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परिभाषा के अनुसार किसी सेट का पूर्ण परिशिष्ट (complement) उस सार्वभौमिक सेट \(U\) के वे तत्व होते हैं जो दिए गए सेट में नहीं हैं। यहाँ \(A' = U\setminus A = \{1,2,3,4,5\}\setminus\{2,4\} = \{1,3,5\}\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह मूल सेट \(A\) है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरे सार्वभौमिक सेट \(U\) है, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली नहीं है। Exam tip: पूरक निकालने के लिए सीधे \(U\) के सभी तत्वों में से \(A\) के तत्व हटा दें। / By definition the complement of a set consists of elements of the universal set \(U\) that are not in the given set. So \(A' = U\setminus A = \{1,2,3,4,5\}\setminus\{2,4\} = \{1,3,5\}\). Option A is just \(A\), option C is the whole universal set \(U\), and option D is wrong because the complement is not empty. Exam tip: to find a complement, cross out the elements of \(A\) from \(U\) — the remaining elements form \(A'\).
पूरक B' का मतलब है U में वे तत्व जो B में नहीं हैं, यानि B' = U − B. यहाँ U = {a, b, c, d} और B = {a, d} होने पर B में a और d हैं, इसलिए U में से a और d हटाने पर बचते हैं {b, c}. विकल्प A गलत है क्योंकि वह B स्वयं है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा यूनिवर्सल सेट है (पूरक तभी पूरा यूनिवर्सल होगा जब B शून्य सेट हो), और विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें d शामिल है जो B में आता है। परीक्षा टिप: किसी भी तत्व को पूरक में रखने से पहले जाँचें कि वह U में है और B में नहीं। / The complement B' consists of elements in U that are not in B, i.e. B' = U − B. Given U = {a, b, c, d} and B = {a, d}, removing a and d from U leaves {b, c}. Option A is incorrect because it is B itself, option C is incorrect because it is the whole universal set (which would be the complement only if B were empty), and option D is incorrect because it still contains d, an element of B. Exam tip: For each element, check it belongs to U and verify it is not in B before including it in the complement.
परिभाषा के अनुसार पूरक को सार्वत्रिक समुच्चय के सन्दर्भ में लिया जाता है: \(A' = \{x\in U : x\notin A\\} = U\setminus A\)। अतः हर तत्व \(A'\) का स्रोत \(U\) ही है, इसलिए \(A'\subseteq U\)। विकल्प \(A\) सामान्यतः गलत है क्योंकि \(A\) और \(A'\) परस्पर अलग होते हैं; केवल विशेष स्थिति (जैसे \(A=U\) में) पर \(A'\subseteq A\) संभव है। \(\mathcal{P}(A)\) गलत है क्योंकि यह \(A\) के उपसमुच्चयों का समुच्चय है और \(A'\) सामान्यतः \(A\) का उपसमुच्चय नहीं होता। \(\emptyset\) भी गलत है क्योंकि पूरक हमेशा शून्य नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: पूरक को हमेशा इस रूप में लिखें — \(A'=U\setminus A\) — इससे सही उत्तर त्वरित दिखाई देगा। / By definition the complement is taken relative to the universal set: \(A' = \{x\in U : x\notin A\} = U\setminus A\). Therefore every element of \(A'\) comes from \(U\), so \(A'\subseteq U\). Option \(A\) is generally incorrect because \(A\) and \(A'\) are disjoint; only in special cases (e.g. \(A=U\)) would \(A'\subseteq A\) hold. \(\mathcal{P}(A)\) is wrong since it denotes the set of subsets of \(A\); \(A'\) is not normally a subset of \(A\). \(\emptyset\) is incorrect because the complement need not be empty. Exam tip: Always write the complement as \(A'=U\setminus A\) to identify its containing set quickly.
किसी भी समुच्चय का परिशिष्ट (complement) सार्वभौमिक समुच्चय में उन तत्वों का समुच्चय होता है जो दिए हुए समुच्चय में नहीं हैं। यदि \(A=U\), तो \(A'=U\setminus A=U\setminus U=\emptyset\)। इसलिए सही उत्तर \(\emptyset\) है। सबसे प्रलोभक विकल्प \(\{1,2,3,4\}\) (विकल्प A) इसलिए गलत है क्योंकि वह A ही है, परिशिष्ट नहीं। विकल्प \(\{1\}\) केवल एक तत्व देता है और विकल्प \(\{0\}\) गलत है क्योंकि \(0\) सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में नहीं है; परिशिष्ट में केवल \(U\) के तत्व ही आ सकते हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें \(A'=U\setminus A\)। / The complement of a set contains those elements of the universal set that are not in the given set. If \(A=U\), then \(A'=U\setminus A=U\setminus U=\emptyset\). Hence the correct answer is \(\emptyset\). The most tempting distractor \(\{1,2,3,4\}\) (option A) is incorrect because it equals A, not A'. Option \(\{1\}\) is wrong because only one element is listed while no elements remain outside A, and option \(\{0\}\) is wrong because 0 is not even an element of the universal set U. Exam tip: compute complements as \(A'=U\setminus A\) and check elements must belong to U.
पूरक \(A'\) वे तत्व होते हैं जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{0,1,2,3,4\}\) और \(A=\{0,2,4\}\) होने पर \(A'=\{1,3\}\) जो 2 तत्वों का समूह है। निकटतम विकल्प (3) गलत है — यह तब आएगा जब कोई एक अतिरिक्त तत्व गिन लिया जाए। परीक्षा सुझाव: तुरंत तत्वों की सूची लिखें या सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) का इस्तेमाल करें। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). With \(U=\{0,1,2,3,4\}\) and \(A=\{0,2,4\}\), we get \(A'=\{1,3\}\), which has 2 elements. The closest distractor (3) is wrong — it reflects a one-element counting error. Exam tip: either list elements of \(U\setminus A\) or use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\).
किसी सेट का पूरक (complement) उस यूनिवर्सल सेट में उपस्थित वे तत्व होते हैं जो दिए गए सेट में नहीं हैं। यहाँ \(E=\{2,4,6\}\) है और यूनिवर्सल सेट \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) है, इसलिए \(E' = U\setminus E = \{1,3,5\}\). विकल्प C में 2 शामिल है जो E में है, इसलिए गलत है; विकल्प B सीधे E है, जो पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा यूनिवर्सल सेट के सभी तत्वों में से दिए गए सेट के तत्व हटा दें। / The complement of a set consists of all elements in the universal set that are not in the given set. Here \(E=\{2,4,6\}\) and \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), so \(E' = U\setminus E = \{1,3,5\}\). Option C wrongly includes 2 (which belongs to E); option B is E itself, not its complement. Exam tip: to find a complement, list elements of U and remove those that are in the given set.
किसी सेट A का पूरक A' उस सार्वभौमिक सेट U के वे तत्व होते हैं जो A में नहीं आते, अर्थात् A' = U
dash; A. यहाँ U = {क, ख, ग, घ} और A = {क, ग} है, अतः A के तत्वों को U से हटा देने पर बचे हुए तत्व {ख, घ} होंगे। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, विकल्प C और D भी गलत संयोजन हैं (C में ग गायब है और D में ग के साथ ग गलत जो A में पहले से है)। परीक्षात्मक सुझाव: U के सभी तत्व लिखकर A के तत्वों पर काट/रंग कर दें; जो बचें वही A' हैं। / The complement A' consists of elements of the universal set U that are not in A, i.e. A' = U \ A. With U = {a, b, c, d} and A = {a, c}, removing A from U leaves {b, d}. Option A is just A itself, so it's incorrect; options C and D are other wrong combinations (they either include an element of A or miss some elements of U). Exam tip: write U, cross out the elements of A, and the leftovers give A'.
समुच्चय का पूर्ण पूरक उस सार्वभौमिक समुच्चय के वे तत्व होते हैं जो मूल समुच्चय में नहीं होते। इसलिए \(A=U\setminus A'\) होगा। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5\}\) और \(A'=\{4,5\}\), अतः \(A=\{1,2,3\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A'\) ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(A'\) के तत्व (4 और 5) शामिल हैं, और विकल्प D गलत है क्योंकि \(A=\varnothing\) होने पर \(A'\) पूरा \(U\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए हमेशा \(A=U\setminus A'\) लिखें। / The complement contains those elements of the universal set that are not in the set. So \(A=U\setminus A'\). With \(U=\{1,2,3,4,5\}\) and \(A'=\{4,5\}\), we get \(A=\{1,2,3\}\). Option B is just \(A'\) (not A), option C incorrectly keeps elements 4 and 5 from the complement, and option D is wrong because if \(A=\varnothing\) then \(A'\) would equal \(U\), not \(\{4,5\}\). Exam tip: compute complements as \(U\setminus A'\) to avoid sign errors.
किसी सेट A का पूरक A' (U के सन्दर्भ में) उन तत्वों का समूह है जो U में हैं पर A में नहीं हैं। यहाँ U = {1,2,3,4,5,6,7} और A = {1,3,5,7} हैं, इसलिए U में से A के तत्व निकालने पर बचे हुए तत्व {2,4,6} होते हैं। इसीलिए A' = {2,4,6}। नजदीकी विचलन: विकल्प B वही A है (पूरक नहीं), विकल्प C और D कुछ सही/गलत तत्व मिला कर गलत हैं। परीक्षा टिप: पूरक खोजने के लिए हमेशा U के सभी तत्वों में से A के तत्व हटाएँ। / The complement A' relative to U consists of elements that are in U but not in A. With U = {1,2,3,4,5,6,7} and A = {1,3,5,7}, removing A's elements from U leaves {2,4,6}. Thus A' = {2,4,6}. Closest distractor: option B is just A itself, not its complement; options C and D include or omit incorrect elements. Exam tip: compute A' as U \ A (list U, cross out elements of A).
पूरक की परिभाषा: A' = U \ A, अर्थात् U के वे तत्व जो A में नहीं हैं। यहाँ U = {लाल, नीला, हरा} और A = {लाल} है, अतः A' = {नीला, हरा}। विकल्प C ({हरा}) अधूरा है — केवल एक तत्व दे रहा है। विकल्प A ({लाल}) A स्वयं है, पूरक नहीं। विकल्प D \(\emptyset\) तब ही सही होगा जब A = U, पर यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा सुझाव: A' निकालने के लिए सीधे U में से A के तत्व हटा दें; जो बचे वही A' होगा। / Definition: A' = U \ A, the elements of U that are not in A. With U = {red, blue, green} and A = {red}, A' = {blue, green}. Option C ({green}) is incomplete (misses blue). Option A ({red}) is A itself, not its complement. Option D \(\emptyset\) would be correct only if A = U, which is not the case here. Exam tip: compute A' by subtracting A from U element-wise: U \ A = remaining elements.
A' का अर्थ है A का U के सन्दर्भ में पूरक, यानी U \\ A। U में से A के तत्व {1,4} हटाने पर बचे तत्व {2,3} हैं, अतः B = {2,3}। विकल्प A गलती से A को ही दिखाता है (पूरक नहीं), और विकल्प D में 4 शामिल है जो A में है इसलिए पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा-सुझाव: किसी भी पूरक प्रश्न में स्पष्ट रूप से U \ A लिखकर बचे तत्वों को निकालें। / A' means the complement of A relative to U, i.e., U \ A. Removing A's elements {1,4} from U leaves {2,3}, so B = {2,3}. Option A is just A itself (not the complement); option D wrongly keeps 4 which belongs to A. Exam tip: For complements always compute U \ A to list remaining elements clearly.
\(A'\) (A का पूरक) वे तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) और \(A=\{3,6,9\}\), अतः \(A'=\{1,2,4,5,7,8\}\). इसलिए 8 \(A'\) में है। विकल्प 6 और 9 \(A\) के सदस्य हैं इसलिए वे \(A'\) में नहीं होंगे। परीक्षा टिप: किसी भी तत्व को चुनने से पहले जाँच लें कि वह \(U\) में है और \(A\) में नहीं। / The complement \(A'\) consists of elements that are in \(U\) but not in \(A\). With \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) and \(A=\{3,6,9\}\), we get \(A'=\{1,2,4,5,7,8\}\). Thus 8 is in \(A'\). Options 6 and 9 are in A, so they cannot be in A'. Exam tip: Always verify the chosen element is present in U and absent from A before answering.
कम्प्लीमेंट की परिभाषा के अनुसार A' = U − A। U में से A के तत्त्व {a,i,u} हटाने पर बचते हैं {e,o}। इसलिए A' = {e,o}। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, न कि A का पूरक; विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें i और u हैं जो A में आते हैं। परीक्षा टिप: पहले U और A के तत्त्व लिखें और U से A के तत्त्व हटाकर बचे हुए को उत्तर मानें। / By definition the complement A' = U − A. Removing the elements of A ({a,i,u}) from U ({a,e,i,o,u}) leaves {e,o}, so A' = {e,o}. Option A is incorrect because it is A itself, not the complement; option D is incorrect because it includes i and u which are in A. Exam tip: list elements of U and subtract those in A to find A'.
समुच्चय का पूरक (A') वह समुच्चय है जिसमें यूनीवर्सल सेट U के वे ही तत्व आते हैं जो A में नहीं हैं। यहाँ U = {1,2,3,4,5,6,7} और A = {2,5,7} हैं, अतः A' = U \\ A = {1,3,4,6}। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें 2 शामिल है जो A में है; विकल्प A और D भी गलत हैं क्योंकि वे U में से A के सभी अपविष्ट तत्व सही ढंग से नहीं दर्शाते। परीक्षा के टिप: पूरक निकालने के लिए U के सभी तत्वों में से A के तत्व एक-एक करके घटा दें। / The complement A' consists of elements of the universal set U that are not in A. With U = {1,2,3,4,5,6,7} and A = {2,5,7}, removing A's elements from U leaves {1,3,4,6}, so A' = {1,3,4,6}. Option C is incorrect because it still contains 2 (which belongs to A). Options A and D do not list all elements excluded from A. Exam tip: compute A' by listing U and crossing out every element of A — the remaining elements form the complement.
किसी सेट का पूरक (B') उस यूनिवर्सल सेट के सभी ऐसे तत्वों का समूह है जो B में नहीं हैं. यहाँ \(U=\{a,b,c,d,e\}\) और \(B=\{b,e\}\), अत: \(B'=U\setminus B=\{a,c,d\}\). इसलिए \(b\) B में है और B' में नहीं होगा। निकटतम विक्षेपक \(a\) गलत है क्योंकि \(a\) B में नहीं है और इसलिए B' में आता है। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालने के लिए पहले U के सभी तत्व लिखें और B के तत्वों को हटाकर बची हुई सूची को लिखें। / The complement of a set B (i.e. B') consists of those elements of the universal set U that are not in B. Here \(U=\{a,b,c,d,e\}\) and \(B=\{b,e\}\), so \(B'=U\setminus B=\{a,c,d\}\). Thus \(b\) is in B and therefore not in B'. The closest distractor a is incorrect because a is not in B and so it does belong to B'. Exam tip: to find a complement, list U and remove the elements of B — the remainder is B'.
पूरक सेट \(A'\) उन सभी तत्वों से बना होता है जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व \{0,1,2,3,4,5\} हैं और \(A\) में \{0,1,5\} हैं, अतः \(A'=\{2,3,4\}\) और \(n(A')=3\)। गलत विकल्पों का कारण: C (4) तब होता अगर कोई और तत्व गिना गया हो — यह अतिगणना है; A (2) तब होता अगर किसी एक तत्व को भूल लिया गया हो — यह अल्पगणना है; D (6) गलत है क्योंकि वह \(U\) का कुल आकार है न कि \(A'\) का। परीक्षा-सुझाव: सीधे सूत्र लागू करें — \(n(A')=n(U)-n(A)\)। / The complement \(A'\) contains elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{0,1,2,3,4,5\}\) and \(A=\{0,1,5\}\), so \(A'=\{2,3,4\}\) and \(n(A')=3\). Why other options are wrong: C (4) would mean one extra element was mistakenly counted; A (2) means one element was missed; D (6) is the size of \(U\), not of \(A'\). Exam tip: use the relation \(n(A')=n(U)-n(A)\) to avoid counting errors.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय देता है क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय के किसी भी तत्व के लिए वह या तो A में होगा या A में नहीं होगा (यानि A' में)। इसलिए \(A\cup A'=U\)। विकल्प B (\(A'\)) गलत है क्योंकि A में मौजूद तत्व A' में नहीं होते; विकल्प D (\(\emptyset\)) भी गलत है क्योंकि संघ शून्य सेट नहीं बनता। परीक्षा सलाह: प्रमुख पहचानें — \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\emptyset\) को याद रखें। / The union of a set with its complement equals the universal set because every element of the universe is either in A or not in A (i.e., in A'). Hence \(A\cup A'=U\). Option B (\(A'\)) is incorrect since elements of A are not in A'; option D (\(\emptyset\)) is impossible because the union cannot be empty. Exam tip: memorize the basic complement identities: \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\emptyset\).
