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(A) में (10) अभाज्य हैं, (B) में (10) गुणज हैं और \(A\cap B={3}\), इसलिए \(|A\cup B|=19\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=30-19=11) नहीं, ध्यान से (30-19=11) है। / There are (10) primes in (A), (10) multiples in (B), and \(A\cap B={3}\), so \(|A\cup B|=19\). Hence (|\(A\cup B\)'|=30-19=11); always subtract from (|U|).
\(A\cap B\) में (15) के गुणज (15,30,45) हैं, इसलिए उसमें (3) अवयव हैं। अतः (|\(A\cap B\)'|=45-3=42)। / \(A\cap B\) contains multiples of (15), namely (15,30,45), so it has (3) elements. Hence (|\(A\cap B\)'|=45-3=42).
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए (U) के बचे अवयव (A') होंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के अंदर ही निकालें। / Here \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the remaining elements of (U) form (A'). In exams, always find complement inside (U).
(A) में (-2) शामिल नहीं और (6) शामिल है, इसलिए पूरक में (-2) आएगा पर (6) नहीं आएगा। सही उत्तर ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)) है। / (A) does not include (-2) but includes (6), so the complement includes (-2) but excludes (6). The correct answer is ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)).
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\)। इस उल्टे क्रम को याद रखना उपयोगी है। / The complement reverses inclusion, so \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\). Remember this reversal property for hard questions.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cap B'\)'=A'\cup (B')'=A'\cup B)। पहले अंदर के पूरक को पहचानें। / By De Morgan's law, (\(A\cap B'\)'=A'\cup (B')'=A'\cup B). First identify the inner complement.
B. वे संख्याएँ जो न सम हैं और न (5) के गुणज हैं/Numbers that are neither even nor multiples of (5)
Explanation
Simple Explanation
\(A'\cap B'\) का अर्थ है (A) में नहीं और (B) में नहीं। डी मॉर्गन से यह (\(A\cup B\)') भी है। / \(A'\cap B'\) means not in (A) and not in (B). By De Morgan, it is also (\(A\cup B\)').
\(|A\cup B|=35+40-15=60\), इसलिए पूरक में (80-60=20) अवयव हैं। पहले संघ की संख्या निकालें। / \(|A\cup B|=35+40-15=60\), so the complement has (80-60=20) elements. Find the union count first.
(|A|=42) और (|B|=53), इसलिए \(|A\cup B|=42+53-21=74\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=100-74=26)। / (|A|=42) and (|B|=53), so \(|A\cup B|=42+53-21=74\). Hence (|\(A\cup B\)'|=100-74=26).
((A-B)'=\(A\cap B'\)'=A'\cup B)। अंतर को पूरक के रूप में लिखना तेज तरीका है। / ((A-B)'=\(A\cap B'\)'=A'\cup B). Writing difference using complement is a fast method.
(2) समुच्चय में नहीं था, इसलिए पूरक में आएगा; (7) समुच्चय में था, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / (2) was not in the set, so it is included in the complement; (7) was in the set, so it is excluded. Watch open and closed endpoints in intervals.
\(A\cap B=[1,3\)) है, इसलिए उसका पूरक (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)) होगा। पहले प्रतिच्छेद का सही अंतराल निकालें। / \(A\cap B=[1,3\)), so its complement is (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)). First find the correct intersection interval.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)'), इसलिए यदि यह रिक्त है तो \(A\cup B=U\)। पूरक रिक्त हो तो मूल समुच्चय सार्वत्रिक होता है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'), so if it is empty, \(A\cup B=U\). If a complement is empty, the original set is universal.
डी मॉर्गन से (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), इसलिए \(A'\cup B'=A'\cap B'\) होगा। यह तभी होता है जब (A'=B'), अर्थात (A=B)। / By De Morgan, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), so \(A'\cup B'=A'\cap B'\). This happens when (A'=B'), hence (A=B).
\(|A\cup B|=25+10-5=30\), इसलिए (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20)। डी मॉर्गन को गिनती से जोड़ें। / \(|A\cup B|=25+10-5=30\), so (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20). Connect De Morgan with counting.
(A=U-A'={a,c,e,g}) और (B'={e,f,g,h}), इसलिए \(A\cap B'={e,g}\)। दिए गए पूरक से पहले मूल समुच्चय निकालें। / (A=U-A'={a,c,e,g}) and (B'={e,f,g,h}), so \(A\cap B'={e,g}\). First recover the original set from its complement.
दोनों शर्तें बताती हैं कि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं। यही पूरक की मुख्य पहचान है। / Both conditions show that (A) and (A') together form (U) and are disjoint. This is the main identity of complement.
\(A\cap B\) में (12) के गुणज (12,24,36) हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। अतः पूरक में (40-3=37) अवयव होंगे। / \(A\cap B\) contains multiples of (12), namely (12,24,36), so it has (3) elements. Hence the complement has (40-3=37) elements.
