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सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में कुल 50 विद्यार्थी हैं। यदि \(n(A)=18\), \(n(B)=22\) और \(n(A\cap B)=7\) है, तो \(A\cup B\) के बाहर कितने विद्यार्थी होंगे?
संघ के लिए समावेशन-अपवाद सूत्र लागू करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+22-7=33\). इसलिए \(A\cup B\) के बाहर के विद्यार्थी = कुल − \(A\cup B\) = \(50-33=17\). 13 गलत है — यह तब आता है जब अभ्यर्थी संघ की गिनती में त्रुटि करे (उदाहरण के लिए आवरण में अंतर का गलत मान या दुगुना-गिनती से भ्रम)। परिक्षा टिप: हमेशा एक सरल वैन डाया그램 बनाकर पहले \(n(A\cup B)\) निकालें, फिर कुल से घटाएँ। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+22-7=33\). So students outside \(A\cup B\) = total − \(n(A\cup B)\) = \(50-33=17\). Option 13 is incorrect — it typically results from an arithmetic or counting error when handling the intersection (for example using the wrong intersection value or miscounting overlaps). Exam tip: sketch a Venn diagram and compute \(n(A\cup B)\) first, then subtract from the total.
अंक (digits) का सार्वभौमिक समुच्चय 0 से 9 तक के अंक हैं: \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) में जो अंक हैं वे \(U\) के सदस्य हैं; इसलिए पूरक \(A'\) में वे सभी अंक आएँगे जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। अतः \(A'=\{0,1,3,5,7,9\}\). नज़दीकी विचलन (option B) से फर्क: B में 0 गायब है, इसलिए यह गलत है। परीक्षा टिप: यदि सार्वभौमिक समुच्चय सीमित और स्पष्ट हो (यहाँ 0–9), तो पहले उसे लिखकर किसी समुच्चय के पूरक के लिए निकाल लें। / The digits (universal set) are \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Since \(A=\{2,4,6,8\}\), the complement \(A'\) contains all elements of \(U\) that are not in \(A\), i.e. \(A'=\{0,1,3,5,7,9\}\). Closest distractor (option B) omits 0, so it is incorrect. Exam tip: when U is finite and explicit (like digits 0–9), list U and subtract A to find the complement quickly.
पूरक \(A'\) का अर्थ है सभी वे तत्व जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व हैं \{1,2,3,4,5,6\} और \(A\) के तत्व \{1,3,5\} हैं, अतः \(A' = \{2,4,6\}\) और इसका क्रम 3 है। फार्मूला भी देख सकते हैं: \(n(A')=n(U)-n(A)=6-3=3\)。 नज़दीकी भ्रांति (option C = 4) तब होती है जब कोई गलती से किसी तत्व को दो बार गिन ले या सार्वभौमिक सेट में बाहरी तत्व जोड़ दे। परीक्षा टिप: पूरक लेते समय केवल दिए गए \(U\) के भीतर के तत्वों को ही गिनें और यदि संभव हो तो \(n(A')=n(U)-n(A)\) सूत्र का प्रयोग करें। / The complement \(A'\) means elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{1,3,5\}\), so \(A'=\{2,4,6\}\) which has 3 elements. Using the formula: \(n(A')=n(U)-n(A)=6-3=3\). The closest wrong option (4) would result from miscounting or including an element not in \(U\). Exam tip: always count only elements of the given universal set and use the complement formula to avoid simple counting errors.
पूर्णत: सेट \(A'\) का अर्थ है वे तत्व जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\setminus A=\{1,3,5,7\}\) होता है, इसलिए \(5\) \(A'\) में है। विकल्पों में से \(4\) और \(8\) \(A\) के तत्व हैं इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी कॉम्प्लीमेंट का निर्धारण करने के लिए पहले \(U\) से \(A\) के सभी तत्व निकाल दें और बची सूची देख लें। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U\setminus A=\{1,3,5,7\}\), so 5 is in \(A'\). Options like 4 and 8 are in \(A\), so they are not in the complement. Exam tip: compute \(U\setminus A\) explicitly by removing all elements of \(A\) from \(U\).
\(U\) में 1 से 10 तक के प्राकृतिक संख्याएँ हैं। अभाज्य संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, अतः A = \{2,3,5,7\}\;। A का परिशिष्ट \(A'\) वह सभी तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर A में नहीं — अर्थात् \{1,4,6,8,9,10\}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A (अभाज्य) को ही देता है; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं; विकल्प D गलत है क्योंकि इसमें 1 और 9 गायब हैं। परीक्षा टिप: याद रखें कि 1 न तो अभाज्य है न ही समघातक (composite), इसलिए परिशिष्ट में आएगा। / U contains natural numbers 1 to 10. The primes up to 10 are \(2,3,5,7\), so A = {2,3,5,7}. The complement A' (relative to U) consists of elements of U not in A, i.e. {1,4,6,8,9,10}. Option B lists the primes (A) itself, option C incorrectly keeps primes in the complement, and option D omits 1 and 9. Exam tip: remember 1 is neither prime nor composite, so it belongs to the complement when A is the set of primes in U.
पूरक परिभाषा के अनुसार, A′ = U \ A यानी वे तत्व जो U में हैं पर A में नहीं हैं। U में से A के तत्व {0,2,4} हटाने पर बचे तत्व {1,3,5} मिलते हैं, जो सेट B के समान हैं। इसलिए A′ = {1,3,5} = B। विकल्प C (U) गलत है क्योंकि U में सभी तत्व होते हैं; विकल्प A गलत है क्योंकि A में वही तत्व हैं जिन्हें हटाया जाता है; विकल्प D (∅) गलत है क्योंकि A का पूरक खाली सेट तभी होगा जब A = U। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट का पूरक निकालते समय U के सभी तत्वों को लिखकर A के तत्व हटा दें — यह सरल और तेज तरीका है। / By definition the complement A′ = U \ A, i.e. the elements in U that are not in A. Removing A = {0,2,4} from U gives {1,3,5}, which equals B. Hence A′ = {1,3,5} = B. Option C (U) is wrong because U contains all elements; option A is wrong because A contains the elements being removed; option D (∅) is wrong because the complement is empty only if A = U. Exam tip: list elements of U and cross out those in A to find A′ quickly and reliably.
A' का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\) के तत्वों को निकालना, यानी \(A'=U\setminus A\). यदि \(A\subseteq U\), तो \(n(A')=n(U)-n(A)\). यहाँ \(n(U)=6\) और \(n(A)=2\) इसलिए \(n(A')=6-2=4\). विकल्प B (3) गलत है क्योंकि उसमें एक और तत्व कम गिना गया है; विकल्प D (6) भी गलत है क्योंकि वह गणना में \(A\) को नहीं घटा रहा। परीक्षा टिप: कॉम्प्लीमेंट के लिए हमेशा पहले जाँचे कि दिया गया सेट यूनिवर्सल सेट का वास्तविक सबसेट है, फिर \(n(A')=n(U)-n(A)\) लागू करें। / A' means the complement of A in the universal set U, i.e. \(A'=U\setminus A\). If \(A\subseteq U\), then \(n(A')=n(U)-n(A)\). Here \(n(U)=6\) and \(n(A)=2\), so \(n(A')=6-2=4\). Option B (3) is incorrect because it undercounts the remaining elements; option D (6) is wrong because it ignores removal of A's elements. Exam tip: verify A is a subset of U and use \(n(A')=n(U)-n(A)\) to avoid manual miscounts.
समुप्रतिबिंब (complement) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) से सेट \(A\) के सदस्यों को हटाना। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,6\}\)। इनमें सबसे छोटी संख्या 1 है। निकटतम विकर्षक 2 सही है कि वह \(A'\) में है, पर वह 1 से बड़ा है। विकल्प 3 और 5 गलत हैं क्योंकि वे पहले से ही \(A\) के सदस्य हैं और अतः समुप्रतिबिंब में नहीं आते। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(U\) में से \(A\) घटाकर \(A'\) लिख लें, फिर क्रम में सबसे छोटा तत्व चुनें। / The complement means remove the elements of \(A\) from the universal set \(U\). So \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,6\}\). The smallest element of this set is 1. The closest distractor 2 is also in \(A'\) but is larger than 1. Options 3 and 5 are incorrect because they belong to \(A\), not to its complement. Exam tip: first compute \(A'=U\setminus A\), then pick the smallest element.
पूरक समुच्चय \(A'\) के सदस्यों की संख्या = कुल सदस्यों की संख्या − \(|A|\). सप्ताह में \(|U|=7\) दिन हैं और \(|A|=3\)। अतः \(|A'|=7-3=4\)। विकल्प A (3) ग़लत है क्योंकि वह \(|A|\) का मान है न कि पूरक का। विकल्प C (5) और D (7) भी उस घटाव से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: पूरक का कार्य हमेशा कुल में से दिए गए समुच्चय की संख्या घटाकर निकाले। / The number of elements in the complement \(A'\) equals total elements minus \(|A|\). Here \(|U|=7\) and \(|A|=3\), so \(|A'|=7-3=4\). Option A (3) is incorrect because it gives the size of \(A\), not its complement; options C (5) and D (7) do not follow the subtraction rule. Exam tip: For complements use |A'| = |U| − |A| to avoid counting errors.
समझना आसान है: \(U\) में नेचुरल नंबर्स 1 से 15 तक हैं, अतः \(n(U)=15\). \(A\) के सदस्यों को लिखें: \(A=\{5,10,15\}\), इसलिए \(n(A)=3\). परिशिष्ट (complement) \(A'\) का आकार \(n(A')=n(U)-n(A)=15-3=12\). क्यों विकल्प C (10) गलत है: कभी-कभी छात्र 5 के और गुणज (जैसे 20,25) भी गिन लेते हैं या गलत तौर पर मान लेते हैं कि \(n(A)=5\), तब वे 15-5=10 निकाल लेते हैं — यह गलत कवायद है क्योंकि हमें केवल \(U\) के भीतर के गुणज गिनने हैं। परीक्षा टिप: पहले \(U\) के तत्वों की संख्या तय करें, फिर \(A\) के तत्व सीधे लिखें और घटा दें। / Compute sizes directly: \(U\) contains natural numbers 1 through 15, so \(n(U)=15\). List multiples of 5 within \(U\): \(A=\{5,10,15\}\), thus \(n(A)=3\). Therefore \(n(A')=n(U)-n(A)=15-3=12\). Why option C (10) is wrong: a common mistake is to count multiples beyond 15 or assume there are five multiples of 5, leading to 15-5=10; only multiples ≤15 count. Exam tip: explicitly list elements of \(A\) when the universal set is small to avoid counting errors.
समुच्चय का पूरक (A') उस सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसे गणितीय रूप से \(A'=U\setminus A\) लिखा जाता है। यहाँ \(U=\{a,b,c,d,e\}\) और \(A=\{b,d\}\) होने से \(A'=\{a,c,e\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह मूल समुच्चय \(A\) ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है न कि केवल \(A\) का पूरक, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली समुच्चय तभी होगा जब \(A=U\) हो। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालने के लिए सीधे उन तत्वों को छाँटें जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। / The complement of a set \(A\) (denoted \(A'\)) consists of elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\); i.e. \(A'=U\setminus A\). Here \(U=\{a,b,c,d,e\}\) and \(A=\{b,d\}\), so \(A'=\{a,c,e\}\). Option B is just the original set \(A\), option C is the entire universal set \(U\) (not the complement), and option D would be correct only if \(A=U\). Exam tip: list elements of \(U\) and cross out those in \(A\); remaining elements form \(A'\).
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल समुच्चय के वे तत्व जो दिए हुए समुच्चय में नहीं हैं। संख्या माप (cardinality) के लिए सूत्र है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=35\) और \(n(A)=12\) होने पर \(n(A')=35-12=23\)। विकल्प A (12) गलती से समुच्चय \(A\) की संख्या है, और विकल्प C (35) यूनिवर्सल समुच्चय की कुल संख्या है — दोनों पूरक का मान नहीं देते। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए हमेशा कुल से दिए हुए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / The complement consists of elements in the universal set that are not in \(A\). For cardinalities use \(n(A')=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=35\) and \(n(A)=12\), we get \(n(A')=35-12=23\), so 23 is correct. Option A (12) is just \(n(A)\), not the complement; option C (35) is \(n(U)\), the total. Exam tip: always subtract the size of the given set from the size of the universal set to get the complement's size.
