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A. एक ही अभाज्य आधार की घातें/Powers of the same prime base
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंडन में आधार पहले पहचानते हैं। / In prime factorisation, identify the bases first.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही आधार की घातों की तुलना की जाती है, जैसे 2 की घात 2 से और 3 की घात 3 से। / Powers of the same base are compared, such as power of 2 with power of 2 and power of 3 with power of 3.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में आधार अलग हों तो घातों को सीधे न मिलाएं। / In exams, do not compare powers directly when bases are different.
A. यह अमेरिका से स्वतंत्रता का एशियाई उदाहरण है/It is an Asian example of independence from the United States
Explanation
Simple Explanation
फिलिपींस दिखाता है कि उपनिवेशवाद केवल यूरोपीय शक्तियों तक सीमित नहीं था। परीक्षा में अमेरिका और उन्नीस सौ छियालिस याद रखें। / The Philippines shows that colonialism was not limited only to European powers. For exams remember the USA and 1946.
A. यह एशिया में अमेरिका से स्वतंत्रता का उदाहरण है/It is an example of independence from the United States in Asia
Explanation
Simple Explanation
फिलिपींस ने उन्नीस सौ छियालिस में अमेरिका से स्वतंत्रता पाई। परीक्षा में देश और औपनिवेशिक शक्ति साथ याद रखें। / The Philippines gained independence from the United States in 1946. For exams remember country and colonial power together.
A. युद्ध से आर्थिक और सैन्य शक्ति पर भारी बोझ पड़ा/War put heavy burden on economic and military power
Explanation
Simple Explanation
द्वितीय विश्व युद्ध के बाद यूरोपीय शक्तियों की क्षमता कमजोर हुई। परीक्षा में इसे उपनिवेश मुक्ति की गति से जोड़ें। / After World War II the capacity of European powers weakened. For exams connect it with the speed of decolonization.
C. संसाधन व्यापार और शक्ति बढ़ाने के लिए/To increase resources trade and power
Explanation
Simple Explanation
उपनिवेशों से यूरोपीय शक्तियों को कच्चा माल बाजार और राजनीतिक प्रभाव मिला। परीक्षा में आर्थिक कारण याद रखें। / Colonies gave European powers raw materials markets and political influence. For exams remember economic causes.
A. लोकतांत्रिक प्रक्रिया को दरकिनार कर सत्ता केंद्रित की जा सकती थी/Power could be centralized by bypassing democratic process
Explanation
Simple Explanation
आपात शक्तियों ने लोकतांत्रिक संस्थाओं को कमजोर करने का मार्ग दिया। परीक्षा में संवैधानिक कमजोरी और तानाशाही उदय को साथ पढ़ें। / Emergency powers created a path to weaken democratic institutions. For exams study constitutional weakness with the rise of dictatorship.
A. जर्मनी इटली और जापान को राजनीतिक सैन्य समझ में जोड़ा/It linked Germany Italy and Japan in a political military understanding
Explanation
Simple Explanation
ट्रिपार्टाइट पैक्ट ने यूरोपीय और एशियाई आक्रामक शक्तियों को एक धुरी में जोड़ा। परीक्षा में धुरी गठन का क्रम याद रखें। / The Tripartite Pact linked aggressive European and Asian powers into an Axis. For exams remember the sequence of Axis formation.
B. वे पीछे हटने लगीं और दबाव में आ गईं/They began retreating and came under pressure
Explanation
Simple Explanation
एल अलामेन ने उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की पहल मजबूत की। परीक्षा में इसे अफ्रीकी मोर्चे का मोड़ समझें। / El Alamein strengthened Allied initiative in North Africa. For exams understand it as a turning point of the African front.
जर्मनी प्रथम विश्व युद्ध में केंद्रीय शक्तियों का प्रमुख देश था। परीक्षा में ऑस्ट्रिया हंगरी और ओटोमन साम्राज्य भी याद रखें। / Germany was a major Central Power in the First World War. For exams also remember Austria Hungary and the Ottoman Empire.
ब्रिटेन द्वितीय विश्व युद्ध के प्रमुख मित्र राष्ट्रों में था। परीक्षा में अमेरिका सोवियत संघ और चीन को भी मित्र राष्ट्रों से जोड़ें। / Britain was one of the major Allied Powers in the Second World War. For exams also connect USA Soviet Union and China with the Allies.