समीकरण से \(A=\{2,3\}\) मिलता है, इसलिए पूरक \(\mathbb{R}-{2,3}\) होगा। पहले समीकरण का हल निकालें। / The equation gives \(A=\{2,3\}\), so the complement is \(\mathbb{R}-{2,3}\). Solve the equation first.
डी मॉर्गन से (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), जो ({3,5,7,11}) है। बाहरी पूरक को नियम से सरल करें। / By De Morgan, (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), which is ({3,5,7,11}). Simplify the outer complement using the law.
दोनों पक्षों का पूरक लेने पर ((A')'=(B')'), इसलिए (A=B)। दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है। / Taking complement on both sides gives ((A')'=(B')'), so (A=B). The double complement gives the original set.
यदि \(U={1,2,\ldots,60}\), (A) (3) के गुणजों का समुच्चय है, (B) (4) के गुणजों का समुच्चय है और (C) (5) के गुणजों का समुच्चय है, तो (|\(A\cup B\cup C\)'|) कितना है?
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\)। इसलिए पूरक में (60-36=24) अवयव हैं। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\). So the complement has (60-36=24) elements.
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (70) गणित पढ़ते हैं, (65) भौतिकी पढ़ते हैं और (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों की संख्या कितनी है?
\(|M\cup P|=70+65-30=105\), इसलिए (|\(M\cup P\)'|=120-105=15)। न यह न वह का अर्थ पूरक होता है। / \(|M\cup P|=70+65-30=105\), so (|\(M\cup P\)'|=120-105=15). Neither means the complement of the union.
(9) अभाज्य नहीं है और (U) में है, इसलिए (A') में होगा। पूरक में वे अवयव आते हैं जो (U) में हों पर (A) में न हों। / (9) is not prime and belongs to (U), so it is in (A'). Complement contains elements in (U) but not in (A).
दो समुच्चयों के पूरकों का सममित अंतर मूल समुच्चयों के सममित अंतर के बराबर होता है। यहां दोनों में केवल ({1,2,5,6}) मिलेंगे। / The symmetric difference of complements equals the symmetric difference of the original sets. Here both give ({1,2,5,6}).
(A) के बाहर वे वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए \(2\le x<8\)। इसलिए (A'=[2,8)) है। / Outside (A) are the real numbers satisfying \(2\le x<8\). Therefore (A'=[2,8)).
(B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) और (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), इसलिए (B=C)। (A) और (A') पूरे (U) को बांटते हैं। / (B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) and (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), so (B=C). (A) and (A') partition (U).
(A') सम संख्याएँ हैं और \(B=\{1,4,9,16,25\}\)। इनके प्रतिच्छेद में ({4,16}) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (A') is the set of even numbers and \(B=\{1,4,9,16,25\}\). Their intersection is ({4,16}), so the count is (2).
A. (2) से विभाज्य संख्याएँ/Numbers divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (2) से विभाज्य नहीं संख्याएँ हैं, इसलिए पूरक में (2) से विभाज्य संख्याएँ होंगी। नकारात्मक परिभाषा में पूरक लेते समय सावधान रहें। / (A) contains numbers not divisible by (2), so its complement contains numbers divisible by (2). Be careful with complements of negative descriptions.
पहली शर्त से \(A\cup B=U\) और दूसरी से दोनों असंयुक्त हैं। इसलिए (B) ठीक (A') है। / The first condition gives \(A\cup B=U\), and the second says they are disjoint. Therefore (B) is exactly (A').
दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है, इसलिए ((A')'=A)। यह पहचान लगभग हर पूरक प्रश्न में काम आती है। / The double complement gives the original set, so ((A')'=A). This identity is useful in many complement questions.
(20) तक (3) के (6) गुणज हैं, इसलिए (A') में (20-6=14) अवयव हैं। पूरक की संख्या के लिए कुल में से घटाएं। / There are (6) multiples of (3) up to (20), so (A') has (20-6=14) elements. For complement count, subtract from the total.
(A) में (2) से (6) तक के पूर्णांक हैं, इसलिए (A') में (2) से छोटे (U) के पूर्णांक होंगे। सार्वत्रिक सीमा को न भूलें। / (A) contains integers from (2) to (6), so (A') contains integers of (U) less than (2). Do not ignore the universal boundary.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Therefore the complement contains (30-20=10) numbers.
समुच्चय अंतर (B-A) का अर्थ है (B) में और (A) में नहीं, यानी \(B\cap A'\)। अंतर को पूरक से लिखना आसान है। / The difference (B-A) means in (B) and not in (A), that is \(B\cap A'\). Writing difference with complement is easier.
\(A\cup B=[-2,7]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)) है। पहले संघ का अंतराल सही बनाएं। / \(A\cup B=[-2,7]\), so the complement is (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)). First form the union interval correctly.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B=(-3,6)\)। इसलिए पूरक (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B=(-3,6)\). So the complement is (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)).