परिभाषा के अनुसार \(A'\) (A का पूरक) उन सभी तत्त्वों का समूह है जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। कोई भी तत्त्व एक साथ \(A\) और \(A'\) दोनों में नहीं होगा, इसलिए उनका संगम (intersection) खाली सेट होता है: \(A\cap A'=\emptyset\)। विकल्प B (\(A\)) गलत है क्योंकि \(A\cap A'\) में कोई भी \(A\) का तत्त्व नहीं आ सकता जो \(A'\) में भी हो। विकल्प D (\(\mathcal{P}(A)\)) गलत है क्योंकि यह \(A\) के उपसंग्रहों का सेट है, न कि \(A\) तथा \(A'\) के तत्त्वों का। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि हमेशा \(A\cap A'=\emptyset\) और \(A\cup A'=U\)। / By definition, \(A'\) (the complement of \(A\) in \(U\)) contains those elements of \(U\) that are not in \(A\). No element can belong to both \(A\) and \(A'\) simultaneously, so their intersection is the empty set: \(A\cap A'=\emptyset\). Option B (\(A\)) is incorrect because an element of \(A\) cannot be in \(A'\) at the same time. Option D (\(\mathcal{P}(A)\)) is of a different type (the power set of \(A\)), not a set of elements of \(U\). Exam tip: remember the identities \(A\cap A'=\emptyset\) and \(A\cup A'=U\).
सम्पूरक (A') का अर्थ है U के वे तत्व जो A में नहीं हैं, अर्थात् A' = U \ A। U में मौजूद तत्वों में से A के तत्व (2,4,6,8) हटाने पर केवल 1, 3 और 5 बचे रहते हैं। इसलिए सही उत्तर {1,3,5} है। नज़दीकी ग़लत विकल्प {5,6,8} में 6 और 8 शामिल हैं जो A में हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: U की सूची लिखकर A के तत्वों को काट दें — जो बचे वे A' हैं। / The complement A' consists of elements of U that are not in A, i.e. A' = U \ A. Removing A's elements (2,4,6,8) from U leaves 1, 3 and 5, so A' = {1,3,5}. A close distractor {5,6,8} is wrong because it still contains 6 and 8 which belong to A. Exam tip: list U and cross out elements of A; the remaining elements form A'.
पूरक की परिभाषा है \(A'=U\setminus A\)। इसलिए \(A=U\setminus A'\)। यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,4\}=\{2,3\}\)। विकल्प \(\{1,4\}\) पूरक ही है इसलिए वह गलत विकल्प है। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय सीधे सार्वत्रिक सेट से पूरक के तत्व घटा दें या एक छोटा वेन्न आरेख बनाकर चेक कर लें। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\), so \(A=U\setminus A'\). Thus \(A=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,4\}=\{2,3\}\). The option \(\{1,4\}\) is the complement, not \(A\). Exam tip: compute complements by subtracting elements of \(A'\) from \(U\) or draw a simple Venn diagram to avoid errors.
पूरक A′ को परिभाषा अनुसार U \\ A के रूप में निकाला जाता है — अर्थात् U के वे तत्व जो A में नहीं हैं। यहाँ U = {सूर्य, चंद्र, तारा} और A = {सूर्य} इसलिए A′ = {चंद्र, तारा} होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें चंद्र गायब है, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय सीधे U से A के तत्व हटा दें — A′ = U \ A। / By definition the complement A′ = U \ A, i.e. the elements of U that are not in A. With U = {sun, moon, star} and A = {sun}, removing sun leaves {moon, star}, so A′ = {moon, star}. Option A is just A itself, option C omits moon, and option D (empty set) is incorrect because some elements remain. Exam tip: compute A′ by literally subtracting A's elements from U (A′ = U \ A).
समूहन के नियमानुसार, \(A'\) का अर्थ है समुच्चय \(U\) का वह भाग जो \(A\) में नहीं है, अर्थात् \(A'=U\setminus A\). यहाँ \(U\setminus A=\{5,6,7,8\}\। इसलिए इनमें सबसे छोटी संख्या 5 है। विकल्प (4) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 4 वास्तव में \(A\) में है और इसलिए \(A'\) में नहीं आ सकता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले \(U\) और \(A\) के तत्व लिख लें और फिर ही पूर्णक (complement) निकालें। / By definition, \(A'\) (the complement of A in U) is \(U\setminus A\), i.e. elements of U that are not in A. Here \(U\setminus A=\{5,6,7,8\}\), so the smallest element is 5. Option 4 is wrong because 4 belongs to A and thus is excluded from A'. Exam tip: list elements of U and A explicitly before taking the complement to avoid mistakes.
पूरक की परिभाषा अनुसार \(A' = U\setminus A\) होता है — अर्थात् वे तत्व जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(A=U\) है, इसलिए \(U\setminus A = U\setminus U = \varnothing\)। रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) में तत्वों की संख्या 0 होती है। अक्सर विद्यार्थी विकल्प (5) चुनते हैं क्योंकि वह \(A\) का आकार है; यह गलत है क्योंकि पूरक \(A\) का नहीं बल्कि \(U\) और \(A\) के बीच का अंतर है। परीक्षा युक्ति: पहले जाँचें कि क्या \(A\) यूनिवर्सल सेट के बराबर है; यदि हाँ, तो पूरक अवश्य रिक्त होगा। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\), the elements in the universal set not in \(A\). Here \(A=U\), so \(U\setminus A=U\setminus U=\varnothing\). The empty set \(\varnothing\) has 0 elements, so \(|A'|=0\). A common error is choosing 5 (the size of \(A\)) — that confuses the set with its complement. Exam tip: compute \(U\setminus A\) directly or check if \(A=U\) before counting.
समुच्चय का पूरक A' का अर्थ है U में से A के सदस्यों को हटा देना: A' = U \ A. यहाँ U={काला, सफेद, लाल, पीला} और A में काला व पीला हैं, अतः बचते हैं सफेद और लाल। इसलिए A' = {सफेद, लाल}। निकटवर्ती ग़लत विकल्पों में D में काला शामिल है जो A का सदस्य है, इसलिए वह पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए केवल U के उन तत्वों को चुनें जो A में नहीं आते। / The complement A' means all elements of U that are not in A: A' = U \ A. Here U={black, white, red, yellow} and A contains black and yellow, so the remaining elements are white and red. Hence A' = {white, red}. A common mistake is option D, which includes black (an element of A) and so cannot be the complement. Exam tip: To find a complement, remove A's elements from U rather than trying to pair or reorder elements.
समुच्चय का पर्याप्त (complement) परिभाषित है: \(M' = \{x\in U : x\notin M\}\)। यहाँ \(U\) में मौजूद ऐसे तत्व जो \(M\) में नहीं हैं वे हैं 1, 3, 5, 7, 9। इसलिए 9 \(M'\) में है। निकटभ्रामक विकल्पों में से 10 और 6 दोनों \(M\) के सदस्य हैं इसलिए वे \(M'\) में नहीं आएंगे। परीक्षाटिप: यूनिवर्सल सेट \(U\) की सूची में से \(M\) के तत्व हटा दें — जो बचे वे \(M'\) हैं। / The complement is defined by \(M' = \{x\in U : x\notin M\}\). From \(U\) remove the elements of \(M\); the remaining elements are 1, 3, 5, 7, 9. Thus 9 is in \(M'\). Closest distractors like 10 (and 6) are actually members of \(M\), so they are not in the complement. Exam tip: To find a complement quickly, cross out all elements of \(M\) from \(U\) — the leftovers form \(M'\).
सम्पूर्ण सेट के सापेक्ष वर्गपूरक को परिभाषित करें: \(A'=U\setminus A\). इसलिए \(A'=\{1,4,6\}\). इनमें 4 से छोटे तत्वों की जाँच करें: केवल 1 ही 4 से छोटा है। इसलिए सही उत्तर 1 है. निकटवर्ती ग़लत विकल्प (B) तब बनता है जब छात्र 4 को भी "छोटा" मान ले या गलत तरीके से 3 को शामिल कर ले। परीक्षा टिप: "छोटा" (less than) का अर्थ कड़ाई से तय है — 4 को शामिल न करें; पहले हमेशा \(A'\) लिखकर तत्व निकालें। / Find the complement relative to the universal set: \(A'=U\setminus A\). Thus \(A'=\{1,4,6\}\). Check which of these are less than 4: only 1 is less than 4, so the answer is 1. The common mistake (option B) arises from either treating 4 as "less than 4" or mistakenly including an element like 3. Exam tip: first compute the complement explicitly, then apply the inequality (remember that "less than 4" excludes 4).
किसी समुच्चय A का पूरक A' = U \ A होता है। यहाँ A' = {2,3,4}। फिर (A')' का अर्थ है U \ A' जो फिर से मूल समुच्चय A दे देता है। अतः (A')' = {1,5}। सबसे नज़दीकी भ्रमित करने वाली विकल्प {2,3,4} केवल एकल पूरक A' है, न कि उसके पूरक का पूरक। परीक्षा टिप: किसी भी दोहरे पूरक पर नियम याद रखें — (A')' = A (सदैव यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में)। / The complement A' is U \ A. Here A' = {2,3,4}. The complement of that, (A')', is U \ A' which returns the original set A. Therefore (A')' = {1,5}. The closest distractor {2,3,4} is just A' (the single complement), not the complement of the complement. Exam tip: remember the double-complement law (A')' = A with respect to the given universal set.
B = A' है, अतः B' = (A')' होता है। सेट सिद्धांत में द्वि-परिशिष्ट नियम के अनुसार (A')' = A होता है जब परिशिष्ट सार्वभौमिक सेट U के सापेक्ष लिया गया हो। इसलिए B' = A = {1,2,3}। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B ({4,5,6}) वास्तव में B स्वयं है, न कि B' — इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: परिशिष्ट लेते समय हमेशा यह स्पष्ट करें कि परिशिष्ट किस सार्वभौमिक सेट U के सापेक्ष लिया जा रहा है। / Given B = A', so B' = (A')'. By the double-complement law in set theory, (A')' = A (relative to the universal set U). Therefore B' = A = {1,2,3}. The closest distractor {4,5,6} is actually B (the complement of A), not B'. Exam tip: always state the universal set when working with complements and use (A')' = A to simplify.
समुच्चय का पूरक \(A'\) उन तत्वों का समुच्चय होता है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। \(U\) से \(A=\{4,8,12\}\) को हटा देने पर शेष तत्व \(\{2,6,10\}\) रहते हैं। इसलिए सही उत्तर \(\{2,6,10\}\) है। विकल्प C निकटतम भ्रामक उत्तर है क्योंकि उसमें 4 शामिल है जो \(A\) का तत्व है, अतः वह पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालते समय सीधे \(U\) के उस तत्वों की सूची लिखें जो \(A\) में नहीं हैं। / The complement \(A'\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Removing \(A=\{4,8,12\}\) from \(U\) leaves \(\{2,6,10\}\), so \(\{2,6,10\}\) is the correct complement. The closest distractor is C because it wrongly includes 4, an element of \(A\). Exam tip: to find a complement, list elements of \(U\) and cross out those that belong to \(A\).
पहले \(A\cup B\) निकालें: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\). किसी सेट का पूर्ण पूरक (complement) यूनिवर्सल सेट \(U\) में से उस सेट के सदस्यों को हटाने से मिलता है: \((A\cup B)'=U-(A\cup B)=\{6,7,8\}\). विकल्प A गलत है क्योंकि यह \(A\cup B\) स्वयं है, न कि उसका पूरक. विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 1 और 2 शामिल हैं जो पूरक में नहीं हो सकते. विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट नहीं है. परीक्षा टिप: पहले यूनियन लिखकर फिर यूनिवर्सल सेट से घटा दें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\). The complement relative to \(U\) is the elements of \(U\) not in the union: \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{6,7,8\}\). Option A is just the union, not the complement. Option C wrongly keeps elements 1 and 2 which belong to the union, and option D is incorrect because the complement is not empty. Exam tip: list the union, then remove those elements from the universal set.
किसी यूनिवर्सल सेट \(U\) के लिए किसी सेट \(A\) का पूरक \(A'\) वे सभी तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। गणितीय रूप में \(A'=U\setminus A\)। यहां \(U\) के तत्वों में से \(2,4,8\) को हटाने पर बचे हुए तत्व \(1,3,5,6,7\) हैं, अतः सही उत्तर \(\{1,3,5,6,7\}\) है। विकल्प C (\(\{1,2,3,4\}\)) गलत है क्योंकि उसमें \(2\) और \(4\) मौजूद हैं जो \(A\) के सदस्य हैं; विकल्प A ठीक वही \(A\) है न कि उसका पूरक; विकल्प D खाली सेट है जो यहां लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा \(U\) से \(A\) के तत्वों को घटाइए — किसी भी तत्व की सदस्यता को दोनों सेटों में जाँच कर लें। / For a universal set \(U\), the complement \(A'\) of \(A\) consists of elements in \(U\) that are not in \(A\); equivalently \(A'=U\setminus A\). Removing \(2,4,8\) from \(U\) leaves \(1,3,5,6,7\), so \(\{1,3,5,6,7\}\) is correct. Option C (\(\{1,2,3,4\}\)) is wrong because it still contains \(2\) and \(4\) which belong to \(A\); option A is just \(A\) itself, not its complement; option D is the empty set and not applicable here. Exam tip: compute \(U\setminus A\) element-wise — check each element of \(U\) whether it belongs to \(A\) or not.
परिशिष्ट की परिभाषा के अनुसार C' वे सभी तत्व होते हैं जो U में तो हों पर C में न हों। यहाँ U = {a, b, c, d, f} और C = {a, c, f} से C' = {b, d} बनता है। इसलिए b C' में है। विकल्प a और c तथा f गलत हैं क्योंकि वे C में आते हैं, इसलिए वे C' में नहीं होंगे। परीक्षा सुझाव: U की सूची लीजिए और C में आने वाले तत्वों को काट दें; बचे हुए तत्व C' होंगे। / By definition the complement C' (relative to U) contains those elements that are in U but not in C. With U = {a, b, c, d, f} and C = {a, c, f}, we get C' = {b, d}. Hence b is in C'. Options a, c and f are incorrect because they belong to C and so are not in C'. Exam tip: write U, cross out elements of C — the remaining elements form C'.
पूरक सेट \(A'\) में वे सभी तत्व होंगे जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(A'=\{0,2,4,6\}\) इसलिए \(n(A')=4\)। समेकित रूप से \(n(A')=n(U)-n(A)=7-3=4\)। विकल्प A (3) त्रुटिपूर्ण है क्योंकि यह \(n(A)\) का मान है, और विकल्प D (7) पूरे सार्वभौमिक सेट का आकार है। परीक्षा सुझाव: तेज गणना के लिये सीधे \(n(A')=n(U)-n(A)\) फ़ॉर्मूला प्रयोग करें। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(A'=\{0,2,4,6\}\), so \(n(A')=4\). Alternatively use \(n(A')=n(U)-n(A)=7-3=4\). Option A (3) is incorrect because it equals \(n(A)\); option D (7) is the size of the whole universal set. Exam tip: compute complements quickly using \(n(A')=n(U)-n(A)\).
परिभाषा के अनुसार \(A'\) का अर्थ है उन सभी तत्वों का सेट जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यदि कोई तत्व \(x\) दोनों \(A\) और \(A'\) में होता तो इसका मतलब होगा कि \(x\) है भी और नहीं भी — यह विरोधाभास है। इसलिए ऐसा कोई तत्व मौजूद नहीं होगा और प्रतिच्छेद शून्य सेट होता है, अर्थात् \(A'\cap A=\emptyset\)। निकटतम भ्रामक विकल्प जैसे \(A\) या \(A')\ गलत हैं क्योंकि किसी भी तत्व का दोनों में होना असंभव है। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें कि किसी सेट और उसके पूरक का समुच्चय यूनिवर्सल सेट देता है और उनका प्रतिच्छेद शून्य सेट। / By definition, \(A'\) consists of elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If an element \(x\) belonged to both \(A\) and \(A'\), it would simultaneously be in \(A\) and not in \(A\), a contradiction. Hence no such element exists and \(A'\cap A=\emptyset\). Distractors like \(A\) or \(A'\) are incorrect because an element cannot lie in both a set and its complement. Exam tip: remember \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\emptyset\) for any subset \(A\) of the universal set.