धुरी शक्तियों में जर्मनी इटली और जापान प्रमुख थे। परीक्षा में इन्हें मित्र राष्ट्रों से अलग रखें। / The main Axis Powers were Germany Italy and Japan. For exams keep them separate from the Allied Powers.
A. वे निर्वाचित मंत्रियों की शक्ति सीमित कर सकती थीं/They could limit the power of elected ministers
Explanation
Simple Explanation
1935 अधिनियम में प्रांतीय स्वायत्तता थी पर नियंत्रण भी बना रहा। परीक्षा में सुधार और सीमा दोनों देखें। / The 1935 Act gave provincial autonomy but retained control. Exam tip is to see both reform and limitation.
A. मुस्लिम बहुल प्रांतों की स्वायत्तता और सुरक्षा/Autonomy and security of Muslim-majority provinces
Explanation
Simple Explanation
चौदह सूत्र केंद्र की शक्ति और अल्पसंख्यक सुरक्षा पर चिंता दिखाते थे। परीक्षा में संवैधानिक मतभेद समझें। / The Fourteen Points showed concern about central power and minority safeguards. Exam tip: understand constitutional differences.
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही बहुपद की मूल पहचान है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे महत्वपूर्ण पहचान नियम है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
मानक रूप में बड़ी घात से छोटी घात की ओर लिखते हैं। \(5x^3+2x-1\) इसी क्रम में है। / In standard form, terms are written from highest power to lowest power. \(5x^3+2x-1\) follows this order.
A. जर्मनी में ऑस्ट्रिया और फ्रांस प्रतिद्वंद्वी रहे जबकि इटली में ऑस्ट्रियाई प्रभाव हटाना जरूरी था/In Germany Austria and France were rivals while in Italy removing Austrian influence was necessary
Step 1
Concept
जर्मनी में प्रशा को ऑस्ट्रिया और फ्रांस से संघर्ष करना पड़ा। / In Germany Prussia had to struggle against Austria and France.
Step 2
Why this answer is correct
इटली में उत्तरी क्षेत्रों पर ऑस्ट्रियाई प्रभाव था। / In Italy northern regions faced Austrian influence.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विदेशी शक्ति दोनों प्रक्रियाओं में अलग ढंग से महत्त्वपूर्ण रही। / Therefore foreign power was important in different ways in both processes.
A. जर्मनी में फ्रांस और ऑस्ट्रिया प्रतिद्वंद्वी रहे जबकि इटली में ऑस्ट्रिया का प्रभाव हटाना जरूरी था/In Germany France and Austria were rivals while in Italy removing Austrian influence was necessary
Step 1
Concept
जर्मनी में प्रशा को ऑस्ट्रिया और फ्रांस जैसी शक्तियों से संघर्ष करना पड़ा। / In Germany Prussia had to struggle against powers like Austria and France.
Step 2
Why this answer is correct
इटली में खासकर उत्तरी भागों पर ऑस्ट्रिया का प्रभाव था। / In Italy especially northern areas had Austrian influence.
Step 3
Exam Tip
दोनों मामलों में विदेशी शक्ति का प्रभाव अलग ढंग से दिखता है। / In both cases foreign power appeared in different ways.
A. छोटे राष्ट्र स्वतंत्रता चाहते थे और बड़ी शक्तियाँ प्रभाव क्षेत्र चाहती थीं/Small nations wanted freedom while great powers wanted spheres of influence
Step 1
Concept
छोटे समूह अपनी राष्ट्रीय पहचान बचाना चाहते थे। / Small groups wanted to protect national identity.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी शक्तियाँ क्षेत्रीय लाभ और प्रभाव चाहती थीं। / Great powers wanted regional advantage and influence.
Step 3
Exam Tip
इसी अंतर से संघर्ष की जटिलता बढ़ी। / This difference increased the complexity of conflict.