(100) तक पूर्ण वर्ग \(1^2\) से \(10^2\) तक (10) हैं। इसलिए (|A'|=100-10=90)। / Perfect squares up to (100) are from \(1^2\) to \(10^2\), giving (10) elements. Hence (|A'|=100-10=90).
\(A\cap B={4}\), इसलिए उसके पूरक में (15-1=14) अवयव हैं। छोटे प्रतिच्छेद का पूरक बड़ा हो सकता है। / \(A\cap B={4}\), so its complement has (15-1=14) elements. The complement of a small intersection can be large.
पूरक में (U) के वे अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं, इसलिए संख्या (n-r) है। यह सूत्र तभी लागू करें जब \(A\subseteq U\) हो। / The complement contains elements of (U) not in (A), so the number is (n-r). Use this formula only when \(A\subseteq U\).
(A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं तथा उनका साझा भाग रिक्त होता है। यह पूरक की जोड़ी पहचान है। / (A) and (A') together make the whole (U), and their common part is empty. This is the paired identity of complement.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)')। \(A\cap B\) में (6) के (4) गुणज हैं, इसलिए संख्या (24-4=20) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (4) multiples of (6), so the count is (24-4=20).
(A) में (U) के वे अवयव होंगे जो (A') में नहीं हैं। इसलिए \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) है। / (A) contains the elements of (U) that are not in (A'). Therefore \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\).
(A) के बाहर रहने के लिए (x>-1) और \(x\le 4\) होना चाहिए। इसलिए (A'=(-1,4]) है। / To be outside (A), (x>-1) and \(x\le 4\) must hold. Therefore (A'=(-1,4]).
यदि (U) में (200) विद्यार्थी हैं, (120) हिंदी लेते हैं, (90) अंग्रेजी लेते हैं और (50) दोनों लेते हैं, तो केवल कोई भी भाषा न लेने वालों की संख्या क्या है?
\(|H\cup E|=120+90-50=160\), इसलिए (|\(H\cup E\)'|=200-160=40)। neither को (\(H\cup E\)') के रूप में पढ़ें। / \(|H\cup E|=120+90-50=160\), so (|\(H\cup E\)'|=200-160=40). Read neither as (\(H\cup E\)').
\(A\cap B'=\varnothing\) का अर्थ है (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए हर (A) का अवयव (B) में है। / \(A\cap B'=\varnothing\) means no element of (A) lies outside (B). Hence every element of (A) is in (B).
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\), इसलिए \(B\subseteq A\)। पूरक लेकर संबंध आसान हो जाता है। / Taking complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\), so \(B\subseteq A\). Taking complements makes the relation easier.
\(x^2-1\ge 0\) का हल \(x\le -1\) या \(x\ge 1\) है। इसका पूरक (-1<x<1), यानी ((-1,1)) है। / The solution of \(x^2-1\ge 0\) is \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Its complement is (-1<x<1), that is ((-1,1)).
(A) में (18), (B) में (8) और \(A\cap B\) में (36) के (2) गुणज हैं, इसलिए \(|A\cup B|=18+8-2=24\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=72-24=48)। / (A) has (18) elements, (B) has (8), and \(A\cap B\) has (2) multiples of (36), so \(|A\cup B|=24\). Hence (|\(A\cup B\)'|=72-24=48).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') होता है। \(|A\cup B|=18+12-6=24\), इसलिए पूरक में (36-24=12) अवयव हैं। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since \(|A\cup B|=18+12-6=24\), the complement has (36-24=12) elements.
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(6,14)=42) के गुणज हैं, यानी ({42,84})। इसलिए (|\(A\cap B\)'|=84-2=82)। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(6,14)=42), namely ({42,84}). Therefore (|\(A\cap B\)'|=84-2=82).
\(x^2-4x\le 0\Rightarrow 0\le x\le 4\), इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\)। (U) के बाकी पूर्णांक (A') बनाते हैं। / \(x^2-4x\le 0\Rightarrow 0\le x\le 4\), so \(A=\{0,1,2,3,4\}\). The remaining integers of (U) form (A').
(A) में (-3) और (10) शामिल हैं, पर (4) और (7) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-3\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)) है। / (A) includes (-3) and (10), but excludes (4) and (7). Therefore the complement is (\(-\infty,-3\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)).
\(A\cap B=[-1,2]\), इसलिए उसका पूरक (\(-\infty,-1\)\cup\(2,\infty\)) है। अंतरालों में सीमा बिंदुओं पर ध्यान दें। / \(A\cap B=[-1,2]\), so its complement is (\(-\infty,-1\)\cup\(2,\infty\)). Watch the endpoints in interval questions.
\(A\subseteq B'\) का अर्थ है कि (A) का कोई अवयव (B) में नहीं है। इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) होगा। / \(A\subseteq B'\) means no element of (A) is in (B). Therefore \(A\cap B=\varnothing\).
