}) दिया है। इससे बनने वाले तुल्यता संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
A partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\) is ({{1,3,5},{2,4}}). How many ordered pairs will be in the equivalence relation formed by this partition?
#partition
#ordered pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (5)
B (9)
C (13)
D (25)
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Step 1
Concept
एक ही खंड के अवयव आपस में संबंधित होते हैं। / Elements inside the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
({1,3,5}) से \(3^2=9\) युग्म और ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The block ({1,3,5}) gives \(3^2=9\) pairs and ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्मों के लिए खंडों के आकारों के वर्ग जोड़ें। / Add the squares of block sizes to get the total pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,4}) और ({2,3}) हैं। नीचे दिए गए में कौन सा युग्म संबंध में अवश्य होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the equivalence classes are ({1,4}) and ({2,3}). Which pair must belong to the relation?
#equivalence class
#partition
#pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,2))
B ((4,1))
C ((3,4))
D ((2,4))
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Correct Answer
B. ((4,1))
Step 1
Concept
एक वर्ग के अंदर हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। / Within one equivalence class, every element is related to every element of that class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (4) एक ही वर्ग में हैं, इसलिए ((4,1)) अवश्य होगा। / Since (1) and (4) are in the same class, ((4,1)) must be present.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के अवयवों को संबंधित मानने की गलती न करें। / Do not relate elements from different classes unless the class says so.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या समान हो, जहाँ पुनरावृत्ति गिनी जाती है। यह संबंध कैसा है?
On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same number of prime factors, counted with repetition. What type of relation is this?
#natural numbers
#prime factors
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Only symmetric
C केवल संक्रामक / Only transitive
D स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या में अभाज्य गुणनखंडों की संख्या अपने समान होती है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every number has the same count of prime factors as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समानता की बात उलटने पर भी सही रहती है। / Equality of counts remains true when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याओं की गिनती तीसरी से समान है, तो पहली और तीसरी की गिनती भी समान है। / If two counts are equal through a third number, then the first and third counts are also equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (\gcd(a,6)=\gcd(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (\gcd(a,6)=\gcd(b,6)). What is the equivalence class of (4)?
#gcd
#equivalence class
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({2,4})
B ({1,5})
C ({3})
D ({6})
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Correct Answer
A. ({2,4})
Step 1
Concept
(\gcd(4,6)=2) है। / (\gcd(4,6)=2).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में जिन अवयवों का (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है, वे (2) और (4) हैं। / In (A), the elements whose gcd with (6) is (2) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
पहले दिए गए फलन जैसा मान निकालें, फिर समान मान वाले अवयव चुनें। / First compute the assigned value, then collect elements with the same value.
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यदि (R) और (S) दोनों किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (R) and (S) are both equivalence relations on a set (A), which statement about \(R\cap S\) is correct?
#intersection
#equivalence relation
#properties
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा तुल्यता संबंध है / It is always an equivalence relation
B यह कभी स्वतुल्य नहीं होता / It is never reflexive
C यह हमेशा सार्वत्रिक संबंध होता है / It is always the universal relation
D यह हमेशा रिक्त संबंध होता है / It is always the empty relation
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Correct Answer
A. यह हमेशा तुल्यता संबंध है / It is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में हर ((a,a)) होता है, इसलिए प्रतिच्छेद में भी होगा। / Both relations contain every ((a,a)), so the intersection does too.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में सममिति और संक्रामकता होने से समान गुण प्रतिच्छेद में बचे रहते हैं। / Symmetry and transitivity are preserved in the intersection.
Step 3
Exam Tip
दो तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेद फिर तुल्यता संबंध होता है। / The intersection of two equivalence relations is again an equivalence relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) if \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\). What type of relation is this?
#modulo
#squares
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B सममित नहीं / Not symmetric
C स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^2\equiv a^2 \pmod{5}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), तो \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए सममिति है। / If \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), then \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समरूपता की संक्रामकता से तीसरी शर्त भी पूरी होती है। / Congruence is transitive, so the third condition also holds.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\) पर (xRy) तभी जब \(\frac{x}{y}>0\)। इस संबंध के कितने तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), (xRy) if \(\frac{x}{y}>0\). How many equivalence classes does this relation have?