किसी समुच्चय के परिपूरक की गणना का सूत्र है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=60\) और \(n(A)=28\) हैं, अतः \(x=n(A')=60-28=32\)। विकल्प A (28) गलत है क्योंकि वह \(A\) का परिमाण है, न कि परिपूरक का। विकल्प C (60) गलत है — यह सर्वसमुच्चय \(U\) का कुल तत्व है, न कि परिपूरक का; विकल्प D (88) असंभव है क्योंकि किसी समुच्चय के परिपूरक के तत्वों की संख्या सर्वसमुच्चय के कुल से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें और तुरंत लागू करें \(n(A')=n(U)-n(A)\) और परिणामी संख्या \(\le n(U)\) होनी चाहिए। / Use the complement formula \(n(A')=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=60\) and \(n(A)=28\), we get \(x=n(A')=60-28=32\). Option A (28) is just \(n(A)\), not the complement. Option C (60) is the total number in the universal set, not the complement count. Option D (88) is impossible because a complement cannot have more elements than the universal set. Exam tip: apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) directly and check that the result is ≤ \(n(U)\).
समझ: समष्टि \(U\) में प्राकृतिक संख्याएँ \(1\) से \(12\) तक हैं। \(A=\{x\in U:3\mid x\}\) से \(A=\{3,6,9,12\}\) मिलता है। पूरक \(A'\) का अर्थ है \(U\) में से \(A\) के तत्व हटा देना। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प D (सभी सम संख्याएँ) में \(6,12\) जैसे तत्व हैं जो \(A\) में भी हैं, इसलिए गलत है; विकल्प C (विषम संख्याएँ) में \(3,9\) शामिल हैं जो \(A\) में आते हैं, इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: पहले \(|U|=12\) और \(|A|=4\) देखकर \(|A'|=8\) की जांच कर लें — यह उत्तर में आठ तत्व होने की पुष्टि करता है। / Concept: The universal set \(U\) contains natural numbers from 1 to 12. Since \(A=\{x\in U:3\mid x\}\), we have \(A=\{3,6,9,12\}\). The complement \(A'\) is the set of elements of \(U\) not in \(A\), i.e. \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}\). Why other choices fail: option A is just \(A\) itself; option D (even numbers) includes \(6,12\) which belong to \(A\), and option C (odd numbers) includes \(3,9\) which belong to \(A\). Exam tip: check sizes — \(|U|=12,|A|=4\) so \(|A'|=8\); ensure your complement has that many elements.
पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{4,5,6\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,6\}\). अब दोनों का समाहार (intersection) \(A'\cap B'=\{6\}\) होगा। विकल्प B (\(\{4,5,6\}\)) केवल \(A'\) है, न कि दोनों पूरक का समाहार; विकल्प C (\(\{3\}\)) मूल सेटों का समाहार \(A\cap B\) दर्शाता है, न कि पूरक का। परीक्शा-सुझाव: पहले प्रत्येक सेट का पूरक लिखें, फिर उनके बीच समाहार लें — Venn आरेख से यह तेज़ी से सत्यापित होता है। / Compute complements first: \(A'=U\setminus A=\{4,5,6\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,6\}\). Their intersection is \(A'\cap B'=\{6\}\). Option B (\(\{4,5,6\}\)) is just \(A'\) and not the intersection; option C (\(\{3\}\)) is the intersection of \(A\) and \(B\), not of their complements. Exam tip: always form complements relative to the universal set, then take intersection (a quick Venn diagram helps avoid sign mistakes).
पहले \(A\cup B\) निकालें: \(A\cup B=\{1,2,4,7,8\}\). अब समूहीय पूरक \((A\cup B)'\) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cup B\) के सभी तत्वों को हटाना। अतः \(U\setminus (A\cup B)=\{3,5,6,9\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह संघ (union) स्वयं है, विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 9 गायब है, और C गलत है क्योंकि यह केवल एक सामान्य तत्व नहीं बल्कि पूरक पूरा सेट होना चाहिए। परीक्षा टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटाव करें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,4,7,8\}\). The complement \((A\cup B)'\) means all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\cup B\). So \(U\setminus (A\cup B)=\{3,5,6,9\}\). Option B is just the union itself (not the complement); option D misses 9; option C is only a single element and not the complement. Exam tip: find the union, then subtract it from the universal set to get the complement.
यदि \(U=\{x: x\in\mathbb{N},\, x\le 20\}\) और \(A\) वह समुच्चय है जिसमें वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ हों जो 20 के धनात्मक भाजक हैं, तो \(n(A')\) कितना होगा?
20 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 4, 5, 10, 20 — कुल 6। इसलिए \(n(A)=6\)। सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में 1 से 20 तक की 20 प्राकृतिक संख्याएँ हैं, यानी \(n(U)=20\)। पूरक का आकार \(n(A')=n(U)-n(A)=20-6=14\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (6) दरअसल \(A\) का आकार है न कि \(A'\) का; विकल्प A (4) और D (20) भी गलत अर्थ पर आधारित हैं (4 कुछ उप-भाजकों की गिनती है और 20 पूरे U का आकार है)। परीक्षा टिप: संख्याओं के भाजक गिनने के लिए पहले गुणनखंड निकालें — \(20=2^2\times5^1\) से भाजकों की संख्या \((2+1)(1+1)=6\) शीघ्र मिल जाती है। / The positive divisors of 20 are 1, 2, 4, 5, 10 and 20, so \(n(A)=6\). The universal set \(U\) contains the natural numbers 1 through 20, hence \(n(U)=20\). Therefore \(n(A')=n(U)-n(A)=20-6=14\). The closest distractor B (6) gives the size of A, not A'; A (4) and D (20) are incorrect interpretations (4 might arise from excluding 1 and 20, 20 is |U|). Exam tip: use prime factorization — \(20=2^2\times5^1\) so number of divisors is \((2+1)(1+1)=6\), then subtract from 20 for the complement size.
समूह का पूरक (complement) उस सार्वत्रिक समूह \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(U\) के तत्व \(a,b,c,d,e,f\) हैं और \(A\) में \(a,c,f\) हैं, अतः \(A'\) में बाकी बचे तत्व \(b,d,e\) आएँगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A\) स्वयं है न कि उसका पूरक; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(a\) आता है जो \(A\) में है; विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट तभी होगा जब \(A=U\)। परीक्षीय टिप: पूरक निकालते समय पहले \(U\) की सभी वस्तुएँ लिखें और उन तत्वों को हटाएं जो \(A\) में हैं। / The complement of a set is the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). With \(U=\{a,b,c,d,e,f\}\) and \(A=\{a,c,f\}\), the remaining elements are \(\{b,d,e\}\), so option A is correct. Option B is just \(A\) itself, not the complement. Option C incorrectly includes \(a\), which belongs to \(A\). Option D (the empty set) would be correct only if \(A=U\). Exam tip: List elements of \(U\) and strike out those in \(A\) to get the complement quickly and avoid errors.
पूरक सेट की संख्या के लिए सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) उपयोग करें। यहाँ \(n(U)=10\) और \(n(A)=3\)। अतः \(n(A')=10-3=7\)। विकल्प B (6) गलती से एक तत्व कम गिनने से आ सकता है; विकल्प D (10) गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वभौमिक सेट है, न कि A का पूरा पूरक। परीक्षा सलाह: पहले सार्वभौमिक और दिए गए सेट के तत्वों की गिनती लिखकर निकालें कि कितने तत्व शेष रहते हैं। / Use the complement formula \(n(A')=n(U)-n(A)\). Here \(n(U)=10\) and \(n(A)=3\), so \(n(A')=10-3=7\). Option B (6) could result from miscounting one element; option D (10) is incorrect because it corresponds to the whole universal set, not the complement of A. Exam tip: always count elements of U and A first, then apply the formula to avoid simple subtraction errors.
यहाँ \(A'\) का अर्थ यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष पूरक है, यानी \(A'=U\setminus A\). यदि \(A'=\varnothing\) तो \(U\setminus A=\varnothing\) आता है, अर्थात् कोई भी तत्व \(U\) में ऐसा नहीं है जो \(A\) के बाहर हो; इसका अर्थ \(U\subseteq A\) है। दिया गया है कि \(A\subseteq U\) भी है, इसलिए दोनों सम्मिलित कर के \(A=U\) प्राप्त होता है। विकल्प (A) गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A' = U\), जो सामान्यतः खाली नहीं होगा (केवल तब खाली जब \(U=\varnothing\) हो)। विकल्प (C) और (D) भी सामान्यतः सत्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूरक की परिभाषा \(A'=U\setminus A\) और उपस सेट संबंधों का संयोजन लिखकर त्वरित निष्कर्ष निकालें। / Here \(A'\) denotes the complement of \(A\) relative to the universal set \(U\), i.e. \(A'=U\setminus A\). If \(A'=\varnothing\) then \(U\setminus A=\varnothing\), so no element of \(U\) lies outside \(A\); hence \(U\subseteq A\). Given \(A\subseteq U\) as well, we conclude \(A=U\). Option (A) is incorrect because if \(A=\varnothing\) then \(A'=U\), not \(\varnothing\) (except in the degenerate case \(U=\varnothing\)). Options (C) and (D) are not generally implied by the hypothesis. Exam tip: Use \(A'=U\setminus A\) and combine subset relations to prove equality quickly (\(U\setminus A=\varnothing\Rightarrow U\subseteq A\Rightarrow A=U\)).
केंद्रबिंदु: किसी सेट और उसके पूरक का योग यूनिवर्सल सेट के बराबर होता है। इसलिए \(n(A)+n(A')=n(U)\)। यहाँ \(n(A)=n(U)-n(A')=80-19=61\)।
क्योंकि 41 गलत है: 41 उस तरह के गलत गणितीय कदम से आ सकता है जहाँ घटाव गलत तरीके से किया गया हो; सही विधि ऊपर दिया समीकरण लागू करना है।
परीक्षात्मक टिप: किसी सेट का पूरक दिया हो तो सीधा फॉर्मूला याद रखें — \(n(A)=n(U)-n(A')\)。 / Core idea: A and its complement A' partition the universal set, so \(n(A)+n(A')=n(U)\). Thus \(n(A)=n(U)-n(A')=80-19=61\).
Why 41 is wrong: 41 would result from an incorrect arithmetic step or misapplication of the relation; the correct method is to subtract the complement's cardinality from the universal cardinality as shown.
Exam tip: Whenever a set's complement is given, use \(n(A)=n(U)-n(A')\) directly to avoid simple mistakes.
U में 1 से 18 तक के प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इसलिए \(n(U)=18\). \(A\) उन संख्या का समूह है जो 4 के गुणज हैं और \(U\) में हैं: \(A=\{4,8,12,16\}\), अतः \(n(A)=4\). समपूरक की संख्या \(n(A')=n(U)-n(A)=18-4=14\). परोक्ष भ्रम: विकल्प (B)=12 तब आ सकता है जब कोई \(A\) के तत्वों को गलत तरह से गिनकर 6 माना ले; विकल्प (A)=4 यह \(A\) की संख्या है न कि समपूरक की। परीक्षा सुझाव: पहले सेट के तत्व लिखें और स्पष्ट कर लें कि \(\mathbb{N}\) में 0 शामिल है या नहीं — यहाँ हम \(1\) से शुरू कर रहे हैं। / U contains the natural numbers from 1 to 18, so \(n(U)=18\). The multiples of 4 in U are \(A=\{4,8,12,16\}\), hence \(n(A)=4\). The complement has \(n(A')=n(U)-n(A)=18-4=14\). Closest distractor (B)=12 is wrong — it would follow from an incorrect count of elements in A (for example counting six multiples). Option (A)=4 is actually the size of A, not A'. Exam tip: list elements explicitly and confirm whether 0 is considered a natural number in the given convention.
पूरक की परिभाषा: A' = U \ A. चूँकि A = \varnothing (रिक्त समुच्चय) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए U \ A = U. अतः A' = {2,4,6}. विकल्प A गलत है क्योंकि वह स्वयं रिक्त समुच्चय है, विकल्प C गलत है क्योंकि 0 तथा इसकी उपस्थिति U में नहीं है, और विकल्प D (\mathcal{P}(U)) गलत है क्योंकि वह U के सभी सबसैट्स का समुच्चय है न कि U का पूरक। परीक्षा-टिप: किसी भी पूरक प्रश्न में पहले ये जाँचें कि दिए गए तत्व सार्वत्रिक समुच्चय U में हैं या नहीं। / By definition the complement A' = U \ A. Since A = \varnothing has no elements, U \ A = U. Therefore A' = {2,4,6}. Option A is wrong because it is the empty set itself; option C is wrong because 0 is not an element of U; option D (\mathcal{P}(U)) is the power set of U (the set of all subsets), not the complement. Exam tip: Always compute A' as U \ A and check membership of elements in U before answering.