(|A|=58) और (|B|=74), इसलिए \(|A\cup B|=58+74-31=101\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=150-101=49)। / (|A|=58) and (|B|=74), so \(|A\cup B|=58+74-31=101\). Hence (|\(A\cup B\)'|=150-101=49).
(1) से (40) तक (20) विषम संख्याएँ हैं और उनमें (10) अभाज्य हैं। इसलिए विषम पर अभाज्य नहीं संख्याएँ (20-10=10) हैं। / There are (20) odd numbers from (1) to (40), and (10) of them are prime. So odd but not prime numbers are (20-10=10).
डी मॉर्गन नियम से (\(A'\cap B\)'=(A')'\cup B'=A\cup B')। पूरक लेते समय \(\cap\) बदलकर \(\cup\) होता है। / By De Morgan's law, (\(A'\cap B\)'=(A')'\cup B'=A\cup B'). When taking complement, \(\cap\) changes to \(\cup\).
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)')। चूंकि \(A\cup B=U\), इसलिए (\(A\cup B\)'=\varnothing)। / By De Morgan, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since \(A\cup B=U\), (\(A\cup B\)'=\varnothing).
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=45+30+18-15-9-6+3=66\)। इसलिए पूरक में (90-66=24) अवयव हैं। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=45+30+18-15-9-6+3=66\). So the complement has (90-66=24) elements.
(\(A\cup B\)'=A'\cap B') और \({b,e,i}\cap{a,d,j}=\varnothing\)। दिए गए पूरकों पर सीधे डी मॉर्गन लगाएं। / (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), and \({b,e,i}\cap{a,d,j}=\varnothing\). Apply De Morgan directly to the given complements.
\(A'\cap B'\) में वे अवयव होते हैं जो न पूर्ण वर्ग हैं और न (5) के गुणज। (22) इन दोनों शर्तों को पूरा करता है। / \(A'\cap B'\) contains elements that are neither perfect squares nor multiples of (5). (22) satisfies both conditions.
\(A-B=A\cap B'\), और यह रिक्त है तो (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / \(A-B=A\cap B'\), and if it is empty, no element of (A) lies outside (B). Hence \(A\subseteq B\).
चार असंयुक्त भागों का योग (|U|) होता है। इसलिए \(|A'\cap B'|=64-18-12-20=14\)। / The four disjoint regions add up to (|U|). Therefore \(|A'\cap B'|=64-18-12-20=14\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B\) में (6) के (5) गुणज हैं। इसलिए संख्या (30-5=25) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B\) has (5) multiples of (6). So the count is (30-5=25).
(0) और (10) (A) में हैं, जबकि (4) और (7) (A) में नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)) है। / (0) and (10) are in (A), while (4) and (7) are not in (A). So the complement is (\(-\infty,0\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)).
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए यह (U) नहीं हो सकता जब \(U\neq\varnothing\)। पूरक और मूल समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
(B) में (8) अवयव हैं और \(A\cap B\) में (12) के (4) गुणज हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (8-4=4) अवयव हैं। / (B) has (8) elements, and \(A\cap B\) has (4) multiples of (12). Therefore \(A'\cap B\) has (8-4=4) elements.
(|U|=18) और (|A'|=7), इसलिए (|A|=18-7=11)। पूरक की संख्या कुल से घटाकर मिलती है। / (|U|=18) and (|A'|=7), so (|A|=18-7=11). The count of a set is obtained by subtracting its complement from the total.
\(x^2-9>0\Rightarrow x<-3\) या (x>3)। इसका पूरक \(-3\le x\le 3\), यानी ([-3,3]) है। / \(x^2-9>0\Rightarrow x<-3\) or (x>3). Its complement is \(-3\le x\le 3\), that is ([-3,3]).
(A-B={1,2,3}), इसलिए इसका पूरक (U-{1,2,3}) है। अतः सही समुच्चय ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}) है। / (A-B={1,2,3}), so its complement is (U-{1,2,3}). Thus the correct set is ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}).
(A') वे संख्याएँ हैं जो (7) से विभाज्य हैं। (100) तक (7) के \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) गुणज हैं। / (A') is the set of numbers divisible by (7). Up to (100), there are \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) multiples of (7).
सममित अंतर में वे अवयव हैं जो केवल एक समुच्चय में हों। उसका पूरक वे अवयव हैं जो दोनों में हों या दोनों में न हों, यानी (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\))। / The symmetric difference contains elements in exactly one set. Its complement contains elements in both or in neither, that is (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\)).
(A') विषम संख्याएँ हैं और (B') अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं। इनमें ({1,9,15,21}) नहीं बल्कि (U) में ({1,9,15}) के साथ ({? }) सोचने की गलती न करें; सही समुच्चय ({1,9,15}) और (? ) नहीं, बल्कि ({1,9,15}) केवल (3) हैं। / (A') is the set of odd numbers and (B') is the set of non-prime numbers. The correct odd non-primes in (U) are ({1,9,15}), so the count is (3).