B. क्योंकि वे वहां अपना प्रभाव, मार्ग और राजनीतिक लाभ बढ़ाना चाहती थीं/Because they wanted to increase their influence, routes, and political advantage there
Step 1
Concept
बाल्कन क्षेत्र भौगोलिक और राजनीतिक रूप से महत्वपूर्ण था। / The Balkan region was geographically and politically important.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी शक्तियां वहां अपना प्रभाव बढ़ाकर लाभ लेना चाहती थीं। / Great powers wanted benefits by increasing influence there.
Step 3
Exam Tip
इसलिए स्थानीय राष्ट्रवाद अंतरराष्ट्रीय प्रतिस्पर्धा से जुड़ गया। / Thus local nationalism became linked with international rivalry.
यहाँ (D=4-20=-16), जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ वास्तविक शून्यक नहीं होते। / Here (D=4-20=-16), which is negative. A negative discriminant means there are no real zeroes.
कक्षा 10 के वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या की वर्गमूल वास्तविक नहीं मानी जाती। ध्यान दें \(\sqrt{7}\) वास्तविक अपरिमेय है। / In Class 10 real numbers the square root of a negative number is not real. Note that \(\sqrt{7}\) is real irrational.
((-2)4=16) और ((-2)3=-8), इसलिए (16-(-8)=24)। परीक्षा में odd और even powers के sign अलग होते हैं। / ((-2)4=16) and ((-2)3=-8), so (16-(-8)=24). In exams, odd and even powers have different signs.
\(16^{-1}=\frac{1}{16}\) और \(4^{-2}=\frac{1}{16}\) है। इसलिए योग \(\frac{1}{8}\) है। / \(16^{-1}=\frac{1}{16}\) and \(4^{-2}=\frac{1}{16}\). So the sum is \(\frac{1}{8}\).
\(9^{-1}=\frac{1}{9}\) और \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) है। इसलिए योग \(\frac{2}{9}\) है। / \(9^{-1}=\frac{1}{9}\) and \(3^{-2}=\frac{1}{9}\). So the sum is \(\frac{2}{9}\).
\(4^{-1}=\frac{1}{4}\) और \(2^{-2}=\frac{1}{4}\) है। इसलिए योग \(\frac{1}{2}\) है। / \(4^{-1}=\frac{1}{4}\) and \(2^{-2}=\frac{1}{4}\). So the sum is \(\frac{1}{2}\).
\(10^8=2^8\cdot 5^8\) है इसलिए हर में \(5^3\) की कमी है। \(N=11\cdot 125=1375\) होगा। / Since \(10^8=2^8\cdot 5^8\), the denominator lacks \(5^3\). Thus \(N=11\cdot 125=1375\).
\(243=3^5\) कटने पर हर \(2^5\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (5) है इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(243=3^5\), the reduced denominator is \(2^5\cdot 5^4\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
\(10^6=2^6\cdot 5^6\) है इसलिए हर में \(5^2\) की कमी है। \(N=7\cdot 25=175\) होगा। / Since \(10^6=2^6\cdot 5^6\), the denominator lacks \(5^2\). Thus \(N=7\cdot 25=175\).
\(81=3^4\) कटने पर हर \(2^4\cdot 5^6\) बचेगा। बड़ी घात (6) है इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(81=3^4\), the reduced denominator is \(2^4\cdot 5^6\). The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
हर को \(10^7\) बनाने के लिए \(2^4=16\) से गुणा करना होगा। इसलिए \(N=13\cdot 16=208\)। / To make the denominator \(10^7\), multiply by \(2^4=16\). Therefore \(N=13\cdot 16=208\).
\(10^6=2^6\cdot 5^6\), इसलिए हर में \(2^2\) की कमी है। \(N=3\cdot 4=12\) होगा। / Since \(10^6=2^6\cdot 5^6\), the denominator lacks \(2^2\). Thus \(N=3\cdot 4=12\).
\(72=2^3\cdot 3^2\), इसलिए कटौती के बाद हर \(5^5\) बचता है। दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(72=2^3\cdot 3^2\), the reduced denominator is \(5^5\). The decimal terminates after (5) places.
हर को \(10^6\) बनाने के लिए \(5^4=625\) से गुणा करना होगा। इसलिए \(N=11\cdot 625=6875\)। / To make the denominator \(10^6\), multiply by \(5^4=625\). Therefore \(N=11\cdot 625=6875\).