पहले पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7,8\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,3,5,7\}\). दोनों का प्रतिच्छेद वह तत्व देगा जो दोनों में सामान्य हैं, इसलिए \(A'\cap B'=\{1,3,5,7\}\). विकल्प C वास्तव में \(B'\) है (इसमें 2 मौजूद है), और विकल्प B \(A\cap B\) के बराबर है; इसलिए वे सही नहीं हैं. परीक्षा-सुझाव: पहले प्रत्येक समुच्चय का पूरक लिखें और फिर प्रतिच्छेद लें — इससे भूल-चूक कम होती है। / Compute complements first: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7,8\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,3,5,7\}\). Their intersection contains elements common to both, so \(A'\cap B'=\{1,3,5,7\}\). Note: option C equals \(B'\) (it contains 2), and option B equals \(A\cap B\), so they are incorrect. Exam tip: always find each complement relative to \(U\) before taking union/intersection to avoid mistakes.
सबसे पहले \(A\cap B=\{r\}\) है क्योंकि दोनों सेटों में केवल \(r\) सामान्य है। किसी सेट का पूरक (prime) सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है, इसलिए \((A\cap B)'=U-(A\cap B)=\{p,q,r,s,t\}-\{r\}=\{p,q,s,t\}\). नज़दीकी विचलन: विकल्प C में \(r\) शामिल है इसलिए यह पूरक नहीं हो सकता; विकल्प A वास्तव में संघ के स्थान पर केवल परस्पर सामान्य तत्व (intersection) दे रहा है। परीक्षण सुझाव: पहले intersection ढूँढें, फिर उसे सार्वभौमिक सेट से घटाएँ। / First compute the intersection: \(A\cap B=\{r\}\) since \(r\) is the only common element. The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U-(A\cap B)=\{p,q,r,s,t\}-\{r\}=\{p,q,s,t\}\. Closest distractor: option C wrongly keeps \(r\) inside the set, so it is not the complement; option A is just the intersection itself. Exam tip: always find the intersection (or union) first, then apply complement relative to \(U\).
यदि \(A\subseteq B\), तो हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा। तत्वता पद्घति से देखें: यदि \(x\in B'\) (अर्थात् \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा क्योंकि \(A\subseteq B\)। अतः \(x\in A'\)। इसलिए \(B'\subseteq A'\) सत्य है। विकल्प A (\(A'\subseteq B'\)) सामान्यतः उल्टा है और गलत है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(A=B\) हो; विकल्प D का अर्थ है कि दोनों पूरक एक-दूसरे से पृथक हैं, जो जरूरी नहीं। परीक्षा-टिप: समुच्चय समावेश दिखाने के लिये हमेशा 'तत्वता विधि' (element-wise) या वенн आरेख का उपयोग करें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is in \(B\). Using element-wise reasoning: if \(x\in B'\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A'\). Thus \(B'\subseteq A'\) is true. Option A (\(A'\subseteq B'\)) reverses the inclusion and is generally false; option C holds only if \(A=B\); option D (\(A'\cap B'=\varnothing\)) need not hold. Exam tip: prove set relations by taking an arbitrary element and showing membership (element-wise proof) or use a Venn diagram for quick checks.
समुच्चय का पूरक परिभाषित है: \(A'=U\setminus A\)। इसलिए \(A\) को पाने के लिए हम \(U\) से \(A'\) में दिए गए तत्व हटा देंगे। अर्थात् \(A=U\setminus A'=\{2,4,6,8,10,12\}\setminus\{4,10\}=\{2,6,8,12\}\)। विकल्प C निकट का भ्रम पैदा करता है क्योंकि उसमें 4 शामिल है, पर 4 तो \(A'\) में है इसलिए \(A\) में नहीं होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय और उसके पूरक के लिए \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\) हमेशा सत्य होते हैं। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\). So to get \(A\) remove the elements of \(A'\) from \(U\): \(A=U\setminus A'=\{2,4,6,8,10,12\}\setminus\{4,10\}=\{2,6,8,12\}\). Option C is a tempting distractor because it includes 4, but 4 belongs to \(A'\) so it cannot be in \(A\). Exam tip: remember \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\) to check your answer quickly.
पहला कदम है \(A\cup B\) निकालना: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). अब समर्पक \((A\cup B)'\) का मतलब है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cup B\) को हटाना: \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A\cup B\) खुद है, विकल्प C \(A\cap B\) (साधारण गलती), और विकल्प D से घटक 9 गायब है। परीक्षा के लिए टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटाएँ — यह क्रम त्रुटियों को रोकता है। / First compute the union: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). The complement \((A\cup B)'\) means all elements of the universal set \(U\) not in \(A\cup B\), so \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). Option B is just the union (a common confusion), option C equals \(A\cap B\), and option D incorrectly omits 9. Exam tip: always form the union first, then subtract from \(U\) to get the complement — this avoids missing elements.
30 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30 — कुल 8 संख्या, अतः \(n(A)=8\)। सार्वभौम समुच्चय \(U\) में 1 से 30 तक कुल 30 सदस्य हैं, इसलिए पूरक का आकार \(n(A')=30-8=22\)। निकट भ्रमित विकल्प (20) तब बन सकता है जब किसी ने दो भाजक ग़लत तरीके से छोड़ दिये हों। परीक्षाया सुझाव: तेज़ी से गणना के लिए 30 का अभाज्य गुणनखंड रूप \(30=2\times3\times5\) है, इसलिए भाजकों की संख्या \((1+1)(1+1)(1+1)=8\)। / The positive divisors of 30 are 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 and 30 — so \(n(A)=8\). The universal set \(U\) contains the integers 1 through 30, i.e. 30 elements, hence \(n(A')=30-8=22\). The common wrong answer 20 would result from omitting two divisors. Exam tip: use prime factorization \(30=2\cdot3\cdot5\) so number of divisors = \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) to count quickly.
पूरक A^c में वे तत्व आते हैं जो सार्वभौमिक सेट U में हैं पर A में नहीं। U के तत्व {1,2,3,4,5,6,7} में से A = {1,3,5,7} को हटा देने पर शेष {2,4,6} बचते हैं। इसलिए A^c = {2,4,6}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A खुद है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वभौमिक सेट है न कि A का पूरक, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक रिक्त集合 नहीं है। परीक्षा टिप: U की सूची लिखकर A के तत्वों को काट दें — जो बचे वही A^c है। / The complement A^c consists of elements in the universal set U that are not in A. Removing A = {1,3,5,7} from U = {1,2,3,4,5,6,7} leaves {2,4,6}, so A^c = {2,4,6}. Option B is just A, option C is the entire universal set (not the complement), and option D (empty set) is incorrect. Exam tip: write U and cross out all elements of A — the remainder is A^c.
ध्यान दें कि \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\) (De Morgan का नियम)। पहले \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=65+58-29=94\) निकालें। पूर्ण सार्वभौमिक समुच्चय में से यह भाग बाहर है, इसलिए \(n(A^c\cap B^c)=n(U)-n(A\cup B)=120-94=26\)। नजदीकी छलावा: 94 को चुनना गलती से यूनियन की संख्या को ही उत्तर मान लेने से आता है; 29 केवल \(A\cap B\) का मान है। परीक्षा टिप: पहले यूनियन का मान निकालें फिर उसे सार्वभौमिक सेट से घटाएँ। / Use De Morgan: \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\). Compute \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=65+58-29=94\). Then \(n(A^c\cap B^c)=n(U)-n(A\cup B)=120-94=26\). Closest distractor 94 is the size of \(A\cup B\), not of the complement; 29 is just \(n(A\cap B)\). Exam tip: find the union first, then subtract from \(n(U)\).
मूल विचार: जो तत्व किसी भी दिए गए समुच्चय में नहीं आते वे यूनिवर्सल सेट U के उन तत्वों का सम्मिलित कॉम्प्लीमेंट हैं। इसलिए संख्या है \(n(U)-n(A\cup B\cup C)=110-92=18\)। विकल्प 12 गलती में घटाव (उदा. 110-98) या प्रश्न को गलत पढ़ने का परिणाम हो सकता है। विकल्प 92 गलत है क्योंकि वह संघ का मान है, न कि संघ के बाहर के तत्वों की संख्या। विकल्प 202 स्पष्ट रूप से असम्बद्ध और यूनिवर्सल सेट के कुल से अधिक है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले फार्मूला \(n( ext{none})=n(U)-n(A\cup B\cup C)\) लिखें और फिर घटाव करें ताकि पढ़ने या साइन की गलतियाँ न हों। / Core idea: elements in none of the sets are the complement of the union within the universal set. So compute \(n(U)-n(A\cup B\cup C)=110-92=18\). Option 12 likely arises from an arithmetic or reading mistake (for example using 98 instead of 92). Option 92 is the size of the union, not the outside elements. Option 202 is impossible here because it exceeds the total number in U. Exam tip: write the formula \(n( ext{none})=n(U)-n(A\cup B\cup C)\) before calculating to avoid sign or reading errors.
किसी समुह का पूरक \(A^c\) वे तत्व होते हैं जो सार्वभौमिक समुह \(U\) में हैं पर समुह \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) और \(A=\{m,o,q,s\}\) है, अतः जो तत्व बचते हैं वे \(n,p,r,t\) हैं। इसलिए \(A^c=\{n,p,r,t\}\)। विकल्प A केवल \(A\) ही है इसलिए गलत; विकल्प C पूरी तरह \(U\) है और विकल्प D शून्य-समुह है — दोनों भी असंगत हैं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटाएँ और गुणा-गणना से जांचें (\(|U|=8,|A|=4\) तो \(|A^c|=4\))। / The complement \(A^c\) consists of elements that belong to the universal set \(U\) but not to \(A\). Given \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{m,o,q,s\}\), the remaining elements are \(n,p,r,t\). Hence \(A^c=\{n,p,r,t\}\). Option A is just \(A\) itself (not its complement), option C is the whole \(U\) and option D is the empty set — all incorrect. Exam tip: subtract elements of \(A\) from \(U\) and verify by counting (here \(|U|=8,|A|=4\) so \(|A^c|=4\)).
कुल सार्वभौमिक समुच्चय U में से उन तत्वों की संख्या जो किसी भी एक या अधिक समुच्चयों A, B, C में आती हैं, वह n\(A \cup B \cup C\) = 127 है। इसलिए जो तत्व किसी भी समुच्चय में नहीं आते (i.e. \(A \cup B \cup C\) का पूरक) उनकी संख्या है n(U) - n\(A \cup B \cup C\) = 160 - 127 = 33। निकट भ्रामक विकल्प 27 इसलिए गलत है क्योंकि यह गलत घटाव का परिणाम है; 37 भी गलत है क्योंकि यह उल्टा या अलग गणना दर्शाता है। परीक्षा टिप: बिना अतिरिक्त जानकारी के किसी भी तत्वों को 'नहीं आने वाले' पाने के लिए बस n(U) में से n(union) घटाएँ। / The elements that lie in at least one of A, B or C are n\(A \cup B \cup C\) = 127. The number in none of the sets (the complement of the union in U) is n(U) - n\(A \cup B \cup C\) = 160 - 127 = 33. The closest distractor 27 is incorrect due to wrong subtraction; 37 is also incorrect. Exam tip: to find 'none of the sets' directly compute n(U) - n(union) when the universe size is given.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) होता है। \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), इसलिए बचे तत्व उत्तर हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), the remaining elements are the answer.
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) होता है। \(A\cap B={4,5}\), इसलिए (U) से इसे हटाने पर उत्तर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={4,5}\), remove it from (U) to get the answer.
1 से 20 तक अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं, इसलिए \(n(A)=8\)। पूरक समुच्चय के सूत्र \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) से \(n(A^c)=20-8=12\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह \(A^c\) में शामिल होगा। / The prime numbers from 1 to 20 are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 and 19, so \(n(A)=8\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(n(A^c)=20-8=12\). Remember that 1 is not a prime number, so it belongs to \(A^c\).
असमानता \(x^2\le 4\) का अर्थ \(-2\le x\le 2\) है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) में A के अतिरिक्त तत्व \(\{-4,-3,3,4\}\) हैं, अतः यही \(A^c\) है। विकल्प B, A स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से A के सभी तत्व हटा दें। / The inequality \(x^2\le 4\) is equivalent to \(-2\le x\le 2\). Since \(x\) is an integer, \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). The universal set is \(U=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so the elements of U not in A are \(\{-4,-3,3,4\}\). Hence, this is \(A^c\). Option B is A itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
(1) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। (4) (A) में है, इसलिए पूरक (4) के बाद शुरू होगा। / (1) is not in (A), so it is included in the complement. (4) is in (A), so the complement starts after (4).
(-1) (A) में है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (-1) is in (A), so it is not in the complement. (3) is not in (A), so it is included in the complement.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order of inclusion reverses after taking complements. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
समान सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A^c\subseteq B^c\) का पूरक लेने पर \(B\subseteq A\) प्राप्त होता है। विकल्प B में समावेशन की दिशा उलटी नहीं की गई है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq Y\) होने पर हमेशा \(Y^c\subseteq X^c\) याद रखें। / With respect to the same universal set, taking complements reverses the direction of inclusion. Thus, from \(A^c\subseteq B^c\), we obtain \(B\subseteq A\). Option B incorrectly keeps the original direction of inclusion. Exam tip: remember that \(X\subseteq Y\) implies \(Y^c\subseteq X^c\).