#real numbers
#sign
#equivalence classes
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक / One
B दो / Two
C तीन / Three
D अनंत / Infinitely many
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Step 1
Concept
\(\frac{x}{y}>0\) तब होता है जब (x) और (y) का चिह्न समान हो। / \(\frac{x}{y}>0\) means (x) and (y) have the same sign.
Step 2
Why this answer is correct
सभी धनात्मक संख्याएँ एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक संख्याएँ दूसरे वर्ग में आती हैं। / All positive numbers form one class and all negative numbers form another.
Step 3
Exam Tip
चिह्न आधारित संबंधों में धनात्मक और ऋणात्मक समूह अलग करें। / For sign-based relations, split the set into positive and negative groups.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) दोनों (2) से भाग देने पर समान शेषफल दें। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder when divided by (2). How many ordered pairs are in the relation?
#parity
#ordered pairs
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (6)
B (12)
C (18)
D (36)
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Step 1
Concept
विषम वर्ग ({1,3,5}) और सम वर्ग ({2,4,6}) बनते हैं। / The odd class is ({1,3,5}) and the even class is ({2,4,6}).
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+9=18) युग्म होंगे। / Total pairs are (9+9=18).
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किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) स्वतुल्य और सममित है, पर संक्रामक नहीं है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष कौन सा है?
A relation (R) on a set (A) is reflexive and symmetric but not transitive. Which conclusion about (R) is correct?
#properties
#transitivity
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) तुल्यता संबंध है / (R) is an equivalence relation
B (R) तुल्यता संबंध नहीं है / (R) is not an equivalence relation
C (R) खाली संबंध है / (R) is the empty relation
D (R) केवल सार्वत्रिक संबंध हो सकता है / (R) can only be the universal relation
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Correct Answer
B. (R) तुल्यता संबंध नहीं है / (R) is not an equivalence relation
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण जरूरी हैं। / An equivalence relation needs all three properties.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ संक्रामकता नहीं है, इसलिए एक जरूरी शर्त टूट गई। / Here transitivity is missing, so a necessary condition fails.
Step 3
Exam Tip
दो गुण सही होने पर भी तीसरा गुण अवश्य जांचें। / Even if two properties hold, always test the third one.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) का एक वर्ग ({1,2,5}) है। यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो नीचे दिए गए में कौन सा युग्म (R) में नहीं हो सकता?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), one equivalence class of (R) is ({1,2,5}). If (R) is an equivalence relation, which pair cannot be in (R)?
#equivalence class
#impossible pair
#partition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,5))
B ((2,1))
C ((5,2))
D ((1,3))
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Correct Answer
D. ((1,3))
Step 1
Concept
({1,2,5}) के भीतर सभी युग्म संबंध में होंगे। / All pairs inside ({1,2,5}) must be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((1,3)) संबंध में हो, तो (3) भी उसी वर्ग में आ जाएगा। / If ((1,3)) were in the relation, then (3) would belong to the same class.
Step 3
Exam Tip
किसी वर्ग के बाहर के अवयव से संबंध जुड़ना वर्ग को बदल देता है। / A pair with an outside element changes the class, so it is not possible here.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (xRy) तभी जब (x-y) परिमेय हो। (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?
On real numbers, (xRy) if (x-y) is rational. Which statement about (R) is correct?
#rational difference
#real numbers
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(x-x=0) परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (x-x=0) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (x-y) परिमेय है तो (y-x) भी परिमेय है। / If (x-y) is rational, then (y-x) is also rational.
Step 3
Exam Tip
दो परिमेय अंतरों का योग परिमेय रहता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) (2) से विभाज्य हो। (R) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (2). What are the equivalence classes of (R)?