समुच्चय का पूरक \(A'\) वह समुच्चय है जो यूनिवर्सल समुच्चय \(U\) में है पर \(A\) में नहीं। \(U\) से \(A\) के तत्व (1,3,5,7,9) हटाने पर बचे तत्व \{2,4,6\} हैं, अत: \(A'=\{2,4,6\}\)। विकल्प C में 8 शामिल है जबकि 8 \(U\) का तत्व नहीं है; विकल्प B मूल समुच्चय \(A\) है; विकल्प D केवल 9 है जो \(A\) में है—सभी गलत कारण। परीक्षा युक्ति: पूरक लेते समय हमेशा सदस्यता को सिर्फ दिए गए यूनिवर्सल सेट के अनुरूप जाँचें। / The complement \(A'\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Removing \(A=\{1,3,5,7,9\}\) from \(U\) leaves \{2,4,6\}, so \(A'=\{2,4,6\}\). Option C wrongly includes 8 which is not in \(U\); option B is just \(A\) itself; option D contains 9 which belongs to \(A\). Exam tip: always check membership relative to the given universal set—do not introduce elements outside \(U\).
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्व जो \(A\) में नहीं हैं. इसलिए \(A=U\setminus A'=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,6\}=\{1,3,4,5\}\). विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(A'\) ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 2 शामिल है और 4,5 गायब हैं; विकल्प D भी गलत है क्योंकि इसमें 6 है जबकि 6 पूरक में है। परीक्षा-टिप: किसी सेट का पूरक दिया हो तो मूल सेट पाने के लिए पूरक के तत्वों को यूनिवर्सल सेट से हटा दें। / By definition, the complement \(A'\) contains elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). So \(A=U\setminus A'=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,6\}=\{1,3,4,5\}\). Option A is just the complement itself, option C wrongly includes 2 and omits 4 and 5, and option D incorrectly keeps 6. Exam tip: to recover a set from its complement, subtract the complement's elements from the universal set.
समुच्चय का पूरक (relative to U) वे सभी तत्व होते हैं जो U में हैं पर A में नहीं। U में चार फल हैं: सेब, केला, अंगूर, आम; A में सेब और आम हैं। इसलिए U के वे तत्व जो A में नहीं हैं केवल केला और अंगूर हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें आम शामिल है जो A में ही है; विकल्प D (∅) गलत है क्योंकि पूरक खाली नहीं है। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय सीधे "U से A के तत्व घटा दें"। / The complement of A (relative to U) consists of all elements in U that are not in A. Here U has {apple, banana, grapes, mango} and A has {apple, mango}, so the elements in U but not in A are banana and grapes. Thus option B is correct. Option A is just A itself; option C wrongly includes mango which is in A; option D (∅) is incorrect because the complement is not empty. Exam tip: compute A' by removing A's elements from U (U \ A).
A' का अर्थ है U में वह सभी तत्व जो A में नहीं हैं. U \,minus A = {6,7,8,9}. इनमें सबसे बड़ा तत्व 9 है। निकट भ्रमकर्ता 8 गलत है क्योंकि 9 उससे बड़ा है। परीक्षा टिप: तुरंत U से A घटाएँ \(U\A\) और सबसे बड़ा अंक चुनें। / A' means all elements of U that are not in A. U\A = {6,7,8,9}, so the largest element is 9. The close distractor 8 is incorrect because 9 is greater. Exam tip: compute U minus A to get the complement, then pick the maximum element quickly.
परिशिष्ट की परिभाषा के अनुसार \(A'=U\setminus A\) होता है। यदि \(A=U\) है तो \(U\setminus A=\varnothing\) अर्थात् रिक्त समुच्चय मिलता है, जिसमें कोई तत्व नहीं होते। इसलिए \(A'\) में तत्वों की संख्या 0 है। विकल्प C (4) गलत है क्योंकि वह \(|U|\) यानी मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है, पर परिशिष्ट में वे नहीं आते। परीक्षा टिप: परिशिष्ट निकालने के लिए हमेशा लिखें \(A'=U\setminus A\) और देखा कि क्या कुछ तत्व बचते हैं। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\). If \(A=U\), then \(U\setminus A=\varnothing\), the empty set, which has no elements. Therefore the number of elements in \(A'\) is 0. Option C (4) is incorrect because 4 is \(|U|\), the size of the universal set, not the size of the complement. Exam tip: write the complement as \(U\setminus A\) on paper to check whether any elements remain outside \(A\).
A का पूरक (A') वह सेट है जिसमें वे सभी सदस्य आते हैं जो यूनिवर्सल सेट U में तो हैं पर A में नहीं। गणना: U
= {नीला, हरा, पीला, गुलाबी}, A = {हरा, गुलाबी} ⇒ A' = U
A = {नीला, पीला}. इसलिए सही उत्तर {नीला, पीला} है। पास का भ्रम (option D) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें पीला सही है पर गुलाबी A का सदस्य है — अतः वह पूरा पूरक नहीं है। परिक्षा सलाह: U को लिखकर A के सदस्यों पर रेखा खींच दें; जो बचे वे A' होंगे। / The complement A' consists of elements that are in the universal set U but not in A. Here U = {blue, green, yellow, pink} and A = {green, pink}, so A' = U \ A = {blue, yellow}. Thus option B is correct. The closest distractor (option D) is wrong because it mixes one correct element (yellow) with pink, which belongs to A, so it is not the full complement. Exam tip: list U, cross out elements of A, and the remaining elements form A'.
पूरक का अर्थ है U के वे तत्व जो T में नहीं हैं। इसलिए \(T'=U\setminus T=\{1,2,4,5,7,8\}\)। 6 मूल समुच्चय T का सदस्य है, अतः यह T' में नहीं होगा। निकटवर्ती भ्रम के बावजूद (जैसे 8) वह T में नहीं है इसलिए T' में शामिल है। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए सीधे U से T के तत्व घटा दें। / The complement consists of elements of U that are not in T. Thus \(T'=U\setminus T=\{1,2,4,5,7,8\}\). The number 6 is in T, so it cannot be in the complement. A common distractor is 8, but 8 is not in T so it correctly belongs to T'. Exam tip: quickly form the complement by removing all elements of T from U and list what remains.
कम्प्लीमेंट को लिखें: \(A'=U\setminus A=\{2,3,5,7\}\). इन में से 5 से कम केवल 2 और 3 हैं, अतः संख्या 2। नज़दीकी भ्रम (3) इसीलिए गलत है क्योंकि वह 5 को भी गिन लेता है जबकि 5, 5 से छोटा नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पूरा कम्प्लीमेंट लिखें और कड़ी असमानता (<) पर ध्यान दें। / Write the complement: \(A'=U\setminus A=\{2,3,5,7\}\). Among these, only 2 and 3 are less than 5, so the count is 2. The closest distractor (3) mistakenly counts 5 as well; note that 5 is not less than 5. Exam tip: always list the complement explicitly and apply the strict inequality (<) carefully.
किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। यहाँ \(A'=U\setminus A=\{4,6,8\}\)। फिर \((A')'=U\setminus(A')=U\setminus\{4,6,8\}=\{2,10\}\), जो मूल समुच्चय \(A\) के बराबर है। ध्यान दें कि विकल्प B केवल \(A'\) है न कि \((A')'\), और विकल्प C पूरा सार्वभौमिक समुच्चय है जो गलत होगा। परीक्षा टिप: दोहरी पूरक का नियम याद रखें: \((A')'=A\) या चरण-दर-चरण पूरक निकालकर जाँच करें। / Complement is taken with respect to the universal set. Here \(A'=U\setminus A=\{4,6,8\}\). Then \((A')'=U\setminus(A')=U\setminus\{4,6,8\}=\{2,10\}\), which equals the original set \(A\). Note that option B equals \(A'\) (the single complement), not the double complement, and option C is the entire universal set which is incorrect. Exam tip: use the identity \((A')'=A\) or compute complements stepwise to avoid mistakes.
एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ \(1\) से \(9\) तक हैं, यानी \(U=\{1,2,\dots,9\}\)। सेट \(A=\{2,4,6,8\}\) को हटाने पर वे तत्त्व बचते हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं — अर्थात् \(\{1,3,5,7,9\}\)। विकल्प B में \(0\) है, पर यहाँ परिभाषित यूनिवर्सल सेट में \(0\) शामिल नहीं है, इसलिए B गलत है। C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं (C वही A है, D खाली सेट)। परीक्षा टिप: किसी भी कॉम्प्लिमेंट प्रश्न में पहले यूनिवर्सल सेट स्पष्ट रूप से लिखें और फिर उससे दिए गए सेट के तत्त्व घटाएँ। / One-digit natural numbers are \(1\) to \(9\), so \(U=\{1,2,\dots,9\}\). Removing the elements of \(A=\{2,4,6,8\}\) from \(U\) leaves exactly the odd digits \(\{1,3,5,7,9\}\), which is \(A'\). Option B is incorrect because it includes \(0\), which is not in the given universal set; option C is just \(A\) itself and D is the empty set, so both are wrong. Exam tip: Always list the universal set elements first, then subtract the set given to find the complement.
B = A' है, अतः B' = (A')' होता है। किसी सेट का दो बार संबंधित पूर्णपूरक (double complement) मूल सेट देता है: (A')' = A। इसलिए B' = A = {2,5,7}। सबसे भ्रमित करने वाला विकल्प {1,3,4,6} वास्तव में A का पूर्णपूरक (यानी B) है, न कि B'। परीक्षा टिप: पूर्णपूरक का दोहरा लागू करने पर मूल सेट ही मिलता है — यह अक्सर त्वरित उत्तर के लिए उपयोगी है। / Since B = A', we have B' = (A')'. By the double-complement law (the complement of the complement is the original set), (A')' = A. Therefore B' = A = {2,5,7}. The tempting distractor {1,3,4,6} is A's complement (B itself), not B'. Exam tip: use (A')' = A to find complements quickly under a given universal set.
पूरक की परिभाषा: A' = U extbackslash A, अर्थात् वे तत्व जो U में हैं पर A में नहीं। U से A के तत्व {10,20,30} हटा देने पर शेष तत्व {5,15,25} मिलते हैं, इसलिए A' = {5,15,25}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, न कि उसका पूरक; विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 10 शामिल है जो A में आता है; विकल्प D गलत है क्योंकि इसमें 5 और 15 गायब हैं। परीक्षा टिप: जब यूनिवर्सल सेट दिया हो, तो सीधे U के तत्वों में से A के तत्व घटा दें। / Definition: A' = U \ A, the elements in U that are not in A. Removing A = {10,20,30} from U leaves {5,15,25}, so A' = {5,15,25}. Option B is just A (not its complement); option C wrongly includes 10 which belongs to A; option D omits 5 and 15. Exam tip: To find a complement relative to U, subtract A's elements from U one-by-one.
किसी सेट और उसके पूर्णपूरक (complement) में समान तत्व नहीं होते। यहाँ \(A'=\{2,3,4,5\}\) है और \(A=\{1,6\}\) है, अत: दोनों का योगांतर (intersection) खाली सेट होता है: \(A'\cap A=\emptyset\)। विकल्प (B) सिर्फ \(A'\) को दर्शाता है — वह \(A\) के साथ किसी सामान्य तत्व को साझा नहीं करता — इसलिए वह गलत है। परीक्षा की टिप: हमेशा याद रखें कि \(A\cap A'=\emptyset\) और \(A\cup A'=U\)। / A set and its complement have no common elements. Here \(A'=\{2,3,4,5\}\) and \(A=\{1,6\}\), so their intersection is the empty set: \(A'\cap A=\emptyset\). Option B lists \(A'\) itself, which does not share elements with \(A\), so it is not the intersection. Exam tip: remember the identities \(A\cap A'=\emptyset\) and \(A\cup A'=U\).
समुच्चय के परिशिष्ट का गुणनफल है कि \(A'\) में वे सदस्य होते हैं जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में हैं परंतु \(A\) में नहीं। इसलिए \(n(A')=n(U)-n(A)=30-11=19\)। विकल्प A (11) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह \(A\) का आकार है, पर \(A'\) नहीं। विकल्प C (30) गलत है क्योंकि वह पूरे सार्वभौमिक समुच्चय का आकार है, न कि परिशिष्ट का। विकल्प D (41) भी गलत है (यह जोड़ का गलत परिणाम है)। परीक्षा टिप: किसी सेट का परिशिष्ट निकालते समय हमेशा फॉर्मूला \(n(A')=n(U)-n(A)\) याद रखें और संकेतों पर ध्यान दें। / The complement of A contains elements in the universal set U but not in A, so its size is found by \(n(A')=n(U)-n(A)=30-11=19\). Option A (11) confuses the complement with the size of A. Option C (30) is the size of the whole universe, not the complement. Option D (41) is an incorrect sum. Exam tip: use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\) and check whether you should subtract or add when working with complements and unions.
A और B के सम्मिलन का गुणा-फल नियम उपयोग करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+16-6=30\). यूनिवर्स में कुल \(50\) तत्व हैं, अतः जो न A में हों और न B में हों = \(n(U)-n(A\cup B)=50-30=20\). इसलिए उत्तर 20 है। विकल्प C (30) अक्सर भ्रम पैदा करता है क्योंकि वह A∪B की संख्या है — प्रश्न ने 'neither' (दोनों में नहीं) पूछा है, न कि A∪B. परीक्षा-सुझाव: पहले \(A\cup B\) निकालें, फिर उसे \(U\) से घटाएँ। / Use the inclusion-exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+16-6=30\). Since the universal set has 50 elements, the number in neither A nor B = \(n(U)-n(A\cup B)=50-30=20\). Thus 20 is correct. Option C (30) is a common distractor — it equals the size of A∪B, not the size of the complement. Exam tip: compute A∪B first, then subtract from n(U) to get neither.
सही उत्तर इसलिए: पूरक का क्रमफल दिया जाता है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(A')=38-16=22\)। अन्य विकल्प क्यों गलत हैं: 16 केवल सेट A का तत्व-गण है, 38 सम्पूर्ण समूह U की संख्या है, और 54 गलत है (यह जोड़ने पर आता है)। परीक्षात्मक सुझाव: पूरक निकालते समय हमेशा \(n(U)-n(A)\) फार्मूला याद रखें और पहले दोनों मान सही प्रकार से पहचान लें। / Why this is correct: The number in the complement is given by \(n(A')=n(U)-n(A)\). So \(n(A')=38-16=22\). Why other options are wrong: 16 is the size of A, not its complement; 38 is the size of the universal set U; 54 is incorrect (would result from adding). Exam tip: Always apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) and verify you are subtracting from the universal set count.
पूर्ण पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्त्व जो सेट \(A\) में नहीं हैं, यानी \(A'=U\setminus A\)। यहाँ \(U\) से \(A\) के तत्त्व \(1,4,6\) हटा दें तो शेष \(2,3,5\) बचते हैं। अतः \(A'=\{2,3,5\}\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(A\) स्वयं है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा यूनिवर्सल सेट है, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट तभी होगा जब \(A=U\) होता। परीक्षा टिप: हमेशा \(U\) के तत्त्व में से \(A\) के तत्त्व काटकर शेष लिखें। / The complement of A means the elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A'=U\setminus A\). Removing \(1,4,6\) (elements of A) from U leaves \(2,3,5\). Therefore \(A'=\{2,3,5\}\). Option A is wrong because it is A itself, option C is wrong because it is the whole universal set U, and option D is wrong because the empty set would be the complement only if A=U. Exam tip: to find a complement, cross out A's elements from U and list what remains.
पहले संघ निकालें: \(A\cup B = \{a,b,c,d\}\). यूनिवर्स सेट U में से उन तत्वों को लें जो इस संघ में नहीं हैं: अर्थात् \((A\cup B)' = U - (A\cup B) = \{e,f\}\). विकल्प B (\{a,c\}) सबसे भ्रामक है क्योंकि उसमें ऐसे तत्व हैं जो संघ में हैं; पूरक में केवल उन तत्वों को होना चाहिए जो संघ में नहीं हैं। परीक्षा‑टिप: रणनीति—पहले \(A\cup B\) लिखें, फिर U के संदर्भ में उसके पूरक के तत्व चुनें। / Compute the union first: \(A\cup B = \{a,b,c,d\}\). The complement relative to U consists of elements of U not in that union, so \((A\cup B)' = U\setminus(A\cup B) = \{e,f\}\). Distractor B (\{a,c\}) is tempting but incorrect because it contains elements that belong to the union; complements must contain only elements outside the union. Exam tip: always find the union, then list elements of U not in that union to get the complement.
यदि \(n(U)=64\), केवल \(A\) में 18 तत्त्व हैं, \(A\cap B\) में 12 तत्त्व हैं और केवल \(B\) में 20 तत्त्व हैं, तो बाहरी क्षेत्र (यानी \(U\) में परन्तु \(A\cup B\) के बाहर) में कितने तत्त्व होंगे?