पूरक \(A^c\) में \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए कोई तत्व एक साथ \(A\) और \(A^c\) में नहीं हो सकता, अतः \(A\cap A^c=\varnothing\)। ध्यान रखें: संघ \(A\cup A^c=U\) होता है, \(A\) नहीं। / The complement \(A^c\) contains precisely those elements of \(U\) that are not in \(A\). Hence no element can belong to both sets, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Exam tip: remember that \(A\cup A^c=U\), not \(A\).
\(A^c\cup B^c\) की संख्या (40+55-20=75) है। डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (n\(A\cap B\)=25)। / The number in \(A^c\cup B^c\) is (40+55-20=75). By De Morgan, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (n\(A\cap B\)=25).
समुच्चय अंतर के नियम से \(A^c-B^c=A^c\cap(B^c)^c=A^c\cap B\)। यहाँ \(A^c=\{5,6,7,8,9\}\) है। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6,7,8,9\}\cap\{4,5,6\}=\{5,6\}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C \(A^c\cap B^c\) लेने की भूल से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \(X-Y\) में पहले समुच्चय के वे तत्व रखें जो दूसरे समुच्चय में नहीं हैं। / Using the difference rule, \(A^c-B^c=A^c\cap(B^c)^c=A^c\cap B\). Here, \(A^c=\{5,6,7,8,9\}\), so \(A^c\cap B=\{5,6,7,8,9\}\cap\{4,5,6\}=\{5,6\}\). Therefore, option A is correct. Option C results from incorrectly taking \(A^c\cap B^c\). Exam tip: In \(X-Y\), retain the elements of \(X\) that are not in \(Y\).
पहले A-B ज्ञात करें: A में उपस्थित लेकिन B में अनुपस्थित अवयव 1 और 7 हैं, इसलिए A-B={1,7}। सार्वत्रिक समुच्चय U के सापेक्ष इसका पूरक U में मौजूद वे सभी अवयव होंगे जो {1,7} में नहीं हैं। अतः (A-B)^c={2,3,4,5,6,8}। विकल्प B केवल A-B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के अवयवों में से संबंधित समुच्चय को हटाएँ। / First find A-B, which contains the elements that are in A but not in B: A-B={1,7}. The complement is taken with respect to the universal set U, so we remove 1 and 7 from U. Therefore, (A-B)^c={2,3,4,5,6,8}. Option B is only A-B, not its complement. Exam tip: For a complement, always subtract the given set from the specified universal set.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएं होंगी। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). So the complement has (30-20=10) numbers.
समुच्चय \(U\) में 1 से 50 तक कुल 50 संख्याएँ हैं। इनमें 5 के गुणज \(5,10,15,\ldots,50\) हैं, अर्थात \(50\div 5=10\) संख्याएँ। इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=50-10=40\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय के पूरक की संख्या निकालने के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / The universal set \(U\) contains 50 numbers, from 1 to 50. Its multiples of 5 are \(5,10,15,\ldots,50\), so \(n(A)=50\div 5=10\). Hence, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=50-10=40\). Exam tip: For a complement, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) और \(A=\{x\mid x\in U\text{ तथा }x^2-5x+6=0\}\) है, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c\) क्या होगा?
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) मिलता है। इसलिए \(A=\{2,3\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक \(A^c=U\setminus A\) होता है, अतः \(A^c=\{1,4,5,6,7,8,9,10\}\)। विकल्प B केवल \(A\) को दर्शाता है, उसके पूरक को नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण के मूल ज्ञात करें, फिर उन्हें \(U\) से हटाएँ। / Factoring gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so \(A=\{2,3\}\). The complement with respect to the universal set is \(A^c=U\setminus A\); therefore, \(A^c=\{1,4,5,6,7,8,9,10\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: first find the solutions of the condition, then remove them from \(U\).
समुच्चय \(U\) में -5 से 5 तक कुल 11 पूर्णांक हैं। समीकरण \(x^2=9\) के हल \(x=-3\) और \(x=3\) हैं, इसलिए \(A=\{-3,3\}\) और \(n(A)=2\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=11-2=9\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय के पूरक के तत्वों की संख्या निकालने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय में कुल तत्वों में से दिए गए समुच्चय के तत्व घटाएँ। / The set \(U\) contains 11 integers from -5 to 5. The solutions of \(x^2=9\) are \(x=-3\) and \(x=3\), so \(A=\{-3,3\}\) and \(n(A)=2\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=11-2=9\). Exam tip: To find the cardinality of a complement, subtract the number of elements in the set from the number of elements in the universal set.
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (72) विद्यार्थी हिंदी पढ़ते हैं और (55) विद्यार्थी अंग्रेजी पढ़ते हैं, जबकि (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न हिंदी न अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
हिंदी या अंग्रेजी पढ़ने वाले (72+55-30=97) हैं। इसलिए पूरक में (120-97=23) विद्यार्थी हैं। / Students studying Hindi or English are (72+55-30=97). Therefore the complement has (120-97=23) students.
एक कक्षा में कुल 90 विद्यार्थी हैं, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(n(U)=90\) है। यदि विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय \(A\) है और \(n(A^c)=34\), तो विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
समुच्चय \(A^c\), समुच्चय \(A\) का पूरक है। इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=90-34=56\)। विकल्प C पूरक समुच्चय के विद्यार्थियों की संख्या है, विज्ञान पसंद करने वालों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक से मूल समुच्चय की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल संख्या में से पूरक की संख्या घटाएँ। / The set \(A^c\) is the complement of \(A\), so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=90-34=56\). Option C gives the number of students in the complement, not the number who like science. Exam tip: To find the size of a set from its complement, subtract the complement’s size from the size of the universal set.
समुच्चय \(U\) में 1 से 25 तक पाँच पूर्ण वर्ग हैं: \(1,4,9,16,25\)। इसलिए \(n(A)=5\)। चूँकि \(A^c\), \(U\) में वे तत्व हैं जो \(A\) में नहीं हैं, अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=25-5=20\)। परीक्षा-युक्ति: सीमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) सूत्र याद रखें। / There are five perfect squares in \(U\) from 1 to 25: \(1,4,9,16,25\). Thus, \(n(A)=5\). Since \(A^c\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), \(n(A^c)=n(U)-n(A)=25-5=20\). Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U\) की सभी सम संख्याएँ होंगी: \(\{2,4,6,8,10,12,14\}\)। दूसरी शर्त के अनुसार संख्या 3 से विभाज्य भी होनी चाहिए। इन दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाली संख्याएँ केवल \(6\) और \(12\) हैं, इसलिए प्रतिच्छेद \(\{6,12\}\) है। विकल्प D में केवल विषम गुणज हैं, इसलिए वे \(A^c\) में नहीं आते। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में प्रत्येक तत्व को दोनों समुच्चयों की शर्तें पूरी करनी होती हैं। / Relative to the universal set \(U\), the complement \(A^c\) contains all even numbers: \(\{2,4,6,8,10,12,14\}\). The elements must also be divisible by 3. The only numbers satisfying both conditions are \(6\) and \(12\), so the intersection is \(\{6,12\}\). Option D contains only odd multiples of 3, which are not in \(A^c\). Exam tip: every element of an intersection must satisfy the conditions of both sets.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{5,6,7,8,9\}\) है। चूँकि \(A^c\subseteq B\), इसलिए \(B\) में ये सभी अवयव अनिवार्य रूप से होने चाहिए। न्यूनतम स्थिति में \(B\) में इनके अतिरिक्त कोई अवयव नहीं होगा, अतः \(B=A^c=\{5,6,7,8,9\}\)। विकल्प C भी संभव है, लेकिन वह न्यूनतम समुच्चय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq B\) में न्यूनतम \(B\), स्वयं \(X\) होता है। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{5,6,7,8,9\}\). Since \(A^c\subseteq B\), all these elements must be included in \(B\). For the smallest possible set, no additional elements are included, so \(B=A^c=\{5,6,7,8,9\}\). Option C is also possible, but it is not the smallest set. Exam tip: If \(X\subseteq B\), the minimum possible choice of \(B\) is \(X\) itself.
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के उन सभी तत्वों का समुच्चय होता है जो \(A\) में उपस्थित नहीं हैं। \(U\) में से \(1,2,3\) हटाने पर \(\{4,5,6\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित करें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Removing \(1,2,3\) from \(U\) leaves \(\{4,5,6\}\), so option A is correct. Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Always find a complement with respect to the given universal set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक में वे सभी अवयव होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{b,d,f\}=B\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\cap B=\varnothing\), \(A\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटा दें। / The complement of \(A\), taken with respect to the universal set \(U\), contains the elements of \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A^c=U\setminus A=\{b,d,f\}=B\), so option A is correct. Option C is false because \(A\cap B=\varnothing\), not \(A\). Exam tip: To find a set's complement, remove its elements from the universal set.
यदि दो समुच्चय असंबद्ध हों और मिलकर (U) बनाएं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए \(B=A^c\) होगा। / If two sets are disjoint and together form (U), then they are complements of each other. Hence \(B=A^c\).
(A) और \(A^c\) असंबद्ध हैं और मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए उनकी संख्याओं का योग (n(U)) होता है। / (A) and \(A^c\) are disjoint and together form (U). Therefore the sum of their cardinalities is (n(U)).
U के सापेक्ष A का पूरक Aᶜ = {6, 7, 8} होगा। पूरकता के द्विपूरक गुण के अनुसार (Aᶜ)ᶜ = A = {1, 2, 3, 4, 5}। अब इसका {2, 4, 6, 8} से प्रतिच्छेद {2, 4} है। विकल्प D में 6 और 8 भी शामिल हैं, लेकिन वे A के सदस्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: (Aᶜ)ᶜ को सीधे A लिखकर गणना सरल करें। / The complement of A with respect to U is Aᶜ = {6, 7, 8}. By the double-complement property, (Aᶜ)ᶜ = A = {1, 2, 3, 4, 5}. Its intersection with {2, 4, 6, 8} is therefore {2, 4}. Option D is incorrect because 6 and 8 are not elements of A. Exam tip: Replace (Aᶜ)ᶜ directly with A before finding the intersection.
\(A^c\) में (7) तत्व हैं क्योंकि (A) में (3) तत्व हैं। (5) \(A^c\) में नहीं है, इसलिए जोड़ने पर संख्या (8) होगी। / \(A^c\) has (7) elements because (A) has (3) elements. Since (5) is not in \(A^c\), adding it makes the count (8).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{1,3,5,7,8,9\}\) होगा। अब इसमें से \(\{1,3,5\}\) हटाने पर \(\{7,8,9\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A^c\) है और उसमें से दिए गए तीन अवयव हटाए नहीं गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय निकालें, फिर अंतर समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{1,3,5,7,8,9\}\). Removing \(\{1,3,5\}\) from this set leaves \(\{7,8,9\}\), so option A is correct. Option B is only \(A^c\); it does not remove the specified elements. Exam tip: Find the complement first, then perform the set difference.
अंकों का \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) है। सम अंक (5) हैं, इसलिए विषम अंक भी (5) हैं। / The digit set is \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). There are (5) even digits, so there are (5) odd digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (6) से विभाज्य होना है, इसलिए \(A=\{6,12\}\)। बाकी तत्व \(A^c\) हैं। / Divisible by both means divisible by (6), so \(A=\{6,12\}\). The remaining elements are \(A^c\).
दिया है कि \(C=A^c\)। इसलिए \(C^c=(A^c)^c=A\), क्योंकि किसी समुच्चय का दोहरा पूरक मूल समुच्चय के बराबर होता है। अतः \(C^c=\{1,3,5,7\}\)। विकल्प B वास्तव में \(C=A^c\) है, न कि \(C^c\)। परीक्षा-युक्ति: \((A^c)^c=A\) की पहचान तुरंत करें। / Given \(C=A^c\), we get \(C^c=(A^c)^c=A\), because the complement of a complement is the original set. Hence, \(C^c=\{1,3,5,7\}\). Option B is actually \(C=A^c\), not \(C^c\). Exam tip: remember the identity \((A^c)^c=A\).
A. (A) और \(A^c\) (U) का विभाजन बनाते हैं/(A) and \(A^c\) form a partition of (U)
Explanation
Simple Explanation
दो असंबद्ध समुच्चय जो मिलकर (U) बनाते हैं, (U) का विभाजन बनाते हैं। यह पूरक का वैचारिक अर्थ है। / Two disjoint sets that together form (U) make a partition of (U). This is the conceptual meaning of complement.
