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(f(x)=2x-5) रैखिक फलन है और ढाल शून्य नहीं है, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / (f(x)=2x-5) is linear with non-zero slope, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+5}{2}\) वास्तविक है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+5}{2}\) is real, so every real output is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर वह एकैकी और आच्छादी होता है। / In exams, remember that (ax+b) with \(a\neq0\) is both one-one and onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+1\ge 1\) होगा। / Since \(x^2\ge 0\), we get \(x^2+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर (f(x)=0) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but (f(x)=0) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के ऐसे मान खोजें जो फलन से कभी न मिलें। / To test onto, look for a codomain value that is never produced by the function.
\(y=\frac{x-2}{3}\) मान लें। / Let \(y=\frac{x-2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
(3y=x-2), अतः (x=3y+2)। अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=3x+2) मिलेगा। / Then (3y=x-2), so (x=3y+2). Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=3x+2).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम निकालते समय (x) को अकेला करें और अंत में चर बदलें। / To find an inverse, isolate (x) first and then interchange the variables.
A. कम से कम दो अवयवों का प्रतिबिंब समान होगा/At least two elements have the same image
Step 1
Concept
आच्छादी होने का अर्थ है (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से प्राप्त हो। / Onto means every element of (B) is hit by at least one element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (7) और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं हो सकते। / Since (A) has (7) elements and (B) has (5), all images cannot be distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या देखकर एकैकी और आच्छादी का निर्णय जल्दी हो सकता है। / For finite sets, compare cardinalities to judge one-one and onto quickly.
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-2) भी पूर्णांक है, इसलिए (m) प्राप्त हो जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-2) is also an integer, so every integer is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थिर जोड़ या घटाव वाला फलन सामान्यतः एकैकी और आच्छादी रहता है। / On integers, adding or subtracting a fixed integer usually gives a bijection.
A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/(1) and (2) have no preimage
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change whether a function is onto.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए दो अलग निवेशों का समान वर्ग नहीं होगा। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so two different inputs do not give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) belongs to the domain and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन की प्रकृति प्रांत पर बहुत निर्भर करती है। / The nature of the square function depends strongly on its domain.
\(x=\sqrt[3]{y}\), इसलिए चर बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। / Then \(x=\sqrt[3]{y}\), so after interchanging variables (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी और आच्छादी होता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम होता है। / The cube function is bijective on \(\mathbb{R}\), so its inverse exists.
A. \(g\circ f\) एकैकी होगा/\(g\circ f\) will be one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)); फिर (f) एकैकी होने से \(a_1=a_2\)। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))); since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन हमेशा एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is always one-one.
(C) के किसी भी (c) को लें। (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) होगा जिससे (g(b)=c)। / Take any \(c\in C\). Since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b)। तब (g(f(a))=c)। / Since (f) is onto, there is \(a\in A\) such that (f(a)=b), so (g(f(a))=c).
Step 3
Exam Tip
दो आच्छादी फलनों का संयोजन आच्छादी होता है। / The composition of two onto functions is onto.
हर (x) के लिए (f(x)=5), इसलिए अनेक निवेशों का समान प्रतिबिंब है और फलन एकैकी नहीं है। / For every (x), (f(x)=5), so many inputs have the same image and the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) के अलावा बहुत से मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has many values other than (5) that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः न एकैकी होता है और न आच्छादी। / A constant function on a large codomain is generally neither one-one nor onto.
पहले अवयव के लिए (5), दूसरे के लिए (4), और तीसरे के लिए (3) विकल्प बचेंगे। / The first element has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).
Step 2
Why this answer is correct
कुल एकैकी फलन \(5\times4\times3=60\) होंगे। / Thus the number of one-one functions is \(5\times4\times3=60\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन गिनते समय बिना दोहराव के प्रतिबिंब चुनें। / For one-one functions, choose images without repetition.
एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (3), इसलिए (5) अलग प्रतिबिंब संभव नहीं हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (3), so (5) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से बड़ा हो, तो सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन नहीं बन सकता। / For finite sets, if the domain is larger than the codomain, no one-one function exists.
A. क्योंकि इसका परिसर ([-1,1]) है/Because its range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं, पर वे \(\sin x\) से नहीं मिलते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), which contains values like (2), but these are not obtained by \(\sin x\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में परिसर याद रखना आच्छादी जाँच में बहुत मदद करता है। / Remembering the range of trigonometric functions helps in onto questions.
