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\(180=36\times5\) और \(36\) सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\times\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)। विकल्प B मूल रूप में ही है, सरल किया हुआ रूप नहीं; जबकि विकल्प C और D में गुणांक गलत हैं। परीक्षा में करणी को सरल करने के लिए radicand में सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(180=36\times5\) and \(36\) is the largest perfect-square factor, \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\times\sqrt{5}=6\sqrt{5}\). Option B is the unsimplified form, while options C and D have incorrect coefficients. Exam tip: factor the radicand using its largest perfect-square factor before simplifying the surd.
\(245=49\times5=7^2\times5\)। इसलिए \(\sqrt{245}=\sqrt{7^2\times5}=7\sqrt{5}\)। अत: सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प D में \(49\) को \(\sqrt{245}\) से सीधे बाहर निकालना गलत है; वर्गमूल से पूर्ण वर्ग \(49\) का वर्गमूल, अर्थात् \(7\), बाहर आता है। परीक्षा-युक्ति: किसी करणी को सरल करते समय उसके अंदर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(245=49\times5=7^2\times5\). Therefore, \(\sqrt{245}=\sqrt{7^2\times5}=7\sqrt{5}\), so option B is correct. Option D is incorrect because the square root of the perfect-square factor \(49\) is \(7\), not \(49\). Exam tip: To simplify a radical, factor the radicand into the largest possible perfect square times the remaining factor.
\(288=144\times2=12^2\times2\)। इसलिए \(\sqrt{288}=\sqrt{12^2\times2}=12\sqrt{2}\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प A में गुणांक दोगुना हो गया है, जबकि B और D \(288\) के वर्गमूल के बराबर नहीं हैं। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में से सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / \(288=144\times2=12^2\times2\). Therefore, \(\sqrt{288}=\sqrt{12^2\times2}=12\sqrt{2}\), so option C is correct. In option A, the coefficient is doubled, while options B and D are not equal to \(\sqrt{288}\). Exam tip: factor out the largest perfect-square factor before simplifying a square root.
\(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\), इसलिए \(2\sqrt{45}=6\sqrt{5}\)। इसी प्रकार, \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\), अतः \(3\sqrt{20}=6\sqrt{5}\)। अब समान करणी पदों को जोड़ने पर \(6\sqrt{5}+6\sqrt{5}=12\sqrt{5}\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B जैसे उत्तर में गुणांकों का गलत योग किया गया है। परीक्षा-युक्ति: करणी जोड़ने से पहले प्रत्येक करणी को सरल करके समान करणी वाले पदों को ही जोड़ें। / \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\), so \(2\sqrt{45}=6\sqrt{5}\). Similarly, \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\), so \(3\sqrt{20}=6\sqrt{5}\). Adding the like surd terms gives \(6\sqrt{5}+6\sqrt{5}=12\sqrt{5}\), so option A is correct. An answer such as option B results from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: simplify each surd first, then add only terms with the same surd part.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। इसलिए \(4\sqrt{27}-2\sqrt{75}=4(3\sqrt{3})-2(5\sqrt{3})=12\sqrt{3}-10\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों को घटाने से पहले प्रत्येक करणी को उसके सरलतम रूप में बदलें और फिर समान करणी वाले पदों का संकलन करें। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Therefore, \(4\sqrt{27}-2\sqrt{75}=4(3\sqrt{3})-2(5\sqrt{3})=12\sqrt{3}-10\sqrt{3}=2\sqrt{3}\). Hence, option A is correct. Exam tip: Simplify each surd first, then combine only like surd terms.
वितरण नियम से \( \sqrt{5}\times3+\sqrt{5}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}+5 \)। समान करणी गुणन में सावधानी रखें। / By distributive law, \( \sqrt{5}\times3+\sqrt{5}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}+5 \). Be careful in surd multiplication.
सूत्र \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का प्रयोग करें। यहाँ \(a=4\) और \(b=\sqrt{3}\) हैं, इसलिए \((4+\sqrt{3})^2=4^2+2(4)(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2=16+8\sqrt{3}+3=19+8\sqrt{3}\)। अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \((\sqrt{3})^2=3\), न कि \(\sqrt{4}\)। / Apply the identity \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Here, \(a=4\) and \(b=\sqrt{3}\), so \((4+\sqrt{3})^2=4^2+2(4)(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2=16+8\sqrt{3}+3=19+8\sqrt{3}\). Therefore, option A is correct. Remember that \((\sqrt{3})^2=3\), not \(\sqrt{4}\).
