यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +2x+3) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 +2x+3), which statement about the range of (f) is correct?
#functions
#range
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([2,\infty\))
B \([3,\infty\))
C (\(-\infty,2]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 +2x+3=(x+1)2 +2) लिखें। / Write (x-2 +2x+3=(x+1)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 \geq 0), इसलिए सबसे छोटा मान (2) है। / Since ((x+1)2 \geq 0), the least value is (2).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में वर्ग पूरा करना परास निकालने का तेज तरीका है। / Completing the square is a quick method for finding the range of a quadratic function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=2x-5), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#linear function
#bijection
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{x+5}{2}\)
B \(\frac{x-5}{2}\)
C (2x+5)
D (5-2x)
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Correct Answer
A. \(\frac{x+5}{2}\)
Step 1
Concept
(y=2x-5) मानें। / Put (y=2x-5).
Step 2
Why this answer is correct
(x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। / Solving for (x) gives \(x=\frac{y+5}{2}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय अंत में (y) की जगह (x) लिख दें। / While finding the inverse, replace (y) by (x) at the end.
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यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में कुल कितने फलन संभव हैं?
If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), and \(B=\{a,b\}\), how many functions are possible from (A) to (B)?
#number of functions
#finite sets
#domain codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (8)
C (9)
D (12)
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Step 1
Concept
(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में (2) चुनाव हैं। / Each element of (A) has (2) choices in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अवयवों के लिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / For (3) elements, the total number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
फलनों की गिनती में आधार सहप्रांत के अवयवों की संख्या होती है। / In counting functions, the base is the number of elements in the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार हैं कि (f(x)=x+3), (g(x)=x-2 ), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+3), (g(x)=x-2 ), what is (\(g\circ f\)(x))?
#composition of functions
#algebra
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(x^2+3\)
B ((x+3)2 )
C \(x^2+6\)
D (x+9)
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Correct Answer
B. ((x+3)2 )
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)) means (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=x+3) को (g) में रखने पर (g(x+3)=(x+3)2 ) मिलता है। / Substituting (f(x)=x+3) into (g) gives (g(x+3)=(x+3)2 ).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In composition, changing the order can change the answer.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 +x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 +x), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#increasing function
#real function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर फलन है / It is a constant function
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
यदि \(x_1<x_2\), तो \(x^3+x\) का मान बढ़ता है। / If \(x_1<x_2\), then \(x^3+x\) increases.
Step 2
Why this answer is correct
बढ़ता हुआ फलन दो अलग मानों पर समान मान नहीं देता। / A strictly increasing function cannot give the same value for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
एकैकी जांचते समय बढ़ने या घटने का व्यवहार उपयोगी होता है। / Monotonic behaviour is useful for checking one-one functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 ), why is (f) not one-one?
#one-one function
#counterexample
#square function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या का प्रतिचित्र है / Because every real number has a preimage
D क्योंकि इसका प्रांत रिक्त है / Because its domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों के लिए अलग-अलग निर्गत होने चाहिए। / A one-one function must give different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq -1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिवाद एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to prove that a function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) is defined by (f(x)=x-2 ), which statement about (f) is correct?
#onto function
#not one-one
#square function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर (f(x)=y), इसलिए आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), choosing \(x=\sqrt{y}\) gives (f(x)=y), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)), इसलिए एकैकी नहीं है। / Since (f(1)=f(-1)), it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
प्रांत और सहप्रांत बदलने से आच्छादिता बदल सकती है। / The codomain strongly affects onto behaviour.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +1) से दिया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 +1), why is (f) not onto?
#onto function
#range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (0) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (0) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि (2) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (2) has no preimage
D क्योंकि सभी धनात्मक संख्याएँ नहीं आतीं / Because all positive numbers are missed
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(x^2+1\geq 1\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(x^2+1\geq 1\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) सहप्रांत में है पर फलन का मान कभी (0) नहीं बनता। / So (0) is in the codomain but is never attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto, show one missing element of the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का कौन सा मान कभी नहीं आएगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), which value can never occur as (f(x))?