अंश से \(2^4\cdot 3\) कटेगा। / The numerator cancels \(2^4\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\) बचेगा। इसमें (3) बचा है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator becomes \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\). Since (3) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
एक ही अभाज्य गुणनखंड आंशिक रूप से कट सकता है। / A prime factor may cancel only partially.
\(10^6=2^6\cdot 5^6\) होता है। / \(10^6=2^6\cdot 5^6\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^4\cdot 5^6\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करेंगे। / The denominator \(2^4\cdot 5^6\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
जिसकी घात कम हो, उसी की कमी पूरी करें। / Complete the deficiency of the prime with the smaller exponent.
\(10^5=2^5\cdot 5^5\) चाहिए। / We need \(10^5=2^5\cdot 5^5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^3\cdot 5^5\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2=4\) से गुणा करेंगे। अतः (N=4p)। / The denominator \(2^3\cdot 5^5\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2=4\). Hence (N=4p).
Step 3
Exam Tip
\(10^k\) बनाने के लिए जिस घात की कमी हो, वही गुणा करें। / To make \(10^k\), multiply by the missing prime power.
\(16=2^4\), इसलिए हर से \(2^4\) कटेगा। / \(16=2^4\), so \(2^4\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^3\cdot 5^4\) होगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / The reduced denominator is \(2^3\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
अंश में छिपी घातों को कटौती में शामिल करें। / Include powers hidden in the numerator during cancellation.
हर में (2) की घात (0) और (5) की घात (5) है। इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / The denominator has power (0) of (2) and power (5) of (5). So the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
(5) की घातें पहचानने के लिए \(3125=5^5\) याद रखना उपयोगी है। / Remembering \(3125=5^5\) helps in quick factorisation.
A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा/It terminates exactly after (4) decimal places
Step 1
Concept
\(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। / \(2^4\cdot 5^4=10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। / A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें। / If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places.
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। / \(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। / Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें। / The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first.
हर \(2^2\cdot 5^3\) है। / The denominator is \(2^2\cdot 5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(10^k=2^k\cdot 5^k\) बनाने के लिए दोनों घात बराबर करनी होती हैं। बड़ी घात (3) है, इसलिए (k=3)। / Since \(10^k=2^k\cdot 5^k\), the powers must become equal. The larger power is (3), so (k=3).
Step 3
Exam Tip
\(10^k\) बनाते समय दोनों अभाज्य घातों को समान करने का विचार रखें। / To form \(10^k\), make the powers of (2) and (5) equal.
हर में केवल (2) है और घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों तक समाप्त होगा। / The denominator has only (2), with exponent (4), so the decimal ends after (4) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: \(2^4\) का मतलब अक्सर (4) दशमलव स्थानों तक जाँच करना होता है। / Exam tip: \(2^4\) usually points to checking up to (4) decimal places.
भाजक को \(10^4\) बनाने के लिए \(5^4\) से गुणा किया जा सकता है, इसलिए विस्तार चार स्थानों तक जा सकता है। / To make the denominator a power of (10), multiply by \(5^4\), so it can terminate within four decimal places.
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) की सबसे बड़ी घात पर ध्यान दें। / Focus on the larger exponent of (2) and (5).
यदि \(2^4\times3^7\times5\) और \(2^6\times3^3\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^6\times3^2\times5^4\) और \(2^3\times3^5\times5\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(m=2^5\times3^a\times5^2\) और \(n=2^3\times3^4\times5^b\times11\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^7\times5^3\times11\) है, तो कौन-सा मान सही है?
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM takes the highest power of every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की सबसे बड़ी घात (7) चाहिए, इसलिए (a=7); (5) की सबसे बड़ी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3)। / The highest power of (3) must be (7), so (a=7); the highest power of (5) must be (3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें। / Identify the maximum powers in LCM.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (6) चाहिए, इसलिए (a=6) संभव है; (3) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4) संभव है। / The smaller power of (2) must be (6), so (a=6) is possible; the smaller power of (3) must be (4), so (b=4) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों में हर आधार की शर्त अलग देखें। / Check each base condition separately.
