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मूल फलन \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x-3|\) आलेख को 3 इकाई दाईं ओर और बाहर जोड़ा गया \(+2\) उसे 2 इकाई ऊपर ले जाता है। इसलिए शीर्ष \((3,2)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत है, जबकि विकल्प C में ऊर्ध्वाधर विस्थापन की दिशा गलत है। परीक्षा युक्ति: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष सीधे \((h,k)\) होता है। / The basic function \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(|x-3|\), the graph shifts 3 units to the right, and the outside \(+2\) shifts it 2 units upward. Therefore, the vertex is \((3,2)\). Option B reverses the horizontal shift, while option C reverses the vertical shift. Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is directly \((h,k)\).
क्योंकि \((x+2)^2\ge 0\), इसलिए \(-(x+2)^2\le 0\) और \(f(x)=-(x+2)^2+5\le 5\)। समानता तब होती है जब \(x=-2\), अतः अधिकतम मान 5 है। ध्यान रखें कि \(-2\) शीर्ष-बिंदु का \(x\)-निर्देशांक है, फलन का अधिकतम मान नहीं। परीक्षा में नीचे खुले हुए पराबोला \(y=-(x+2)^2+5\) का अधिकतम \(y\)-मान शीर्ष-बिंदु से पहचानें। / Since \((x+2)^2\ge 0\), we have \(-(x+2)^2\le 0\), so \(f(x)=-(x+2)^2+5\le 5\). Equality occurs when \(x=-2\), hence the maximum value is 5. Note that \(-2\) is the x-coordinate of the vertex, not the maximum value of the function. Exam tip: for a downward-opening parabola, the y-coordinate of the vertex gives the maximum value.
वास्तविक मान के लिए \(7-x\ge 0\), इसलिए \(x\le 7\)। वर्गमूल में अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / For real values, \(7-x\ge 0\), so \(x\le 7\). The expression inside a square root must not be negative.
ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट उस मान पर मिलता है जहाँ फलन का हर शून्य हो जाता है। यहाँ \(x+3=0\), इसलिए \(x=-3\) पर फलन अपरिभाषित है और यही ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(y=-2\) क्षैतिज आसिम्प्टोट है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{1}{x-a}+b\) के लिए ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट \(x=a\) होता है। / A vertical asymptote occurs where the denominator becomes zero. Here, \(x+3=0\), so the function is undefined at \(x=-3\), making \(x=-3\) the vertical asymptote. The line \(y=-2\) is the horizontal asymptote, not the vertical one. Exam tip: For \(\frac{1}{x-a}+b\), the vertical asymptote is \(x=a\).
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{2}{x-1}\) का मान 0 के बहुत निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान 4 के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=4\) है। विकल्प \(x=1\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a}{x-h}+k\) के रूप में लिखे फलन का क्षैतिज आसिम्प्टोट हमेशा \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{2}{x-1}\) approaches 0. Therefore, \(f(x)\) approaches 4, so the horizontal asymptote is \(y=4\). The line \(x=1\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For a function in the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is \(y=k\).
मापांक \(|2x-6|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, और यह तभी प्राप्त होता है जब अंदर का व्यंजक शून्य हो। इसलिए \(2x-6=0\), जिससे \(x=3\) मिलता है। \(x=6\) रखने पर फलन का मान 6 आता है, इसलिए वह न्यूनतम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|ax+b|\) का न्यूनतम बिंदु हमेशा \(ax+b=0\) से प्राप्त करें। / The modulus \(|2x-6|\) is minimized when its inner expression is zero, because the least possible value of an absolute value is 0. Thus, \(2x-6=0\), giving \(x=3\). For example, at \(x=6\), the function value is 6, so it cannot be the minimum. Exam tip: For a function of the form \(|ax+b|\), set \(ax+b=0\) to find the minimum point.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) होता है। अतः \(|x+1|-4=0\), यानी \(|x+1|=4\)। इसलिए \(x+1=4\) या \(x+1=-4\), जिससे \(x=3\) या \(x=-5\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) और \((-5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए पहले \(f(x)=0\) रखें और दोनों चिह्नों वाले मामले हल करें। / At an x-intercept, the function value is zero. Thus, \(|x+1|-4=0\), so \(|x+1|=4\). Therefore, \(x+1=4\) or \(x+1=-4\), giving \(x=3\) or \(x=-5\). Hence, the x-intercepts are \((3,0)\) and \((-5,0)\). Exam tip: For a modulus function, set \(f(x)=0\) and solve both positive and negative cases.
x-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए \(y=f(x)=0\) होता है। इसलिए \((x-3)^2-4=0\), अर्थात \((x-3)^2=4\)। इससे \(x-3=\pm2\), इसलिए \(x=1\) या \(x=5\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((1,0)\) और \((5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(f(x)=0\) रखें। / At any point on the x-axis, \(y=f(x)=0\). Thus, \((x-3)^2-4=0\), so \((x-3)^2=4\). Hence \(x-3=\pm2\), giving \(x=1\) or \(x=5\). Therefore, the x-intercepts are \((1,0)\) and \((5,0)\). Exam tip: To find x-intercepts, set the function equal to zero.
\(f(x)=3|x-2|\) में बाहरी गुणांक 3, प्रत्येक \(y\)-मान को 3 गुना कर देता है। इसलिए आलेख ऊर्ध्व दिशा में 3 के गुणक से खिंचता है, जबकि शीर्षबिंदु \((2,0)\) अपरिवर्तित रहता है। विकल्प B में ऊर्ध्व संपीड़न कहा गया है, जो तब होता जब गुणांक 0 और 1 के बीच होता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर का गुणांक ऊर्ध्व परिवर्तन करता है, जबकि मॉड्यूलस के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(f(x)=3|x-2|\), the outside coefficient 3 multiplies every \(y\)-value by 3. Hence the graph is vertically stretched by a factor of 3, while its vertex remains at \((2,0)\). Option B describes vertical compression, which occurs when the outside coefficient lies between 0 and 1. Exam tip: a coefficient outside the modulus causes vertical scaling, whereas a change inside the modulus causes horizontal shifting.
यहाँ \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\), मूल फलन \(y=x^2\) के प्रत्येक \(y\)-मान का आधा कर देता है। इसलिए आलेख \(x\)-अक्ष की ओर ऊर्ध्वाधर रूप से संकुचित होता है और परवलय अधिक चौड़ा दिखाई देता है। यह बाईं या नीचे ओर स्थानांतरण नहीं है, क्योंकि \(x\) में कोई बदलाव या स्थिर पद नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: \(0<a<1\) होने पर \(y=ax^2\) का आलेख ऊर्ध्वाधर रूप से संकुचित होता है। / In \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\), every \(y\)-value of the parent function \(y=x^2\) is multiplied by \(\frac{1}{2}\). Thus, the graph is vertically compressed toward the \(x\)-axis and the parabola appears wider. It is not shifted left or down because there is no change inside \(x\) and no constant term has been added. Exam tip: when \(0<a<1\), the graph of \(y=ax^2\) is vertically compressed.
A. (x)-अक्ष में प्रतिबिंब और ऊर्ध्व खिंचाव/Reflection in (x)-axis and vertical stretch
Explanation
Simple Explanation
ऋण चिह्न (x)-अक्ष में प्रतिबिंब देता है और (2) ऊर्ध्व खिंचाव देता है। इसलिए परवलय नीचे खुलता है और संकरा होता है। / The negative sign reflects in the (x)-axis, and (2) gives a vertical stretch. So the parabola opens downward and becomes narrower.