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, लेकिन \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। इससे \(A=\varnothing\) चाहिए, पर तब \(A^c=U\), इसलिए संभव नहीं है। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). This would force \(A=\varnothing\), but then \(A^c=U\), so it is impossible.
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। इसलिए (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / Complement is always relative to the universal set. Therefore \(A^c\) may change when (U) changes.
\(U_2\) में पूरक ({3,4,5,6}) और \(U_1\) में पूरक ({3,4}) है। अंतर ({5,6}) है। / Relative to \(U_2\), the complement is ({3,4,5,6}), and relative to \(U_1\), it is ({3,4}). The difference is ({5,6}).
\(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10\}\) होगा। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6\}\)। अब \(\{5,6\}\) का \(U\) के सापेक्ष पूरक \(U-\{5,6\}=\{1,2,3,4,7,8,9,10\}\) है, इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / The complement of \(A\) in \(U\) is \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10\}\). Thus, \(A^c\cap B=\{5,6\}\). Taking its complement in \(U\) gives \(U-\{5,6\}=\{1,2,3,4,7,8,9,10\}\), so option A is correct. Exam tip: A complement is always taken with respect to the specified universal set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) में \(A=\{2,4,6,8\}\) और \(B=\{1,2,3,4\}\) हैं। यदि सभी पूरक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिए जाएँ, तो \((A^c\cup B)^c\) का मान क्या है?
\(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। इसलिए \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), जिसका \(U\) में पूरक \(\{6,8\}\) है। विकल्प C में \(1\) और \(3\) छूट गए हैं, जबकि वे \(A^c\cup B\) में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन के नियम से \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\) लिखकर भी सीधे \(\{6,8\}\) प्राप्त किया जा सकता है। / With respect to \(U\), \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Thus, \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), and its complement in \(U\) is \(\{6,8\}\). Option C incorrectly omits \(1\) and \(3\), even though both belong to \(A^c\cup B\). Exam tip: By De Morgan’s law, \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\), which also gives \(\{6,8\}\) directly.
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (3) से विभाज्य हैं और न सम हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers that are neither divisible by (3) nor even. These are (1,5,7,11,13,17).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) हैं, तो \(A^c\cup B^c\) में कितने तत्व होंगे?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\)। यहाँ \(A\cap B=\{2,4,6\}\), जिसमें 3 तत्व हैं। इसलिए \(U\) में कुल 12 तत्वों में से 3 तत्व हटाने पर \((A\cap B)^c\) में \(12-3=9\) तत्व होंगे। परीक्षा-युक्ति: पूरक के संघ या प्रतिच्छेद वाले प्रश्नों में पहले डी मॉर्गन का नियम लागू करें। / By De Morgan’s law, \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\). Here, \(A\cap B=\{2,4,6\}\), which has 3 elements. Therefore, its complement in the 12-element universal set contains \(12-3=9\) elements. Exam tip: For unions or intersections involving complements, apply De Morgan’s law before counting elements.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{4,5,6,7,8\}\) और \(B^c=\{1,2,3,6,7,8\}\) हैं। दोनों के उभयनिष्ठ तत्व \(\{6,7,8\}\) हैं, इसलिए \(A^c\cap B^c=\{6,7,8\}\)। यही परिणाम डी मॉर्गन के नियम \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\) से भी मिलता है। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय का सार्वत्रिक समुच्चय स्पष्ट रूप से पहचानें। / With respect to the universal set \(U\), \(A^c=\{4,5,6,7,8\}\) and \(B^c=\{1,2,3,6,7,8\}\). Their common elements are \(\{6,7,8\}\), so \(A^c\cap B^c=\{6,7,8\}\). This also follows from De Morgan’s law, \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\). Exam tip: always identify the universal set before finding a complement.
समुच्चय 8A^c9, सार्वत्रिक समुच्चय 8U9 में 8A9 के बाहर के तत्वों का समुच्चय है। इसलिए 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9। यहाँ 8n(U)=109 और 8n\(A^c\)=39, अतः 8n(A)=10-3=79। विकल्प B केवल पूरक समुच्चय के तत्वों की संख्या बताता है। परीक्षा में याद रखें: सीमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9। / The set 8A^c9 contains the elements of the universal set 8U9 that are not in 8A9. Hence, 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9. Here, 8n(U)=109 and 8n\(A^c\)=39, so 8n(A)=10-3=79. Option B gives the number of elements in the complement, not in 8A9. Exam tip: for a finite universal set, use 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9.
मान लें \(n(A^c)=x\)। तब दिए गए संबंध से \(n(A)=3x\)। चूँकि \(A\) और \(A^c\) एक-दूसरे के पूरक हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\), अर्थात् \(3x+x=64\)। अतः \(4x=64\) और \(x=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चयों की cardinalities का योग हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality के बराबर होता है। / Let \(n(A^c)=x\). Then the given relation gives \(n(A)=3x\). Since \(A\) and \(A^c\) are complementary sets, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(3x+x=64\), so \(4x=64\) and \(x=16\). Hence, the correct answer is 16. Exam tip: The cardinalities of a set and its complement always add up to the cardinality of the universal set.
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। मान लें \(n(A)=x\), तब \(n(A^c)=2x\)। अतः \(x+2x=54\), यानी \(3x=54\) और \(x=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक से जुड़े प्रश्नों में पहले \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) लिखें। / The set \(A\) and its complement \(A^c\) partition the universal set \(U\), so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Let \(n(A)=x\); then \(n(A^c)=2x\). Thus, \(x+2x=54\), giving \(3x=54\) and \(x=18\). Therefore, the correct answer is 18. Exam tip: In complement-counting questions, start with \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
A. क्योंकि कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) में नहीं हो सकता/because no element can be both in (A) and not in (A)
Explanation
Simple Explanation
पूरक की परिभाषा में \(x\notin A\) शर्त होती है। इसलिए वही तत्व (A) में भी नहीं हो सकता। / The definition of complement has the condition \(x\notin A\). So the same element cannot also be in (A).
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A'=U\setminus A\) होता है, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{4,5,6,7,8\}\)। विकल्प A में अवयव \(8\) छूट गया है, इसलिए वह पूरक नहीं है। परीक्षा में पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय के सभी अवयव लिखकर दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) is \(A'=U\setminus A\), which contains every element of the universal set that is not in \(A\). Thus, \(A'=\{4,5,6,7,8\}\). Option A omits the element \(8\), so it is not the complement. In an exam, list all elements of \(U\) first and remove the elements of \(A\) to avoid missing an element.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार जो तत्व न तो A में हों और न B में, वे दोनों के पूरकों के उभयनिष्ठ भाग में होते हैं। इसलिए \((A \cup B)^c=A^c \cap B^c\)। परीक्षा में संघ का पूरक लिखते समय \(\cup\) को \(\cap\) में बदलें। / By De Morgan’s law, an element outside both A and B must belong to both complements. Hence \((A \cup B)^c=A^c \cap B^c\). In exams, when taking the complement of a union, change \(\cup\) to \(\cap\).
दिया गया है कि \(B=A^c\), अर्थात् \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के सभी अवयवों के पूरक अवयवों का समुच्चय है। इसलिए \(A\cup B=A\cup A^c=U\)। अतः सही उत्तर \(U\) है। ध्यान रखें: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय तथा उनका प्रतिच्छेद रिक्त समुच्चय होता है। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set that are not in \(A\). Therefore, \(A\cup B=A\cup A^c=U\), so the correct answer is \(U\). The distractor \(\varnothing\) represents the intersection \(A\cap A^c\), not the union. Exam tip: a set and its complement together cover the entire universal set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\) है। इसलिए \(A\) और \(B\) में कोई भी समान अवयव नहीं है तथा \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\)। विकल्प \(C\) और \(D\) गलत हैं, क्योंकि वे क्रमशः \(A\) और उसके पूरक को दर्शाते हैं, उनके प्रतिच्छेद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। / The complement of \(A\) in the universal set \(U\) is \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Thus, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Options \(C\) and \(D\) represent \(A\) and its complement separately, not their intersection. Exam tip: The intersection of any set with its complement is always the empty set.
यहाँ \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\) है। इसलिए \((A\cup B)^c=U^c\) होगा। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(U\) का पूरक रिक्त समुच्चय होता है, अतः उत्तर \(\varnothing\) है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी समुच्चय का संघ सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर हो, तो उसके संघ का पूरक हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। / Here, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\). Therefore, \((A\cup B)^c=U^c\). The complement of the universal set, taken with respect to itself, is the empty set, so the answer is \(\varnothing\). Exam tip: whenever a union equals the universal set, its complement is always the empty set; hence \(U\), \(A\), and \(B\) are incorrect.
A. वे परस्पर असंबद्ध होते हैं और उनका संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है।
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी समुच्चय का पूरक \(A^c\) है, तो \(A\cap A^c=\varnothing\) तथा \(A\cup A^c=U\) होता है। इसलिए वे असंबद्ध हैं और मिलकर पूरा सार्वत्रिक समुच्चय बनाते हैं। परीक्षा में पूरक लिखते समय सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य ध्यान में रखें। / If \(A^c\) is the complement of \(A\), then \(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\). Hence they are disjoint and together form the universal set. Exam tip: always identify the universal set before finding a complement.
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). These numbers are (1,5,7,11,13,17).
पहले \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\) लिखें। (U) में बचे हुए तत्व ही पूरक हैं। / First write \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\). The remaining elements in (U) form the complement.
\(A^c\cap B\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आएंगी। (1), (9) और (15) इस शर्त को पूरा करते हैं। / \(A^c\cap B\) contains odd numbers that are not prime. (1), (9), and (15) satisfy this condition.
x² < 9 का अर्थ −3 < x < 3 है। चूँकि x पूर्णांक है, इसलिए A = {−2, −1, 0, 1, 2}। सार्वत्रिक समुच्चय U में से A के तत्व हटाने पर Aᶜ = U − A = {−5, −4, −3, 3, 4, 5} मिलता है। विकल्प C में −2 से 2 तक के तत्व भी शामिल हैं, इसलिए वह Aᶜ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है। / The inequality x² < 9 is equivalent to −3 < x < 3. Since x is an integer, A = {−2, −1, 0, 1, 2}. Removing these elements from the universal set gives Aᶜ = U − A = {−5, −4, −3, 3, 4, 5}. Option C is incorrect because it contains the elements of A as well. Exam tip: the complement of a set is always taken with respect to the specified universal set.
(-1) और (4) दोनों (A) में शामिल नहीं हैं, इसलिए वे पूरक में आएंगे। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / (-1) and (4) are not included in (A), so they come in the complement. Pay special attention to open and closed endpoints in intervals.
(0) और (2) (A) में शामिल हैं, इसलिए पूरक उनसे बाहर होगा। (6) (U) में शामिल है, इसलिए अंतिम सिरा बंद रहेगा। / (0) and (2) are included in (A), so the complement stays outside them. (6) is included in (U), so the right endpoint remains closed.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए सबसे बड़े (C) का पूरक सबसे छोटा होगा। / The order of inclusion reverses after taking complements. Hence the complement of the largest set (C) is the smallest.
पूरक समुच्चयों के लिए समावेशन की दिशा उलट जाती है: यदि \(X\subseteq Y\), तो \(Y^c\subseteq X^c\)। दिए गए \(B^c\subseteq A^c\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A\subseteq B\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B समावेशन की दिशा उलटने के नियम के विपरीत है और अन्य विकल्प आवश्यक रूप से निष्कर्षित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय समावेशन का चिह्न उलट दें। / For complements, the direction of inclusion is reversed: if \(X\subseteq Y\), then \(Y^c\subseteq X^c\). Taking complements on both sides of the given relation \(B^c\subseteq A^c\) gives \(A\subseteq B\). Hence, option A is correct. Option B reverses the required direction, while the other statements do not necessarily follow. Exam tip: reverse the inclusion sign whenever complements are taken on both sides.
समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=42+38-20=60\)। किसी समुच्चय के पूरक में सार्वत्रिक समुच्चय के वे तत्व होते हैं जो उसमें नहीं हैं, इसलिए \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)=75-60=15\)। विकल्प 60 संघ \(A\cup B\) की संख्या है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा में दो समुच्चयों के संघ की संख्या निकालते समय प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना याद रखें। / By the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=42+38-20=60\). The complement contains the elements of the universal set that are not in \(A\cup B\), so \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)=75-60=15\). The value 60 is the cardinality of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: when finding the union of two sets, subtract the intersection once to avoid double-counting.
(n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67) है। डी मॉर्गन से यह (n(\(A\cap B\)^c)) है, इसलिए (n\(A\cap B\)=90-67=23)। / (n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67). By De Morgan, this is (n(\(A\cap B\)^c)), so (n\(A\cap B\)=90-67=23).