(A) में (-4) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। इसलिए पूरक में (-4) नहीं और (3) शामिल होगा, अर्थात ((-4,3])। / (A) includes (-4) and excludes (3). So the complement excludes (-4) and includes (3), giving ((-4,3]).
यदि \(A\cup B'=B'\), तो (A) में कोई नया अवयव नहीं जुड़ रहा। इसलिए \(A\subseteq B'\) है। / If \(A\cup B'=B'\), adding (A) adds no new element. Therefore \(A\subseteq B'\).
साझा (B') लेने पर (\(A\cap B'\)\cup\(A'\cap B'\)=B'\cap\(A\cup A'\))। चूंकि \(A\cup A'=U\), परिणाम (B') है। / Factoring (B') gives (\(A\cap B'\)\cup\(A'\cap B'\)=B'\cap\(A\cup A'\)). Since \(A\cup A'=U\), the result is (B').
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(6,10)=30) के गुणज हैं, यानी (30,60)। इसलिए पूरक में (60-2=58) अवयव हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(6,10)=30), namely (30,60). Hence the complement has (60-2=58) elements.
(B') विषम संख्याएँ हैं और (A) पूर्ण वर्गों का समुच्चय है। इनके प्रतिच्छेद में ({1,9}) आते हैं। / (B') is the set of odd numbers, and (A) is the set of perfect squares. Their intersection is ({1,9}).
प्राकृतिक संख्याओं में (1) न अभाज्य है न संयुक्त, इसलिए वह संयुक्त संख्याओं के पूरक में आएगा। (A') में (1) और सभी अभाज्य संख्याएँ होंगी। / In natural numbers, (1) is neither prime nor composite, so it belongs to the complement of composite numbers. (A') contains (1) and all prime numbers.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B=(2,5)\) है। इसलिए पूरक (\(-\infty,2]\cup[5,\infty\)) होगा। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B=(2,5)\). Therefore the complement is (\(-\infty,2]\cup[5,\infty\)).
यदि पूरक रिक्त है, तो (U) का कोई भी अवयव (A) के बाहर नहीं है। इसलिए (A=U) है। / If the complement is empty, no element of (U) lies outside (A). Therefore (A=U).
(A') में (27-9=18) अवयव हैं और \(B\subseteq A\), इसलिए \(A'\cap B=\varnothing\)। (B) में (3) अवयव हैं, अतः कुल (18+3=21) है। / (A') has (27-9=18) elements and \(B\subseteq A\), so \(A'\cap B=\varnothing\). (B) has (3) elements, hence the total is (18+3=21).
क्योंकि \(C\subseteq A\), इसलिए \(A\cup B\cup C=A\cup B\)। \(|A\cup B|=12+8-4=16\), अतः पूरक (24-16=8) है। / Since \(C\subseteq A\), \(A\cup B\cup C=A\cup B\). \(|A\cup B|=12+8-4=16\), so the complement is (24-16=8).
\(A\cup B=(1,7)\) क्योंकि (4) दोनों ओर से जुड़ा है और (7) शामिल नहीं है। इसलिए पूरक (\(-\infty,1]\cup[7,\infty\)) है। / \(A\cup B=(1,7)\) because the intervals join at (4), and (7) is not included. Hence the complement is (\(-\infty,1]\cup[7,\infty\)).
(\(A\cup B\)') में वे संख्याएँ हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। इनमें सबसे छोटी संख्या (1) है। / (\(A\cup B\)') contains numbers divisible by neither (2) nor (3). The smallest such number is (1).
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B') हर स्थिति में सत्य है। \(A\cap B=\varnothing\) यहां अतिरिक्त जानकारी है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B') is true in all cases. The condition \(A\cap B=\varnothing\) is extra information here.
(A') सम संख्याएँ हैं और (B') वे संख्याएँ हैं जो अभाज्य सूची में नहीं हैं। उनका प्रतिच्छेद ({4,6,8,10,12,14}) है। / (A') is the set of even numbers, and (B') contains numbers not in the prime list. Their intersection is ({4,6,8,10,12,14}).
पहले भाग के पूरक में (0) और (2) की स्थिति बदलती है, और दूसरे भाग में (5) बाहर नहीं आएगा पर (9) आएगा। सही पूरक (\(-\infty,0]\cup[2,5\)\cup[9,\infty)) है। / The complement changes the endpoint status of (0), (2), (5), and (9). The correct complement is (\(-\infty,0]\cup[2,5\)\cup[9,\infty)).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)')। यदि यह (U) है, तो \(A\cap B\) का पूरक (U) है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). If this is (U), then the complement of \(A\cap B\) is (U), so \(A\cap B=\varnothing\).