\(A\cup B\) के भीतर आने वाले हिस्से हैं: केवल \(A\)=18, केवल \(B\)=20 और साझा भाग \(A\cap B\)=12। इसलिए \(A\cup B\) में कुल तत्त्व = \(18+12+20=50\)। कुल यूनिवर्स सेट \(n(U)=64\) है, अतः बाहर के तत्त्व = \(64-50=14\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 50 इसलिए गलत है क्योंकि वह वास्तव में \(A\cup B\) के भीतर के तत्त्वों की संख्या है न कि बाहर की। परीक्षात्मक टिप: पहले \(A\cup B\) का मान निकालें \(केवल A + केवल B + A\cap B\) और फिर उसे \(n(U)\) से घटाएँ। / The regions inside \(A\cup B\) are: only A = 18, only B = 20, and the intersection \(A\cap B\) = 12. So size of \(A\cup B\) = \(18+12+20=50\). Since \(n(U)=64\), the outside (complement) has \(64-50=14\) elements. The closest distractor 50 is incorrect because it counts the elements inside the union, not outside. Exam tip: compute the union total first and subtract from \(n(U)\) to get the complement count.
कोई भी तत्व \(x\in U\) के लिए या तो \(x\in A\) होगा या \(x\notin A\) होगा (यही \(A'\) की परिभाषा है)। यदि \(x\in A\) तो \(x\in A\cup A'\) और यदि \(x\notin A\) तो \(x\in A'\) इसलिए फिर भी \(x\in A\cup A'\)। अतः हर \(x\in U\) भी \(x\in A\cup A'\) होगा, यानी \(U\subseteq A\cup A'\)। दूसरी ओर \(A\cup A'\) का कोई भी तत्व स्वाभाविक रूप से \(U\) में है, इसलिए \(A\cup A'=U\)। विकल्प \(A\) नजदीकी भ्रामक है क्योंकि \(A\) केवल उन तत्वों का समूह है जो खुद सेट \(A\) में हैं, पर \(A\cup A'\) में \(A\) के बाहर के तत्व भी आते हैं। परीक्षा टिप: तत्व-आधारित तर्क (element-wise proof) या वेन आरेख में शेडिंग से यह पहचानना तेज होता है। / For any element \(x\in U\) either \(x\in A\) or \(x\notin A\) (the latter means \(x\in A'\)). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup A'\); if \(x\notin A\) then \(x\in A'\) so again \(x\in A\cup A'\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\cup A'\), so \(U\subseteq A\cup A'\). The reverse inclusion is obvious, hence \(A\cup A'=U\). Option \(A\) is a common distractor: \(A\) may be a proper subset of \(U\), so it cannot equal the union with its complement. Exam tip: use an element-wise argument or shade the Venn diagram to verify quickly.
यदि \(A'\) को A का पूरक माना जाए तो \(A'\) में वे ही तत्व होते हैं जो A में नहीं हैं। कोई भी तत्व एक ही समय पर किसी सेट और उसके पूरक दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A' = \varnothing\)। सबसे नज़दीकी भ्रम पैदा करने वाला विकल्प \(A'\) है, पर वह A का पूरक है न कि दोनों का इंटरसेक्शन। परीक्षा-सुझाव: सेट और उसके पूरक का इंटरसेक्शन हमेशा शून्य समुच्चय होता है — यह सूत्र याद रखें। / By definition, \(A'\) (the complement of A) contains exactly those elements not in A. No element can belong to both A and its complement simultaneously, so \(A\cap A' = \(\varnothing\)\). The closest distractor is \(A'\), but that denotes all elements outside A, not the intersection of A and its complement. Exam tip: remember that a set intersected with its complement is always the empty set.
समुच्चय के गुणों के अनुसार \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=45+40-15=70\)। किसी समुच्चय का अतिरिक्त (complement) लेने पर कुल से उसे घटाते हैं: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=100-70=30\)। विकल्प C (70) केवल \(A\cup B\) की संख्या है, यह अतिरिक्त नहीं है; विकल्प B (40) शायद केवल \(B\) की संख्या है — यह भी गलत तर्क है। परीक्षा संकेत: पहले हमेशा \(n(A\cup B)\) का मान निकालें फिर अतिरिक्त के लिए \(n(U)-n( \, )\) का उपयोग करें। / By the union formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(n(A\cup B)=45+40-15=70\). The complement count is total minus this: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=100-70=30\). Option C (70) gives the size of \(A\cup B\), not its complement; option B (40) is just \(n(B)\) and is not the complement. Exam tip: compute \(n(A\cup B)\) first, then subtract from \(n(U)\) for complements.
जो क्षेत्र न A में है न B में है वह \((A\cup B)'\) है। सार्वभौमिक सेट में कुल अवयव \(n(U)=92\) हैं और \(A\cup B\) में \(67\) अवयव हैं। इसलिए
\(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=92-67=25\).
नज़दीकी विक्षेपक (67) गलत है क्योंकि वह यूनियन का मान है, न कि यूनियन के बहिष्कृत क्षेत्र का। परीक्षा सुझाव: किसी भी बार आपसे "neither...nor" पूछा जाए तो उसे \((A\cup B)'\) के रूप में लिखें और कुल से यूनियन घटा दें। / The region neither in A nor in B is \((A\cup B)'\). The universal set has \(n(U)=92\) elements and \(A\cup B\) has 67 elements. Hence
\(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=92-67=25\).
The closest distractor 67 is incorrect because it gives the size of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: translate "neither...nor" to \((A\cup B)'\) and subtract from the universal total.
पहले \(A\cup B=\{a,c,d,e,f\}\) मिलता है क्योंकि दोनों सेटों के सारे तत्व मिलाकर यह समूह बनता है। अब इसका पूरक \((A\cup B)'\) यूनिवर्सल सेट \(U\) के उन तत्वों का समूह होगा जो \(A\cup B\) में नहीं हैं, यानी \{b,h\}। विकल्प C गलती से \(c\) को निकालकर बची हुई सूची दिखाता है जबकि \(c\) वास्तव में \(A\cup B\) में है; विकल्प B और D भी स्पष्टतः गलत हैं (B में \(c\) जो यूनियन में है, D पूरा यूनिवर्सल दिखाता)। परीक्षा टिप: पहले यूनियन साफ़ लिखें, फिर यूनिवर्सल से घटाएँ। / First compute the union: \(A\cup B=\{a,c,d,e,f\}\). The complement \((A\cup B)'\) consists of elements of the universal set \(U\) not in the union, so it is \{b,h\}. Option C shows elements of the union except \(c\) (a common mistake), option B incorrectly picks \(c\) which belongs to the union, and option D is the entire universal set, not a complement. Exam tip: write the union explicitly, then subtract those elements from \(U\).
पूरक का मूल विचार: किसी उपसमूह A का पूरक A' यूनिवर्स U के वे तत्त्व हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए तत्त्वों की संख्या के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(A')=72-29=43\)। विकल्प 29 गलत है क्योंकि वह \(n(A)\) है (A के तत्त्व), न कि A' का मान। परीक्षा सुझाव: पूरक के लिए हमेशा सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) याद रखें और पहले यूनिवर्स व उपसमूह की संख्याएँ सत्यापित करें। / Core concept: the complement A' contains elements of the universal set U that are not in A, so sizes satisfy \(n(A')=n(U)-n(A)\). Thus \(n(A')=72-29=43\). Option 29 is incorrect because it gives \(n(A)\), not the complement. Exam tip: Memorize and apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) and check which number refers to U and which to A before subtraction.
पहला चरण संघ निकालना है: \(A\cup B=\{a,b,c,e,g\}\). अब यूनिवर्स सेट U में से इस संघ के तत्वों को निकाल दें तो पूरक बचता है: \((A\cup B)'=U-(A\cup B)=\{d\}\). विकल्प B संघ (पूरक नहीं) दिखाता, इसलिए गलत है। परिक्षा टिप: पहले हमेशा \(A\cup B\) लिखकर फिर यूनीवर्स से घटाव करें या छोटा वेन आरेख बनाएं। / First find the union: \(A\cup B=\{a,b,c,e,g\}\). The complement relative to U is the elements of U not in that union, so \((A\cup B)'=U-(A\cup B)=\{d\}\). Option B lists the union itself (not the complement), so it is incorrect. Exam tip: compute the union first then subtract from U, or draw a quick Venn diagram to avoid missing elements.
पहला कदम संघ का मान निकालना है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+47-20=85\). यूनिवर्स में से उस संघ के तत्वों को घटाने से पूरक मिलती है: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-85=25\). विकल्प B (85) केवल \(A\cup B\) का आकार है, पर प्रश्न पूरक मांगता है, इसलिए B गलत है। C (90) और D (105) गलत हैं क्योंकि वे गणना में त्रुटि दर्शाते हैं (उदाहरण: 105 = 58+47 बिना अन्तराल घटाए)। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(A\cup B\) का मान ढूँढें फिर यूनिवर्स से घटाएँ ताकि पूरक ठीक मिले। / Compute the union first: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+47-20=85\). The complement has size equal to the universe minus the union: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-85=25\). Option B (85) is the size of \(A\cup B\), not its complement. Options C (90) and D (105) arise from incorrect arithmetic (e.g. 105 = 58+47 without subtracting the intersection). Exam tip: always find \(n(A\cup B)\) using the inclusion–exclusion formula, then subtract from \(n(U)\) to get the complement.
\((A\cap B)'\) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cap B\) के सभी तत्वों को हटा कर बचे हुए तत्व। इसलिए गणना है \(n((A\cap B)')=n(U)-n(A\cap B)=96-34=62\)। विकल्प (A) यानी 34 केवल साझा भाग की संख्या है, (C) 96 पूरा यूनिवर्सल सेट है न कि कॉम्प्लीमेंट, और (D) 130 असंभव है क्योंकि यह \(U\) की कुल संख्या से अधिक है। परीक्षा युक्ति: किसी कॉम्प्लीमेंट का अर्थ हमेशा उस यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष होता है—पहले यह स्पष्ट कर लें। / \((A\cap B)'\) consists of all elements of the universal set \(U\) except those in \(A\cap B\). So \(n((A\cap B)')=n(U)-n(A\cap B)=96-34=62\). Option A (34) is just the size of the intersection, C (96) is the size of the whole universe, and D (130) is impossible because it exceeds \(n(U)\). Exam tip: always subtract the intersection from the universal set when finding the complement relative to \(U\).
पहले सेटों को लिखें: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{2,4,6,8\}\). अंतरण (intersection) उन तत्वों का सेट है जो दोनों में उपस्थित हों। दोनों में सामान्य तत्व \{2,4,6\} हैं, इसलिए \(A\cap B=\{2,4,6\}\). विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 8 है जो A में नहीं है; विकल्प B केवल विषम संख्याएँ देता है; विकल्प D अतिरिक्त 8 और पुनरावृत्ति देता है। परीक्षा टिप: सीमित (finite) सेटों के लिए पहले दोनों सेटों के सदस्य लिख/crank कर लें और सामान्य (common) सदस्यों को चुनें। / Write the sets explicitly: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(B=\{2,4,6,8\}\). The intersection is the set of elements common to both, which are \{2,4,6\}. So \(A\cap B=\{2,4,6\}\). Option C is incorrect because it includes 8, which is not in A; option B lists only odd numbers; option D incorrectly adds extra elements. Exam tip: For finite sets list their elements and pick the common ones to find the intersection quickly.
A का पूरक A′ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो सार्वत्रिक समुच्चय U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं। U में से 1, 3 और 5 हटाने पर 2 और 4 बचते हैं, इसलिए A′ = {2, 4}। विकल्प B, A का ही समुच्चय है, पूरक नहीं। परीक्षा-सुझाव: पूरक ज्ञात करते समय सबसे पहले सार्वत्रिक समुच्चय U को देखें। / The complement A′ consists of all elements that belong to the universal set U but do not belong to A. Removing 1, 3, and 5 from U leaves 2 and 4, so A′ = {2, 4}. Option B is the set A itself, not its complement. Exam tip: Always identify the universal set before finding a complement.
(A) में (12) के भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं, इसलिए बाकी अवयव (A') में आते हैं। पहले शर्त से (A) बनाएं। / (A) contains the divisors (1,2,3,4,6,12) of (12), so the remaining elements are in (A'). First form (A) from the condition.
(B') में (U) से (B) के अवयव हटाए जाते हैं। पूरक निकालते समय बाहरी समुच्चय को (U) मानें। / (B') is found by removing elements of (B) from (U). While finding complement, treat (U) as the outer set.
A. \((W'={\)सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार})/\((W'={\)Monday,Tuesday,Wednesday,Thursday,Friday})
Explanation
Simple Explanation
(W) सप्ताहांत के दिनों का समुच्चय है, इसलिए (W') में बाकी पांच दिन आएंगे। पूरक हमेशा (U) के संदर्भ में निकालें। / (W) is the set of weekend days, so (W') contains the other five days. Always find complement with respect to (U).
(A) में (4) और (8) हैं, इसलिए शेष (2,6,10) पूरक में होंगे। गलती से (A) को ही उत्तर न मानें। / Since (A) has (4) and (8), the remaining (2,6,10) are in the complement. Do not mistakenly choose (A) itself.
\(A\cup B={1,2,3,4,6,7}\), इसलिए (U) में बचे (5,8,9) पूरक हैं। पहले संघ निकालना जरूरी है। / \(A\cup B={1,2,3,4,6,7}\), so the remaining (5,8,9) in (U) are the complement. Finding the union first is necessary.
यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) है और (A) हटाने पर (4,5,6) बचते हैं। \(\mathbb{N}\) की सीमा ध्यान से पढ़ें। / Here \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), and after removing (A), (4,5,6) remain. Read the limit of \(\mathbb{N}\) carefully.
पहला कदम है प्रतिच्छेद लेना: \(A\cap B=\{2,4\}\). अब इसका पूर्णांक (कम्प्लीमेंट) यूनिवर्स \(U\) के सापेक्ष है, यानी \(U-\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8,9,10\}\). इसलिए उत्तर \(\{1,3,5,6,7,8,9,10\}\) है। नज़दीकी भ्रांतियाँ: विकल्प B सिर्फ प्रतिच्छेद ही है (कम्प्लीमेंट नहीं), विकल्प C \(B\) का कम्प्लीमेंट है, और विकल्प D \(A\cup B\) है। परीक्षा टिप: पहले हमेशा \(\cap\) या दिए गए ऑपरेशन को पूरा कर लें, फिर कम्प्लीमेंट लें और यूनिवर्स को ध्यान में रखें। / First compute the intersection: \(A\cap B=\{2,4\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \(U-\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8,9,10\}\). Hence the correct answer is \(\{1,3,5,6,7,8,9,10\}\). Why other options are wrong: B is just the intersection, C is the complement of B (not of \(A\cap B\)), and D is the union \(A\cup B\). Exam tip: always perform the intersection (or the inner operation) first, then take the complement relative to the given universal set.
(U) में (-2,-1,0,1,2) हैं और (A) हटाने पर (-2,2) बचते हैं। अंतराल की दोनों सीमाएं शामिल हैं। / (U) contains (-2,-1,0,1,2), and removing (A) leaves (-2,2). Both endpoints of the interval are included.
किसी सेट और उसके पूरक के तत्वों की संख्या का संबंध है \(n(A)+n(A')=n(U)\)। अतः \(n(A)=n(U)-n(A')=64-19=45\)। विकल्प D (64) सबसे नज़दीकी भ्रामक उत्तर है पर वह केवल तब सही होगा जब \(A'\) में कोई तत्व न हो; यहाँ \(A'\) में 19 तत्व दिए गए हैं। विकल्प C (19) पूरक का मान है, न कि मूल सेट का। विकल्प B (83) गलत जोड़ (64+19) है और अर्थहीन है। परीक्षा टिप: पूरक का उपयोग करते समय हमेशा नियम \(n(A)+n(A')=n(U)\) याद रखें और घटाव करें। / For any set and its complement, the relation is \(n(A)+n(A')=n(U)\). Therefore \(n(A)=n(U)-n(A')=64-19=45\). Option D (64) is the nearest distractor but would be correct only if the complement had zero elements; here \(A'\) has 19 elements. Option C (19) is the size of the complement, not of \(A\). Option B (83) is an incorrect sum (64+19). Exam tip: Memorize and apply \(n(A)+n(A')=n(U)\) — if you know two quantities, subtract to get the third.
परिभाषा के अनुसार \(A'\) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में जो तत्व \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A' = U\), तो यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व \(A\) में नहीं हैं — इसका अर्थ है कि \(A\) में कोई तत्व नहीं है, यानी \(A=\varnothing\)। विकल्प (B) गलत है क्योंकि यदि \(A=U\) होता तो \(A' = \varnothing\) होता न कि \(U\)। विकल्प (C) केवल तब संभव हो सकता है जब दोनों \(A\) और \(U\) ख़ास अवस्थाओं में हों (जैसे \(U=\varnothing\)) — सामान्य रूप से यह सही नहीं है। विकल्प (D) सीधे विरोधाभासी है क्योंकि \(A' = U\) होने पर \(A\) खाली होना चाहिए। परीक्षा टिप: याद रखें कि किसी सेट का पूरक पूरी तरह उस सेट में न होने वाले यूनिवर्सल तत्वों का समूह होता है; यदि पूरक यूनिवर्सल है तो मूल सेट शून्यसमूह होता है। / By definition, \(A'\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A' = U\), every element of \(U\) is not in \(A\), so \(A\) contains no elements; hence \(A=\varnothing\). Option B is wrong because if \(A=U\) then \(A' = \varnothing\), not \(U\). Option C (\(A=A'\)) is not generally true — it would force special cases (e.g., only possible if \(U=\varnothing\)), so it's not the required conclusion. Option D contradicts the given condition. Exam tip: remember complements swap empty and universal: \((\varnothing)'=U\) and \(U'=\varnothing\); use this to check answers quickly.