#range
#rational function
#excluded value
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (5)
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Step 1
Concept
मान लें \(y=\frac{2x+3}{x-1}\)। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y=2) रखने पर (2x+3=2x-2), जो असंभव है। / Putting (y=2) gives (2x+3=2x-2), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में छूटा मान निकालने के लिए (y) रखकर हल करें। / For rational functions, solve in terms of (y) to find excluded values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=3x+1), (g(x)=x-4), तो (\(f\circ g\)(2)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=3x+1), (g(x)=x-4), what is the value of (\(f\circ g\)(2))?
#composition
#value of function
#linear functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-5)
B (-3)
C (3)
D (7)
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Step 1
Concept
पहले (g(2)=2-4=-2) निकालें। / First find (g(2)=2-4=-2).
Step 2
Why this answer is correct
अब (f(-2)=3(-2)+1=-5) होगा। / Then (f(-2)=3(-2)+1=-5).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के मान में अंदर वाले फलन को पहले लगाएँ। / In composition, apply the inner function first.
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यदि \(f:A\to B\) एक एकैकी फलन है और (|A|=5), (|B|=4), तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is a one-one function and (|A|=5), (|B|=4), which statement is correct?
#one-one function
#finite sets
#pigeonhole
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ऐसा फलन संभव है / Such a function is possible
B ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
C ऐसा फलन हमेशा आच्छादी होगा / Such a function is always onto
D ऐसे ठीक (20) फलन होंगे / There will be exactly (20) such functions
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Correct Answer
B. ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के अलग अवयवों को (B) के अलग अवयवों पर जाना चाहिए। / A one-one function sends distinct elements of (A) to distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (4) अवयव हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (4).
Step 3
Exam Tip
कबूतरखाना सिद्धांत से ऐसा एकैकी फलन संभव नहीं है। / By the pigeonhole idea, such a one-one function cannot exist.
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यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (4) अवयव हैं, तो (A) से (B) में कुल कितने एकैकी और आच्छादी फलन होंगे?
If (A) has (4) elements and (B) has (4) elements, how many functions from (A) to (B) are both one-one and onto?
#bijection
#counting functions
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (4)
B (16)
C (24)
D (256)
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Step 1
Concept
समान आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी और आच्छादी फलन क्रमचय होते हैं। / For finite sets of equal size, functions that are one-one and onto are permutations.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों के क्रमचय (4!=24) होते हैं। / The number of permutations of (4) elements is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीधे (n!) प्रयोग करें। / Use (n!) directly in such bijection counting questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax+b) से दिया गया है, तो (f) प्रतिलोम्य कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=ax+b), when is (f) invertible?
#invertible function
#linear function
#conditions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब (a=0) / When (a=0)
B जब \(a\neq 0\) / When \(a\neq 0\)
C जब (b=0) / When (b=0)
D हर (a,b) के लिए / For all (a,b)
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Correct Answer
B. जब \(a\neq 0\) / When \(a\neq 0\)
Step 1
Concept
प्रतिलोम्य होने के लिए फलन एकैकी और आच्छादी होना चाहिए। / An invertible function must be one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq 0\) होने पर रैखिक फलन हर वास्तविक मान को ठीक एक बार लेता है। / If \(a\neq 0\), the linear function takes every real value exactly once.
Step 3
Exam Tip
(a=0) होने पर फलन स्थिर हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम्य नहीं रहता। / If (a=0), it becomes constant and is not invertible.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x|) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=|x|), which statement is correct?
#absolute value
#one-one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
C केवल एकैकी / Only one-one
D केवल आच्छादी / Only onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(2)=f(-2)), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=f(-2)), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या इसका मान नहीं बन सकती, इसलिए आच्छादी नहीं है। / No negative real number can be its output, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन में चिह्न और परास दोनों जांचें। / For absolute value functions, check both sign and range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 ), तो (f^{-1}(8)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 ), what is the value of (f^{-1}(8))?
#inverse value
#cubic function
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (4)
C (-2)
D (512)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(8)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए \(x^3=8\)। / (f^{-1}(8)) means the (x) for which \(x^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=2) रखने पर \(2^3=8\) मिलता है। / Taking (x=2) gives \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम मान में निर्गत से आगत खोजा जाता है। / In inverse values, we find the input from the output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=2x+1), (g(x)=x-2 -1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=2x+1), (g(x)=x-2 -1), what is (\(f\circ g\)(x))?