#parity
#equivalence classes
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2,3},{4,5,6,7})
B ({1,3,5,7},{2,4,6})
C ({1,2},{3,4},{5,6},{7})
D ({1,7},{2,6},{3,5},{4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ({1,3,5,7},{2,4,6})
Step 1
Concept
(a-b) का (2) से विभाज्य होना समान समता दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (2) means the numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम अवयव ({1,3,5,7}) और सम अवयव ({2,4,6}) अलग वर्ग बनाते हैं। / Odd elements form ({1,3,5,7}), and even elements form ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
समता के प्रश्नों में पहले सम और विषम छांटें। / For parity relations, separate odd and even elements first.
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समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) (6) से विभाज्य हो। (0) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (6). What is the equivalence class of (0)?
#integers
#modulo
#equivalence class
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \({6k:k\in\mathbb{Z}}\)
B \({6k+1:k\in\mathbb{Z}}\)
C \({k+6:k\in\mathbb{Z}}\)
D ({0,6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \({6k:k\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
(0) से संबंधित संख्या (b) के लिए (0-b) (6) से विभाज्य होना चाहिए। / For (b) to be related to (0), (0-b) must be divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (b) (6) का गुणज है। / This means (b) is a multiple of (6).
Step 3
Exam Tip
अनंत समुच्चय में वर्ग को सामान्य रूप \({6k:k\in\mathbb{Z}}\) से लिखें। / For infinite sets, write the class in general form as \({6k:k\in\mathbb{Z}}\).
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अरिक्त समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
For a non-empty set (A), which statement about the universal relation \(A\times A\) is correct?
#universal relation
#equivalence
#properties
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। / \(A\times A\) contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रामकता तीनों अपने आप पूरी होती हैं। / Therefore reflexivity, symmetry, and transitivity all hold automatically.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण मानें। / Treat the universal relation as a basic example of an equivalence relation.
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अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(\varnothing\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
For a non-empty set (A), which statement about the empty relation \(\varnothing\) is correct?
#empty relation
#reflexivity
#equivalence
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? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है / It is not reflexive, so it is not an equivalence relation
C यह केवल स्वतुल्य है / It is only reflexive
D यह सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
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Correct Answer
B. यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है / It is not reflexive, so it is not an equivalence relation
Step 1
Concept
अरिक्त (A) में हर (a) के लिए ((a,a)) चाहिए। / For non-empty (A), each ((a,a)) is required for reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है। / The empty relation has no pair, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध जांचते समय सबसे पहले स्वतुल्यता देखें। / When testing equivalence, check reflexivity first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने अलग-अलग तुल्यता संबंध संभव हैं जिनके ठीक दो तुल्यता वर्ग हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many distinct equivalence relations are possible with exactly two equivalence classes?
#counting
#partitions
#equivalence relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (5)
C (7)
D (15)
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Step 1
Concept
ठीक दो तुल्यता वर्गों का अर्थ है (A) को दो अरिक्त भागों में बांटना। / Exactly two equivalence classes mean splitting (A) into two non-empty blocks.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को दो अरिक्त अनाम समूहों में बांटने के तरीके (7) हैं। / The number of ways to divide (4) elements into two unnamed non-empty blocks is (7).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंधों की गिनती विभाजनों की गिनती से जुड़ी होती है। / Counting equivalence relations is the same as counting partitions.
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यदि \(f:A\to B\) कोई फलन है और (aRb) तभी जब (f(a)=f(b)), तो (R) कैसा संबंध है?
If \(f:A\to B\) is a function and (aRb) if (f(a)=f(b)), what type of relation is (R)?
#function
#kernel relation
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हमेशा तुल्यता संबंध / Always an equivalence relation
B केवल जब (f) एकैकी हो / Only when (f) is one-one
C केवल जब (f) आच्छादी हो / Only when (f) is onto
D कभी तुल्यता संबंध नहीं / Never an equivalence relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हमेशा तुल्यता संबंध / Always an equivalence relation
Step 1
Concept
(f(a)=f(a)), इसलिए स्वतुल्यता है। / (f(a)=f(a)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f(a)=f(b)), तो (f(b)=f(a)), इसलिए सममिति है। / If (f(a)=f(b)), then (f(b)=f(a)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता संक्रामक होती है, इसलिए संबंध हमेशा तुल्यता संबंध है। / Equality is transitive, so the relation is always an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (xRy) तभी जब \(x^2=y^2\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (xRy) if \(x^2=y^2\). What is the equivalence class of (2)?