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। याद रखें \(\varnothing'=U\)। / The empty set has no elements, so its complement is the whole (U). Remember \(\varnothing'=U\).
(A') में (1) से (14) तक की सम संख्याएं आएंगी, जिनकी संख्या (7) है। विषम का पूरक यहां सम है। / (A') contains the even numbers from (1) to (14), and their count is (7). Here the complement of odd is even.
यदि \(A' = U\setminus A\), तो \((A')' = U\setminus(U\setminus A)=A\)। इसलिए किसी समुच्चय का पूरक लेने के बाद फिर से पूरक लेने पर मूल समुच्चय प्राप्त होता है। विकल्प \(A'\) केवल पहली बार लिए गए पूरक को दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दोहरे पूरक का नियम याद रखें—\((A')'=A\)। / If \(A' = U\setminus A\), then \((A')' = U\setminus(U\setminus A)=A\). Thus, taking the complement twice returns the original set. The option \(A'\) represents only the first complement, so it is not correct. Exam tip: remember the double-complement law, \((A')'=A\).
यदि (A') दिया हो, तो (U) से (A') हटाकर (A) मिलता है। पूरक उल्टा पढ़ने पर भी (U) जरूरी है। / If (A') is given, removing (A') from (U) gives (A). Even in reverse complement questions, (U) is necessary.
(V') में (e,o) हैं, इसलिए (U) में बचे (a,i,u) ही (V) हैं। ऐसे प्रश्नों में दिए गए पूरक को पहले हटाएं। / (V') contains (e,o), so the remaining (a,i,u) in (U) form (V). In such questions, first remove the given complement.
(A) सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम संख्याएं होंगी। सेट-बिल्डर में शर्त को ध्यान से पढ़ें। / (A) is the set of even numbers, so the complement contains odd numbers. Read the condition in set-builder form carefully.
(A) में (5) से छोटी संख्याएं (1,2,3,4) हैं, इसलिए पूरक (5) से शुरू होगा। असमानता (x<5) में (5) शामिल नहीं होता। / (A) contains numbers less than (5), namely (1,2,3,4), so the complement starts from (5). The inequality (x<5) does not include (5).
(A) में (7,8,9,10) हैं, इसलिए पूरक (1) से (6) तक है। \(x\ge 7\) में (7) भी (A) में आएगा। / (A) contains (7,8,9,10), so the complement is from (1) to (6). In \(x\ge 7\), (7) is also in (A).
समुच्चय A में 4 अवयव हैं और सार्वत्रिक समुच्चय U में कुल 12 अवयव हैं। इसलिए A के पूरक A' में U के वे अवयव होंगे जो A में नहीं हैं, अतः n(A') = n(U) − n(A) = 12 − 4 = 8। विकल्प 4, A के अवयवों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा में पूरक की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल अवयवों में से मूल समुच्चय के अवयव घटाएँ। / Set A has 4 elements, while the universal set U has 12 elements. The complement A' contains the elements of U that are not in A, so n(A') = n(U) − n(A) = 12 − 4 = 8. Option 4 is the number of elements in A, not in its complement. Exam tip: subtract the cardinality of the set from that of the universal set to find the cardinality of its complement.
किसी समुच्चय के पूरक के अवयवों की संख्या का सूत्र n(A')=n(U)-n(A) है। अतः n(A')=30-18=12। विकल्प 48 जोड़ने से प्राप्त होता है, जबकि पूरक ज्ञात करने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से n(A) घटाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: सीमित समुच्चय के लिए n(A)+n(A')=n(U) याद रखें। / The number of elements in the complement is given by n(A')=n(U)-n(A). Therefore, n(A')=30-18=12. The value 48 results from addition, but the complement is found by subtracting the number of elements in A from the universal set. Exam tip: Remember n(A)+n(A')=n(U) for a finite universal set.
पूरक समुच्चय के गुण के अनुसार \(n(A)+n(A')=n(U)\)। इसलिए \(n(A)=50-22=28\)। अतः सही उत्तर 28 है। 22 केवल पूरक समुच्चय की cardinality है, जबकि 50 पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality है। परीक्षा-युक्ति: पूरक से संबंधित प्रश्नों में \(n(A)=n(U)-n(A')\) सूत्र याद रखें। / For a set and its complement, \(n(A)+n(A')=n(U)\). Therefore, \(n(A)=50-22=28\), so the correct answer is 28. The value 22 is the cardinality of the complement, while 50 is the cardinality of the universal set. Exam tip: remember the direct formula \(n(A)=n(U)-n(A')\) when the complement is given.
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A'\) एक-दूसरे से असंयुक्त होते हैं और मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A')=15+35=50\)। विकल्प 35 केवल \(A'\) के सदस्यों की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: \(A\cup A'=U\) और \(n(U)=n(A)+n(A')\) का उपयोग करें। / The set \(A\) and its complement \(A'\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Therefore, \(n(U)=n(A)+n(A')=15+35=50\). The value 35 represents only the number of elements in \(A'\). Exam tip: use \(A\cup A'=U\) and hence \(n(U)=n(A)+n(A')\).
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} प्राप्त होता है। U में मौजूद लेकिन A ∪ B में न आने वाला एकमात्र अवयव 6 है, इसलिए (A ∪ B)′ = {6}। विकल्प B संघ को ही दर्शाता है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले संघ या प्रतिच्छेद निकालें, फिर दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक लें। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. The only element of U that is not in A ∪ B is 6, so (A ∪ B)′ = {6}. Option B gives the union itself, not its complement. Exam tip: Find the required union or intersection first, then take its complement with respect to the universal set.
पहले दोनों समुच्चयों के सामान्य अवयव लेते हैं: \(A\cap B=\{b,d\}\)। अब \(U\) में से \(b\) और \(d\) हटाने पर \((A\cap B)'=U\setminus\{b,d\}=\{a,c,e\}\) मिलता है। विकल्प B केवल प्रतिच्छेद है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के अवयवों में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ। / First find the common elements: \(A\cap B=\{b,d\}\). The complement is taken within \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus\{b,d\}=\{a,c,e\}\). Option B is only the intersection, not its complement. Exam tip: for a complement, subtract every element of the given set from the universal set.
(A'={5,6}) और (B'={1,2,6}), इसलिए प्रतिच्छेद ({6}) है। पूरक अलग-अलग निकालकर मिलाएं। / (A'={5,6}) and (B'={1,2,6}), so the intersection is ({6}). Find complements separately and then combine.
(A'={2,4,6,7}) और (B'={1,4,5,7}), इसलिए संघ ({1,2,4,5,6,7}) है। यह (\(A\cap B\)') के बराबर भी है। / (A'={2,4,6,7}) and (B'={1,4,5,7}), so the union is ({1,2,4,5,6,7}). It is also equal to (\(A\cap B\)').
पूरक में वही अवयव होते हैं जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। परिभाषा में (U) का उल्लेख जरूरी है। / Complement contains elements that are in (U) but not in (A). Mentioning (U) is necessary in the definition.
पूरक A' में U के वे सभी अवयव होते हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए कोई अवयव एक साथ A और A' में नहीं हो सकता, अतः \(A \cap A'=\varnothing\)। ध्यान रखें: \(A \cup A'=U\), रिक्त समुच्चय नहीं। / The complement A' contains exactly those elements of U that are not in A. Hence no element can belong to both A and A', so \(A \cap A'=\varnothing\). Exam tip: remember that \(A \cup A'=U\), not the empty set.
बड़े समुच्चय का पूरक छोटे समुच्चय के पूरक में समाहित होता है। समावेशन पूरक लेने पर उलट जाता है। / The complement of the larger set is contained in the complement of the smaller set. Inclusion reverses after taking complement.
A. \(A'\subseteq U\) हमेशा सत्य है/\(A'\subseteq U\) is always true
Explanation
Simple Explanation
(A') के सभी अवयव (U) से ही लिए जाते हैं, इसलिए \(A'\subseteq U\)। पूरक कभी (U) के बाहर नहीं जाता। / All elements of (A') are taken from (U), so \(A'\subseteq U\). Complement never goes outside (U).
हर समुच्चय और उसका पूरक मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। (A) अलग से निकालने की जरूरत नहीं है। / Every set and its complement together form the whole (U). There is no need to find (A) separately.
कोई अवयव (A) और (A') दोनों में नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। यह नियम हर समुच्चय पर लागू होता है। / No element belongs to both (A) and (A'), so the intersection is empty. This rule applies to every set.
(P) में (10) तक की अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए बाकी अवयव पूरक हैं। (1) अभाज्य नहीं है और पूरक में आएगा। / (P) contains prime numbers up to (10), so the remaining elements are in the complement. (1) is not prime and will be in the complement.
(S) में (1,4,9) हैं, इसलिए (U) के बाकी (2,3,5,6,7,8) पूरक हैं। पहले \(U={1,2,\ldots,9}\) लिखना सहायक है। / (S) has (1,4,9), so the remaining elements of (U), (2,3,5,6,7,8), are in the complement. Writing \(U={1,2,\ldots,9}\) first helps.
(C') में वे रंग आएंगे जो (U) में हैं पर (C) में नहीं हैं। शब्दों वाले समुच्चयों में भी वही नियम लागू होता है। / (C') contains colors that are in (U) but not in (C). The same rule applies to sets with words.
(n(U)=15) और (n(M)=3), इसलिए (n(M')=12)। पूरक की संख्या के लिए कुल में से चुने गए अवयव घटाएं। / (n(U)=15) and (n(M)=3), so (n(M')=12). For the number of complement elements, subtract selected elements from the total.
\(A'\cup A=U\), इसलिए उत्तर पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। विकल्पों में (U) को सूची रूप में पहचानें। / \(A'\cup A=U\), so the answer is the whole universal set. Identify (U) in list form among the options.
(A) और (A') असंयुक्त होते हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। पूरक में (A) का कोई अवयव नहीं रहता। / (A) and (A') are disjoint, so their intersection is \(\varnothing\). No element of (A) remains in its complement.
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7}\), इसलिए पूरक ({8,9}) है। पहले सभी शामिल अवयवों का संघ बनाएं। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7}\), so the complement is ({8,9}). First form the union of all included elements.
\(A\cap B={3,5}\), इसलिए (U) से इन्हें हटाने पर पूरक मिलता है। पहले प्रतिच्छेद निकालना जरूरी है। / \(A\cap B={3,5}\), so removing these from (U) gives the complement. Finding the intersection first is necessary.
समुच्चय \\(A\\) का \\(U\\) के सापेक्ष पूरक \\(A'=U-A=\\{1,3,5,6\\}\\) है। चूँकि \\(A'\\) और \\(A\\) में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \\(A'-A=A'=\\{1,3,5,6\\}\\)। विकल्प B केवल \\(A\\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \\(A\\) with respect to \\(U\\) is \\(A'=U-A=\\{1,3,5,6\\}\\). Since \\(A'\\) and \\(A\\) have no common elements, removing \\(A\\) from \\(A'\\) does not change it; hence \\(A'-A=A'=\\{1,3,5,6\\}\\). Option B is just \\(A\\), not its complement. Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the universal set.
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A'=\{2,3,4\}\) है। चूँकि \(A\) और \(A'\) असंयुक्त समुच्चय हैं, इसलिए \(A\) में से \(A'\) के किसी भी अवयव को हटाना नहीं पड़ेगा; अतः \(A-A'=A=\{1,5,6\}\)। ध्यान रखें कि \(A\cap A'=\varnothing\), जबकि \(A-A'\), \(A\cap A'\) नहीं है। / With respect to the given universal set, \(A'=\{2,3,4\}\). Since a set and its complement are disjoint, removing the elements of \(A'\) from \(A\) removes nothing. Therefore, \(A-A'=A=\{1,5,6\}\). Exam tip: do not confuse set difference \(A-A'\) with intersection \(A\cap A'\), which is \(\varnothing\).
(A) में (2) के गुणज हैं, इसलिए पूरक में गैर-गुणज (1,3,5,7,9) होंगे। शर्त को (U) के अंदर ही लागू करें। / (A) contains multiples of (2), so the complement contains non-multiples (1,3,5,7,9). Apply the condition only inside (U).
\(A={13,14,\ldots,20}\) में (8) अवयव हैं, इसलिए (A') में (12) अवयव होंगे। (x>12) में (12) शामिल नहीं है। / \(A={13,14,\ldots,20}\) has (8) elements, so (A') has (12) elements. (x>12) does not include (12).
पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\) प्राप्त होता है। समुच्चय का पूरक परिभाषा अनुसार \((A\cup B)'=U-(A\cup B)=\{6,7,8\}\) होगा, जिसमें 3 अवयव हैं। निकटभ्रामक विकल्प \(5\) इसलिए गलत है क्योंकि यह संघ \(|A\cup B|\) की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा-टिप: पहले संघ गिनें फिर कुल यूनिवर्स से घटाएँ — अर्थात् \(|(A\cup B)'|=|U|-|A\cup B|\)。 / First compute the union: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\). The complement relative to \(U\) is \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{6,7,8\}\), which has 3 elements. The closest distractor 5 is the size of the union \(|A\cup B|\), not the complement. Exam tip: count the union and use \(|(A\cup B)'|=|U|-|A\cup B|\) to get the answer quickly.
\(A\cap B={3,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) अवयव होंगे। प्रतिच्छेद की संख्या कुल से घटाएं। / \(A\cap B={3,4}\), so the complement has (10-2=8) elements. Subtract the size of the intersection from the total.
किसी सेट A का पूरक A' वे सभी अवयव हैं जो यूनिवर्सल सेट U में तो हैं पर A में नहीं हैं (A' = U − A)। यहाँ U = {1,2,3,4,5,6} और A = {1,3,5} होने पर A' = {2,4,6}। दिए गए विकल्पों में केवल 2 A' का अवयव है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि 1 पहले से A में है, अतः वह A' में नहीं हो सकता। परीक्षा-सूत्र: A' = U − A लिखकर जल्दी सदस्यता जांचें। / The complement A' consists of all elements in the universal set U that are not in A (A' = U − A). With U = {1,2,3,4,5,6} and A = {1,3,5}, we get A' = {2,4,6}. Only 2 appears among the choices, so option A is correct. Option B (1) is incorrect because 1 is an element of A, so it cannot be in A'. Exam tip: compute A' as U − A first, then check which option belongs to that set.
(A') में (A) के अवयव नहीं आते, इसलिए (n) (A') में नहीं होगा। ऐसे प्रश्नों में नहीं शब्द को ध्यान से पढ़ें। / Elements of (A) do not appear in (A'), so (n) will not be in (A'). In such questions, read the word not carefully.
(A) में (4) तक के अवयव हैं, इसलिए पूरक में (4) से बड़े अवयव होंगे। असमानता का उल्टा करते समय बराबरी हटती है। / (A) contains elements up to (4), so the complement contains elements greater than (4). When reversing the inequality, equality is removed.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) के तत्व हटाएं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove the elements of (A) from (U).
(A) में (b) और (d) हैं, इसलिए बचे हुए तत्व (a) और (c) पूरक में आएंगे। विकल्प चुनते समय केवल (U) के तत्व देखें। / (A) has (b) and (d), so the remaining elements (a) and (c) are in the complement. While choosing an option, use only elements of (U).
समुच्चय का पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में तो हैं पर \(A\) में नहीं। इसे सेट-डिफरेंस द्वारा व्यक्त किया जाता है, इसलिए \(A^c = U \setminus A\) सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(A \setminus U\) गलत है क्योंकि यह उन तत्वों का समुच्चय देता है जो \(A\) में हैं पर \(U\) में नहीं — परंतु सामान्यतः \(U\) सार्वभौमिक समुच्चय होता है और \(A\subseteq U\) होने पर यह शून्य होगा। विकल्प \(A \cap U\) केवल \(A\) देता है और \(A \cup U\) हमेशा \(U\) देता है; ये दोनों पूरक के लिए गलत हैं। परीक्षा टिप: "पूरक" को हमेशा "U में से A हटाना" के रूप में याद रखें — यानी \(U\setminus A\)। / The complement of a set consists of all elements that belong to the universal set \(U\) but not to \(A\). This is expressed by set difference, so \(A^c = U \setminus A\) is correct. The closest misleading option \(A \setminus U\) is wrong because it lists elements in \(A\) but not in \(U\); if \(A\subseteq U\) this is empty. \(A \cap U\) equals \(A\), and \(A \cup U\) equals \(U\); neither represents the complement. Exam tip: think "elements in U but not in A" to quickly recall \(A^c = U \setminus A\).