#composition
#polynomial functions
#simplification
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2x^2-1\)
B \(2x^2+1\)
C ((2x+1)2 -1)
D \(x^2+1\)
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Correct Answer
A. \(2x^2-1\)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g(x)=x-2 -1) को (f) में रखने पर (2\(x^2-1\)+1) मिलता है। / Substitute (g(x)=x-2 -1) into (f) to get (2\(x^2-1\)+1).
Step 3
Exam Tip
सरल करने पर \(2x^2-1\) आता है। / Simplifying gives \(2x^2-1\).
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n+1) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is given by (f(n)=n+1), which statement about (f) is correct?
#natural numbers
#one-one
#not onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
अलग-अलग (n) के लिए (n+1) भी अलग-अलग होगा, इसलिए एकैकी है। / Different values of (n) give different values of (n+1), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब प्राकृतिक संख्याओं में नहीं है। / The number (1) has no preimage in natural numbers.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर स्थानांतरण फलन में पहला मान अक्सर छूट जाता है। / For shift functions on natural numbers, the first value is often missed.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=x+2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(x)=x+2), what type of function is (f)?
#integers
#bijection
#shift function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
(x+2) अलग-अलग पूर्णांकों को अलग-अलग पूर्णांकों में भेजता है। / (x+2) sends different integers to different integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=y-2\in\mathbb{Z}\) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{Z}\), choose \(x=y-2\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर आगे या पीछे खिसकाना सामान्यतः द्विआधारी होता है। / Shifts on integers are usually bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{1+x-2 }) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{1}{1+x-2 }), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#real function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((0,1])
B ([0,1])
C (\(-\infty,1]\)
D \([1,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((0,1])
Step 1
Concept
\(x^2\geq 0\), इसलिए \(1+x^2\geq 1\)। / Since \(x^2\geq 0\), \(1+x^2\geq 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा मान (x=0) पर (1) है और मान (0) तक केवल पास जाता है, पहुँचता नहीं। / The maximum value is (1) at (x=0), and the function approaches (0) but never reaches it.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक परास में सीमा जैसा व्यवहार ध्यान से देखें। / For rational ranges, watch endpoint inclusion carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) को (f(x)=\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) is given by (f(x)=\frac{1}{x}), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#reciprocal function
#bijection
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{1}{x}\)
B (x)
C \(-\frac{1}{x}\)
D \(x^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1}{x}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{1}{x}\) मानें। / Put \(y=\frac{1}{x}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। / This gives \(x=\frac{1}{y}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम फलन मूल फलन जैसा ही है। / Hence the inverse function is the same as the original function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 -4x+7) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 -4x+7), what is the minimum value of (f)?
#quadratic function
#minimum value
#range
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (3)
C (4)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) लिखें। / Write (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)2 \geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / Since ((x-2)2 \geq 0), the minimum value is (3).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान वर्ग पूरा करके आसानी से मिलता है। / Completing the square quickly gives the minimum of a quadratic function.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है, (|A|=3), (|B|=4), तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is onto, (|A|=3), and (|B|=4), which statement is correct?
#onto function
#finite sets
#impossible function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ऐसा फलन संभव है / Such a function is possible
B ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
C ऐसे (12) फलन होंगे / There will be (12) such functions
D हर फलन आच्छादी होगा / Every function will be onto
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Correct Answer
B. ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से आना चाहिए। / For an onto function, every element of (B) must be hit by some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) अवयव हैं पर (B) में (4), इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। / (A) has (3) elements but (B) has (4), so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
आच्छादिता के लिए सीमित समुच्चयों में प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए। / For finite sets, the domain must not be smaller than the codomain for onto functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=kx+7) एकैकी नहीं है, तो (k) का मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=kx+7) is not one-one, what is the value of (k)?
#linear function
#one-one
#parameter
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (7)
D (-1)
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Step 1
Concept
रैखिक फलन (kx+7) तब एकैकी होता है जब \(k\neq 0\)। / The linear function (kx+7) is one-one when \(k\neq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी न होने के लिए ढाल (0) होनी चाहिए। / To fail one-one, its slope must be (0).