(1) से (21) तक (11) विषम संख्याएँ हैं और उनमें (3,9,15,21) (3) से विभाज्य हैं। इसलिए (A') में विषम अवयव (11-4=7) हैं। / From (1) to (21), there are (11) odd numbers, and (3,9,15,21) are divisible by (3). So odd elements in (A') are (11-4=7).
\(x^2-2x-8\le 0\Rightarrow -2\le x\le 4\)। इसका पूरक (x<-2) या (x>4), यानी (\(-\infty,-2\)\cup\(4,\infty\)) है। / \(x^2-2x-8\le 0\Rightarrow -2\le x\le 4\). Its complement is (x<-2) or (x>4), that is (\(-\infty,-2\)\cup\(4,\infty\)).
एक कक्षा के (80) विद्यार्थियों में (46) क्रिकेट खेलते हैं, (38) फुटबॉल खेलते हैं और (20) दोनों खेलते हैं। कोई भी खेल न खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
\(|C\cup F|=46+38-20=64\), इसलिए न कोई खेल खेलने वाले (|\(C\cup F\)'|=80-64=16) हैं। neither को संघ के पूरक के रूप में पढ़ें। / \(|C\cup F|=46+38-20=64\), so those playing neither are (|\(C\cup F\)'|=80-64=16). Read neither as the complement of the union.
(A) में (16), (B) में (12) और \(A\cap B\) में (24) के (4) गुणज हैं, इसलिए \(|A\cup B|=24\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=96-24=72)। / (A) has (16) elements, (B) has (12), and \(A\cap B\) has (4) multiples of (24), so \(|A\cup B|=24\). Hence (|\(A\cup B\)'|=96-24=72).
डी मॉर्गन नियम से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (18) के (3) गुणज हैं, इसलिए \(|A'\cup B'|=54-3=51\)। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (18), so \(|A'\cup B'|=54-3=51\).
A. ({-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,7,8,9,10})
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-9x+20\le 0\Rightarrow 4\le x\le 5\) नहीं, सही हल \(4\le x\le 5\) है, इसलिए \(A=\{4,5\}\)। दिए गए विकल्पों में (A') वही है जो (U) से (4,5) हटाकर बनता है। / \(x^2-9x+20\le 0\Rightarrow 4\le x\le 5\), so \(A=\{4,5\}\). The complement is obtained by removing (4,5) from (U).
\(A\cup B=(-6,5)\) है, क्योंकि (-6) और (5) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-6]\cup[5,\infty\)) है। / \(A\cup B=(-6,5)\), because (-6) and (5) are not included. Therefore the complement is (\(-\infty,-6]\cup[5,\infty\)).
पूरक लेने पर समावेशन उलट जाता है, इसलिए \(A'\subseteq B'\Rightarrow B\subseteq A\)। इस उल्टे क्रम को हमेशा याद रखें। / Taking complements reverses inclusion, so \(A'\subseteq B'\Rightarrow B\subseteq A\). Always remember this reversed order.
(|B|=180-110=70) और \(|A\cup B|=85+70-28=127\)। इसलिए (|\(A\cup B\)'|=180-127=53)। / (|B|=180-110=70) and \(|A\cup B|=85+70-28=127\). Hence (|\(A\cup B\)'|=180-127=53).
(1) से (49) तक (25) विषम संख्याएँ हैं और विषम पूर्ण वर्ग (1,9,25,49) यानी (4) हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (25-4=21) अवयव हैं। / There are (25) odd numbers from (1) to (49), and the odd perfect squares are (1,9,25,49), so there are (4). Hence \(A'\cap B\) has (25-4=21) elements.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cup B'\)'=A'\cap(B')'=A'\cap B)। पूरक लेते समय \(\cup\) बदलकर \(\cap\) होता है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B'\)'=A'\cap(B')'=A'\cap B). When taking complement, \(\cup\) changes to \(\cap\).
\(|x+2|\le 6\Rightarrow -8\le x\le 4\)। इसका पूरक (x<-8) या (x>4), यानी (\(-\infty,-8\)\cup\(4,\infty\)) है। / \(|x+2|\le 6\Rightarrow -8\le x\le 4\). Its complement is (x<-8) or (x>4), that is (\(-\infty,-8\)\cup\(4,\infty\)).
\(A\cap B=U\) होने पर (A=U) और (B=U) होंगे। डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)'=U'=\varnothing)। / If \(A\cap B=U\), then (A=U) and (B=U). By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'=U'=\varnothing).
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\)। इसलिए पूरक में (120-44=76) नहीं, ध्यान से सही गणना (30+20+12-10-6-4+2=44) और (120-44=76) है। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\). Hence the complement is (120-44=76).
(\(A\cup B\)'=A'\cap B') और \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\)। दिए गए पूरकों पर सीधे डी मॉर्गन लगाएं। / (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), and \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\). Apply De Morgan directly to the given complements.