जो तत्व (U) में हो लेकिन (A) में न हो, वह \(A^c\) में होता है। सदस्यता वाले प्रश्नों में परिभाषा सीधे लगाएं। / An element that is in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). For membership questions, apply the definition directly.
जब (A=U) होता है, तब (U) में (A) से बाहर कोई तत्व नहीं बचता। इसलिए पूरक \(\varnothing\) होता है। / When (A=U), no element of (U) remains outside (A). Hence the complement is \(\varnothing\).
\(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता, इसलिए (U) के सभी तत्व पूरक में आते हैं। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / \(\varnothing\) has no element, so all elements of (U) come in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
समूह सिद्धान्त में, यदि \(A\subseteq U\) है तो पूरक का क्रमक (cardinality) होता है \(n(A^c)=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=20\) और \(n(A)=7\) हैं, अतः \(n(A^c)=20-7=13\)। विकल्प C (7) गलत है क्योंकि वह \(A\) का आकार है, न कि उसके पूरक का। विकल्प D (20) गलत है क्योंकि वह समष्टि‑समूह का कुल सदस्य‑संख्या है। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा यह जांचें कि आप समष्टि‑समूह \(U\) की कुल संख्या से केवल \(A\) के तत्व घटा रहे हैं। / In set theory, for \(A\subseteq U\) the cardinality of the complement is given by \(n(A^c)=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=20\) and \(n(A)=7\), we get \(n(A^c)=20-7=13\). Option C (7) is incorrect because it is the size of \(A\), not of its complement; option D (20) is the size of the universal set. Exam tip: always verify \(A\subseteq U\) and subtract the number of elements in \(A\) from \(n(U)\) to get \(n(A^c)\).
समूह के पूर्णता का सिद्धांत कहता है कि \(A\) और \(A^{c}\) मिलकर सार्वभौमिक समूह \(U\) बनाते हैं। अतः \(A\) वह समूह है जिसमें \(U\) के वे सारे तत्व हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं। गणितीय रूप से \(A=U\setminus A^{c}\)। यहाँ \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\। इसलिए सही उत्तर \(\{1,2,3,4\}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्पों का विश्लेषण: विकल्प B (\(\{5,6\}\)) वास्तव में \(A^{c}\) है न कि \(A\); विकल्प C (\(\{1,5,6\}\)) में \(5,6\) शामिल हैं, जो गलत हैं; विकल्प D तभी सही होता यदि \(A^{c}=U\)। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र याद रखें — \(A=U\setminus A^{c}\) और \(A\cup A^{c}=U,\;A\cap A^{c}=\varnothing\)।\) / By definition of complement, \(A\) and \(A^{c}\) partition the universal set \(U\). So \(A\) consists of the elements of \(U\) that are not in \(A^{c}\); i.e. \(A=U\setminus A^{c}\). Here \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\. Thus option A is correct. Why other options are wrong: B is just the complement \(A^{c}\), C incorrectly keeps 5 and 6 which belong to \(A^{c}\), and D (\(\varnothing\)) would be true only if \(A^{c}=U\). Exam tip: use the identities \(A=U\setminus A^{c}\) or \(A\cup A^{c}=U\) to answer quickly.\)
(A) और \(A^c\) के सभी तत्व मिलकर (U) बनाते हैं। यह पूरक का सबसे महत्वपूर्ण गुण है। / All elements of (A) and \(A^c\) together form (U). This is one of the most important properties of complement.
कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) के बाहर नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। / No element can be both in (A) and outside (A) at the same time. Hence \(A\cap A^c=\varnothing\).
दोहरे पूरक का नियम (involution law) कहता है कि किसी भी समुच्चय का पूरक का फिर से पूरक मूल समुच्चय देता है। गणितीय रूप में \((A^c)^c = A\)। विकल्प B (\(A^c\)) सबसे नज़दीकी भ्रम है — वह केवल एक बार का पूरक है, जबकि दो बार का पूरक मूल समुच्चय लौटाता है। विकल्प C और D सामान्य रूप से गलत हैं क्योंकि \(A\) सार्वत्रिक या खाली तभी होगा जब दिया गया समुच्चय वैसे ही हो; यह सब समुच्चयों के लिए सच नहीं है। परिक्षा टिप: इस नियम को याद रखें जैसे एक इनवॉल्यूशन—दो बार लागू करने पर मूल वस्तु लौट आती है; Venn आरेख बनाकर तुरंत सत्यापित कर सकते हैं। / The involution (double-complement) law states that the complement of the complement of a set is the set itself: \((A^c)^c = A\). Option B (\(A^c\)) is a common distractor — it is the single complement, not the double complement. Options C and D are only true in special cases (if \(A=U\) or \(A=\varnothing\) respectively) and are not generally equal to \((A^c)^c\). Exam tip: remember the double-complement law and use a quick Venn diagram to check such statements.
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए क्रम उलट जाता है। \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The complement of the larger set is smaller, so the order reverses. From \(A\subseteq B\), we get \(B^c\subseteq A^c\).
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में विषम संख्याएं आएंगी। ऐसे प्रश्न में पहले पैटर्न पहचानें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement contains the odd numbers. In such questions, identify the pattern first.
\(A^c\) में (U) के वे अक्षर होंगे जो (A) में नहीं हैं। सूची वाले प्रश्नों में काटकर बचे तत्व लिखें। / \(A^c\) will contain the letters of (U) that are not in (A). In list questions, cross out and write the remaining elements.
(A) में दी हुई अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए बाकी तत्व \(A^c\) में हैं। (1) को अभाज्य न मानें। / (A) contains the given prime numbers, so the remaining elements are in \(A^c\). Do not treat (1) as a prime number.
यदि कोई तत्त्व \(x\) \((A\cup B)^c\) में है तो वह \(A\cup B\) में नहीं है, यानी वह न तो \(A\) में है और न ही \(B\) में। इसलिए \(x\) दोनों के पूरक में होगा, अर्थात् \(x\in A^c\cap B^c\)। इससे पता चलता है कि \((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\)। विकल्प B (\(A^c\cup B^c\)) गलत है क्योंकि वह उन तत्त्वों का संघ है जो कम-से-कम एक सेट में नहीं हैं — वास्तव में \((A\cap B)^c = A^c\cup B^c\)। परीक्षा टिप: इसे साबित करने के लिए "तत्त्व-प्रवेशन विधि" (element-wise) या वेन आरेख इस्तेमाल करें। / If an element \(x\) belongs to \((A\cup B)^c\), then \(x\) is not in \(A\cup B\); so \(x\) is neither in \(A\) nor in \(B\). Hence \(x\) lies in both complements, i.e. \(x\in A^c\cap B^c\). Thus \((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\). Option B (\(A^c\cup B^c\)) is incorrect — it equals \((A\cap B)^c\), not the complement of a union. Exam tip: use element-wise argument or draw a Venn diagram to remember De Morgan transforms (union ↔ intersection and complement distributes).
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ है साझा भाग के बाहर का भाग। डी मॉर्गन नियम से यह \(A^c\cup B^c\) होता है। / (\(A\cap B\)^c) means the part outside the common part. By De Morgan's law, it is \(A^c\cup B^c\).
\(A\cup B=\{1,2,3,4\}\) — the union contains all elements from both sets. The complement means the elements of the universal set \(U\) that are not in this union. Removing \(\{1,2,3,4\}\) from \(U\) leaves \(\{5,6\}\). So the correct answer is \(\{5,6\}\). The closest distractor \(\{1,2,5,6\}\) is wrong because it incorrectly includes \(1\) and \(2\), which belong to \(A\cup B\) and cannot be in the complement. Exam tip: compute the union/intersection first, then get the complement by subtracting from the universal set.
कोर सिद्धांत: पहले \(A\cap B\) निकालें फिर उसका पूर्ण-पूरक (कॉम्प्लीमेंट) यूनिवर्सल सेट \(U\) में से घटाएँ। यहाँ \(A\cap B=\{3\}\)। अतः \((A\cap B)^{c}=U-\{3\}=\{1,2,4,5,6\}\)। निकटवर्ती ग़लत विकल्प: विकल्प C (\(\{1,2,3,4\}\)) में \(3\) शामिल है — इसलिए यह कॉम्प्लीमेंट नहीं हो सकता; विकल्प B केवल इंटरसेक्शन ही है, और विकल्प D (\(\varnothing\)) स्पष्ट रूप से गलत है। परीक्षा टिप: पहले इंटरसेक्शन निकालकर फिर यूनिवर्सल से घटाने की आदत डालें — इससे गलतियाँ कम होंगी। / Core idea: compute \(A\cap B\) first, then take its complement relative to the universal set \(U\). Here \(A\cap B=\{3\}\). Thus \((A\cap B)^{c}=U-\{3\}=\{1,2,4,5,6\}\), which is option A. Why other options fail: option C still contains 3 so it cannot be the complement; option B is just the intersection, not its complement; option D (\(\varnothing\)) is obviously incorrect. Exam tip: always find the intersection before taking the complement (or use a quick Venn sketch) to avoid mistakes.
(A) में (0), (2) और (4) हैं, इसलिए (U) में बचे (1) और (3) पूरक हैं। (0) को भी तत्व की तरह गिनें। / (A) has (0), (2), and (4), so the remaining elements (1) and (3) are the complement. Count (0) as an element too.
पूरक सेट से सदस्यता पर ध्यान दें। \(A^c=\{2,3\}\) है क्योंकि यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\) के तत्व निकालने पर बचे तत्व 2 और 3 हैं। इसलिए \(2\in A^c\) सत्य है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(1\in A\) है, अतः \(1\notin A^c\)। प्रयोगिक परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले पूरक सेट लिखिए और फिर किसी तत्व की सदस्यता की जाँच कीजिए। / Use the definition of complement. Removing elements of \(A\) from the universal set \(U\) gives \(A^c=\{2,3\}\), so \(2\in A^c\) is true. Option B is wrong because \(1\in A\), hence \(1\notin A^c\). Quick exam tip: first list the complement explicitly, then check membership of the given element.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय A का पूरक \(A^{c}\) वह समुच्चय है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से A के तत्वों को हटाकर मिलता है, अर्थात् \(A^{c}=U\setminus A\). इसलिए स्पष्ट है कि \(A^{c}\) हमेशा \(U\) का ही एक उपसमुच्चय होगा, यानी \(A^{c}\subseteq U\) हमेशा सत्य है. अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) यदि \(U\subseteq A^{c}\) हो तो तब ही संभव है जब \(A^{c}=U\) अर्थात् \(A=\varnothing\) — पर यह सभी A के लिए सही नहीं है. (C) \(A^{c}=A\) सामान्यतः असंभव है, यह केवल विशेष (और व्यावहारिक रूप से दुर्लभ) स्थितियों में ही हो सकता है (उदाहरण: यदि \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) तभी होगा जब \(A=U\), जो हर A के लिए सत्य नहीं है. परीक्षा-टिप: हमेशा ध्यान रखें कि पूरक को परिभाषित करने में सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) का प्रयोग होता है, इसलिए पूरक से शुरू करते समय उसे \(U\setminus A\) के रूप में लिखें। / By definition the complement of A is the set of all elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A^{c}=U\setminus A\). Hence \(A^{c}\) is always a subset of U, so \(A^{c}\subseteq U\) is always true. Why the other options fail: (B) \(U\subseteq A^{c}\) would force \(A^{c}=U\) (and thus \(A=\varnothing\)), which need not hold for every A. (C) \(A^{c}=A\) is not generally true — it only happens in degenerate cases (for example when \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) means \(A=U\), again not true for every set. Exam tip: always express complement as \(U\setminus A\) to check subset relations quickly.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\) वह समुच्चय है जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A^c=\varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि \(U\) का कोई भी तत्व \(A\) के बाहर नहीं है; यानी \(A\) में सार्वभौमिक समुच्चय के सभी तत्व आ जाते हैं। अतः \(A=U\)। गलतीयां: विकल्प \(\varnothing\) तब गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A^c=U\) होता न कि \(\varnothing\)। विकल्प \(U^c\) भी खाली समुच्चय है पर वह \(A\) नहीं हो सकता;\(U^c=\varnothing\) हमेशा होता है पर इससे \(A\) की जानकारी नहीं बनती। परीक्षा टिप: याद रखें \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\); अगर \(A^c\) खाली है तो \(A\) स्वतः \(U\) होगा। / By definition, the complement \(A^c\) is the set of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A^c=\varnothing\), there are no elements of \(U\) outside \(A\); therefore \(A\) contains every element of \(U\), i.e. \(A=U\). Why other choices fail: \(\varnothing\) would imply \(A\) is empty, which would make \(A^c=U\), not \(\varnothing\). \(U^c\) denotes the complement of \(U\), which is always \(\varnothing\) but does not equal \(A\) unless the universe is empty (degenerate case). Exam tip: use identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\); if \(A^c\) is empty then \(A=U\).
यदि \(A^c = U\) है, तो यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व \(A\) के बाहर हैं, अर्थात् \(A\) में कोई तत्व नहीं है। गुणधर्मों से: \(A\cup A^c = U\) और \(A\cap A^c = \varnothing\)। यदि \(A^c=U\) हो तो ऊपर से स्पष्ट है कि \(A=\varnothing\) होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि यदि \(A=U\) होता तो \(A^c=\varnothing\) होता, न कि \(U\)। परीक्षा टिप: पूरक के गुणधर्म \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\) हमेशा ध्यान में रखें। / If \(A^c=U\), every element of the universal set lies outside \(A\), so \(A\) has no elements; therefore \(A=\varnothing\). Use the identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) to justify this. Option B is incorrect because if \(A=U\) then \(A^c=\varnothing\), not \(U\). Exam tip: recall the complement identities to answer such questions quickly.
आयत के अंदर और (A) के बाहर वाला भाग \(A^c\) होता है। वेन आरेख में (U) की सीमा से बाहर न जाएं। / The part inside the rectangle and outside (A) is \(A^c\). In Venn diagrams, do not go outside the boundary of (U).
स्वरों को (U) से हटाने पर व्यंजन बचते हैं। पूरक हमेशा दिए गए (U) के संदर्भ में समझें। / Removing vowels from (U) leaves consonants. Always understand complement with respect to the given (U).
(A) में (3) के गुणज हैं, इसलिए (U) में बचे हुए तत्व \(A^c\) हैं। जल्दी करने के लिए (U) से (A) को काटें। / (A) contains multiples of (3), so the remaining elements of (U) form \(A^c\). For speed, cross out (A) from (U).
सम्बन्ध है \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=n(U)-n(A^c)=30-18=12\)। विकल्प B (48) गलत है क्योंकि यह \(n(U)\) से भी बड़ा है और संभव नहीं; विकल्प C (18) केवल A के पूरक का आकार है, न कि A का; विकल्प D (30) समूच्चय U का पूरा आकार है। परीक्षात्मक टिप: किसी भी सेट और उसके पूरक के लिए हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) याद रखें। / The relation is \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). So \(n(A)=n(U)-n(A^c)=30-18=12\). Option B (48) is impossible because it exceeds the size of U; option C (18) is the size of A's complement (not A); option D (30) is the size of the universal set. Exam tip: Use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\) to compute quickly and avoid sign errors.
क्यों सही है: सेट \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) मिलकर यूनिवर्सल सेट \(U\) बनाते हैं, अतः \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). दिया है कि \(n(A)=n(A^c)\), इसलिए दोनों की संयुक्त संख्या बराबर भाग में बंटी है। फलतः \(n(A)=\dfrac{16}{2}=8\).
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(16\) गलत है क्योंकि तब \(n(A^c)=0\) होगा और बराबरी नहीं बनी। \(0\) भी गलत होगा क्योंकि तब अन्य सेट का कार्डिनैलिटी \(16\) होगा। \(4\) गलत है क्योंकि \(4+4=8\) होता, जो \(n(U)=16\) से मेल नहीं खाता।
परīk्षा टिप: जब कोई सेट और उसका पूरक बराबर बताये हों तो प्रत्येक का मान कुल का आधा होता है। / Why correct: A and its complement \(A^c\) partition the universal set \(U\), so \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). Given \(n(A)=n(A^c)\), the total 16 is split equally, hence \(n(A)=\dfrac{16}{2}=8\).
Why other options are wrong: 16 would imply \(n(A^c)=0\), contradicting equality; 0 similarly contradicts equality. 4 is wrong because \(4+4=8\), not 16.
Exam tip: If two disjoint parts are equal and cover the whole, each part equals half of the whole.
\(A\cap A^c=\varnothing\), इसलिए (A) और \(A^c\) हमेशा असंबद्ध होते हैं। यह गुण वेन आरेख में तुरंत दिखता है। / \(A\cap A^c=\varnothing\), so (A) and \(A^c\) are always disjoint. This property is clear in a Venn diagram.