\(\sqrt{x+2}\) तब शुरू होता है जब (x+2=0), अर्थात (x=-2)। बाहर (-3) होने से प्रारंभिक बिंदु ((-2,-3)) है। / \(\sqrt{x+2}\) starts when (x+2=0), that is (x=-2). The outside (-3) makes the starting point ((-2,-3)).
\(\sqrt{5-x}\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 2)। (x) घटाने पर वर्गमूल बड़ा हो सकता है, इसलिए परिसर \([2,\infty\)) है। / Since \(\sqrt{5-x}\ge 0\), (f(x)\ge 2). The square root can grow as (x) decreases, so the range is \([2,\infty\)).
(\frac{1}{(x+1)2}>0), इसलिए फलन (3) से बड़ा है लेकिन (3) के बराबर नहीं। अतः परिसर (\(3,\infty\)) है। / (\frac{1}{(x+1)2}>0), so the function is greater than (3) but never equal to (3). Hence the range is (\(3,\infty\)).
(\frac{1}{(x-3)2}) धनात्मक होता है, इसलिए उसका ऋणात्मक मान हमेशा (0) से कम है। यह कभी (0) नहीं बनता। / (\frac{1}{(x-3)2}) is positive, so its negative is always less than (0). It never becomes (0).
जब \(x=5\), तब \(x-5=0\) होता है। साइनम फलन में \(\operatorname{sgn}(0)=0\), इसलिए \(f(5)=0\)। विकल्प 1 तब मिलता है जब \(x-5>0\), और विकल्प -1 तब जब \(x-5<0\)। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन में शून्य, धनात्मक और ऋणात्मक इन तीनों स्थितियों को अलग-अलग जाँचें। / When \(x=5\), we get \(x-5=0\). By definition of the signum function, \(\operatorname{sgn}(0)=0\); hence, \(f(5)=0\). The value 1 applies when \(x-5>0\), while -1 applies when \(x-5<0\). Exam tip: Always check the zero, positive, and negative cases separately for a signum function.
जब \(x<4\), तब \(4-x>0\) होता है। साइनम फलन में धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, इसलिए \(f(x)=\operatorname{sgn}(4-x)=1\)। विकल्प 0 केवल \(x=4\) पर और विकल्प -1 \(x>4\) पर प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: \(\operatorname{sgn}(y)=1\) यदि \(y>0\), 0 यदि \(y=0\), और -1 यदि \(y<0\)। / When \(x<4\), we have \(4-x>0\). The signum function has value \(1\) for a positive argument, so \(f(x)=\operatorname{sgn}(4-x)=1\). The value 0 occurs only at \(x=4\), while -1 occurs when \(x>4\). Exam tip: remember that \(\operatorname{sgn}(y)=1\) for \(y>0\), 0 for \(y=0\), and -1 for \(y<0\).
(x+2=3.6) और \(\lfloor 3.6\rfloor=3\)। पहले अंदर का मान निकालें फिर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / Here (x+2=3.6) and \(\lfloor 3.6\rfloor=3\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
(2x=2.8) और \(\lfloor 2.8\rfloor=2\)। दशमलव के लिए सबसे बड़ी छोटी या बराबर पूर्णांक संख्या लें। / Here (2x=2.8), and \(\lfloor 2.8\rfloor=2\). For a decimal, take the greatest integer less than or equal to it.
\([3,4)\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(3\le x<4\) होता है, इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक \(\lfloor x\rfloor=3\) रहता है। अतः \(f(x)=3\), और आलेख इस पूरे अंतराल पर \(y=3\) की क्षैतिज रेखा है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=4\) इस अंतराल में शामिल नहीं है और \(\lfloor4\rfloor=4\) केवल अगले चरण पर मिलता है। परीक्षा-युक्ति: greatest integer function के लिए \([n,n+1)\) पर मान सदैव \(n\) होता है। / For every \(x\) in \([3,4)\), we have \(3\le x<4\), so the greatest integer less than or equal to \(x\) is \(\lfloor x\rfloor=3\). Therefore, \(f(x)=3\), giving a horizontal graph segment at \(y=3\) throughout this interval. Option B is incorrect because \(x=4\) is excluded from the interval; the value becomes 4 only at the next step. Exam tip: for the greatest integer function, \(f(x)=n\) on every interval \([n,n+1)\).
\(y=x^2\) का परवलय y-अक्ष के प्रति सममित होता है और उसका न्यूनतम बिंदु \((0,0)\) है, जहाँ स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। \(y=|x|\) भी सममित है, पर मूलबिंदु पर उसका तीखा कोना होता है। परीक्षा टिप: चिकना U-आकार दिखे तो परवलय पहचानें। / The graph of \(y=x^2\) is a parabola symmetric about the y-axis, with its minimum at \((0,0)\) and a horizontal tangent there. Although \(y=|x|\) is also symmetric, it has a sharp corner at the origin. Exam tip: a smooth U-shape indicates a parabola.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(x^2-4x=0\), अर्थात् \(x(x-4)=0\)। अतः \(x=0\) या \(x=4\), इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में \(-4\) अनावश्यक रूप से शामिल किया गया है; यह इस फलन का शून्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए \(f(x)=0\) रखें। / At any point on the x-axis, the y-coordinate is 0. Hence, \(x^2-4x=0\), which factors as \(x(x-4)=0\). Therefore, \(x=0\) or \(x=4\), so option A is correct. Option B incorrectly includes \(-4\), which is not a zero of this function. Exam tip: To find the x-intercepts of a quadratic function, set \(f(x)=0\).
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(x^3-8=0\), अर्थात \(x^3=8\), और \(x=2\) मिलता है। अतः x-प्रतिच्छेद का x-निर्देशांक 2 है। \(x=8\) लेना स्थिर पद को सीधे उत्तर मानने की सामान्य भूल है। परीक्षा में x-अक्ष का प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At every point on the x-axis, the y-coordinate is 0. Hence, set \(f(x)=0\): \(x^3-8=0\), so \(x^3=8\) and \(x=2\). Therefore, the x-coordinate of the intercept is 2. Choosing \(x=8\) incorrectly treats the constant term as the answer. In an exam, set \(y=0\) to find an x-intercept.
मूल फलन \(y=x^3\) का मोड़ बिंदु \((0,0)\) होता है। \((x+3)^3\) ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर और उसके बाद \(-1\) उसे 1 इकाई नीचे ले जाता है, इसलिए नया मोड़ बिंदु \((-3,-1)\) है। जाँच के लिए \(f''(x)=6(x+3)\) रखने पर \(x=-3\) मिलता है और \(f(-3)=-1\)। विकल्प B में बाईं ओर के स्थानांतरण का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \((x-h)^3+k\) का मोड़ बिंदु सीधे \((h,k)\) होता है। / The parent function \(y=x^3\) has its point of inflection at \((0,0)\). In \((x+3)^3-1\), the graph is shifted 3 units left and 1 unit down, so the new point of inflection is \((-3,-1)\). Alternatively, \(f''(x)=6(x+3)\) gives \(x=-3\), and \(f(-3)=-1\). Option B incorrectly treats \(x+3\) as a shift to the right. Exam tip: the point of inflection of \((x-h)^3+k\) is \((h,k)\).
\(x=y^2\) में कई धनात्मक (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / For \(x=y^2\), many positive (x)-values give two (y)-values. So it fails the vertical line test.