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A^c=\{6,7,8,9,10\}\) और \(B^c=\{1,2,3,9,10\}\) हैं। इसलिए \(A^c-B^c\) में वे अवयव होंगे जो \(A^c\) में हैं, लेकिन \(B^c\) में नहीं: \(\{6,7,8\}\)। ध्यान रखें कि \(A^c-B^c=A^c\cap B\), इसलिए विकल्प B, जो केवल \(A^c\) के कुछ अवयवों से संबंधित है, सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों पूरकों को लिखकर अंतर ज्ञात करें। / Relative to the universal set, \(A^c=\{6,7,8,9,10\}\) and \(B^c=\{1,2,3,9,10\}\). Thus, \(A^c-B^c\) contains the elements that belong to \(A^c\) but not to \(B^c\), namely \(\{6,7,8\}\). Equivalently, \(A^c-B^c=A^c\cap B\). Option B is not correct because it does not represent the elements common to \(A^c\) and \(B\). Exam tip: find both complements with respect to \(U\) before taking the difference.
B − A में वे अवयव होंगे जो B में हैं लेकिन A में नहीं हैं, इसलिए B − A = {1,4}। U के सापेक्ष इसका पूरक U में मौजूद उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो {1,4} में नहीं हैं; अतः (B − A)ᶜ = {2,3,5,6,7,8,9}। विकल्प B केवल अंतर समुच्चय है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले अंतर समुच्चय ज्ञात करके उसे U से घटाएँ। / The set B − A contains elements that are in B but not in A, so B − A = {1,4}. Its complement with respect to U contains every element of U that is not in {1,4}; hence (B − A)ᶜ = {2,3,5,6,7,8,9}. Option B is only the difference set, not its complement. Exam tip: Find the difference first, then remove its elements from the universal set.
(4) के (10) और (5) के (8) गुणज हैं, साझा (20) के (2) गुणज हैं। इसलिए (n(A)=10+8-2=16) और (n\(A^c\)=24)। / There are (10) multiples of (4) and (8) multiples of (5), with (2) common multiples of (20). Thus (n(A)=10+8-2=16), so (n\(A^c\)=24).
समुच्चय \(A\) में 60 तक 6 के गुणज हैं: \(6,12,18,\ldots,60\)। इनकी संख्या \(60\div 6=10\) है। पूरक समुच्चय \(A^c\) में \(U\) के वे सभी तत्व होंगे जो 6 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-10=50\)। विकल्प B केवल \(A\) के तत्वों की संख्या बताता है, पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) contains the multiples of 6 up to 60: \(6,12,18,\ldots,60\). Their number is \(60\div 6=10\). The complement \(A^c\) contains all elements of \(U\) that are not divisible by 6, so \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-10=50\). Option B gives the number of elements in \(A\), not in its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
यदि \(A=A^c\) हो, तो \(A\cap A^c=A\) होगा। परन्तु किसी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए \(A=\varnothing\)। परीक्षा टिप: \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\). But a set and its complement always have intersection \(\varnothing\); hence \(A=\varnothing\). Exam tip: remember \(A\cap A^c=\varnothing\).
\(U\) में \(-6\) से \(6\) तक कुल \(13\) पूर्णांक हैं। \(x^2=16\) के हल \(x=-4,4\) हैं, इसलिए \(A=\{-4,4\}\) और \(n(A)=2\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=13-2=11\)। परीक्षा-टिप: किसी समुच्चय के पूरक की cardinality निकालने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality में मूल समुच्चय की cardinality घटाएँ। / The set \(U\) contains all integers from \(-6\) to \(6\), so \(n(U)=13\). The solutions of \(x^2=16\) are \(x=-4\) and \(x=4\); hence, \(A=\{-4,4\}\) and \(n(A)=2\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=13-2=11\). Exam tip: For a finite set, find the cardinality of its complement by subtracting the cardinality of the set from that of the universal set.
एक सर्वे में (150) लोगों में से (85) चाय पसंद करते हैं, (70) कॉफी पसंद करते हैं और (40) दोनों पसंद करते हैं। न चाय न कॉफी पसंद करने वाले लोगों की संख्या कितनी है?
चाय या कॉफी पसंद करने वाले (85+70-40=115) हैं। इसलिए पूरक में (150-115=35) लोग होंगे। / People who like tea or coffee are (85+70-40=115). Therefore the complement has (150-115=35) people.
पहले \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\) प्राप्त होता है। चूँकि किसी समुच्चय और उसके पूरक की शक्तियों का योग सार्वत्रिक समुच्चय की शक्ति के बराबर होता है, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=96-32=64\)। विकल्प 32 पूरक समुच्चय \(A^c\) की शक्ति है, न कि \(A\) की। परीक्षा-युक्ति: पूरक वाले प्रश्नों में हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) का प्रयोग करें। / First, \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\). The cardinalities of a set and its complement add up to the cardinality of the universal set: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=96-32=64\). The value 32 is the cardinality of the complement \(A^c\), not of \(A\). Exam tip: For complement questions, use \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
समुच्चय \(U\) में 1 से 36 तक कुल 36 संख्याएँ हैं। इस सीमा में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16,25,36\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=36-6=30\)। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में संबंधित गुण वाली संख्याओं की गिनती करें, फिर कुल संख्या में से घटाएँ। / The universal set \(U\) contains 36 numbers. The perfect squares from 1 through 36 are \(1,4,9,16,25,36\), so \(n(A)=6\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(36-6=30\). Thus, 6 is the size of \(A\), not its complement. Exam tip: For a complement, count the elements in the universal set that do not belong to the given set.
यह सम संख्याओं में से (4) से विभाज्य संख्याएं हटाने जैसा है। इसलिए उत्तर (2,6,10,14,18) है। / This is like removing the multiples of (4) from the even numbers. Therefore the answer is (2,6,10,14,18).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A^c\subseteq B\subseteq U\) है, तो \(B\) का न्यूनतम संभव समुच्चय कौन-सा है?
\(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A^c=\{7,8,9,10\}\)। चूँकि \(A^c\subseteq B\), इसलिए \(B\) में ये सभी अवयव होना आवश्यक है। सबसे छोटा संभव \(B\), \(A^c\) के बराबर होगा; अतः उत्तर \(\{7,8,9,10\}\) है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq B\) होने पर न्यूनतम संभव \(B\), \(X\) ही होता है। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) contains the elements that are in \(U\) but not in \(A\). Thus, \(A^c=\{7,8,9,10\}\). Since \(A^c\subseteq B\), all these elements must belong to \(B\). The smallest possible choice for \(B\) is therefore exactly \(A^c\), namely \(\{7,8,9,10\}\). Exam tip: If \(X\subseteq B\), the smallest possible set \(B\) is \(X\) itself.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(B^c=A\) का अर्थ है कि \(B\), \(A\) का पूरक है। इसलिए \(B=A^c=U\setminus A\)। \(U\) में से \(2,4,6\) हटाने पर \(B=\{1,3,5,7\}\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(B^c=A\) दिया हो, तो सीधे \(B=A^c\) लिखें। / With respect to the universal set \(U\), the statement \(B^c=A\) means that \(B\) is the complement of \(A\). Thus, \(B=A^c=U\setminus A\). Removing \(2,4,6\) from \(U\) gives \(B=\{1,3,5,7\}\), so option A is correct. Option B is \(A\) itself, not its complement. Exam tip: whenever \(B^c=A\) is given, write \(B=A^c\) first.
(A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए (B), (A) का पूरक है। / (A) and (B) have no common element and together form (U). Therefore (B) is the complement of (A).
दिया है कि \(P\) और \(Q\) असंबद्ध हैं तथा उनका संघ सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) है। इसलिए \(Q\), \(P\) में न होने वाले सभी अवयवों का समुच्चय है, अर्थात \(Q = P^c\)। विकल्प \(P\) सही नहीं है, क्योंकि वह स्वयं मूल समुच्चय है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(P \cap Q = \varnothing\) और \(P \cup Q = U\), तो सीधे \(P^c = Q\) तथा \(Q^c = P\) लिखें। / The sets \(P\) and \(Q\) are disjoint, and their union is the universal set \(U\). Therefore, \(Q\) contains exactly those elements of \(U\) that are not in \(P\), so \(P^c = Q\). Option \(P\) is incorrect because it is the original set, not its complement. Exam tip: From \(P \cap Q = \varnothing\) and \(P \cup Q = U\), conclude directly that \(P^c = Q\) and \(Q^c = P\).
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का प्रतिच्छेद रिक्त होता है और दोनों मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\)। विकल्प 33 और 27 केवल अलग-अलग समुच्चयों की संख्याएँ हैं, जबकि 6 घटाने से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय वाले प्रश्नों में \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\) का उपयोग करें। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint, and together they form the universal set \(U\). Therefore, \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\). The values 33 and 27 are the cardinalities of the individual sets, while 6 is obtained by subtraction. Exam tip: For a set and its complement, use \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\).
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष समुच्चय के पूरक का पूरक मूल समुच्चय के बराबर होता है, अर्थात् \((A^c)^c=A\)। इसलिए \((A^c)^c\cap\{3,6,9\}=A\cap\{3,6,9\}=\{3,6\}\), क्योंकि 3 और 6, \(A\) में हैं, जबकि 9 उसमें नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दो बार पूरक लेने पर समुच्चय वापस मूल रूप में आ जाता है। / With respect to the given universal set, taking the complement twice returns the original set: \((A^c)^c=A\). Hence, \((A^c)^c\cap\{3,6,9\}=A\cap\{3,6,9\}=\{3,6\}\), since 3 and 6 belong to \(A\), whereas 9 does not. Exam tip: the complement of the complement of a set is the set itself.
\(A^c\) में (8) तत्व हैं और (6,12) इसमें नहीं हैं। इसलिए दो नए तत्व जोड़ने पर कुल (10) तत्व होंगे। / \(A^c\) has (8) elements, and (6,12) are not in it. Adding these two new elements gives (10) elements.
A. किसी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद रिक्त समुच्चय होता है।/The intersection of a set and its complement is the empty set.
Explanation
Simple Explanation
यदि कोई तत्व A में है, तो वह A के पूरक में नहीं हो सकता; इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\)। इसके विपरीत \(A\cup A^c=U\) होता है। परीक्षा में पूरक लिखते समय सार्वत्रिक समुच्चय U अवश्य ध्यान रखें। / An element belonging to \(A\) cannot belong to \(A^c\), so \(A\cap A^c=\varnothing\). In contrast, \(A\cup A^c=U\). Exam tip: always identify the universal set before determining a complement.
अंकों में अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं। कुल (10) अंक हैं, इसलिए पूरक में (10-4=6) अंक होंगे। / The prime digits are (2,3,5,7). There are (10) digits in all, so the complement has (10-4=6) digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (10) से विभाज्य होना है। (1) से (18) तक केवल (10) ऐसा है, इसलिए बाकी सभी \(A^c\) में हैं। / Divisible by both means divisible by (10). From (1) to (18), only (10) satisfies this, so all others are in \(A^c\).
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। चूँकि \(C=A^c\), इसलिए द्वि-पूरक गुण के अनुसार \(C^c=(A^c)^c=A\)। अतः \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\)। विकल्प \(B\) में \(A\) के पूरक के अवयव लिए गए हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \((A^c)^c=A\) को याद रखें। / Complements are taken with respect to the universal set \(U\). Since \(C=A^c\), the double-complement property gives \(C^c=(A^c)^c=A\). Therefore, \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\). Option B lists elements from the complement of \(A\), so it is incorrect. Exam tip: Remember the identity \((A^c)^c=A\).
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
विभाजन के लिए भाग असंबद्ध होने चाहिए और उनका संघ पूरा (U) होना चाहिए। (A) और \(A^c\) यही दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / For a partition, the parts must be disjoint and their union must be the whole (U). (A) and \(A^c\) satisfy both conditions.
A. ऐसा कोई (A) संभव नहीं है/no such (A) is possible
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, पर \(A\cap A^c=\varnothing\) है। \(U\ne\varnothing\) में यह स्थिति संभव नहीं होती। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). For \(U\ne\varnothing\), this situation is impossible.
A. \(A^c\) में नए तत्व जुड़ सकते हैं/new elements may be added to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) पर निर्भर करता है। यदि (U) में नए तत्व आए और वे (A) में न हों, तो वे \(A^c\) में जुड़ेंगे। / Complement depends on (U). If new elements enter (U) and are not in (A), they are added to \(A^c\).
यदि \(U_1={1,2,3,4,5}\), \(U_2={1,2,3,4,5,6,7}\) और \(A=\{2,5\}\) है, तो \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c\) से कौन से अतिरिक्त तत्व होंगे?
\(U_1\) में पूरक ({1,3,4}) और \(U_2\) में पूरक ({1,3,4,6,7}) है। अतिरिक्त तत्व ({6,7}) हैं। / Relative to \(U_1\), the complement is ({1,3,4}), and relative to \(U_2\), it is ({1,3,4,6,7}). The extra elements are ({6,7}).