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^3\times3^6\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^8\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^6\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM takes the highest power of every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की सबसे बड़ी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5); (5) की सबसे बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4)। / The highest power of (3) must be (5), so (a=5); the highest power of (5) must be (4), so (b=4).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें। / For LCM, identify the maximum power.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5) संभव है; (3) की छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / The smaller power of (2) must be (5), so (a=5) is possible; the smaller power of (3) must be (2), so (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों में हर आधार की शर्त अलग देखें। / Check the condition for each base separately.
यदि (N) ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो \(2^5\times3^2\times7\) और \(2^3\times3^4\times5\) दोनों से विभाजित होती है, तथा (M) इन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है, तो \(\frac{N}{M}\) क्या होगा?
सबसे छोटी विभाज्य संख्या (N) लघुत्तम समापवर्त्य होगी और (M) महत्तम समापवर्तक होगा। / The smallest divisible number (N) is the LCM, and (M) is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(N=2^5\times3^4\times5\times7\) और \(M=2^3\times3^2\), इसलिए \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\)। / \(N=2^5\times3^4\times5\times7\) and \(M=2^3\times3^2\), so \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ। / While dividing, subtract powers of the same base.
यदि \(2^5\times3^2\times5\) और \(2^2\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(m=2^3\times3^a\times5^2\) और \(n=2^5\times3^2\times5^b\times11\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^6\times5^4\times11\) है, तो कौन-सा मान सही है?
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM uses the highest power of each prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की सबसे बड़ी घात (6) चाहिए, इसलिए (a=6); (5) की सबसे बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4)। / The highest power of (3) must be (6), so (a=6); the highest power of (5) must be (4), so (b=4).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य के अज्ञात घात वाले प्रश्न में अधिकतम घात पहचानें। / In unknown-power LCM questions, identify the maximum power.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4) संभव है; (3) की छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3) संभव है। / The smaller power of (2) must be (4), so (a=4) is possible; the smaller power of (3) must be (3), so (b=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों को हर अभाज्य आधार के लिए अलग जाँचें। / Check unknown powers separately for each prime base.
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^4\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(m=2^3\times3^a\times7\) और \(n=2^5\times3^2\times5^2\times7^b\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^2\times7^3\) है, तो कौन-सा मान सही है?
लघुत्तम समापवर्त्य में प्रत्येक अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM contains the highest power of each prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4); (7) की बड़ी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3)। / The highest power of (3) must be (4), so (a=4); the highest power of (7) must be (3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें। / For LCM, focus on the maximum-power condition.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5) संभव है; (3) की छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3) संभव है। / The smaller power of (2) must be (5), so (a=5) is possible; the smaller power of (3) must be (3), so (b=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों को अलग-अलग जाँचें। / Check unknown powers separately.
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (2) की घात और (H) में (2) की घात क्रमशः क्या होंगी?
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM takes the highest power of every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की बड़ी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5); (5) की बड़ी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2)। / The highest power of (3) must be (5), so (a=5); the highest power of (5) must be (2), so (b=2).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात पर ध्यान दें। / Focus on the maximum powers in LCM.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4) संभव है; (3) की छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / For (2), the smaller power must be (4), so (a=4) is possible; for (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों को अलग-अलग जाँचें। / Check unknown powers separately.
लघुत्तम समापवर्त्य में प्रत्येक अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM uses the highest power of each prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4); (5) की बड़ी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) सही है। / The highest power of (3) must be (4), so (a=4); the highest power of (5) must be (2), so (b=2).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य के प्रश्न में बड़ी घात पहचानें। / In LCM power questions, identify the maximum power.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (a=3) संभव है; (3) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / For (2), the smaller power must be (3), so (a=3) is possible; for (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों में छोटी घात की शर्त को अलग-अलग देखें। / Check each unknown power separately.
यदि दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^3\times5\) और महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) की घात क्या होगी?
A. (a=2) और (b=2) संभव हैं/(a=2) and (b=2) are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक में प्रत्येक समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / In HCF, the smaller power of each common prime is used.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (a=2) संभव है; (3) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / For prime (2), the smaller power must be (2), so (a=2) is possible; for prime (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों वाले प्रश्न में छोटी घात की शर्त पर ध्यान दें। / In unknown power questions, focus on the minimum-power condition.