बाईं ओर (2) इकाई के लिए (x+2) और ऊपर (3) इकाई के लिए बाहर (+3) होता है। इसलिए सही रूप (y=(x+2)2+3) है। / For (2) units left, use (x+2), and for (3) units up, use outside (+3). Thus the correct form is (y=(x+2)2+3).
दाईं ओर (4) इकाई के लिए अंदर (x-4) और नीचे (1) इकाई के लिए बाहर (-1) होता है। इसलिए (y=|x-4|-1) सही है। / For (4) units right, use (x-4), and for (1) unit down, use outside (-1). So (y=|x-4|-1) is correct.
A. \(g\) का आलेख 3 इकाई ऊपर है/The graph of \(g\) is shifted 3 units upward
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(g(x)=f(x)+3\), इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए फलन का मान 3 बढ़ जाता है। अतः \(f\) के आलेख का प्रत्येक बिंदु 3 इकाई ऊपर खिसकता है और \(g\) का आलेख प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: \(y=f(x)+k\) आलेख को \(k\) इकाई ऊपर तथा \(y=f(x)-k\) उसे \(k\) इकाई नीचे खिसकाता है। / Since \(g(x)=f(x)+3\), the function value increases by 3 for every \(x\). Therefore, each point on the graph of \(f\) moves 3 units upward to form the graph of \(g\). Remember for exams: \(y=f(x)+k\) shifts a graph \(k\) units upward, whereas \(y=f(x)-k\) shifts it downward.
अंदर (x-2) होने से आलेख (2) इकाई दाईं ओर खिसकता है। इसलिए ऊर्ध्व आसिम्प्टोट (x=2) हो जाता है। / The inside term (x-2) shifts the graph (2) units right. Therefore the vertical asymptote becomes (x=2).
\(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) और \(\lfloor2.4\rfloor=2\)। पहले अंदर का मान निकालकर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / \(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) and \(\lfloor2.4\rfloor=2\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए \(y=f(x)=0\) होता है। इसलिए \(-(x-1)^2+4=0\), अर्थात् \((x-1)^2=4\)। अतः \(x-1=\pm2\), जिससे \(x=-1\) या \(x=3\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि प्रतिच्छेद बिंदु पूर्ण रूप से \((-1,0)\) और \((3,0)\) हैं; यहाँ उनके केवल x-निर्देशांक पूछे गए हैं। / At every point on the x-axis, \(y=f(x)=0\). Thus, \(-(x-1)^2+4=0\), which gives \((x-1)^2=4\). Therefore, \(x-1=\pm2\), so \(x=-1\) or \(x=3\). Hence, option A is correct. Remember that the complete intercept points are \((-1,0)\) and \((3,0)\); this question asks only for their x-coordinates.
मूल फलन \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x-5|\) आलेख को 5 इकाई दाईं ओर और बाहर का \(-2\) उसे 2 इकाई नीचे खिसकाता है। इसलिए नया शीर्ष \((5,-2)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The basic function \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(y=|x-5|-2\), the graph shifts 5 units to the right and 2 units downward, so the vertex is \((5,-2)\). Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is \((h,k)\).
किसी भी वास्तविक संख्या का मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(|2x+4|\geq 0\)। यह न्यूनतम मान तब प्राप्त करता है जब \(2x+4=0\), अर्थात् \(x=-2\)। अतः \(f(x)=0+1=1\) का न्यूनतम मान है। परीक्षा-युक्ति: \(|g(x)|+c\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \(c\) होता है, यदि \(g(x)=0\) का कोई वास्तविक हल हो। / The modulus of any real number is non-negative, so \(|2x+4|\geq 0\). It attains its minimum value when \(2x+4=0\), giving \(x=-2\). Therefore, \(f(x)=0+1=1\). Hence, option A is correct; 0 is only the minimum value of the modulus term, not of the whole function. Exam tip: For an expression of the form \(|g(x)|+c\), check whether \(g(x)=0\) has a real solution; if it does, the minimum is \(c\).
मॉड्यूलस फलन \(f(x)=|ax+b|\) का शीर्ष उस बिंदु पर होता है जहाँ मॉड्यूलस के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(3x-9=0\), जिससे \(x=3\) प्राप्त होता है और शीर्ष \((3,0)\) है। \(x=9\) लेना केवल स्थिर पद को देखकर किया गया भ्रम है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस के अंदर के रैखिक व्यंजक को शून्य करके शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक ज्ञात करें। / For a modulus function \(f(x)=|ax+b|\), the vertex occurs where the expression inside the modulus is zero. Thus, \(3x-9=0\), giving \(x=3\), and the vertex is \((3,0)\). The choice \(x=9\) results from confusing the constant term with the required value of \(x\). Exam tip: Set the linear expression inside the modulus equal to zero to find the vertex's \(x\)-coordinate.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(f(x)=0\) होता है। इसलिए \(2|x+2|-6=0\), जिससे \(|x+2|=3\) मिलता है। अतः \(x+2=3\) या \(x+2=-3\), इसलिए \(x=1\) या \(x=-5\)। इस प्रकार प्रतिच्छेद बिंदु \((1,0)\) और \((-5,0)\) हैं। परीक्षा में \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At an \(x\)-intercept, the function value is zero. Thus, \(2|x+2|-6=0\), giving \(|x+2|=3\). Therefore, \(x+2=3\) or \(x+2=-3\), so \(x=1\) or \(x=-5\). Hence, the intercepts are \((1,0)\) and \((-5,0)\). For an \(x\)-intercept, remember to set \(y=f(x)=0\).
क्योंकि \(|x-1|\ge 0\), इसलिए \(-|x-1|\le 0\) और \(f(x)=-|x-1|+4\le 4\)। जब \(x=1\) होता है, तब \(|x-1|=0\) और \(f(1)=4\), इसलिए अधिकतम मान 4 है। विकल्प 1 केवल \(x=1\) से भ्रमित होकर चुना जा सकता है; वह फलन का मान नहीं, बल्कि अधिकतम मान प्राप्त होने वाला \(x\)-मान है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक मापांक वाले फलन में शीर्ष बिंदु पर अधिकतम मान मिलता है। / Since \(|x-1|\ge 0\), we have \(-|x-1|\le 0\), so \(f(x)=-|x-1|+4\le 4\). At \(x=1\), \(|x-1|=0\) and \(f(1)=4\); hence the maximum value is 4. Option 1 may result from confusing the \(x\)-value at which the maximum occurs with the function's maximum value. Exam tip: a negative coefficient of the modulus gives an inverted V-shaped graph, whose vertex represents the maximum.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) रखें: \(3(x-1)^2-12=0\)। इससे \((x-1)^2=4\), अतः \(x-1=\pm2\) और \(x=-1,3\) प्राप्त होते हैं। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-1,0)\) और \((3,0)\) हैं। विकल्प B में \(x=1\) शीर्ष का x-निर्देशांक है, प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=f(x)=0\) रखें। / For an x-intercept, set \(f(x)=0\): \(3(x-1)^2-12=0\). Thus \((x-1)^2=4\), so \(x-1=\pm2\), giving \(x=-1\) and \(x=3\). Therefore, the intercept points are \((-1,0)\) and \((3,0)\). Option B includes \(x=1\), which is the x-coordinate of the vertex, not an x-intercept. Exam tip: To find x-intercepts, always set \(y=f(x)=0\).