\(A'\cap B'\) में वे अवयव हैं जो न (4) के गुणज हैं और न पूर्ण वर्ग हैं। (18) इन दोनों में नहीं आता। / \(A'\cap B'\) contains elements that are neither multiples of (4) nor perfect squares. (18) is in neither of them.
\(B-A=B\cap A'\) है और यह (B) के बराबर है, इसलिए (B) का कोई अवयव (A) में नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / \(B-A=B\cap A'\), and if it equals (B), no element of (B) lies in (A). Hence \(A\cap B=\varnothing\).
(A) के बाहर होने के लिए \(x\ge -4\) और (x<2) होना चाहिए। इसलिए (A'=[-4,2)) है। / To be outside (A), \(x\ge -4\) and (x<2) must hold. Therefore (A'=[-4,2)).
\(A\subseteq B\) से पूरक लेने पर \(B'\subseteq A'\) मिलता है। दूसरी शर्त इस निष्कर्ष के लिए आवश्यक नहीं है। / From \(A\subseteq B\), taking complements gives \(B'\subseteq A'\). The second condition is not needed for this conclusion.
चार असंयुक्त भागों का योग (|U|) होता है। इसलिए \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\)। / The four disjoint regions add up to (|U|). Therefore \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B\) में (21) के (2) गुणज हैं। इसलिए संख्या (42-2=40) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B\) has (2) multiples of (21). So the count is (42-2=40).
(-1) (A) में नहीं है, (3) (A) में है और (8) (A) में नहीं है। इसलिए पूरक ([-1,3)\cup[8,\infty)) है। / (-1) is not in (A), (3) is in (A), and (8) is not in (A). Hence the complement is ([-1,3)\cup[8,\infty)).
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए \(U\neq\varnothing\) होने पर यह (U) नहीं हो सकता। मूल समुच्चय और पूरक असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
(B) में (10) अवयव हैं और \(A\cap B\) में (35) के (2) गुणज हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (10-2=8) अवयव हैं। / (B) has (10) elements, and \(A\cap B\) has (2) multiples of (35). Therefore \(A'\cap B\) has (10-2=8) elements.
(|U|=24) और (|A'|=8), इसलिए (|A|=24-8=16)। पूरक की संख्या कुल में से घटाकर मिलती है। / (|U|=24) and (|A'|=8), so (|A|=24-8=16). The count of a set is found by subtracting its complement from the total.
(B-A={9,15,18}), इसलिए इसका पूरक (U-{9,15,18}) है। विकल्प (A) वही समुच्चय देता है। / (B-A={9,15,18}), so its complement is (U-{9,15,18}). Option (A) gives exactly that set.
(A') वे संख्याएँ हैं जो (12) से विभाज्य हैं। (144) तक (12) के \(\frac{144}{12}=12\) गुणज हैं। / (A') is the set of numbers divisible by (12). Up to (144), there are \(\frac{144}{12}=12\) multiples of (12).
A. अवयव दोनों में हैं या दोनों में नहीं हैं/Elements are in both sets or in neither set
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे अवयव होते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। उसका पूरक वे अवयव देता है जो दोनों में हों या दोनों में न हों। / \(A\triangle B\) contains elements in exactly one set. Its complement gives elements that are in both or in neither.
(A') विषम संख्याएँ हैं और (B') अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं। (1) से (30) तक विषम अभाज्य नहीं संख्याएँ ({1,9,15,21,25,27}) नहीं, साथ में (? ) नहीं; सही सूची ({1,9,15,21,25,27}) है, इसलिए संख्या (6) है। / (A') is the set of odd numbers and (B') is the set of non-prime numbers. The odd non-primes from (1) to (30) are ({1,9,15,21,25,27}), so the count is (6).
यदि \(A'\cap B'=A'\), तो (A') का हर अवयव (B') में है। इसलिए \(A'\subseteq B'\) है। / If \(A'\cap B'=A'\), every element of (A') lies in (B'). Hence \(A'\subseteq B'\).
वितरण नियम से (\(A\cup B'\)\cap\(A'\cup B'\)=B'\cup\(A\cap A'\))। चूंकि \(A\cap A'=\varnothing\), परिणाम (B') है। / By distributive law, (\(A\cup B'\)\cap\(A'\cup B'\)=B'\cup\(A\cap A'\)). Since \(A\cap A'=\varnothing\), the result is (B').
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(12,21)=84) के गुणज हैं, इसलिए केवल (84) आता है। अतः पूरक में (84-1=83) अवयव हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(12,21)=84), so only (84) appears. Hence the complement has (84-1=83) elements.
\(A\cap B'\) का अर्थ है (A) में हों पर (B) में न हों। (A) से (9) हटाने पर ({1,4,16}) मिलता है। / \(A\cap B'\) means elements in (A) but not in (B). Removing (9) from (A) gives ({1,4,16}).