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। पहले \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\)। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6,7\}\)। अब इसका पूरक लेने पर \((A^c\cap B)^c=U-\{5,6,7\}=\{1,2,3,4,8,9,10,11,12\}\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले अंदर का प्रतिच्छेद ज्ञात करके अंत में पूरक लेना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The complement is taken with respect to the universal set \(U\). First, \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\). Hence, \(A^c\cap B=\{5,6,7\}\). Taking its complement gives \((A^c\cap B)^c=U-\{5,6,7\}=\{1,2,3,4,8,9,10,11,12\}\), so option A is correct. In an exam, first evaluate the expression inside the outer complement and then take its complement.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। अतः \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), और इसका \(U\) में पूरक \(\{6,8,10\}\) है। इसे डी मॉर्गन के नियम से भी \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\) लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय को आधार मानें। / Relative to the universal set \(U\), \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Therefore, \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), whose complement in \(U\) is \(\{6,8,10\}\). Alternatively, by De Morgan’s law, \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\), which gives the same result. Exam tip: Always take a complement with respect to the specified universal set.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। (4) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+4-2=8) हैं, इसलिए पूरक में (24-8=16) तत्व हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Numbers divisible by (4) or (6) are (6+4-2=8), so the complement has (24-8=16) elements.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, A या B में आने वाले तत्वों का पूरक उन तत्वों का समुच्चय है जो A और B दोनों में नहीं हैं; अतः \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\)। विकल्प B में संघ के स्थान पर प्रतिच्छेद होना चाहिए। परीक्षा टिप: पूरक लेते समय \(\cup\) और \(\cap\) परस्पर बदल जाते हैं। / By De Morgan’s law, the complement of elements that are in A or B consists of elements that are in neither set; hence \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\). Option B wrongly keeps the union sign. Exam tip: when taking complements, interchange \(\cup\) and \(\cap\).
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), इसलिए बचे तत्व ({3,5,9,11}) हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), the remaining elements are ({3,5,9,11}).
पूरक A' में सार्वत्रिक समुच्चय U के वे सभी तत्व होते हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए A और A' को मिलाने पर U मिलता है: \(A \cup A'=U\)। जबकि \(A \cap A'=\varnothing\), A नहीं। परीक्षा में पूरक के साथ union को U और intersection को \(\varnothing\) याद रखें। / The complement A' contains exactly those elements of U that are not in A. Hence combining A and A' gives the universal set: \(A \cup A'=U\). Their intersection is \(\varnothing\), not A. Exam tip: for complements, union gives U and intersection gives \(\varnothing\).
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को बिना किसी समान अवयव के विभाजित करते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)\)। मान लें \(n(A^c)=x\), तब \(n(A)=2x\)। अतः \(2x+x=84\), यानी \(3x=84\) और \(x=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय के प्रश्नों में पहले \(n(U)=n(A)+n(A^c)\) लिखें। / The set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Hence, \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). Let \(n(A^c)=x\); then \(n(A)=2x\). Therefore, \(2x+x=84\), so \(3x=84\) and \(x=28\). Thus, the correct answer is 28. Exam tip: For complement questions, start with \(n(U)=n(A)+n(A^c)\).
मान लें \(n(A)=x\)। समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(x+3x=72\), यानी \(4x=72\) और \(x=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय वाले प्रश्नों में हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) का प्रयोग करें। / Let \(n(A)=x\). A set and its complement partition the universal set, so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(x+3x=72\), giving \(4x=72\) and \(x=18\). Hence, the correct answer is 18. Exam tip: For finite-set complement questions, first apply \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
A. क्योंकि \(U\) का प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होता है या \(A\) में नहीं होता, इसलिए वह \(A^c\) में होता है/Because every element of \(U\) is either in \(A\) or not in \(A\), so it belongs to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
विश्व समुच्चय \(U\) के किसी भी तत्व \(x\) के लिए दो ही संभावनाएँ हैं: या तो \(x\in A\), या \(x\notin A\)। दूसरी स्थिति में परिभाषा के अनुसार \(x\in A^c\) होता है। इसलिए \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(A^c\) में है, अतः \(A\cup A^c=U\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(A^c\) केवल तब रिक्त होता है जब \(A=U\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा विश्व समुच्चय होता है। / For any element \(x\) of the universal set \(U\), exactly one of the following applies: \(x\in A\) or \(x\notin A\). In the second case, the definition gives \(x\in A^c\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\) or \(A^c\), so \(A\cup A^c=U\). Option C is false because \(A^c\) is empty only when \(A=U\). Exam tip: the union of any set and its complement is always the universal set.
समुच्चय \(A\) का पूरक \(A'=U\setminus A\) होता है, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{1,4,6,7,8,9\}\)। विकल्प A में 9 छूट गया है, इसलिए वह पूरक नहीं है। विकल्प B सही समुच्चय है, जबकि विकल्प C और D पूरक को क्रमशः संक्रिया और समुच्चय-निर्माण रूप में दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष अवयव चुनें। / The complement of \(A\) is \(A'=U\setminus A\), containing all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Hence, \(A'=\{1,4,6,7,8,9\}\). Option A omits 9, so it cannot be the complement. Option B gives the correct set, while C and D express the same complement using set difference and set-builder notation, respectively. Exam tip: Always find a complement relative to the given universal set, not relative to an assumed larger set.
1 से 80 तक 8 के गुणजों की संख्या \(80\div 8=10\) है। चूँकि \(A^c\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं, इसलिए \(|A^c|=|U|-|A|=80-10=70\)। विकल्प B केवल 8 के गुणजों की संख्या बताता है, पूरक समुच्चय के तत्वों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के लिए हमेशा \(|A^c|=|U|-|A|\) का प्रयोग करें। / The number of multiples of 8 from 1 to 80 is \(80\div 8=10\). Since \(A^c\) contains the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\), \(|A^c|=|U|-|A|=80-10=70\). Option B gives the number of multiples of 8, not the number of elements in the complement. Exam tip: use \(|A^c|=|U|-|A|\) when the complement is taken with respect to the universal set.
\(B=A^c\) होने पर \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के सभी अवयवों के अलावा शेष अवयवों का समुच्चय है। यहाँ \(B=\{1,4,6,8,9,10,12\}\), इसलिए \(A\cup B=U\), अर्थात \(\{1,2,3,\ldots,12\}\)। विकल्प \(B\) केवल पूरक समुच्चय है, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय होता है: \(A\cup A^c=U\)। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set that are not in \(A\). Here, \(B=\{1,4,6,8,9,10,12\}\), so \(A\cup B=U=\{1,2,3,\ldots,12\}\). Option B represents only the complement, not the union. Exam tip: The union of any set and its complement is always the universal set: \(A\cup A^c=U\).
चूँकि \(B=A^c\), इसलिए \(B\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव होंगे जो \(A\) में नहीं हैं। अतः \(A\) और \(B\) में कोई भी उभयनिष्ठ अवयव नहीं है तथा \(A\cap A^c=\varnothing\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद सदैव रिक्त समुच्चय होता है। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Therefore, option A is correct. Exam tip: The intersection of any set with its complement is always the empty set.
दिए गए समुच्चयों के लिए \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\)। इसलिए \((A\cup B)^c=U^c\) है। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(U\) का पूरक समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है, अतः सही उत्तर \(\varnothing\) है। विकल्प \(U\) गलत है, क्योंकि वह पूरक नहीं बल्कि स्वयं सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी समुच्चय का संघ सार्वत्रिक समुच्चय बन जाए, तो उसके पूरक का मान \(\varnothing\) होता है। / For the given sets, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\). Hence, \((A\cup B)^c=U^c\). The complement of the universal set relative to itself is the empty set, so the correct answer is \(\varnothing\). Option \(U\) is incorrect because it is the universal set itself, not its complement. Exam tip: whenever a union equals the universal set, its complement is \(\varnothing\).
समुच्चय \(A\) में केवल विषम संख्याएँ और \(B\) में केवल सम संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा \(U\) होता है, अर्थात् \((A\cap B)^c=\varnothing^c=U\)। विकल्प B केवल प्रतिच्छेद \(A\cap B\) को दर्शाता है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें और फिर दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष उसका पूरक लें। / Set \(A\) contains only odd numbers, while set \(B\) contains only even numbers; hence, \(A\cap B=\varnothing\). The complement of the empty set with respect to the universal set \(U\) is the entire universal set, so \((A\cap B)^c=\varnothing^c=U\). Option B represents the intersection itself, not its complement. Exam tip: find the intersection first, then take its complement relative to the given universal set.
\(A^{c}\) में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) हटाएं। / \(A^{c}\) contains elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove (A) from (U).
\(A=\{1,4,9\}\) है, इसलिए (n\(A^{c}\)=15-3=12) नहीं बल्कि (15) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9}) ही हैं। सही गिनती (12) होती, इसलिए विकल्पों में गलती पहचानें। / \(A=\{1,4,9\}\), so (n\(A^{c}\)=15-3=12). Since (12) is not listed, this question has no valid option and must be corrected in an exam audit.
किसी समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय में मौजूद, लेकिन उस समुच्चय में शामिल न होने वाले अवयवों से बनता है। इसलिए \(B^c=U\setminus B=\{b,c,d\}\), जिसमें 3 अवयव हैं। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि वह पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के अवयवों की संख्या है। परीक्षा में पूरक ज्ञात करते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय निश्चित करें और फिर दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of a set consists of the elements in the universal set that are not in that set. Thus, \(B^c=U\setminus B=\{b,c,d\}\), which contains 3 elements. Option 5 is incorrect because it counts all elements of the universal set. In an exam, identify the universal set first and then remove the elements of the given set to find its complement.
समुच्चय \(U\) में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16\) हैं, इसलिए \(n(A)=4\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A^{c})=n(U)-n(A)=16-4=12\)। अतः सही उत्तर 12 है। परीक्षा में पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर सभी पूर्ण वर्गों की सूची बनाना उपयोगी रहता है; 16 को उत्तर मानना पूरक समुच्चय की अवधारणा को अनदेखा करना है। / The perfect squares in \(U\) are \(1,4,9,16\), so \(n(A)=4\). For a complement, \(n(A^{c})=n(U)-n(A)=16-4=12\). Therefore, the correct answer is 12. In an exam, first list all perfect squares within the given universal set; choosing 16 would mean ignoring the elements removed to form the complement.
(A) में (3) सहित उससे बड़ी वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए पूरक (x<3) है। असमानता में बराबर का चिन्ह ध्यान से बदलें। / (A) contains (3) and all greater real numbers, so the complement is (x<3). Change the equality part carefully in inequalities.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय का पूरक तुरंत (U) लिखें। / \(\varnothing\) has no element, so its complement is the whole (U). In exams, write the complement of the empty set as (U).
\(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\) है, इसलिए \(A^{c}\cap B={8,10,12}\)। पहले पूरक निकालकर फिर साझा अवयव लें। / \(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\), so \(A^{c}\cap B={8,10,12}\). First find the complement and then take common elements.
जब (A) में (U) के सभी अवयव हैं, तो बाहर कुछ नहीं बचता। इसलिए \(U^{c}=\varnothing\) याद रखें। / When (A) contains all elements of (U), nothing remains outside it. So remember \(U^{c}=\varnothing\).
\(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\) है, इसलिए पूरक ({9}) है। तीन समुच्चयों में भी पहले पूरा संघ निकालें। / \(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({9}). Even with three sets, find the full union first.
पहले दोनों समुच्चयों का संघ निकालते हैं: \(A\cup B=\{1,2,3,5,7,8\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में उपस्थित लेकिन इस संघ में अनुपस्थित तत्व 4 और 6 हैं, इसलिए \((A\cup B)^c=\{4,6\}\)। विकल्प C केवल \(A\cap B\) है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से दिए गए समुच्चय के सभी तत्व हटाएँ। / First find the union: \(A\cup B=\{1,2,3,5,7,8\}\). The elements of the universal set \(U\) that are not in this union are 4 and 6; hence \((A\cup B)^c=\{4,6\}\). Option C represents \(A\cap B\), not the complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
(2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएं (6) के गुणज हैं, यानी (5) संख्याएं। इसलिए (n\(A^{c}\)=30-5=25)। / Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6), giving (5) numbers. Thus (n\(A^{c}\)=30-5=25).
बड़ा समुच्चय लेने पर पूरक छोटा हो जाता है, इसलिए \(B^{c}\subseteq A^{c}\)। उपसमुच्चय में पूरक का क्रम उलट जाता है। / When the set becomes larger, its complement becomes smaller, so \(B^{c}\subseteq A^{c}\). Complements reverse the subset order.