द्विघात फलन \(f(x)=ax^2+bx+c\) के ग्राफ का सममिति-अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-10\), इसलिए \(x=-\frac{-10}{2(1)}=5\)। अतः सही उत्तर \(x=5\) है। \(x=-5\) चिन्ह की गलती से प्राप्त होता है, जबकि \(y=5\) सममिति-अक्ष का सही रूप नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) का गुणांक और \(x\) का गुणांक पहचानकर सीधे \(-\frac{b}{2a}\) लगाएँ। / For a quadratic function \(f(x)=ax^2+bx+c\), the axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-10\), so \(x=-\frac{-10}{2(1)}=5\). Therefore, the correct axis is \(x=5\). The option \(x=-5\) results from a sign error, while \(y=5\) is not the correct form of the axis for this graph. Exam tip: Identify the coefficients of \(x^2\) and \(x\), then apply \(-\frac{b}{2a}\) directly.
द्विघात फलन \(f(x)=ax^2+bx+c\) के आलेख का सममिति-अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}\) होता है। यहाँ \(a=2\) और \(b=-8\), इसलिए \(x=-\frac{-8}{2\cdot2}=2\)। अतः सही उत्तर \(x=2\) है। ध्यान रखें कि सममिति-अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा है; इसलिए \(y=2\) इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं हो सकता। / For a quadratic function \(f(x)=ax^2+bx+c\), the axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}\). Here, \(a=2\) and \(b=-8\), so \(x=-\frac{-8}{2\cdot2}=2\). Therefore, the correct answer is \(x=2\). Remember that the axis of symmetry is a vertical line, so \(y=2\) cannot be correct here.
वर्ग पूर्ण करने पर \(f(x)=x^2+2x+5=(x+1)^2+4\) मिलता है। चूँकि \((x+1)^2\geq 0\), इसका सबसे छोटा मान 0 होगा, जो \(x=-1\) पर प्राप्त होता है। अतः फलन का न्यूनतम मान 4 है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को \((x-h)^2+k\) के रूप में लिखने पर न्यूनतम मान सीधे k होता है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+2x+5=(x+1)^2+4\). Since \((x+1)^2\geq 0\), its least value is 0, attained at \(x=-1\). Therefore, the minimum value of the function is 4. Exam tip: For a quadratic written as \((x-h)^2+k\), the minimum value is directly k.
वर्ग पूर्ण करने पर \(f(x)=-(x-3)^2+4\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x-3)^2\geq 0\), इसलिए \(-(x-3)^2\leq 0\), और फलन का अधिकतम मान 4 है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: नीचे की ओर खुलने वाले द्विघात फलन का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / Completing the square gives \(f(x)=-(x-3)^2+4\). Since \((x-3)^2\geq 0\), we have \(-(x-3)^2\leq 0\), so the maximum value of the function is 4, attained at \(x=3\). Exam tip: For a downward-opening quadratic, the vertex gives the maximum value.
\(\sqrt{x+6}\) (x=-6) से शुरू होता है और बाहर (-2) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-6,-2)) है। / \(\sqrt{x+6}\) starts at (x=-6), and (-2) is added outside. So the starting point is ((-6,-2)).
ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट उस मान पर निर्धारित होता है जहाँ फलन का हर शून्य हो जाता है। यहाँ \(x-5=0\), इसलिए \(x=5\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(y=2\) क्षैतिज आसिम्प्टोट है, इसलिए वह सही उत्तर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x-a}+b\) के लिए ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट \(x=a\) और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=b\) होता है। / A vertical asymptote occurs where the denominator becomes zero. Here, \(x-5=0\), so the vertical asymptote is \(x=5\). The line \(y=2\) is the horizontal asymptote, not the vertical one. Exam tip: for \(\frac{1}{x-a}+b\), the vertical asymptote is \(x=a\) and the horizontal asymptote is \(y=b\).
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{3}{x+2}\) का मान 0 के निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान \(-1\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=-1\) होती है। \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्योंकि वहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसिम्प्टोट सीधे \(y=k\) होती है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{3}{x+2}\) approaches 0. Therefore, \(f(x)\) approaches \(-1\), so the horizontal asymptote is \(y=-1\). The line \(x=-2\) is the vertical asymptote because the denominator becomes zero there. Exam tip: For a function of the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
\(\frac{-2}{x-3}\) में गुणांक ऋणात्मक है। इसलिए इसकी शाखाएं मूल \(-\frac{1}{x}\) जैसी विपरीत चतुर्थांशों में होती हैं। / The coefficient in \(\frac{-2}{x-3}\) is negative. So its branches are like \(-\frac{1}{x}\) in opposite quadrants.
फलन का हर \((x+2)^2\), \(x=-2\) पर शून्य हो जाता है, इसलिए उस बिंदु पर फलन अपरिभाषित है। जब \(x\), \(-2\) के पास जाता है, तब \(f(x)\) का मान अनंत की ओर बढ़ता है; अतः \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(x=2\) चिन्ह की गलती से प्राप्त हो सकता है, जबकि \(y=0\) इस फलन का क्षैतिज आसिम्प्टोट है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में हर को शून्य रखकर ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट खोजें। / The denominator \((x+2)^2\) becomes zero at \(x=-2\), so the function is undefined there. As \(x\) approaches \(-2\), the value of \(f(x)\) increases without bound; therefore, \(x=-2\) is the vertical asymptote. The option \(x=2\) results from a sign error, while \(y=0\) is the horizontal asymptote. Exam tip: For a reciprocal function, set the denominator equal to zero to find the vertical asymptote.
(\frac{2}{(x-1)2}) हमेशा धनात्मक है लेकिन (0) नहीं होता। इसलिए फलन (-3) से बड़ा रहता है। / (\frac{2}{(x-1)2}) is always positive but never (0). Therefore the function remains greater than (-3).
(-\frac{3}{(x+1)2}) हमेशा ऋणात्मक होता है और (0) नहीं बनता। इसलिए (f(x)) हमेशा (2) से कम है। / (-\frac{3}{(x+1)2}) is always negative and never becomes (0). So (f(x)) is always less than (2).
क्योंकि \(x>4\), इसलिए \(3x-12=3(x-4)>0\)। साइनम फलन में किसी धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, अतः \(f(x)=1\)। ध्यान रखें कि \(x=4\) पर मान \(0\) होता, लेकिन यहाँ \(x>4\) दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले साइनम के अंदर के व्यंजक का चिह्न निर्धारित करें। / Since \(x>4\), we have \(3x-12=3(x-4)>0\). The signum of a positive number is \(1\), so \(f(x)=1\). Note that the value would be \(0\) at \(x=4\), but that point is excluded by \(x>4\). Exam tip: first determine the sign of the expression inside the signum function.
जब \(x>2\), तब \(2-x<0\) होता है। साइनम फलन में किसी ऋणात्मक संख्या का मान \(-1\) होता है, इसलिए \(f(x)=\operatorname{sgn}(2-x)=-1\)। ध्यान रखें: \(\operatorname{sgn}(y)\) का मान \(y<0\) पर \(-1\), \(y=0\) पर \(0\), और \(y>0\) पर \(1\) होता है। / When \(x>2\), we have \(2-x<0\). The signum function has value \(-1\) for a negative argument; therefore, \(f(x)=\operatorname{sgn}(2-x)=-1\). Exam tip: \(\operatorname{sgn}(y)\) equals \(-1\) for \(y<0\), \(0\) for \(y=0\), and \(1\) for \(y>0\).