#squares
#equivalence class
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-1,1})
D ({-2,-1,1,2})
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Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
\(2^2=4\) है। / \(2^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में जिन अवयवों का वर्ग (4) है, वे (-2) और (2) हैं। / In (A), the elements whose square is (4) are (-2) and (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले संबंध में धन और ऋण दोनों मानों को जांचें। / For square-based relations, check both positive and negative values.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (|x|=|y|)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (|x|=|y|). What type of relation is this?
#absolute value
#real numbers
#equivalence
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|x|=|x|), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|x|=|x|), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (|x|=|y|), तो (|y|=|x|), इसलिए सममिति है। / If (|x|=|y|), then (|y|=|x|), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता की संक्रामकता से (|x|=|z|) भी मिलेगा। / By transitivity of equality, (|x|=|z|) also follows.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+b) (2) से विभाज्य हो। नीचे दिए गए में कौन सा कथन सही है?
On integers, (aRb) if (a+b) is divisible by (2). Which statement is correct?
#parity
#integers
#equivalence relation
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? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a), इसलिए स्वतुल्यता है। / (a+a=2a), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) और (b+a) समान हैं, इसलिए सममिति है। / (a+b) and (b+a) are the same, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ समान समता रखती हैं, तो पहली और तीसरी भी समान समता रखती हैं। / If two pairs show the same parity, the first and third also have the same parity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\)। (R) के कौन से तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\). Which are the equivalence classes of (R)?
#floor function
#equivalence classes
#finite set
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? Hint Small clue
A ({1},{2,3},{4,5},{6})
B ({1,2},{3,4},{5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1,2,3},{4,5,6})
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Correct Answer
A. ({1},{2,3},{4,5},{6})
Step 1
Concept
हर अवयव के लिए \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) निकालें। / Compute \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) for each element.
Step 2
Why this answer is correct
मान (0,1,2,3) क्रमशः वर्ग ({1},{2,3},{4,5},{6}) देते हैं। / The values (0,1,2,3) give the classes ({1},{2,3},{4,5},{6}).
Step 3
Exam Tip
समान मान देने वाले अवयव हमेशा एक वर्ग में आते हैं। / Elements giving the same value form one equivalence class.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), तो नीचे दिए गए में कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?
If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), which statement is necessarily true?
#equivalence class
#same class
#relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([a]=[b])
B \([a]\cap[b]=\varnothing\)
C (a=b)
D \([a]\subsetneq[b]\)
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Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
\((a,b)\in R\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान तुल्यता वर्ग में हैं। / \((a,b)\in R\) means (a) and (b) are in the same equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग में होने पर उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। / Elements in the same class have equal equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
ध्यान रखें कि ([a]=[b]) से (a=b) जरूरी नहीं होता। / Remember, ([a]=[b]) does not necessarily mean (a=b).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many ordered pairs are in the relation?
#modulo
#counting ordered pairs
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (9)
B (18)
C (27)
D (81)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर तीन वर्ग बनते हैं और प्रत्येक में (3) अवयव हैं। / Division by (3) gives three classes, each with (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
हर वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (9+9+9=27) होंगे। / Total pairs are (9+9+9=27).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) है। (R) तुल्यता संबंध है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\). Is (R) an equivalence relation?
#finite relation
#properties
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैं / Yes, all three properties hold
B नहीं, सममिति नहीं है / No, symmetry fails
C नहीं, स्वतुल्यता नहीं है / No, reflexivity fails
D नहीं, संक्रामकता नहीं है / No, transitivity fails
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Correct Answer
A. हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैं / Yes, all three properties hold
Step 1
Concept
सभी ((a,a)) युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममिति है। / ((2,1)) is present with ((1,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}), ({3}), ({4}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / The classes are ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब \(|a-b|\leq 2\)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On integers, (aRb) if \(|a-b|\leq 2\). Why is this not an equivalence relation?