Step 3
Exam Tip
(k=0) पर फलन स्थिर बन जाता है। / At (k=0), the function becomes constant.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-5 +x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-5 +x), which statement about (f) is correct?
#bijection
#polynomial function
#real function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(x^5+x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता और सभी वास्तविक मानों को ढकता फलन द्विआधारी होता है। / An increasing function covering all real values is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-4 ) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-4 ), which statement is correct?
#power function
#one-one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
C केवल एकैकी / Only one-one
D केवल आच्छादी / Only onto
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Correct Answer
B. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=f(-1)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ \(x^4\) के रूप में नहीं मिलतीं, इसलिए आच्छादी नहीं है। / Negative real numbers are not obtained as \(x^4\), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में चिह्न और परास दोनों ध्यान से देखें। / For even powers, check both symmetry and range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-2) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x+2}{3}) से दिया गया है, तो (g) और (f) के बीच क्या संबंध है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=3x-2) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) by (g(x)=\frac{x+2}{3}), what is the relation between (g) and (f)?
#inverse function
#linear function
#composition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(g=f^{-1}\)
B (g=f)
C \(g=f\circ f\)
D (g) स्थिर है / (g) is constant
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Correct Answer
A. \(g=f^{-1}\)
Step 1
Concept
(y=3x-2) से \(x=\frac{y+2}{3}\) मिलता है। / From (y=3x-2), we get \(x=\frac{y+2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
यही (g(y)) का रूप है, इसलिए (g) प्रतिलोम फलन है। / This matches the form of (g(y)), so (g) is the inverse function.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम जांचने के लिए (f(g(x))) या (g(f(x))) भी (x) होना चाहिए। / You can also verify an inverse by checking (f(g(x))=x) or (g(f(x))=x).
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यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{4,5,6,7\}\), तो एकैकी फलनों की संख्या कितनी है?
If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), and \(B=\{4,5,6,7\}\), how many one-one functions are there?
#one-one functions
#counting
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (12)
B (24)
C (64)
D (81)
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Step 1
Concept
पहले अवयव के लिए (4) चुनाव, दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2).
Step 2
Why this answer is correct
कुल एकैकी फलन \(4\cdot3\cdot2=24\) होंगे। / Total one-one functions are \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों में बिना दोहराव के चुनाव करें। / For one-one functions, choose images without repetition.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sin x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\sin x), which statement about (f) is correct?
#trigonometric function
#one-one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
B यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है / It is neither one-one nor onto
C यह केवल एकैकी है / It is only one-one
D यह केवल आच्छादी है / It is only onto
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=\sin 2\pi\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=\sin 2\pi\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं ढकता। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जांचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) is defined by (f(x)=x-2 ), what type of function is (f)?
#domain restriction
#bijection
#square function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\geq0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) इसी प्रांत में है। / For every \(y\geq0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सीमित करने से \(x^2\) द्विआधारी बन सकता है। / Restricting the domain can make \(x^2\) bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 -2x) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 -2x), what is the range of (f)?
#range
#quadratic function
#completing square
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A \([-1,\infty\))
B \([0,\infty\))
C (\(-\infty,-1]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([-1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) लिखें। / Write (x-2 -2x=(x-1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
((x-1)2 \geq0), इसलिए सबसे छोटा मान (-1) है। / Since ((x-1)2 \geq0), the least value is (-1).
Step 3
Exam Tip
ऊपर खुलने वाले द्विघात फलन का परास न्यूनतम मान से शुरू होता है। / An upward-opening quadratic has range starting from its minimum value.
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यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), तो (f) का प्रांत क्या होगा?
If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), what is the domain of (f)?
#domain
#rational function
#excluded value
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A \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)
B \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
C \(\mathbb{R}\)
D \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)
Step 1
Concept
भिन्न में हर शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator of a fraction must not be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x+1=0) से (x=-1) मिलता है। / (x+1=0) gives (x=-1).
Step 3
Exam Tip
प्रांत निकालते समय सबसे पहले हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएँ। / To find the domain, first remove values that make the denominator zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=5), which statement about (f) is correct?
#constant function
#one-one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह स्थिर फलन है और एकैकी नहीं है / It is constant and not one-one
D यह प्रतिलोम्य है / It is invertible
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Correct Answer
C. यह स्थिर फलन है और एकैकी नहीं है / It is constant and not one-one
Step 1
Concept
हर (x) के लिए फलन का मान (5) है। / For every (x), the function value is (5).