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(u)\) का मान शून्य तभी होता है जब \(u=0\) हो। यहाँ \(u=x+7\), इसलिए \(x+7=0\) रखने पर \(x=-7\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\) के लिए सीधे \(g(x)=0\) हल करें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(u)\) equals zero only when \(u=0\). Here, \(u=x+7\), so solving \(x+7=0\) gives \(x=-7\). Therefore, option A is correct. Exam tip: To find where \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\), set the inner expression \(g(x)\) equal to zero.
\(x=5.9\) रखने पर \(x-3=5.9-3=2.9\) प्राप्त होता है। महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor y\rfloor\), \(y\) से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक होता है; इसलिए \(\lfloor 2.9\rfloor=2\)। विकल्प 2.9 गलत है क्योंकि वह अंदर का मान है, फलन का अंतिम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: दशमलव संख्या के लिए floor मान हमेशा उससे छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / Substituting \(x=5.9\) gives \(x-3=5.9-3=2.9\). The greatest-integer function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\), so \(\lfloor 2.9\rfloor=2\). The value 2.9 is only the intermediate expression, not the final function value. Exam tip: for a decimal input, take the greatest integer that is less than or equal to it.
दिए गए \(x=-0.4\) को फलन में रखने पर \(3x=3(-0.4)=-1.2\) प्राप्त होता है। \(\lfloor y\rfloor\) उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो \(y\) से छोटा या उसके बराबर हो। इसलिए \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\), अतः सही उत्तर -2 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक दशमलव के लिए केवल दशमलव हटाना पर्याप्त नहीं होता; संख्या से छोटा या बराबर पूर्णांक लेना होता है। / Substituting \(x=-0.4\) gives \(3x=3(-0.4)=-1.2\). The floor function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\). Therefore, \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\), so the correct answer is -2. Exam tip: for a negative decimal, the floor is the next lower integer, not the integer obtained by simply dropping the decimal part.
\(\frac{7.4+2}{3}=\frac{9.4}{3}\), जो (3) से बड़ा और (4) से छोटा है। इसलिए ग्रेटेस्ट इंटीजर (3) है। / \(\frac{7.4+2}{3}=\frac{9.4}{3}\), which is greater than (3) and less than (4). So the greatest integer is (3).
महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। \([-3,-2)\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(-3\le x<-2\), इसलिए \(\lfloor x\rfloor=-3\) और \(y=-3\) होगा। ध्यान दें कि \(x=-2\) इस अंतराल में शामिल नहीं है; वहाँ फलन का मान \(-2\) होता। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). For every \(x\) in \([-3,-2)\), we have \(-3\le x<-2\), so \(\lfloor x\rfloor=-3\) and hence \(y=-3\). Note that \(x=-2\) is excluded from the interval; at \(x=-2\), the function value would be \(-2\).
\(x=1.35\) रखने पर \(2x=2(1.35)=2.7\) मिलता है। 2.7 का भिन्नात्मक भाग पूर्णांक भाग 2 हटाने पर \(0.7\) है, इसलिए \(f(1.35)=0.7\)। विकल्प B \(2.7\) पूरा मान है, भिन्नात्मक भाग नहीं। परीक्षा में \(\{y\}=y-\lfloor y\rfloor\) का उपयोग करके शीघ्रता से मान निकालें। / Substituting \(x=1.35\) gives \(2x=2(1.35)=2.7\). Removing the integer part 2 leaves the fractional part \(0.7\), so \(f(1.35)=0.7\). Option B, \(2.7\), is the value of \(2x\) before taking its fractional part. In an exam, use \(\{y\}=y-\lfloor y\rfloor\) to evaluate such functions quickly.
(y)-अक्ष पर (x=0), इसलिए (2y=12) और (y=6)। प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (y)-axis, (x=0), so (2y=12) and (y=6). For intercepts, set the other coordinate to zero.
\(y\)-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। इसलिए \(f(0)=0^3+3=3\), अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((0,3)\) है और उसका \(y\)-निर्देशांक 3 है। विकल्प B में दिया गया 0 \(x\)-निर्देशांक है, \(y\)-निर्देशांक नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the y-axis has \(x=0\). Thus, \(f(0)=0^3+3=3\), so the intercept point is \((0,3)\) and its y-coordinate is 3. Option B, 0, is the x-coordinate of the intercept, not its y-coordinate. Exam tip: To find a y-intercept, substitute \(x=0\).
\(y=x^2\) का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, जिसका शीर्ष \((0,0)\) पर होता है और दोनों भुजाएँ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होती हैं। \(y=|x|\) भी सममित है, पर उसका ग्राफ V-आकार का है। परीक्षा में परवलय पहचानने के लिए द्विघात घात 2 देखें। / The graph of \(y=x^2\) is an upward-opening parabola with vertex \((0,0)\), and its two sides are symmetric about the y-axis. Although \(y=|x|\) is also symmetric, it is V-shaped rather than parabolic. Exam tip: look for the quadratic power 2 to identify a parabola.
\(x\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(f(x)=0\), अर्थात \(x^3+27=0\)। इससे \(x^3=-27\) और \(x=-3\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((-3,0)\) है। ध्यान रखें कि \(x\)-अक्ष का प्रतिच्छेद केवल \(x\)-मान नहीं, बल्कि क्रमित युग्म के रूप में लिखा जाता है। / At every point on the \(x\)-axis, the \(y\)-coordinate is 0. Therefore, set \(f(x)=0\): \(x^3+27=0\), so \(x^3=-27\) and \(x=-3\). Hence, the intercept point is \((-3,0)\). Remember that an \(x\)-intercept is written as an ordered pair, not just as the \(x\)-value.
A. ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ/Vertically stretched
Explanation
Simple Explanation
\(f(x)=2x^3\) में प्रत्येक समान \(x\) के लिए \(y=x^3\) का y-मान 2 से गुणा हो जाता है। इसलिए आलेख y-दिशा में 2 के गुणक से ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचता है। यह ऊर्ध्वाधर संकुचन नहीं है, क्योंकि संकुचन तब होता है जब गुणांक 0 और 1 के बीच हो। परीक्षा-युक्ति: \(y=af(x)\) में \(|a|>1\) होने पर ऊर्ध्वाधर खिंचाव और \(0<|a|<1\) होने पर ऊर्ध्वाधर संकुचन होता है। / In \(f(x)=2x^3\), the y-value of \(y=x^3\) is multiplied by 2 for every fixed \(x\). Thus, the graph is vertically stretched by a factor of 2. It is not vertically compressed, since compression occurs when the multiplying coefficient lies between 0 and 1. Exam tip: In \(y=af(x)\), \(|a|>1\) causes a vertical stretch, while \(0<|a|<1\) causes a vertical compression.
समीकरण \(y^2=x+1\) को \(y=\pm\sqrt{x+1}\) लिखा जा सकता है। इसलिए प्रत्येक \(x>-1\) के लिए दो \(y\)-मान मिलते हैं और कोई ऊर्ध्वाधर रेखा आलेख को दो बिंदुओं पर काट सकती है। अतः यह ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण में असफल होता है। इसके विपरीत, विकल्प B, C और D में प्रत्येक अनुमत \(x\) के लिए केवल एक \(y\)-मान मिलता है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी ऊर्ध्वाधर रेखा का आलेख से एक से अधिक प्रतिच्छेद हो, तो वह संबंध \(y\) का फलन नहीं होता। / The equation \(y^2=x+1\) can be rewritten as \(y=\pm\sqrt{x+1}\). Thus, for every \(x>-1\), there are two corresponding values of \(y\), so a vertical line can intersect the graph at two points. Therefore, it fails the vertical line test. In options B, C, and D, each allowed \(x\)-value gives exactly one \(y\)-value. Exam tip: a relation represents a function of \(x\) only if every vertical line intersects its graph at most once.