#counterexample
#transitivity
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्वतुल्यता टूटती है / Reflexivity fails
B सममिति टूटती है / Symmetry fails
C संक्रामकता टूटती है / Transitivity fails
D संबंध रिक्त है / The relation is empty
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Correct Answer
C. संक्रामकता टूटती है / Transitivity fails
Step 1
Concept
(|a-a|=0), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|a-a|=0), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममिति है। / Distance is the same in both directions, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) और (3R5), पर (1R5) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R3) and (3R5), but (1R5) is false, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (x-y=0)। यह संबंध कौन सा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (x-y=0). Which relation is this?
#equality relation
#real numbers
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध और समानता संबंध / Equivalence relation and equality relation
B केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
C केवल संक्रामक संबंध / Only transitive relation
D तुल्यता संबंध नहीं / Not an equivalence relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध और समानता संबंध / Equivalence relation and equality relation
Step 1
Concept
(x-y=0) का अर्थ (x=y) है। / (x-y=0) means (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होती है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध तुल्यता संबंध का सबसे मूल उदाहरण है। / The equality relation is the most basic example of an equivalence relation.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर किसी तुल्यता संबंध में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, तो (R) में कम से कम कितने युग्म होंगे?
If an equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\) contains ((1,2)) and ((2,3)), what is the minimum number of pairs in (R)?
#minimum pairs
#closure
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (5)
C (7)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) होने से संक्रामकता के कारण (1) और (3) भी जुड़े होंगे। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity connects (1) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
सममिति और स्वतुल्यता से तीनों अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। / With symmetry and reflexivity, all three elements are in one class.
Step 3
Exam Tip
एक तीन-अवयवी वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / One class of size (3) gives \(3^2=9\) pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के (3) से भाग देने पर समान शेषफल आए। ([2]) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). What is ([2])?
#equivalence class
#modulo
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({2,5})
B ({1,4})
C ({3,6})
D ({2,3,5,6})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) देता है। / In (A), (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([2]={2,5})। / Hence ([2]={2,5}).
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समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) (4) से विभाज्य हो। इस संबंध के कितने अलग-अलग तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (4). How many distinct equivalence classes does this relation have?
#integers
#modulo
#number of classes
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (3)
C (4)
D अनंत / Infinitely many
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Step 1
Concept
(4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। / Division by (4) gives possible remainders (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
हर शेषफल एक अलग तुल्यता वर्ग देता है। / Each remainder gives one equivalence class.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों में मापांक (n) के लिए सामान्यतः (n) वर्ग बनते हैं। / For integers modulo (n), there are usually (n) classes.
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किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध (R) के वर्ग ({a,b}), ({c}), और ({d,e,f}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
An equivalence relation (R) on a set (A) has classes ({a,b}), ({c}), and ({d,e,f}). How many pairs are in (R)?
#class sizes
#counting
#ordered pairs
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? Hint Small clue
A (6)
B (10)
C (14)
D (36)
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Step 1
Concept
हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / All ordered pairs inside each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
आकार (2,1,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\) होंगे। / The class sizes are (2,1,3), so the count is \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\).
Step 3
Exam Tip
कुल (14) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (14).
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वास्तविक संख्याओं पर (xRy) तभी जब \(x^3=y^3\)। इस संबंध का सही निष्कर्ष क्या है?
On real numbers, (xRy) if \(x^3=y^3\). What is the correct conclusion about this relation?
#cubic function
#real numbers
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation like equality
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation like equality
Step 1
Concept
वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^3=y^3\) से (x=y) मिलता है। / For real numbers, \(x^3=y^3\) implies (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह समानता संबंध जैसा व्यवहार करता है। / So the relation behaves like equality.