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में \(\sin x\) के सभी मान ([-1,1]) में मिल जाते हैं। / Its values over this interval cover all of ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन को उपयुक्त अंतराल पर सीमित करने से वह द्वैकी बन सकता है। / Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it bijective.
A. (A) के एक अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हों/One element of (A) has two different images
Step 1
Concept
फलन में प्रांत के हर अवयव का ठीक एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। / In a function, every element of the domain must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
यदि एक ही अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हैं, तो वह संबंध फलन नहीं रहेगा। / If one element has two different images, the relation is not a function.
Step 3
Exam Tip
फलन होने के लिए एकैकी या आच्छादी होना जरूरी नहीं, पर प्रत्येक निवेश का एक ही निर्गत जरूरी है। / A function need not be one-one or onto, but each input must have exactly one output.
(A) के हर अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (1,2,3) सभी अलग-अलग और पूरे (A) को ढकते हैं। / The images (1,2,3) are all distinct and cover the whole set (A).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय पर यदि सभी प्रतिबिंब अलग हों और संख्या बराबर हो, तो फलन द्वैकी होता है। / On a finite set, if all images are distinct and the sizes match, the function is bijective.
A. क्योंकि (1) के दो अलग प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two different images
Step 1
Concept
दिए गए संबंध में ((1,2)) और ((1,3)) दोनों हैं। / The relation contains both ((1,2)) and ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि एक ही निवेश (1) के दो अलग निर्गत (2) और (3) हैं, जो फलन की परिभाषा के विरुद्ध है। / This means the same input (1) has two different outputs (2) and (3), which violates the definition of a function.
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में पहले अवयव को देखकर फलन की जाँच करें। / In ordered pairs, check the first component to test whether the relation is a function.
यदि \(a\neq0\), तो (ax+b) की ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। / If \(a\neq0\), the slope of (ax+b) is non-zero, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) मिल जाता है, इसलिए यह आच्छादी है। / For any (y), \(x=\frac{y-b}{a}\) exists, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में मुख्य शर्त \(a\neq0\) है, (b) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। / For a linear function, the key condition is \(a\neq0\); (b) may be any real number.
एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों का एक ही प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to show two distinct inputs with the same image.
जब किसी फलन को दो बार लगाने पर वही निवेश मिल जाए, तो वह अपना ही व्युत्क्रम होता है। / If applying a function twice gives the original input, the function is its own inverse.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+3) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x-3}{2}) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?
दोनों संयोजन पहचान फलन दें, तो दोनों फलन परस्पर व्युत्क्रम होते हैं। / If both compositions give the identity function, the two functions are inverses.
A. क्योंकि (f) एकैकी नहीं है/Because (f) is not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so two different inputs have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
व्युत्क्रम में (4) से (2) और (-2) दोनों मिलेंगे, जिससे एक निर्गत की शर्त टूटेगी। / In the inverse, (4) would point to both (2) and (-2), violating the function rule.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन के लिए मूल फलन का एकैकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
विषम फलन के लिए (f(-x)=-f(x)) होता है। / For an odd function, (f(-x)=-f(x)).
Step 2
Why this answer is correct
(x=4) रखने पर (f(-4)=-f(4)=-9)। / Putting (x=4), we get (f(-4)=-f(4)=-9).
Step 3
Exam Tip
सम और विषम फलनों की परिभाषाएँ याद रखने से मान जल्दी निकाले जा सकते हैं। / Remembering even and odd function definitions helps solve value-based questions quickly.
A. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलता। / Its values are always integers, so a real number like (0.5) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के कई मानों का समान प्रतिबिंब होता है। / The greatest integer function maps many values in an interval to the same integer.
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। / For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / But \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है। / Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto.
\(x\ge0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो (0) से बढ़कर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / For \(x\ge0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which increases from (0) and approaches (1) but never equals (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर मान (-1) से बड़ा और (0) से छोटा रहता है। / For (x<0), the value stays greater than (-1) and less than (0).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास पहुँचना और सीमा को प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching an endpoint and attaining it are different things.
मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Suppose (f\(a_1\)=f\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), अर्थात (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\); अतः (f) एकैकी है। / Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\); therefore (f) is one-one.