दाईं ओर (3) इकाई के लिए (x-3) और नीचे (2) इकाई के लिए बाहर (-2) होता है। इसलिए सही रूप (y=(x-3)2-2) है। / For (3) units right, use (x-3), and for (2) units down, use outside (-2). So the correct form is (y=(x-3)2-2).
ग्राफ को 4 इकाई बाईं ओर खिसकाने के लिए मूल फलन में \(x\) के स्थान पर \(x+4\) रखा जाता है, जबकि 5 इकाई ऊपर खिसकाने के लिए पूरे फलन में \(+5\) जोड़ा जाता है। इसलिए नया फलन \(y=\sqrt{x+4}+5\) है। विकल्प B में \(x-4\) होने के कारण ग्राफ दाईं ओर खिसकता है। परीक्षा-युक्ति: अंदर का \(+c\) क्षैतिज स्थानांतरण को विपरीत दिशा में और बाहर का \(+c\) ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण को उसी दिशा में दर्शाता है। / To shift the graph 4 units left, replace \(x\) by \(x+4\) inside the function. To shift it 5 units upward, add \(5\) outside the function. Thus, the required function is \(y=\sqrt{x+4}+5\). In option B, \(x-4\) shifts the graph 4 units right instead. Exam tip: a change inside the function acts in the opposite horizontal direction, while a change outside acts in the same vertical direction.
A. (3) इकाई बाईं ओर और (4) इकाई नीचे/(3) units left and (4) units down
Explanation
Simple Explanation
अंदर (x+3) होने से (3) इकाई बाईं ओर और बाहर (-4) होने से (4) इकाई नीचे खिसकाव होता है। / The inside term (x+3) shifts the graph (3) units left, and outside (-4) shifts it (4) units down.
\(y=x^3\) का केंद्रीय बिंदु ((0,0)) होता है और यह (4) दाईं ओर तथा (2) ऊपर खिसकता है। ऋण चिह्न दिशा बदलता है लेकिन केंद्रीय बिंदु ((4,2)) ही रहता है। / The central point of \(y=x^3\) is ((0,0)) and it shifts (4) right and (2) up. The negative sign changes direction but the central point remains ((4,2)).
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{4}{(x-3)^2}\) का मान 0 के निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान 1 के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=1\) है। \(x=3\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a}{(x-h)^2}+k\) के लिए क्षैतिज आसिम्प्टोट सामान्यतः \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{4}{(x-3)^2}\) approaches 0. Hence, \(f(x)\) approaches 1, so the horizontal asymptote is \(y=1\). The line \(x=3\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For a function of the form \(\frac{a}{(x-h)^2}+k\), the horizontal asymptote is generally \(y=k\).
\(f(x)=|x|\) के लिए \(f(-x)=|-x|=|x|=f(x)\) होता है। इसलिए यह एक सम फलन है और इसका आलेख y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। \(x\), \(x^3\) तथा \(\frac{1}{x}\) विषम फलन हैं; इनके आलेख मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होते हैं, y-अक्ष के सापेक्ष नहीं। परीक्षा टिप: y-अक्ष सममिति जाँचने के लिए \(f(-x)=f(x)\) जाँचें। / For \(f(x)=|x|\), we get \(f(-x)=|-x|=|x|=f(x)\). Hence, it is an even function and its graph is symmetric about the y-axis. The functions \(x\), \(x^3\), and \(\frac{1}{x}\) are odd functions, so their graphs are symmetric about the origin, not the y-axis. Exam tip: To test y-axis symmetry, check whether \(f(-x)=f(x)\).
मॉड्यूलस फलन का शीर्ष उस बिंदु पर होता है जहाँ अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(2x-8=0\) से \(x=4\) मिलता है। तब \(f(4)=|0|+3=3\), अतः शीर्षबिंदु \((4,3)\) है। विकल्प C में \(x=8\) लेने की भूल है, जबकि बाहर का \(+3\) ग्राफ को 3 इकाई ऊपर खिसकाता है। परीक्षा टिप: \(a|x-h|+k\) का शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The vertex of an absolute-value function occurs where the expression inside the modulus becomes zero. Thus, \(2x-8=0\) gives \(x=4\). Then \(f(4)=|0|+3=3\), so the vertex is \((4,3)\). Option C results from incorrectly taking \(x=8\), while the outside \(+3\) shifts the graph 3 units upward. Exam tip: Rewrite the function in the form \(a|x-h|+k\); its vertex is \((h,k)\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2\le 16\) और डोमेन ([-4,4]) मिलता है। / For a real square root, \(16-x^2\ge 0\) is required. This gives \(x^2\le 16\) and the domain ([-4,4]).
A. प्रथम और तृतीय चतुर्थांश/First and third quadrants
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f(x)=x\) का ग्राफ \(y=x\) है। जब \(x>0\), तब \(y>0\), इसलिए बिंदु प्रथम चतुर्थांश में होते हैं; और जब \(x<0\), तब \(y<0\), इसलिए बिंदु तृतीय चतुर्थांश में होते हैं। इसीलिए सही उत्तर प्रथम और तृतीय चतुर्थांश है। विकल्प B में \(x\) और \(y\) के चिह्न विपरीत माने गए हैं, जो \(y=x\) के लिए गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=x\) की रेखा मूलबिंदु से होकर गुजरती है और धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों समान निर्देशांक वाले बिंदुओं को जोड़ती है। / The graph of \(f(x)=x\) is the line \(y=x\). When \(x>0\), \(y>0\), so the points lie in the first quadrant; when \(x<0\), \(y<0\), so the points lie in the third quadrant. Therefore, the correct answer is the first and third quadrants. Option B incorrectly assumes that \(x\) and \(y\) have opposite signs, which applies to a line such as \(y=-x\), not to \(y=x\). Exam tip: The graph of \(y=x\) passes through the origin and has equal-sign coordinates away from the origin.
साइनम फलन में ऋणात्मक (x) के लिए मान (-1) होता है। परीक्षा में (x<0), (x=0), (x>0) तीन स्थितियां अलग रखें। / In the signum function, the value is (-1) for negative (x). In exams, keep the three cases (x<0), (x=0), and (x>0) separate.
(f(-x)=f(x)) इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के प्रति सममित है। परीक्षा में सम फलन पहचानने के लिए (f(-x)) जांचें। / Since (f(-x)=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. In exams, check (f(-x)) to identify an even function.
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\) क्योंकि यह (2.7) से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। परीक्षा में दशमलव को निकटतम पूर्णांक नहीं, नीचे वाले पूर्णांक में बदलें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\) because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). In exams, do not round; move down to the greatest integer.
\(x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। परीक्षा में मूल बिंदु सममिति के लिए विषम फलन देखें। / \(x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). In exams, origin symmetry usually indicates an odd function.
हर \(x\in[1,2\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=1\) होता है। परीक्षा में इस ग्राफ को सीढ़ीनुमा ग्राफ के रूप में याद रखें। / For every \(x\in[1,2\)), \(\lfloor x\rfloor=1\). In exams, remember this graph as a step graph.