Step 3
Exam Tip
समानता आधारित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। / Equality-based relations are reflexive, symmetric, and transitive.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब \(x-y\geq 0\)। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if \(x-y\geq 0\). Why is this not an equivalence relation?
#symmetry
#counterexample
#real numbers
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? Hint Small clue
A सममिति नहीं है / Symmetry fails
B स्वतुल्यता नहीं है / Reflexivity fails
C संक्रामकता नहीं है / Transitivity fails
D यह संबंध खाली है / The relation is empty
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Correct Answer
A. सममिति नहीं है / Symmetry fails
Step 1
Concept
(x-x=0), इसलिए स्वतुल्यता है। / (x-x=0), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (3R2) सही है, तो (2R3) सही नहीं है। / (3R2) is true, but (2R3) is not true.
Step 3
Exam Tip
उल्टा युग्म हमेशा नहीं मिलता, इसलिए सममिति टूटती है। / The reverse pair does not always hold, so symmetry fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a+b) (3) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a+b) is divisible by (3). Why is this not an equivalence relation?
#reflexivity
#counterexample
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्वतुल्यता नहीं है / Reflexivity fails
B सममिति नहीं है / Symmetry fails
C संक्रामकता नहीं है / Transitivity fails
D संबंध में कोई युग्म नहीं है / The relation has no pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्वतुल्यता नहीं है / Reflexivity fails
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) को (3) से विभाज्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a+a) must be divisible by (3) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(1+1=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। / (1+1=2), which is not divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिवाद से स्वतुल्यता टूट जाती है। / One counterexample is enough to break reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर एक तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,2,3,4}) ही हैं। संबंध कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), an equivalence relation has the single class ({1,2,3,4}). Which relation is it?
#single class
#universal relation
#equivalence
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A केवल समानता संबंध / Only the equality relation
B सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) / Universal relation \(A\times A\)
C रिक्त संबंध / Empty relation
D केवल ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}) / Only ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)})
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Correct Answer
B. सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) / Universal relation \(A\times A\)
Step 1
Concept
एक ही तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि हर अवयव हर दूसरे अवयव से संबंधित है। / A single equivalence class means every element is related to every other element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी संभव क्रमित युग्म संबंध में होंगे। / Therefore all possible ordered pairs are present.
Step 3
Exam Tip
यह ठीक \(A\times A\) यानी सार्वत्रिक संबंध है। / This is exactly \(A\times A\), the universal relation.
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यदि किसी तुल्यता संबंध के दो वर्ग ([a]) और ([b]) अलग-अलग हैं, तो उनके प्रतिच्छेद के बारे में सही कथन क्या है?
If two equivalence classes ([a]) and ([b]) of an equivalence relation are distinct, what is true about their intersection?
#disjoint classes
#partition
#equivalence
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A \([a]\cap[b]=[a]\)
B \([a]\cap[b]=[b]\)
C \([a]\cap[b]=\varnothing\)
D \([a]\cap[b]=A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता। / Distinct blocks have no common element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Therefore the intersection of distinct classes is empty.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के अंकों का योग समान हो। यह संबंध कैसा है?
On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same sum of digits. What type of relation is this?
#digit sum
#natural numbers
#equivalence
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वतुल्य / Only reflexive
C केवल सममित / Only symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या के अंकों का योग अपने बराबर ही होता है। / Every number has the same digit sum as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान अंकीय योग की बात उलटने पर भी सही रहती है। / Equality of digit sums remains true in reverse order.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याओं का अंकीय योग तीसरी के समान है, तो पहली और तीसरी का भी समान होगा। / If two numbers have the same digit sum as a third, then they have the same digit sum as each other.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) दोनों एक ही अंतराल ({1,2}), ({3,4,5}), ({6,7,8}) में हों। संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if (a) and (b) lie in the same block among ({1,2}), ({3,4,5}), ({6,7,8}). How many pairs are in the relation?