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग आगतों पर समान निर्गत मिलने से यह एकैकी नहीं है। / Different inputs give the same output, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन केवल एक मान देता है, इसलिए सामान्यतः आच्छादी भी नहीं होता। / A constant function gives only one value, so it is usually not onto either.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=x+1), (g(x)=2x), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+1), (g(x)=2x), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition
#order of functions
#linear functions
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A दोनों बराबर हैं / They are equal
B (\(f\circ g\)(x)=2x+1) और (\(g\circ f\)(x)=2x+2) / (\(f\circ g\)(x)=2x+1) and (\(g\circ f\)(x)=2x+2)
C (\(f\circ g\)(x)=x+2) और (\(g\circ f\)(x)=2x+1) / (\(f\circ g\)(x)=x+2) and (\(g\circ f\)(x)=2x+1)
D दोनों स्थिर हैं / Both are constant
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Correct Answer
B. (\(f\circ g\)(x)=2x+1) और (\(g\circ f\)(x)=2x+2) / (\(f\circ g\)(x)=2x+1) and (\(g\circ f\)(x)=2x+2)
Step 1
Concept
(f(g(x))=f(2x)=2x+1)। / (f(g(x))=f(2x)=2x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=g(x+1)=2x+2)। / (g(f(x))=g(x+1)=2x+2).
Step 3
Exam Tip
फलनों का संयोजन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Composition of functions is not generally commutative.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the range of (f)?
#range
#absolute value
#rational function
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? Hint Small clue
A ((-1,1))
B ([-1,1])
C ([0,1))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ((-1,1))
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) तक जाता है पर (1) नहीं लेता। / For \(x\geq0\), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which approaches (1) but never reaches it.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। / For (x<0), the value lies between (-1) and (0).
Step 3
Exam Tip
दोनों भाग मिलाकर परास ((-1,1)) है। / Combining both parts gives the range ((-1,1)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-3 -1) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=2x-3 -1), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#cubic function
#algebra
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A \(\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}\)
B \(\sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}\)
C \(\frac{x^3+1}{2}\)
D \(2x^3+1\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}\)
Step 1
Concept
\(y=2x^3-1\) मानें। / Put \(y=2x^3-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y+1=2x^3\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\)। / Then \(y+1=2x^3\), so \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम में पहले (x) को अलग करें, फिर चर बदलें। / In inverse questions, isolate (x) first and then change the variable.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से दिया गया है, तो \(f^{-1}\) फलन क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 ), why is \(f^{-1}\) not a function?
#inverse relation
#not one-one
#square function
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A क्योंकि (1) के दो पूर्वप्रतिबिंब (1) और (-1) हैं / Because (1) has two preimages (1) and (-1)
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि (f) परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined
D क्योंकि (f(0)=1) है / Because (f(0)=1)
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) के दो पूर्वप्रतिबिंब (1) और (-1) हैं / Because (1) has two preimages (1) and (-1)
Step 1
Concept
प्रतिलोम के फलन होने के लिए मूल फलन एकैकी होना चाहिए। / For the inverse to be a function, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक निर्गत के दो आगत हैं। / (f(1)=f(-1)=1), so one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम संबंध एक निर्गत को दो मानों से जोड़ देगा और फलन नहीं बनेगा। / Thus the inverse relation assigns two values and is not a function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +4), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +4), what is the range of (f)?
#range
#quadratic function
#minimum value
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A \([4,\infty\))
B (\(4,\infty\))
C (\(-\infty,4]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([4,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\geq0\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(x^2\geq0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x^2+4\geq4\) और (x=0) पर (4) मिल जाता है। / Hence \(x^2+4\geq4\), and (4) is attained at (x=0).
Step 3
Exam Tip
परास लिखते समय अंतिम बिंदु शामिल है या नहीं, यह जरूर देखें। / While writing range, check whether the endpoint is included.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\cos x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\cos x), why is (f) not onto?