(|x|) हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है और (x=0) पर (0) मिलता है। परीक्षा में मापांक ग्राफ का शीर्ष याद रखें। / (|x|) is always (0) or greater and equals (0) at (x=0). In exams, remember the vertex of the modulus graph.
वास्तविक \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को अनऋणात्मक रखें। / For real \(\sqrt{x}\), we need \(x\ge 0\). In exams, keep the expression inside a square root non-negative.
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) में \(x=0\) रखने पर फलन अपरिभाषित हो जाता है, इसलिए ग्राफ पर \(x=0\) का कोई बिंदु नहीं होता। अतः \(x=0\) इसकी ऊर्ध्वाधर आसमाटी है और ग्राफ इसे नहीं काटता। जाँच के लिए, \(y=x\) के साथ \(\frac{1}{x}=x\) से \(x=\pm1\) मिलता है, इसलिए वह रेखा ग्राफ को काटती है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\frac{1}{x}\) के लिए \(x=0\) और \(y=0\) आसमाटी होती हैं। / For \(f(x)=\frac{1}{x}\), the value at \(x=0\) is undefined, so the graph has no point on the line \(x=0\). Thus, \(x=0\) is the vertical asymptote and the graph does not intersect it. For comparison, with \(y=x\), the equation \(\frac{1}{x}=x\) gives \(x=\pm1\), so that line does intersect the graph. Exam tip: For \(y=\frac{1}{x}\), the asymptotes are \(x=0\) and \(y=0\).
A. x-अक्ष के समानांतर रेखा/Line parallel to the x-axis
Explanation
Simple Explanation
स्थिर फलन \(f(x)=3\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=3\) होता है। इसलिए इसके ग्राफ के सभी बिंदु \((x,3)\) होते हैं और यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा बनाता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि y-अक्ष के समानांतर रेखा में \(x\) स्थिर रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का ग्राफ हमेशा x-अक्ष के समानांतर होता है। / For the constant function \(f(x)=3\), the value of \(y\) is \(3\) for every \(x\). Thus, all points have the form \((x,3)\), forming a horizontal line parallel to the x-axis. Option B is incorrect because a line parallel to the y-axis has a fixed \(x\)-coordinate. Exam tip: the graph of \(y=c\), where \(c\) is constant, is always parallel to the x-axis.
(y=|x|) का सबसे छोटा मान (0) है जो (x=0) पर मिलता है। परीक्षा में इसका ग्राफ (V)-आकार का याद रखें। / The least value of (y=|x|) is (0) at (x=0). In exams, remember its (V)-shaped graph.
मूल परवलय \(y=x^2\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। फलन में \(+2\) जुड़ने से पूरा ग्राफ 2 इकाई ऊपर खिसकता है, इसलिए नया शीर्ष \((0,2)\) है। विकल्प C में 2 को x-निर्देशांक माना गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The basic parabola \(y=x^2\) has its vertex at \((0,0)\). Adding \(+2\) shifts the entire graph 2 units upward, so the new vertex is \((0,2)\). Option C incorrectly treats 2 as the x-coordinate. Exam tip: for \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\).
((x-3)) का अर्थ ग्राफ को दाईं ओर (3) इकाई खिसकाना है। परीक्षा में (x-a) को दाईं ओर विस्थापन समझें। / ((x-3)) means shifting the graph (3) units to the right. In exams, read (x-a) as a right shift.
(|x+2|=0) तब होता है जब (x=-2)। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष निकालें। / (|x+2|=0) when (x=-2). In exams, set the inside of the modulus equal to (0) to find the vertex.
\(\sqrt{x-4}\) में सबसे छोटा (x=4) है और तब (y=0) है। परीक्षा में वर्गमूल ग्राफ की शुरुआत अंदर की राशि (0) से करें। / For \(\sqrt{x-4}\), the smallest (x) is (4) and then (y=0). In exams, start a square-root graph by making the inside expression (0).
हर (x-2) को (0) करने पर (x=2) मिलता है। परीक्षा में हर को (0) रखकर लंबवत आसमापी निकालें। / Setting the denominator (x-2) equal to (0) gives (x=2). In exams, set the denominator to (0) for a vertical asymptote.
\(\frac{1}{x}\) का क्षैतिज आसमापी (y=0) है और (+1) से वह (y=1) हो जाता है। परीक्षा में ऊर्ध्व विस्थापन आसमापी पर भी लागू करें। / The horizontal asymptote of \(\frac{1}{x}\) is (y=0), and (+1) shifts it to (y=1). In exams, apply vertical shifts to asymptotes too.
\(y=\frac{1}{x}\) में (x) और (y) का चिह्न समान होता है। परीक्षा में पारस्परिक फलन की शाखाएं चतुर्थांश (1) और (3) में याद रखें। / In \(y=\frac{1}{x}\), (x) and (y) have the same sign. In exams, remember that the reciprocal graph lies in quadrants (1) and (3).
\(y=x^2\) में \(y\ge 0\) होता है और ग्राफ (y)-अक्ष के दोनों ओर होता है। परीक्षा में परवलय को (U)-आकार से पहचानें। / For \(y=x^2\), \(y\ge 0\) and the graph lies on both sides of the (y)-axis. In exams, identify the parabola by its (U)-shape.
C. पूरे ( \(-\infty,\infty\) ) पर/on all ( \(-\infty,\infty\) )
Explanation
Simple Explanation
\(x^3\) का ग्राफ बाएं से दाएं लगातार ऊपर जाता है। परीक्षा में \(x^3\) को पूरे वास्तविक प्रांत में बढ़ता हुआ याद रखें। / The graph of \(x^3\) rises continuously from left to right. In exams, remember \(x^3\) is increasing on the whole real domain.
(|x|) का ग्राफ (x=0) तक नीचे आता है और फिर ऊपर जाता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का बायां भाग घटता हुआ देखें। / The graph of (|x|) decreases up to (x=0) and then increases. In exams, see the left arm of the (V)-graph as decreasing.
A. ( (-2,0) ) और ( (2,0) )/( (-2,0) ) and ( (2,0) )
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष पर (y=0) रखकर \(x^2-4=0\) मिलता है। परीक्षा में अवरोधों के लिए संबंधित निर्देशांक (0) रखें। / On the (x)-axis, set (y=0), giving \(x^2-4=0\). In exams, set the related coordinate to (0) for intercepts.
\(x^2+1\) हमेशा (1) या उससे बड़ा है इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। परीक्षा में न्यूनतम मान से (x)-अवरोध जांचें। / \(x^2+1\) is always at least (1), so (y=0) is impossible. In exams, use the minimum value to check (x)-intercepts.
(2x) की ढाल (2) है जो (x) की ढाल (1) से अधिक है। परीक्षा में रैखिक फलन में (x) के गुणांक को ढाल मानें। / The slope of (2x) is (2), greater than the slope (1) of (x). In exams, treat the coefficient of (x) as the slope in a linear function.
(-|x|) हमेशा (0) या उससे कम होता है और (x=0) पर (0) मिलता है। परीक्षा में नीचे खुले (V)-ग्राफ का शीर्ष अधिकतम होता है। / (-|x|) is always (0) or less and equals (0) at (x=0). In exams, the vertex of a downward (V)-graph is the maximum.
\(y=\sqrt{x}\) में \(x\ge 0\) और \(y\ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्गमूल ग्राफ को पहले चतुर्थांश से जोड़ें। / For \(y=\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) and \(y\ge 0\). In exams, associate the square-root graph with the first quadrant.