किसी भी सेट के लिए \(A\cup A^c=U\) का समीकरण सत्य है क्योंकि किसी भी तत्व या तो A में होगा या A के पूरक में। अतः \(n(A\cup A^c)=n(U)=25\)। विकल्प C (\(n(A)\)) और D (\(n(A^c)\)) केवल A अथवा उसके पूरक की संख्या बताते हैं, न कि पूरे यूनिवर्स की; इसलिए वे गलत हैं। विकल्प B (0) केवल तब सही होता यदि \(n(U)=0\) होता, पर यहाँ \(n(U)=25\) दिया है। परीक्षा-टिप: सेट पहचान सूत्र याद रखें — \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\)। / For any set A, \(A\cup A^c=U\) because every element of the universal set is either in A or in its complement. Therefore \(n(A\cup A^c)=n(U)=25\). Options C (\(n(A)\)) and D (\(n(A^c)\)) refer only to the sizes of A or its complement, not the whole universal set, so they are incorrect. Option B (0) would be true only if \(n(U)=0\), which is not the case here. Exam tip: memorize identities \(A\cup A^c=U\), \(A\cap A^c=\varnothing\) and for finite U, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
किसी भी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का अन्तराल (intersection) हमेशा रिक्त समुच्चय होता है: \(A\cap A^c=\varnothing\). रिक्त समुच्चय की सदस्यों की संख्या \(n(\varnothing)=0\) होती है। इसलिए \(n(A\cap A^c)=0\)। विकल्प (D) \(n(A)\) गलत है क्योंकि चाहे \(n(A)\) कितनी भी हो, सुविधा यही है कि किसी सेट और उसके पूरक का अन्तराल खाली ही रहेगा; विकल्प (B) "1" तब ही सही होता अगर अन्तराल में एक तत्व अपना होता, जो संभव नहीं है। परीक्षा युक्ति: हमेशा याद रखें \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(n(\varnothing)=0\)। / The intersection of a set and its complement is always the empty set: \(A\cap A^c=\varnothing\). The cardinality of the empty set is \(n(\varnothing)=0\). Hence \(n(A\cap A^c)=0\). Option D (\(n(A)\)) is incorrect because the intersection is empty regardless of the size of \(A\); option B (1) is incorrect since there cannot be exactly one element common to a set and its complement. Exam tip: memorize \(A\cap A^c=\varnothing\) and that \(n(\varnothing)=0\).
U−A का अर्थ है U में से A के सभी तत्वों को हटा देना। यही A^c (A का पूरक) की परिभाषा है। इसलिए सामान्यतः U−A = A^c। विकल्प B (A) गलत है क्योंकि वह A के तत्वों को ही दिखाता है, न कि A के बाहर के तत्वों को। विकल्प C (U) तब भी गलत है क्योंकि U−A में A के तत्व हट चुके होते हैं; विकल्प D (∅) केवल विशेष स्थिति में सही होगा—जब A = U हो—पर सामान्य प्रश्न में यह गलत विकल्प है। परीक्षा-सुझाव: पूरक की परिभाषा याद रखें और विशेष मामलों (A = ∅, A = U) को अलग से जाँचे। / U−A means removing all elements of A from U, which by definition is the complement of A \(A^c\). Hence U−A = A^c. Option B (A) is incorrect because it denotes the elements of A, not the elements outside A. Option C (U) is wrong since elements of A are excluded in U−A. Option D (∅) is only true in the special case A = U; generally it is incorrect. Exam tip: Memorize the definition of complement and check edge cases A = ∅ and A = U when answering such questions.
\(U-A=A^c\) होता है, इसलिए (A) के तत्व हटाने पर (5) और (6) बचते हैं। अंतर और पूरक को (U) के संदर्भ में जोड़कर देखें। / \(U-A=A^c\), so after removing the elements of (A), (5) and (6) remain. Link difference and complement with respect to (U).
(A) में (2), (3), (5), (7) हैं, इसलिए बाकी (1), (4), (6) पूरक हैं। दिए हुए (U) से बाहर कोई संख्या न जोड़ें। / (A) has (2), (3), (5), (7), so (1), (4), (6) are the complement. Do not add any number outside the given (U).
A. ({सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार})/weekdays
Explanation
Simple Explanation
(A) में सप्ताहांत के दिन हैं, इसलिए \(A^c\) में कार्यदिवस होंगे। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही पूरक नियम लगता है। / (A) contains weekend days, so \(A^c\) contains weekdays. The same complement rule applies to word sets also.
\(A\cap A^c=\varnothing\) होता है, (U) नहीं। गलत कथन पहचानने में मूल गुणों को याद रखें। / \(A\cap A^c=\varnothing\), not (U). To identify a false statement, remember the basic properties.
किसी भी समुच्चय \(A\) के लिए वैश्विक गुण है कि \(A\cap A^{c}=\varnothing\)। कारण: \(A^{c}\) में वे ही तत्व होंगे जो \(A\) में नहीं हैं, अतः कोई भी तत्व एक साथ दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए प्रतिच्छेद शून्य समुच्चय होगा। निकटतम भ्रांत विकल्प \(\{2,5\}\) (विकल्प B) गलत है क्योंकि वह \(A^{c}\) है — पर प्रश्न दोनों का सामान्य तत्व पूछता है; सामान्य तत्व कोई नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जब भी किसी प्रश्न में \(A\) और \(A^{c}\) एक साथ आएँ, तुरंत \(A\cap A^{c}=\varnothing\) याद कर लें। / For any set \(A\), the identity \(A\cap A^{c}=\varnothing\) always holds. Reason: elements of \(A^{c}\) are exactly those not in \(A\), so no element can belong to both simultaneously; hence the intersection is empty. The closest distractor \(\{2,5\}\) (option B) is just \(A^{c}\), not the intersection — the intersection has no elements. Exam tip: whenever a question involves \(A\) and its complement together, immediately use \(A\cap A^{c}=\varnothing\).
किसी सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष किसी भी सेट \(A\) के लिए मूल गुण है कि \(A\cup A^c=U\)। यहाँ \(A^c=\{2,5\}\) होने पर \(A=U\setminus A^c=\{1,3,4\}\)। इनके योग (यूनियन) से \(\{1,3,4\}\cup\{2,5\}=\{1,2,3,4,5\}=U\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(U\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\{1,3,4\}\) सिर्फ \(A\) है (अलग से), और \(\{2,5\}\) सिर्फ \(A^c\) है; दोनों का यूनियन ही \(U\) बनेगा। परीक्षा-टिप: हमेशा याद रखें कि किसी भी सेट और उसके पूर्णपरक का यूनियन सार्वभौमिक सेट होता है। / For any set \(A\) relative to a universal set \(U\), the identity \(A\cup A^c=U\) holds. Given \(A^c=\{2,5\}\), we have \(A=U\setminus A^c=\{1,3,4\}\). Their union is \(\{1,3,4\}\cup\{2,5\}=\{1,2,3,4,5\}=U\). Thus the correct answer is \(U\). The closest distractors: \(\{1,3,4\}\) is only \(A\), and \(\{2,5\}\) is only \(A^c\); neither alone equals the union. Exam tip: memorize that a set union its complement always gives the universal set.
जो तत्व (U) में है और (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यह पूरक की मूल सदस्यता शर्त है। / An element in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the basic membership condition of complement.
A. \(4\in U\) और \(4\notin A\)/\(4\in U\) and \(4\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) का तत्व हमेशा (U) में होता है और (A) में नहीं होता। ऐसे प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ लिखें। / An element of \(A^c\) is always in (U) and not in (A). In such questions, write both conditions together.
समंजन: A का परिशिष्ट A^c, सार्वभौमिक समुच्चय U में वे सभी तत्व हैं जो A में नहीं हैं, यानी A^c = U \ A. यहाँ U = {1,2,3,4,5} और A = {x : x<4} = {1,2,3}. अतः U \ A = {4,5}.
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प C ({1,2,3,4}) में A के तत्व (1,2,3) भी शामिल हैं इसलिए यह परिशिष्ट नहीं हो सकता। विकल्प B ({1,2,3}) तो A के बराबर है, जबकि परिशिष्ट A में नहीं होने वाले तत्वों का समूह होता है। विकल्प D ({5}) केवल एक तत्व छोड़कर अधूरा है।
परिक्षात्मक सुझाव: हमेशा पहले U और A को स्पष्ट रूप से लिखकर A^c = U \ A लगाएँ — इससे भूल-चूक कम होती है। / Core idea: The complement A^c means the elements of the universal set U that are not in A, i.e. A^c = U \ A. Here U = {1,2,3,4,5} and A = {x : x < 4} = {1,2,3}. Therefore U \ A = {4,5}.
Why other choices are wrong: Choice C ({1,2,3,4}) wrongly includes elements of A (1,2,3), so it cannot be the complement. Choice B ({1,2,3}) is just A itself, not the complement. Choice D ({5}) omits 4, so it is incomplete.
Exam tip: First list U and A explicitly, then compute A^c = U \ A — writing sets out avoids sign/inequality mistakes.
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से सेट \(A\) के सदस्य हटा देना। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) है और \(A=\{1,3,5,7\}\) है। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\) — यानी सभी सम संख्या। विकल्प D (\{5,6,7,8\}) गलत है क्योंकि उसमें 2 और 4 नहीं हैं और 5,7 जैसे तत्वों को शामिल करके गलत पूरक दे रहा है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले यूनिवर्सल सेट की सूचि लिखें फिर उससे A के तत्व हटा दें। / Complement means all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) and \(A=\{1,3,5,7\}\), so \(A^c=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\), the even numbers up to 8. Option D (\{5,6,7,8\}) is incorrect because it omits 2 and 4 and wrongly includes 5 and 7. Exam tip: list U explicitly and remove A's elements to find the complement quickly.
(A) में (4) शामिल है, इसलिए पूरक (4) के बाद से शुरू होगा। (10) (U) में शामिल है, इसलिए ((4,10]) सही है। / (4) is included in (A), so the complement starts after (4). Since (10) is included in (U), ((4,10]) is correct.
(A) में (-1) शामिल नहीं है, इसलिए (-1) पूरक में आएगा। (2) (A) में है, इसलिए पूरक (2) के बाद शुरू होगा। / (-1) is not included in (A), so (-1) is in the complement. (2) is in (A), so the complement starts after (2).
A. क्रिकेट न खेलने वाले विद्यार्थी/students who do not play cricket
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह क्रिकेट न खेलने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not play cricket.
सम्पूर्ण सेट के गुण के अनुसार \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अत: \(n(A)=n(U)-n(A^c)=40-15=25\)। विकल्प C (15) गलत है क्योंकि वह A का नहीं बल्कि A का पूरक है। विकल्प B (55) असंभव है क्योंकि किसी भी सबसेट का कार्डिनैलिटी यूनिवर्स से अधिक नहीं हो सकती। विकल्प D (40) तब ही सही होगा जब \(A^c\) का आकार शून्य हो, पर यहां \(n(A^c)=15\) है। परीक्षा टिप: पूरक के साथ काम करते समय हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) सूत्र याद रखें। / By the property of complements, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). So \(n(A)=n(U)-n(A^c)=40-15=25\). Option C (15) is incorrect because it is the size of the complement, not of A. Option B (55) is impossible since a subset cannot have more elements than the universal set. Option D (40) would mean the complement has 0 elements, which contradicts \(n(A^c)=15\). Exam tip: Always use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\) when given a complement.
वास्तविक उपसमुच्चय होने पर (U) में कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होगा। इसलिए \(A^c\ne\varnothing\) है। / If (A) is a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\ne\varnothing\).
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदलता है/because the universal set changes
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / The complement always depends on the given universal set. When (U) changes, \(A^c\) may also change.
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
सही पूरक के लिए (A) से कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे अच्छा जांच तरीका है। / For a correct complement, there should be no common element with (A), and both together should form (U). This is the best checking method in exams.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (U) से (A) के तत्व काट दें। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, cross out the elements of (A) from (U).
पूरक \(A^c\) वे तत्व होते हैं जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर सेट \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व \(p,q,r,s,t\) हैं और \(A\) में \(p,s,t\) हैं, इसलिए बचे हुए तत्व \(q\) और \(r\) हैं। विकल्प C में अतिरिक्त तत्व \(p\) शामिल है जो गलत है; विकल्प B और D क्रमशः \(A\) और \(A\) के एक हिस्से को दिखाते हैं। परीक्षा-टिप: हमेशा पहले \(U\) के सभी तत्व लिखें और फिर उन तत्वों को हटा दें जो \(A\) में हैं। / The complement \(A^c\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Here \(U=\{p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{p,s,t\}\), so the remaining elements are \(q\) and \(r\), i.e. \(\{q,r\}\). Option C wrongly includes \(p\) which belongs to \(A\); option B is just \(A\) and option D omits \(q\). Exam tip: list all elements of \(U\) first, then remove those that appear in \(A\) to get \(A^c\).
A. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक का तत्व (U) में होता है पर (A) में नहीं होता। सदस्यता वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ जांचें। / An element of the complement is in (U) but not in (A). In membership questions, check both conditions together.
किसी सेट का समपूरक परिभाषा है \(A^c=U\setminus A\), अर्थात् वे सभी तत्त्व जो विश्वविद्यालयी सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यदि \(A=U\) है, तो \(U\setminus A\) में कोई तत्त्व शेष नहीं रहता, अतः \(A^c=\varnothing\)। विकल्प B (\(U\)) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह वही सेट बताता है न कि बाहर के तत्त्व; विकल्प C और D केवल उपसमूह हैं और पूरे बाह्य भाग का प्रतिनिधित्व नहीं करते। परीक्षा सलाह: हमेशा समपूरक को \(U\setminus A\) के रूप में लिखें और सीधे सदस्यता निकालें। / By definition the complement is \(A^c=U\setminus A\), i.e. elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A=U\), then \(U\setminus A\) contains no elements, so \(A^c=\varnothing\). Option B (\(U\)) is incorrect because it confuses the set with its complement; options C and D are only proper subsets and do not represent the whole complement. Exam tip: compute complements as \(U\setminus A\) and check membership for each element.
\(\varnothing\) से कोई तत्व नहीं हटता, इसलिए पूरा (U) पूरक में आता है। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / No element is removed from \(\varnothing\), so the whole (U) comes in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
मूल सिद्धांत: किसी समपूरक सेट के तत्वों की संख्या के लिए सूत्र \(n(A^{c})=n(U)-n(A)\) होता है। यहाँ \(n(A^{c})=36-14=22\) इसलिए 22 सही उत्तर है। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह \(A\) का क्रमांक है न कि \(A^{c}\) का; 36 गलत है क्योंकि वह यूनिवर्स \(U\) का कुल क्रमांक है; 50 स्पष्टतः गलत मान है। परीक्षा-टिप: यूनिवर्स और किसी सेट के क्रमांक दिए हों तो पूरक की संख्या सीधे घटाव से निकालें। / Core concept: For a finite universal set, the complement satisfies \(n(A^{c})=n(U)-n(A)\). So \(n(A^{c})=36-14=22\), making 22 correct. Option 14 is incorrect because it equals \(n(A)\), not the complement; 36 equals \(n(U)\); 50 is simply wrong. Exam tip: whenever \(n(U)\) and \(n(A)\) are given, compute the complement by subtraction.
(A) में (U) के वे तत्व होंगे जो \(A^c\) में नहीं हैं। इसलिए (1) और (7) हटाकर बाकी तत्व लिखें। / (A) contains the elements of (U) that are not in \(A^c\). So remove (1) and (7) and write the remaining elements.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए \(A^c\) में सम संख्याएं आएंगी। पैटर्न पहचानकर उत्तर जल्दी मिलता है। / (A) contains odd numbers, so \(A^c\) contains even numbers. Identifying the pattern gives the answer quickly.
A का पूरक Aᶜ उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो सार्वत्रिक समुच्चय U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं। इसलिए U में से 1, 4 और 9 हटाने पर Aᶜ = {2,3,5,6,7,8} मिलता है। विकल्प B, A का स्वयं का समुच्चय है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष A के तत्व हटाएँ। / The complement Aᶜ contains all elements of the universal set U that are not present in A. Removing 1, 4 and 9 from U gives Aᶜ = {2,3,5,6,7,8}. Option B is the set A itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the universal set.
(A) में (4) के गुणज हैं, इसलिए (U) के बाकी तत्व \(A^c\) में होंगे। हमेशा (U) की सीमा तक ही उत्तर दें। / (A) contains multiples of (4), so the remaining elements of (U) are in \(A^c\). Always answer only within the boundary of (U).
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में उपस्थित वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(U\) से \(0,3,6\) हटाने पर \(\{1,2,4,5\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए हमेशा पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखकर उसमें से \(A\) के तत्व हटाएँ। / The complement \(A^c\) contains all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Removing \(0,3,6\) from \(U\) leaves \(\{1,2,4,5\}\), so option A is correct. Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, start with the universal set and remove every element of the given set.