(A) में अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं, इसलिए (A') में ठीक अभाज्य संख्याएँ होंगी। (1) अभाज्य नहीं है, इसलिए (A') में नहीं आएगा। / (A) contains non-prime numbers, so (A') contains exactly prime numbers. (1) is not prime, so it is not in (A').
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B=[1,4]\) है। इसलिए पूरक (\(-\infty,1\)\cup\(4,\infty\)) होगा। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B=[1,4]\). Therefore the complement is (\(-\infty,1\)\cup\(4,\infty\)).
A. (U) सार्वत्रिक समुच्चय है/(U) is the universal set
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। इसलिए \(U'=\varnothing\) पूरक की मूल पहचान है। / The complement of the universal set is always the empty set. Thus \(U'=\varnothing\) is a basic complement identity.
(A') में (32-8=24) अवयव हैं और \(B\subseteq A\), इसलिए \(A'\cap B=\varnothing\)। (B) में (2) अवयव हैं, अतः कुल (26) है। / (A') has (32-8=24) elements and \(B\subseteq A\), so \(A'\cap B=\varnothing\). (B) has (2) elements, hence the total is (26).
क्योंकि \(C\subseteq A\) और \(C\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B\cup C=A\cup B\)। \(|A\cup B|=18+12-6=24\), अतः पूरक (36-24=12) है। / Since \(C\subseteq A\) and \(C\subseteq B\), \(A\cup B\cup C=A\cup B\). \(|A\cup B|=18+12-6=24\), so the complement is (36-24=12).
\(A\cup B=[-3,2\)\cup(2,6]) है, इसलिए (2) शामिल नहीं है। पूरक में (\(-\infty,-3\)), ({2}) और (\(6,\infty\)) आएंगे। / \(A\cup B=[-3,2\)\cup(2,6]), so (2) is not included. The complement contains (\(-\infty,-3\)), ({2}), and (\(6,\infty\)).
(\(A\cup B\)') में वे संख्याएँ हैं जो न (3) से और न (5) से विभाज्य हैं। (45) से नीचे ऐसी सबसे बड़ी संख्या (44) है। / (\(A\cup B\)') contains numbers divisible by neither (3) nor (5). The greatest such number below (45) is (44).
\(A\cup B=\varnothing\) से \(A=\varnothing\) और \(B=\varnothing\) हैं। इसलिए (A'=U), (B'=U), और \(A'\cap B'=U\)। / \(A\cup B=\varnothing\) gives \(A=\varnothing\) and \(B=\varnothing\). Thus (A'=U), (B'=U), and \(A'\cap B'=U\).
(A') सम संख्याएँ हैं और (B') में (B) के बाहर के अवयव हैं। दोनों में सामान्य अवयव ({4,6,10,12,14,16}) हैं। / (A') is the set of even numbers, and (B') contains elements outside (B). Their common elements are ({4,6,10,12,14,16}).
(-5) और (7) (A) में हैं, जबकि (-1) और (2) (A) में नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)) है। / (-5) and (7) are in (A), while (-1) and (2) are not in (A). Therefore the complement is (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। यदि यह (U) है, तो \(A\cup B\) का पूरक (U) है, इसलिए \(A\cup B=\varnothing\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). If this is (U), the complement of \(A\cup B\) is (U), so \(A\cup B=\varnothing\).
(1) से (33) तक (16) सम संख्याएँ हैं और उनमें (6,12,18,24,30) (3) से विभाज्य हैं। इसलिए (A') में सम अवयव (16-5=11) हैं। / From (1) to (33), there are (16) even numbers, and (6,12,18,24,30) are divisible by (3). So even elements in (A') are (16-5=11).
\(x^2+x-6\ge 0\Rightarrow x\le -3\) या \(x\ge 2\)। इसका पूरक (-3<x<2), यानी ((-3,2)) है। / \(x^2+x-6\ge 0\Rightarrow x\le -3\) or \(x\ge 2\). Its complement is (-3<x<2), that is ((-3,2)).
यदि \(A'\cup B=B\), तो (A') जोड़ने से (B) में कोई नया अवयव नहीं जुड़ता। इसलिए \(A'\subseteq B\) है। / If \(A'\cup B=B\), adding (A') adds no new element to (B). Therefore \(A'\subseteq B\).
एक समूह में (150) विद्यार्थी हैं, (82) गणित पढ़ते हैं, (74) जीवविज्ञान पढ़ते हैं और (36) दोनों पढ़ते हैं। दोनों में से कोई भी विषय न पढ़ने वाले कितने हैं?
\(|M\cup B|=82+74-36=120\), इसलिए neither की संख्या (|\(M\cup B\)'|=150-120=30) है। neither को संघ के पूरक के रूप में पढ़ें। / \(|M\cup B|=82+74-36=120\), so the number studying neither is (|\(M\cup B\)'|=150-120=30). Read neither as the complement of the union.