समानता \(x^2=\sqrt{x}\) के लिए (x=0) और (x=1) सही हैं। परीक्षा में संभावित सरल बिंदुओं को पहले जांचें। / For \(x^2=\sqrt{x}\), (x=0) and (x=1) work. In exams, test simple possible points first.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है और (f(0)=5) केवल (x+5) में है। परीक्षा में (y)-अवरोध के लिए (x=0) रखें। / On the (y)-axis, (x=0), and only (x+5) gives (f(0)=5). In exams, set (x=0) for the (y)-intercept.
(|x-1|) का न्यूनतम (0) है इसलिए कुल न्यूनतम (2) है। परीक्षा में मापांक वाले भाग का न्यूनतम (0) मानें। / The minimum of (|x-1|) is (0), so the total minimum is (2). In exams, take the minimum of a modulus part as (0).
((x+1)2) ग्राफ को (1) इकाई बाईं ओर और (-3) नीचे ले जाता है। परीक्षा में (y=(x-h)2+k) का शीर्ष ((h,k)) लें। / ((x+1)2) shifts the graph (1) unit left and (-3) downward. In exams, for (y=(x-h)2+k), use vertex ((h,k)).
\(x^2\) सम फलन है क्योंकि (f(-x)=f(x))। परीक्षा में (y)-अक्ष सममिति के लिए सम फलन पहचानें। / \(x^2\) is an even function because (f(-x)=f(x)). In exams, identify even functions for (y)-axis symmetry.
\(x^3\) विषम फलन है इसलिए इसका ग्राफ मूल बिंदु के प्रति सममित है। परीक्षा में (f(-x)=-f(x)) जांचें। / \(x^3\) is an odd function, so its graph is symmetric about the origin. In exams, check (f(-x)=-f(x)).
\(\frac{1}{x^2}\) हमेशा धनात्मक होता है और \(x\ne 0\) होता है। परीक्षा में \(x^2\) हर में हो तो (y) धनात्मक याद रखें। / \(\frac{1}{x^2}\) is always positive and \(x\ne 0\). In exams, when \(x^2\) is in the denominator, remember (y) is positive.
(y=(-3)2=9) इसलिए बिंदु ((-3,9)) ग्राफ पर है। परीक्षा में वर्ग का मान हमेशा अनऋणात्मक रखें। / (y=(-3)2=9), so ((-3,9)) lies on the graph. In exams, remember a square is always non-negative.
\(\sqrt{16}=4\) इसलिए बिंदु ((16,4)) ग्राफ पर है। परीक्षा में पूर्ण वर्गों के वर्गमूल याद रखें। / \(\sqrt{16}=4\), so ((16,4)) lies on the graph. In exams, remember square roots of perfect squares.
दिए गए ग्राफ पर \(y=5\) रखने पर \(|x|=5\) प्राप्त होता है। किसी संख्या का परिमाण 5 होने पर वह संख्या \(5\) या \(-5\) हो सकती है; इसलिए सही विकल्प C है। केवल \(5\) लेना विकल्प A की सामान्य गलती है, क्योंकि ऋणात्मक मान भी समान परिमाण देता है। परीक्षा-युक्ति: \(|x|=a\), जहाँ \(a>0\), में हमेशा \(x=\pm a\) लिखें। / For the given graph, setting \(y=5\) gives \(|x|=5\). A number with absolute value 5 can be either \(5\) or \(-5\), so option C is correct. Choosing only \(5\) ignores the negative value, which is the error in option A. Exam tip: for \(|x|=a\) with \(a>0\), write \(x=\pm a\).
दिए गए फलन में \(y=25\) रखने पर \(x^2=25\) मिलता है। इसलिए \(x=5\) या \(x=-5\), अर्थात दोनों मान संभव हैं। केवल 5 या केवल −5 लेना गलत है क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं का वर्ग 25 होता है। परीक्षा में \(x^2=a\) होने पर, जहाँ \(a>0\), \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखना न भूलें। / Substituting \(y=25\) in the function gives \(x^2=25\). Hence, \(x=5\) or \(x=-5\), so both values are possible. Choosing only 5 or only −5 is incorrect because both a positive and a negative number can have the square 25. In exams, remember that for \(x^2=a\) with \(a>0\), \(x=\pm\sqrt{a}\).
\(y=\frac{1}{4}\) सीधे (x=4) रखने से मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक फलन में (x) को हर में रखें। / \(y=\frac{1}{4}\) is obtained by substituting (x=4). In exams, put (x) in the denominator for a reciprocal function.
\(x^3\) हर वास्तविक (y)-मान ले सकता है। परीक्षा में घन फलन का परिसर पूरे वास्तविक संख्याओं का सेट मानें। / \(x^3\) can take every real (y)-value. In exams, take the range of the cubic function as all real numbers.
(y=|x|) का शीर्ष ((0,0)) है और (-3) से नीचे खिसकता है। परीक्षा में ऊर्ध्व विस्थापन सीधे (y)-निर्देशांक में जोड़ें। / The vertex of (y=|x|) is ((0,0)), and (-3) shifts it downward. In exams, add vertical shifts directly to the (y)-coordinate.
\(y=\frac{1}{x}\) अक्षों के पास जाता है लेकिन उन्हें आसमापी की तरह नहीं काटता। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ के दोनों आसमापी याद रखें। / The graph \(y=\frac{1}{x}\) approaches the axes as asymptotes. In exams, remember both asymptotes of the reciprocal graph.
ऊर्ध्व खिंचाव में पूरे फलन को (2) से गुणा करते हैं। परीक्षा में बाहरी गुणक को ऊर्ध्व खिंचाव मानें। / For vertical stretching, multiply the whole function by (2). In exams, treat an outside multiplier as vertical scaling.
ऋणात्मक गुणांक के कारण परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष का (y)-मान (4) अधिकतम है। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम होता है। / Because the coefficient is negative, the parabola opens downward and the vertex (y)-value (4) is maximum. In exams, the vertex is maximum for a downward parabola.
\(y=x^3\) ऋणात्मक (x) पर ऋणात्मक और धनात्मक (x) पर धनात्मक होता है। परीक्षा में घन ग्राफ को (x)-अक्ष पार करते हुए याद रखें। / \(y=x^3\) is negative for negative (x) and positive for positive (x). In exams, remember the cubic graph crosses the (x)-axis.
(x)-अक्ष के लिए (|x+1|-2=0) से (|x+1|=2) मिलता है। परीक्षा में मापांक को खोलकर दोनों स्थितियां हल करें। / For the (x)-axis, (|x+1|-2=0) gives (|x+1|=2). In exams, open the modulus into both cases.
\(\sqrt{x+5}\) के लिए \(x+5\ge 0\) इसलिए \(x\ge -5\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या उससे बड़ा रखें। / For \(\sqrt{x+5}\), \(x+5\ge 0\), so \(x\ge -5\). In exams, keep the expression inside the square root at least (0).
स्थिर फलन में (y) हमेशा (2) रहता है। परीक्षा में स्थिर रेखा का परिसर केवल उसी (y)-मान का सेट होता है। / In a constant function, (y) is always (2). In exams, the range of a constant line is the set containing only that (y)-value.
B. यह (y)-अक्ष के प्रति सममित है/it is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2\) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएं है और ग्राफ (y)-अक्ष के प्रति सममित है। परीक्षा में परवलय के प्रांत और परिसर अलग-अलग याद रखें। / The domain of \(y=x^2\) is all real numbers and its graph is symmetric about the (y)-axis. In exams, remember the domain and range of a parabola separately.