#partition
#counting pairs
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (18)
C (22)
D (64)
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Step 1
Concept
दिए गए खंड ही तुल्यता वर्ग हैं। / The given blocks are the equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
आकार (2,3,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\) होंगे। / Their sizes are (2,3,3), so the pair count is \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\).
Step 3
Exam Tip
कुल (22) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (22).
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समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) सम संख्या हो। ([1]) और ([2]) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is even. What is true about ([1]) and ([2])?
#parity
#disjoint classes
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([1]=[2])
B \([1]\cap[2]=\varnothing\)
C \([1]\subset[2]\)
D \([2]\subset[1]\)
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Correct Answer
B. \([1]\cap[2]=\varnothing\)
Step 1
Concept
([1]) सभी विषम पूर्णांकों का वर्ग है। / ([1]) is the class of all odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
([2]) सभी सम पूर्णांकों का वर्ग है। / ([2]) is the class of all even integers.
Step 3
Exam Tip
कोई संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती, इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / No integer is both even and odd, so the intersection is empty.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) का (2) से भाग देने पर शेषफल समान हो। (R) में कौन सा युग्म नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if (a) and (b) have the same remainder on division by (2). Which pair will not be in (R)?
#modulo
#not related
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,3))
B ((2,4))
C ((5,1))
D ((3,4))
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Correct Answer
D. ((3,4))
Step 1
Concept
समान शेषफल का अर्थ है दोनों सम हों या दोनों विषम। / Same remainder modulo (2) means both numbers are even or both are odd.
Step 2
Why this answer is correct
(3) विषम है और (4) सम है, इसलिए वे अलग वर्गों में हैं। / (3) is odd and (4) is even, so they are in different classes.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के युग्म संबंध में नहीं आते। / Pairs from different classes are not in the relation.
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यदि (A) में (5) अवयव हैं और संबंध (R) समानता संबंध है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?
If (A) has (5) elements and (R) is the equality relation, how many pairs are in (R)?
#equality relation
#counting
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (10)
C (20)
D (25)
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Step 1
Concept
समानता संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The equality relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अवयवों के लिए ऐसे (5) युग्म बनेंगे। / With (5) elements, there are (5) such pairs.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध और सार्वत्रिक संबंध की गिनती अलग-अलग याद रखें। / Remember that the equality relation and universal relation have different counts.
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यदि (A) में (5) अवयव हैं और संबंध \(R=A\times A\) है, तो (R) के कितने तुल्यता वर्ग होंगे?
If (A) has (5) elements and \(R=A\times A\), how many equivalence classes will (R) have?
#universal relation
#classes
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (5)
C (10)
D (25)
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Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। / In \(A\times A\), every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी (5) अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। / Thus all (5) elements lie in one class.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में हमेशा केवल एक तुल्यता वर्ग होता है। / The universal relation always has exactly one equivalence class.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब \(\sin x=\sin y\)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if \(\sin x=\sin y\). What type of relation is this?
#trigonometric function
#equality
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(\sin x=\sin x\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin x=\sin x\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sin x=\sin y\), तो \(\sin y=\sin x\), इसलिए सममिति है। / If \(\sin x=\sin y\), then \(\sin y=\sin x\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता की संक्रामकता से यह संबंध तुल्यता संबंध बनता है। / Transitivity of equality makes this an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,6}), ({2,3,5}), और ({4}) हैं। (R) में कौन सा युग्म अवश्य नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,6}), ({2,3,5}), and ({4}). Which pair definitely will not be in (R)?
#equivalence classes
#not related
#partition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((6,1))
B ((3,5))
C ((4,4))
D ((1,3))
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Correct Answer
D. ((1,3))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के अंदर के युग्म संबंध में होते हैं। / Pairs inside the same class belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(1) वर्ग ({1,6}) में है और (3) वर्ग ({2,3,5}) में है। / (1) is in ({1,6}), while (3) is in ({2,3,5}).
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के अवयव संबंधित नहीं होते, इसलिए ((1,3)) नहीं होगा। / Elements from different classes are not related, so ((1,3)) will not be present.
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