#trigonometric function
#onto
#range
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A क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
D क्योंकि (-1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (-1) has no preimage
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर \(\cos x=2\) कभी नहीं हो सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\cos x=2\) is impossible.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचने में सहप्रांत के छूटे मान खोजें। / To test onto, look for values in the codomain that are missed.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -3x) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-3 -3x), why is (f) not one-one?
#one-one function
#counterexample
#cubic polynomial
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A क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) है / Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
B क्योंकि (f(1)=f(2)) है / Because (f(1)=f(2))
C क्योंकि (f(-1)=f(1)) है / Because (f(-1)=f(1))
D क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) है / Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना होता है। / To show a function is not one-one, find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=0)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=0).
Step 3
Exam Tip
उपयुक्त प्रतिवाद कठिन फलनों में भी एकैकीपन तोड़ देता है। / A suitable counterexample is enough to disprove one-one behaviour.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) को (f(x)=e^x) से दिया गया है, तो (f) कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) is given by (f(x)=e^x), what type of function is (f)?
#exponential function
#bijection
#range
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? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\(e^x\) वास्तविक रेखा पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(e^x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका हर मान धनात्मक होता है और हर धनात्मक संख्या \(e^x\) के रूप में मिल सकती है। / Its values are positive, and every positive number can be written as \(e^x\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने से यह द्विआधारी बनता है। / With codomain (\(0,\infty\)), it becomes bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=e^x) से दिया गया है, तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=e^x), which statement is correct?
#exponential function
#one-one
#not onto
50 50-50 2 wrong hide
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A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
\(e^x\) बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान देता है। / \(e^x\) is increasing, so it gives different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
इसका कोई मान शून्य या ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) को पूरा नहीं ढकता। / It never becomes zero or negative, so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग सहप्रांत पर अलग प्रकार का फलन बन सकता है। / The same formula can have different properties with a different codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\tan x) से दिया गया है, तो यह फलन क्यों सही रूप से परिभाषित नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\tan x), why is this function not well-defined?
#well-defined function
#tangent
#domain
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? Hint Small clue
A क्योंकि \(\tan x\) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित नहीं है / Because \(\tan x\) is not defined for all real (x)
B क्योंकि \(\tan 0=0\) है / Because \(\tan 0=0\)
C क्योंकि \(\tan x\) का परास \(\mathbb{R}\) है / Because the range of \(\tan x\) is \(\mathbb{R}\)
D क्योंकि \(\tan x\) विषम फलन है / Because \(\tan x\) is an odd function
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\tan x\) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित नहीं है / Because \(\tan x\) is not defined for all real (x)
Step 1
Concept
\(\tan x\) उन मानों पर परिभाषित नहीं होता जहाँ \(\cos x=0\)। / \(\tan x\) is not defined where \(\cos x=0\).
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(x=\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan x\) परिभाषित नहीं है। / For example, at \(x=\frac{\pi}{2}\), \(\tan x\) is not defined.
Step 3
Exam Tip
फलन के लिए प्रांत के हर अवयव पर मान मिलना जरूरी है। / A function must assign a value to every element of its domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) को (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}) से दिया गया है, तो (f) का छूटा हुआ मान कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) is given by (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}), which value is missed by (f)?
#rational function
#range
#excluded value
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? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (-2)
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Step 1
Concept
\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानें। / Let \(y=\frac{3x+1}{x+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y=3) रखने पर (3x+1=3x+6), जो असंभव है। / Putting (y=3) gives (3x+1=3x+6), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्षैतिज मान अक्सर छूटा हुआ मान होता है। / In linear fractional functions, the horizontal limiting value is often the missed value.
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यदि \(f:A\to A\), \(A=\{1,2,3\}\), और (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:A\to A\), \(A=\{1,2,3\}\), and (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), which statement about (f) is correct?
#bijection
#finite set
#mapping
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
(A) के तीनों अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग हैं। / The images of the three elements of (A) are all distinct.
Step 2
Why this answer is correct
निर्गतों में (1,2,3) सभी आ रहे हैं, इसलिए आच्छादी भी है। / The outputs include (1,2,3), so the function is onto.
Step 3
Exam Tip
सीमित समान समुच्चयों में अलग-अलग प्रतिबिंब दिखते ही द्विआधारिता मिलती है। / For finite equal sets, distinct images imply bijection.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x-2|) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=|x-2|), what is the minimum value of (f)?