(n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22)। अवयव संख्या में पूरक के लिए कुल में से दिए गए समुच्चय को घटाएं। / (n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22). For complement cardinality, subtract the given set from the total.
न खेलने वाले विद्यार्थी क्रिकेट समुच्चय के पूरक में हैं, इसलिए (60-35=25)। शब्द प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय पहचानना जरूरी है। / Students who do not play cricket are in the complement of the cricket set, so (60-35=25). In word problems, identify the universal set first.
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक विषम संख्याएं ({1,3,5,7,9}) हैं। शर्त को ध्यान से पढ़ें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement is the odd numbers ({1,3,5,7,9}). Read the condition carefully.
(A) में धन पूर्णांक हैं, इसलिए पूरक में (0) और ऋण पूर्णांक आते हैं। असमानता में सीमांत मान जरूर जांचें। / (A) contains positive integers, so the complement includes (0) and negative integers. Always check the boundary value in inequalities.
((2,5)) में अंतिम बिंदु शामिल नहीं हैं, इसलिए पूरक में (2) और (5) शामिल होंगे। अंतराल के पूरक में कोष्ठक बदलना याद रखें। / ((2,5)) does not include endpoints, so the complement includes (2) and (5). Remember bracket changes in interval complements.
([-1,4]) में अंतिम बिंदु शामिल हैं, इसलिए पूरक में वे शामिल नहीं होंगे। बंद अंतराल का पूरक खुले अंतिम बिंदु देता है। / ([-1,4]) includes the endpoints, so the complement does not include them. The complement of a closed interval has open endpoints.
(A) वे अवयव हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं, इसलिए \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\)। दिए गए पूरक को (U) से हटाएं। / (A) contains the elements not in \(A^{c}\), so \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\). Remove the given complement from (U).
\(A^{c}\) में वे (x) होते हैं जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में लिखा जाता है। / \(A^{c}\) contains those (x) that are in (U) but not in (A). A complement is always written relative to the universal set.
कोई अवयव एक साथ (A) और \(A^{c}\) दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^{c}=\varnothing\) होता है। / No element can be in both (A) and \(A^{c}\) at the same time. Therefore, \(A\cap A^{c}=\varnothing\).
(A) और \(A^{c}\) मिलकर पूरे (U) को बना देते हैं। पूरक गुणों में यह सबसे उपयोगी सर्वसमिका है। / (A) and \(A^{c}\) together form the whole (U). This is one of the most useful complement identities.
\(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), इसलिए \(A\cap B^{c}={1,2,3}\)। पहले पूरक फिर प्रतिच्छेद करें। / \(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), so \(A\cap B^{c}={1,2,3}\). First find the complement and then the intersection.
समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(p,r,t\), \(A\) में हैं, जबकि \(q\) और \(s\) \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(q\in A^c\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए \(U-A\) निकालें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here, \(p,r,t\) belong to \(A\), whereas \(q\) and \(s\) do not. Therefore, \(q\in A^c\). Exam tip: Find a complement by calculating \(U-A\).
B. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(x\in A^{c}\) का अर्थ है कि (x) सार्वत्रिक समुच्चय में है पर (A) में नहीं है। प्रतीक पढ़ते समय (U) को न भूलें। / \(x\in A^{c}\) means (x) is in the universal set but not in (A). Do not forget (U) while reading the symbol.
\(A=\{3,6,9,12\}\), इसलिए पूरक बाकी अवयव हैं। गुणज वाले प्रश्नों में पहले सूची बनाएं। / \(A=\{3,6,9,12\}\), so the complement is the remaining elements. In multiple-based questions, list the set first.
यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) और \(A=\{x\in U:x\text{ अभाज्य है}\}\), तो सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक समुच्चय \(A^c\) क्या होगा?
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, इसलिए \(A=\{2,3,5,7\}\)। पूरक समुच्चय में \(U\) के वे सभी अवयव आते हैं जो \(A\) में नहीं हैं, अतः \(A^c=\{1,4,6,8,9\}\)। विकल्प C में 2, 3, 5 और 7 जैसी अभाज्य संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: 1 अभाज्य संख्या नहीं है; अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं। / The prime numbers in the given universal set are \(2,3,5,7\), so \(A=\{2,3,5,7\}\). The complement contains all elements of \(U\) that are not in \(A\); therefore, \(A^c=\{1,4,6,8,9\}\). Option C is incorrect because it still includes the prime numbers 2, 3, 5 and 7. Exam tip: 1 is neither prime nor composite; a prime number has exactly two positive divisors.
\(A^{c}={4,5,6}\) और \(B^{c}={1,2,6}\), उनका संघ ({1,2,4,5,6}) है। यह (\(A\cap B\)^{c}) से भी मिलता है। / \(A^{c}={4,5,6}\) and \(B^{c}={1,2,6}\), so their union is ({1,2,4,5,6}). This also matches (\(A\cap B\)^{c}).
\(A^{c}={3,5,6}\) और \(B^{c}={1,3,5}\), इसलिए प्रतिच्छेद ({3,5}) है। यह (\(A\cup B\)^{c}) जैसा है। / \(A^{c}={3,5,6}\) and \(B^{c}={1,3,5}\), so the intersection is ({3,5}). This is the same as (\(A\cup B\)^{c}).
परिभाषा के अनुसार \(A^c=U\setminus A\) होता है। यदि \(A^c\) रिक्त है, तो \(U\) का कोई भी अवयव \(A\) से बाहर नहीं है; इसलिए \(A\) में \(U\) के सभी अवयव हैं और \(A=U\)। विकल्प A और D रिक्त समुच्चय से संबंधित हैं, जबकि विकल्प C इस स्थिति में सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का पूरक रिक्त हो, तो वह समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है। / By definition, \(A^c=U\setminus A\). If \(A^c\) is empty, no element of \(U\) lies outside \(A\); hence \(A\) contains every element of \(U\), so \(A=U\). Options A and D describe conditions related to an empty set, while option C is not true in this situation. Exam tip: a set with an empty complement is equal to the universal set.
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई अवयव नहीं है। इसलिए \(A=\varnothing\) सही है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) has no element. Thus, \(A=\varnothing\) is correct.
पूरक समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\)। यहाँ \(n(U)=8\) और \(n(A^{c})=3\), इसलिए \(n(A)=8-3=5\)। विकल्प A केवल पूरक समुच्चय की संख्या बताता है, जबकि विकल्प C पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक दिए होने पर कुल तत्वों में से पूरक के तत्व घटाएँ। / For a complement, \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\). Here, \(n(U)=8\) and \(n(A^{c})=3\), so \(n(A)=8-3=5\). Option A gives the cardinality of the complement, while option C gives the cardinality of the universal set. Exam tip: When the complement is known, subtract its cardinality from the cardinality of the universal set.
\(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), और यह (B) का उपसमुच्चय है। इसलिए ये सभी अवयव (B) में होने जरूरी हैं। / \(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), and it is a subset of (B). Hence all these elements must be in (B).
\(U\setminus A\) का अर्थ है (U) से (A) हटाना, यही \(A^{c}\) है। पूरक को अंतर संकेत से भी लिखते हैं। / \(U\setminus A\) means removing (A) from (U), which is \(A^{c}\). Complement is also written using difference notation.
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है: \(A^{c}\cup A=U\) । इसलिए \(A^{c}\cup A\) में |U|=7 अवयव होंगे। विकल्प 3 केवल |A| को दर्शाता है, संघ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\) की सर्वसमिकाएँ याद रखें। / For any set and its complement relative to the universal set, their union is the entire universal set: \(A^{c}\cup A=U\) . Hence, \(A^{c}\cup A\) has |U|=7 elements. Option 3 represents only |A| , not the union. Exam tip: Remember the identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) .
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। रिक्त समुच्चय की अवयव संख्या (0) होती है। / (A) and \(A^{c}\) are disjoint, so their intersection is empty. The cardinality of the empty set is (0).
(A) के बाहर (U) में ({3,4,6,7}) बचते हैं, जो (C) है। पूरक पहचानने के लिए (U) से तुलना करें। / The elements left in (U) outside (A) are ({3,4,6,7}), which is (C). Compare with (U) to identify a complement.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x:x\in\mathbb{N},\ 1\le x\le 20\}\) तथा \(A=\{x:x\in U,\ x\text{, }20\text{ का गुणनखंड है}\}\) हैं, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक समुच्चय \(A^c\) में कितने अवयव होंगे?
समुच्चय \(U\) में 1 से 20 तक कुल 20 प्राकृतिक संख्याएँ हैं। 20 के गुणनखंड \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=20-6=14\)। विकल्प 6 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या बताता है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक की गणना के लिए हमेशा उसी सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) लागू करें। / The universal set \(U\) contains 20 natural numbers, from 1 to 20. The factors of 20 are \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\), so \(n(A)=6\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=20-6=14\). Option 6 gives the number of elements in \(A\), not in its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), always keeping the reference universal set in mind.
(A) विषम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए \(A^{c}\) सम संख्याएं ({2,4,6,8,10}) हैं। रूप देखकर भी उत्तर मिल सकता है। / (A) is the set of odd numbers, so \(A^{c}\) is the even numbers ({2,4,6,8,10}). The pattern can also help.
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), इसलिए (A) से बाहर ({-2,0,2}) हैं। ऋण संख्याओं और (0) को ध्यान से शामिल करें। / \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the elements outside (A) are ({-2,0,2}). Include negative numbers and (0) carefully.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(A\) के बाहर \(U\) के अवयव \(\{5,6,7,8\}\) हैं, जो ठीक \(B\) के अवयव हैं। इसलिए \(B=A^c\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) और \(B\) असंयुक्त हैं, अतः \(A\cap B=\varnothing\), न कि \(B\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\), with respect to the universal set \(U\), contains all elements of \(U\) that are not in \(A\). Here, the elements of \(U\) outside \(A\) are \(\{5,6,7,8\}\), which are exactly the elements of \(B\). Therefore, \(B=A^c\). Option D is incorrect because \(A\) and \(B\) are disjoint, so \(A\cap B=\varnothing\), not \(B\). Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the universal set.
\(A^{c}={3,4,5}\) और इसमें (A) का कोई अवयव नहीं है, इसलिए अंतर वही रहेगा। असंपाती समुच्चयों में घटाने से समुच्चय नहीं बदलता। / \(A^{c}={3,4,5}\) and it has no element of (A), so the difference remains the same. Subtracting a disjoint set does not change it.
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं है, इसलिए \(A\setminus A^{c}=A\)। पूरक के साथ अंतर में असंपाती गुण उपयोग करें। / (A) and \(A^{c}\) have no common element, so \(A\setminus A^{c}=A\). Use the disjoint property with complements.
किसी समुच्चय और उसके पूरक की अवयव-संख्या का योग सार्वत्रिक समुच्चय की अवयव-संख्या के बराबर होता है: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। इसलिए \(n(A)=30-12=18\)। विकल्प 12 केवल पूरक समुच्चय की अवयव-संख्या है। परीक्षा में याद रखें: \(n(A)=n(U)-n(A^c)\)। / The cardinalities of a set and its complement add up to the cardinality of the universal set: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=30-12=18\). Option 12 is only the cardinality of the complement. Exam tip: use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\).
(9) (U) में है और (A) में नहीं है, इसलिए \(9\in A^{c}\)। सदस्यता प्रश्नों में दोनों शर्तें जांचें। / (9) is in (U) and not in (A), so \(9\in A^{c}\). In membership questions, check both conditions.
\(A\cap D=\varnothing\) और \(A\cup D=U\), इसलिए \(D=A^{c}\)। पूरक साबित करने के लिए ये दो शर्तें उपयोगी हैं। / \(A\cap D=\varnothing\) and \(A\cup D=U\), so \(D=A^{c}\). These two conditions are useful to prove a complement.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में सम संख्याएं हैं। नकारात्मक शब्दों में शर्त को उल्टा समझें। / (A) contains odd numbers, so the complement contains even numbers. With negative wording, reverse the condition carefully.
\(A\setminus B={1,2,3}\), इसलिए इसका पूरक ({4,5,6,7,8,9,10}) है। पहले अंतर निकालें फिर पूरक लें। / \(A\setminus B={1,2,3}\), so its complement is ({4,5,6,7,8,9,10}). First find the difference, then take the complement.
\(A^{c}={5,6,7,8}\) और \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), इसलिए पूरक ({1,2}) है। चरण न छोड़ें। / \(A^{c}={5,6,7,8}\) and \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({1,2}). Do not skip steps.
(A) के बाहर (U) में ठीक (B) के अवयव हैं, इसलिए \(B=A^{c}\)। साथ ही (A) और (B) असंपाती हैं। / The elements outside (A) in (U) are exactly the elements of (B), so \(B=A^{c}\). Also, (A) and (B) are disjoint.