दिए गए (U) में सम संख्याओं के बाहर विषम संख्याएं बचती हैं। सेट-बिल्डर रूप को पहले सूची रूप में बदलें। / In the given (U), odd numbers remain outside the even numbers. First convert set-builder form into roster form.
मान लीजिए कि \(\mathbb{N}\) धनात्मक प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। यदि \(U=\{x\in\mathbb{N}:x<7\}\) और \(A=\{x\in U:x\leq 3\}\) हैं, तो समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c\) क्या होगा?
\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A=\{1,2,3\}\) हैं। पूरक समुच्चय \(A^c\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं; इसलिए \(A^c=U-A=\{4,5,6\}\)। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, जबकि विकल्प D पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा टिप: पूरक निकालने से पहले सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य लिखें। / Here, \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{1,2,3\}\). The complement \(A^c\) contains the elements that belong to \(U\) but not to \(A\). Thus, \(A^c=U-A=\{4,5,6\}\). Option B is the set \(A\) itself, while option D is the entire universal set. Exam tip: Always identify the universal set before finding a complement.
पहले A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6} प्राप्त होता है। U के वे अवयव जो इस संघ में नहीं हैं, 3 और 7 हैं। इसलिए (A ∪ B) का पूरक {3, 7} है। विकल्प B केवल A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का पूरक निकालते समय पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से उसके सभी अवयव हटा दें। / First, A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}. The elements of the universal set U that are not in this union are 3 and 7. Therefore, the complement of (A ∪ B) is {3, 7}. Option B is only A ∪ B, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
पहले A ∩ B={3,4} प्राप्त होता है। इसका U के सापेक्ष पूरक लेने पर U में से 3 और 4 को हटा देते हैं, इसलिए (A ∩ B)ᶜ={1,2,5,6,7}। विकल्प B केवल A ∩ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय U के वे अवयव चुनें जो मूल समुच्चय में नहीं हैं। / First, A ∩ B={3,4}. Taking its complement relative to U means removing 3 and 4 from the universal set, so (A ∩ B)ᶜ={1,2,5,6,7}. Option B is only A ∩ B, not its complement. Exam tip: To find a complement, list the elements of the universal set that are not in the given set.
उपसमुच्चय लेने पर पूरक में क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
किसी समुच्चय का पूरक लेने पर उसके सार्वत्रिक समुच्चय में उपस्थित लेकिन \(A\) में अनुपस्थित अवयव मिलते हैं। दोबारा पूरक लेने पर मूल समुच्चय \(A\) वापस प्राप्त होता है, इसलिए \((A^c)^c=A\) सदैव सत्य है। विकल्प B केवल कुछ विशेष समुच्चयों के लिए संभव है, जबकि \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\) होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के प्रमुख नियम याद रखें—\(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)। / The complement of \(A\) contains the elements of the universal set that are not in \(A\). Taking the complement again returns the original set, so \((A^c)^c=A\) is always true. Statement B may hold only for special sets, whereas \(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\). Exam tip: remember the two basic complement laws—\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\).
A. (U) के अंदर (A) के बाहर का भाग/the region inside (U) but outside (A)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) हमेशा (U) के अंदर लेकिन (A) के बाहर होता है। वेन आरेख में आयत से बाहर का भाग न गिनें। / \(A^c\) is always inside (U) but outside (A). In a Venn diagram, do not count the region outside the rectangle.
A. बस से न आने वाले विद्यार्थी/students who do not come by bus
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी आएंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह बस से न आने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not come by bus.
(A) के रंग हटाने पर (नीला) और (हरा) बचते हैं। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही नियम लगता है। / After removing the colors of (A), blue and green remain. The same rule applies to word sets.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में सभी अंक \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) होते हैं। \(A\) में सभी सम अंक हैं, इसलिए \(U\) में मौजूद लेकिन \(A\) में न होने वाले अंक \(1,3,5,7,9\) होंगे। अतः \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\)। परीक्षा में याद रखें: किसी समुच्चय का पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / The universal set \(U\) contains all digits, \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Since \(A\) contains all the even digits, the elements in \(U\) that are not in \(A\) are \(1,3,5,7,9\). Therefore, \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Exam tip: The complement of a set is always taken with respect to the specified universal set.
किसी सीमित समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) होता है। इसलिए \(n(A)=48-19=29\)। विकल्प C केवल पूरक समुच्चय की संख्या है, जबकि विकल्प D पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय की संख्या ज्ञात होने पर उसे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या से घटाएँ। / For a finite set, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Hence, \(n(A)=48-19=29\). Option C is the cardinality of the complement, while option D is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: To find the cardinality of a set from its complement, subtract the complement's cardinality from that of the universal set.
समुच्चय A और उसका पूरक \(A^c\) असंयुक्त होते हैं और मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय U बनाते हैं। इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\)। दोनों की सदस्य-संख्या समान है, अतः \(2n(A)=24\), जिससे \(n(A)=12\) प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: यदि किसी समुच्चय और उसके पूरक की कार्डिनैलिटी समान हो, तो प्रत्येक की कार्डिनैलिटी सार्वत्रिक समुच्चय की कार्डिनैलिटी की आधी होती है। / A set A and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set U. Thus, \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\). Since their cardinalities are equal, \(2n(A)=24\), giving \(n(A)=12\). Exam tip: when a set and its complement have equal cardinality, each contains half the elements of the universal set.
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् \(A\cup A^c=U\)। इसलिए \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। परीक्षा-युक्ति: संघ और पूरक से संबंधित प्रश्नों में \(A\cup A^c=U\) तथा \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / The union of a set \(A\) and its complement \(A^c\) is the universal set, so \(A\cup A^c=U\). Therefore, \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\). Option B is incorrect because \(A\cap A^c=\varnothing\), not their union. Exam tip: remember \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) for complement-based questions.
\(U-A\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। \(U\) से \(4,8,12\) हटाने पर \(\{2,6,10\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A\) है, जबकि विकल्प D पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय अंतर निकालते समय पहले बड़े समुच्चय से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / \(U-A\) contains all elements that belong to \(U\) but do not belong to \(A\). Removing \(4,8,12\) from \(U\) leaves \(\{2,6,10\}\), so option A is correct. Option B is just \(A\), while option D is the entire universal set. Exam tip: To find a set difference, remove every element of the second set from the first set.
समुच्चय \(A^c\) के तत्व वे हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं हो सकता, अतः \(A\cap A^c=\varnothing\)। विकल्प C वास्तव में \(A\) है, न कि दोनों का प्रतिच्छेद। परीक्षा-युक्ति: किसी भी समुच्चय के लिए \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / The elements of \(A^c\) are precisely those that are not in \(A\). Hence, \(A\) and its complement \(A^c\) have no common element, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Option C represents \(A\), not the intersection. Exam tip: remember the identity \(A\cap A^c=\varnothing\) for every set \(A\).
किसी भी समुच्चय A और उसके पूरक Aᶜ का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् A ∪ Aᶜ = U। यहाँ Aᶜ = {b, e} होने पर A = {a, c, d} होगा, और दोनों का संघ {a, b, c, d, e} = U है। विकल्प B केवल Aᶜ है, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-टिप: A ∪ Aᶜ = U और A ∩ Aᶜ = ∅ को याद रखें। / For any set A, the union of A and its complement is the universal set: A ∪ Aᶜ = U. Here, since Aᶜ = {b, e}, A = {a, c, d}; therefore, their union is {a, b, c, d, e} = U. Option B gives only Aᶜ, not the union. Exam tip: Remember the identities A ∪ Aᶜ = U and A ∩ Aᶜ = ∅.
जो तत्व (U) में है लेकिन (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यही पूरक की सदस्यता शर्त है। / An element that is in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the membership condition of complement.
(U) का कोई तत्व या तो (A) में होगा या \(A^c\) में। यदि वह \(A^c\) में नहीं है, तो वह (A) में होगा। / An element of (U) belongs either to (A) or to \(A^c\). If it is not in \(A^c\), then it is in (A).
(5) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए (5) पूरक में आएगा। (9) (U) में शामिल है, इसलिए ([5,9]) सही है। / (5) is not included in (A), so (5) comes in the complement. Since (9) is included in (U), ([5,9]) is correct.
Aᶜ = U − A होता है, अर्थात U में वे सभी अवयव जो A में नहीं हैं। यहाँ 1, A में शामिल है, इसलिए 1 पूरक में शामिल नहीं होगा और अंतराल 1 के बाद खुले सिरे से शुरू होगा। 4, U में शामिल है और A में नहीं है, इसलिए 4 शामिल रहेगा। अतः Aᶜ = (1, 4]। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय और दिए गए समुच्चय के अंतराल के सिरों की समावेशिता जाँचें। / The complement is Aᶜ = U − A, meaning all elements of U that are not in A. Since 1 is included in A, it is excluded from the complement, so the interval starts with an open parenthesis at 1. The endpoint 4 is included in U and not in A, so it remains included. Therefore, Aᶜ = (1, 4]. Exam tip: When finding an interval complement, carefully check whether each endpoint is included in the universal set and in the given set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) है। किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वत्रिक समुच्चय में मौजूद, लेकिन उस समुच्चय में शामिल न होने वाले तत्वों का समुच्चय होता है। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{-2,2,3\}\)। विकल्प B केवल \(A\) स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने से पहले सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य लिखें। / The universal set is \(U=\{-2,-1,0,1,2,3\}\). The complement of a set consists of the elements of the universal set that are not in that set. Hence, \(A^c=U\setminus A=\{-2,2,3\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Always write the universal set before finding a complement.
समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(9\in U\) और \(9\notin A\), इसलिए \(9\in A^c\)। विकल्प 2, 3 और 5 पहले से ही \(A\) में हैं। परीक्षा में पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय और दिए गए समुच्चय का अंतर निकालें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here, \(9\in U\) and \(9\notin A\), so \(9\in A^c\). The elements 2, 3, and 5 already belong to \(A\). Exam tip: To find a complement, list the elements of the universal set and remove those in the given set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{1,3,4\}\) है। इसलिए \(4\in A^c\) सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(2\in A\), विकल्प C गलत है क्योंकि \(5\in A\), और विकल्प D गलत है क्योंकि \(1\notin A\)। परीक्षा में पूरक निकालते समय हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के सभी अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{1,3,4\}\). Therefore, \(4\in A^c\) is correct. Option B is false because \(2\in A\), option C is false because \(5\in A\), and option D is false because \(1\notin A\). Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
चार दिशाओं में (उत्तर) और (दक्षिण) हटाने पर (पूर्व) और (पश्चिम) बचते हैं। पूरक संदर्भ समुच्चय पर निर्भर करता है। / Among the four directions, removing north and south leaves east and west. Complement depends on the reference set.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में 60 विद्यार्थी हैं और समुच्चय \(A\) में 18 विद्यार्थी संगीत सीखते हैं, तो संगीत न सीखने वाले विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
संगीत न सीखने वाले विद्यार्थी \(A\) के पूरक समुच्चय \(A^c\) में होंगे। इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-18=42\)। अतः सही उत्तर 42 है। परीक्षा में पूरक समुच्चय की संख्या निकालने के लिए कुल संख्या में दिए गए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / Students who do not learn music belong to the complement \(A^c\) of set \(A\). Thus, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-18=42\). Therefore, the correct answer is 42. Exam tip: To find the size of a complement, subtract the size of the set from the size of the universal set.
A. (A) में न आने वाले विद्यार्थियों की संख्या/number of students not in (A)
Explanation
Simple Explanation
(n\(A^c\)) उन तत्वों की संख्या है जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। इसका मान यहां (45-28=17) होगा। / (n\(A^c\)) is the number of elements in (U) but not in (A). Its value here is (45-28=17).
वास्तविक उपसमुच्चय में (U) का कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होता है। इसलिए \(A^c\) खाली नहीं होगा। / In a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\) will not be empty.
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदल गया है/because the universal set has changed
Explanation
Simple Explanation
किसी समुच्चय का पूरक चुने गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित होता है। यहाँ \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3\}\), जबकि \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5\}\) है। इसलिए अलग-अलग मान सार्वत्रिक समुच्चय बदलने के कारण मिलते हैं, न कि \(A\) बदलने के कारण। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य देखें। / The complement of a set is defined relative to the chosen universal set. Here, with respect to \(U_1\), \(A^c=\{1,3\}\), while with respect to \(U_2\), \(A^c=\{1,3,5\}\). Thus, the different values arise because the universal set changes, not because \(A\) changes. Exam tip: Always identify the universal set before finding a complement.
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक होने के लिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनाने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे सुरक्षित जांच है। / For (B) to be the complement of (A), they must have no common element and together form (U). This is the safest exam check.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (11,13,15) हटाने पर (10,12,14) बचते हैं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). So after removing (11,13,15), (10,12,14) remain.
\(U\) में 5 के गुणज \(5,10,15\) हैं, इसलिए \(A=\{5,10,15\}\)। किसी समुच्चय का पूरक \(A^c=U\setminus A\) होता है; अतः \(U\) से 5, 10 और 15 हटाने पर \(\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखकर उसमें से दिए गए समुच्चय के तत्व हटाएँ। / The multiples of 5 in \(U\) are 5, 10, and 15, so \(A=\{5,10,15\}\). The complement is defined by \(A^c=U\setminus A\); therefore, removing 5, 10, and 15 from \(U\) gives \(\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14\}\). Option B is just \(A\), not its complement. Exam tip: To find a complement, first write the universal set and remove all elements of the given set.
(A) में स्वर हैं, इसलिए (U) में बचे (b,c,d) पूरक में होंगे। पूरक हमेशा (U) के आधार पर निकाला जाता है। / (A) contains vowels, so the remaining elements (b,c,d) of (U) are in the complement. Complement is always found with respect to (U).
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 8} प्राप्त होता है। अब सार्वत्रिक समुच्चय U में से इस संघ के सभी अवयव हटाने पर {4, 5, 6} बचते हैं, इसलिए (A ∪ B)ᶜ = {4, 5, 6}। विकल्प B केवल A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय का पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 8}. Removing these elements from the universal set U leaves {4, 5, 6}; therefore, (A ∪ B)ᶜ = {4, 5, 6}. Option B is merely A ∪ B, not its complement. Exam tip: The complement of a set is always taken with respect to the given universal set.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{6\}\), क्योंकि दोनों समुच्चयों में केवल 6 समान है। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष इसका पूरक \(U\setminus\{6\}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\) होगा। विकल्प B केवल \(A\cap B\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के सभी अवयव हटा दें। / First find the intersection: \(A\cap B=\{6\}\), since 6 is the only element common to both sets. Its complement relative to the universal set is \(U\setminus\{6\}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\). Option B is just \(A\cap B\), not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\) मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं और दोनों असंयुक्त होते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), अतः \(n(A)=72-31=41\)। विकल्प 31, \(A^c\) की संख्या है, जबकि विकल्प 72 पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा में याद रखें: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Hence, \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), so \(n(A)=72-31=41\). The value 31 is the cardinality of \(A^c\), while 72 is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: remember \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
(3) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए वह पूरक में आएगा। (8) (A) में है, इसलिए पूरक (8) के बाद से शुरू होगा। / (3) is not included in (A), so it comes in the complement. (8) is in (A), so the complement starts after (8).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। समुच्चय \(A\) के पूरक में \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(-2,0,2,4\) को हटाने पर \(A^c=\{-3,-1,1,3\}\) मिलता है। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखें और उसमें से दिए गए समुच्चय के तत्व हटाएँ। / The universal set is \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The complement of \(A\) contains all elements of \(U\) that are not in \(A\). Removing \(-2,0,2,4\) from \(U\) gives \(A^c=\{-3,-1,1,3\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Write the universal set first, then remove the elements of the given set to find its complement.
यदि किसी कक्षा में कुल विद्यार्थियों का समुच्चय U है और गणित पसंद करने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय A है, जहाँ \(n(U)=55\) तथा \(n(A)=37\), तो गणित पसंद न करने वाले विद्यार्थियों की संख्या \(n(A^c)\) कितनी है?
गणित पसंद न करने वाले विद्यार्थी A के पूरक समुच्चय \(A^c\) में होंगे। पूरक समुच्चय का सूत्र \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) है। इसलिए \(n(A^c)=55-37=18\)। विकल्प 37 केवल गणित पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या है, जबकि 55 कुल विद्यार्थियों की संख्या है। परीक्षा में पूरक समुच्चय के लिए कुल संख्या में से दिए गए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / Students who do not like mathematics belong to the complement set \(A^c\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(n(A^c)=55-37=18\). The number 37 represents students who like mathematics, while 55 represents the total number of students. Exam tip: To find the size of a complement, subtract the size of the set from the size of the universal set.
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक समुच्चय (A) से असंबद्ध होता है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। यही पूरक जांचने का सबसे सरल नियम है। / A complement set is disjoint from (A), and together they form (U). This is the simplest rule to check complement.