#absolute value
#minimum value
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D कोई न्यूनतम मान नहीं / No minimum value
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Step 1
Concept
निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / An absolute value is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
(x=2) पर (|x-2|=0) मिलता है। / At (x=2), (|x-2|=0).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन का न्यूनतम तब मिलता है जब अंदर की मात्रा शून्य हो। / The minimum of an absolute value function occurs when the inside expression becomes zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#floor function
#not one-one
#not onto
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह न एकैकी है न आच्छादी / It is neither one-one nor onto
D यह प्रतिलोम्य है / It is invertible
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Correct Answer
C. यह न एकैकी है न आच्छादी / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\lfloor 1.2\rfloor=\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 1.2\rfloor=\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसे वास्तविक मान नहीं आते। / Its values are always integers, so real values like (0.5) are missed.
Step 3
Exam Tip
सीढ़ी जैसे फलन में एकैकीपन और आच्छादिता दोनों अलग से जांचें। / For step functions, test one-one and onto separately.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +ax+1) एकैकी है, तो नीचे दिए गए में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +ax+1) is one-one, which statement is correct?
#quadratic function
#one-one
#parameter
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? Hint Small clue
A ऐसा कोई वास्तविक (a) संभव नहीं है / No real (a) is possible
B (a=0) ही संभव है / Only (a=0) is possible
C (a=1) ही संभव है / Only (a=1) is possible
D हर (a) संभव है / Every (a) is possible
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Correct Answer
A. ऐसा कोई वास्तविक (a) संभव नहीं है / No real (a) is possible
Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक (a) के लिए यह द्विघात फलन है। / For any real (a), this is a quadratic function.
Step 2
Why this answer is correct
पूरे \(\mathbb{R}\) पर द्विघात फलन अपने शीर्ष के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / On all of \(\mathbb{R}\), a quadratic takes equal values on opposite sides of its vertex.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore it cannot be one-one on the entire real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) दोनों एकैकी हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are both one-one, which statement about \(g\circ f\) is correct?
#composition
#one-one functions
#proof idea
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? Hint Small clue
A यह हमेशा एकैकी है / It is always one-one
B यह कभी एकैकी नहीं है / It is never one-one
C यह हमेशा स्थिर है / It is always constant
D यह तभी एकैकी है जब (f=g) / It is one-one only when (f=g)
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Correct Answer
A. यह हमेशा एकैकी है / It is always one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एकैकी है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)); फिर (f) एकैकी है, इसलिए \(x_1=x_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)); since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों का संयोजन फिर एकैकी होता है। / The composition of one-one functions is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों आच्छादी हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both onto, which statement about \(g\circ f\) is correct?
#composition
#onto functions
#proof idea
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A यह हमेशा आच्छादी है / It is always onto
B यह कभी आच्छादी नहीं है / It is never onto
C यह तभी आच्छादी है जब (A=C) / It is onto only when (A=C)
D यह केवल एकैकी होगा / It will only be one-one
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Correct Answer
A. यह हमेशा आच्छादी है / It is always onto
Step 1
Concept
(C) के किसी भी (c) को लें। / Take any \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जहाँ (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जहाँ (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) satisfies (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) satisfies (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है। / Hence (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x+1}{x-1}) से दिया गया है, तो (f) का प्रांत और छूटा हुआ परास मान कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), what are the domain and the missed range value of (f)?
#domain
#range
#rational function
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? Hint Small clue
A प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (1)
B प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), छूटा मान (1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), missed value (1)
C प्रांत \(\mathbb{R}\), छूटा मान (-1) / Domain \(\mathbb{R}\), missed value (-1)
D प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (-1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (-1)
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Correct Answer
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (1)
Step 1
Concept
हर (x-1) है, इसलिए (x=1) प्रांत से हटेगा। / The denominator is (x-1), so (x=1) is removed from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=\frac{x+1}{x-1}\) में (y=1) रखने पर (x+1=x-1), जो असंभव है। / Putting (y=1) in \(y=\frac{x+1}{x-1}\) gives (x+1=x-1), impossible.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में प्रांत और छूटे हुए मान दोनों अलग-अलग जांचें। / For rational functions, check domain and missed range values separately.
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