( \(6-\sqrt{8}\)2=36-12\sqrt{8}+8 ) है। \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) रखने पर \(44-24\sqrt{2}\) मिलता है। / ( \(6-\sqrt{8}\)2=36-12\sqrt{8}+8 ). Using \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \), it becomes \(44-24\sqrt{2}\).
यह संयुग्मी व्यंजकों का गुणन है। सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लगाने पर \((5+\sqrt{17})(5-\\sqrt{17})=5^2-(\sqrt{17})^2=25-17=8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 8 है। 42 लेने पर 25 और 17 को जोड़ दिया जाता है, जबकि यहाँ वर्गों का अंतर लेना है। परीक्षा-युक्ति: \((a+b)(a-b)\) दिखे तो सीधे \(a^2-b^2\) का प्रयोग करें। / This is a product of conjugate expressions. Using \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), we get \((5+\sqrt{17})(5-\sqrt{17})=5^2-(\sqrt{17})^2=25-17=8\). Therefore, the correct answer is 8. The value 42 results from adding 25 and 17, but this product requires their difference. Exam tip: Whenever you see \((a+b)(a-b)\), apply \(a^2-b^2\) directly.
A. \\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\\), इसलिए यह अपरिमेय संख्या है।
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \\(50=25\times2\\), इसलिए \\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\\)। \\(\sqrt{2}\\) अपरिमेय है और शून्येतर परिमेय संख्या से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में सरलीकरण सही है, लेकिन संख्या को परिमेय कहना गलत है। परीक्षा-युक्ति: किसी पूर्ण वर्ग के गुणनखंड को वर्गमूल से बाहर निकालें और देखें कि अंदर कोई अपूर्ण वर्ग बच रहा है या नहीं। / Since \\(50=25\times2\\), we get \\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\\). Because \\(\sqrt{2}\\) is irrational, multiplying it by the non-zero rational number 5 still gives an irrational number. Therefore, option A is correct. Option C has the correct simplification but incorrectly classifies the result as rational. Exam tip: take perfect-square factors outside the square root and check whether a non-perfect-square factor remains inside.
हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर दोनों को \(\sqrt{7}\) से गुणा करें: \(\frac{6}{\sqrt{7}}\times\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{7}}{7}\), क्योंकि \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि केवल हर को 7 करना पर्याप्त नहीं है; अंश में भी \(\sqrt{7}\) का गुणन होना चाहिए। / To rationalise the denominator, multiply both the numerator and denominator by \(\sqrt{7}\): \(\frac{6}{\sqrt{7}}\times\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{7}}{7}\), since \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\). Hence, option A is correct. Remember that the numerator must also be multiplied by \(\sqrt{7}\); changing only the denominator to 7 is not valid.
अंश और हर को \( \sqrt{2} \) से गुणा करने पर \( \frac{5\sqrt{2}}{6} \) मिलता है। हर से करणी हटनी चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{2} \) gives \( \frac{5\sqrt{2}}{6} \). The radical should be removed from the denominator.
हर \( \sqrt{10}+3 \) है और संयुग्मी \( \sqrt{10}-3 \) होगा। हर (10-9=1) बनता है। / The denominator is \( \sqrt{10}+3 \) and its conjugate is \( \sqrt{10}-3 \). The denominator becomes (10-9=1).
हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी \(\sqrt{11}+\sqrt{2}\) से गुणा करते हैं। तब हर \((\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})=11-2=9\) और अंश \(\sqrt{11}+\sqrt{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही रूप \(\frac{\sqrt{11}+\sqrt{2}}{9}\) है। परीक्षा में याद रखें: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का उपयोग करें। / To rationalise the denominator, multiply the numerator and denominator by its conjugate, \(\sqrt{11}+\sqrt{2}\). The denominator becomes \((\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})=11-2=9\), while the numerator becomes \(\sqrt{11}+\sqrt{2}\). Hence, the rationalised form is \(\frac{\sqrt{11}+\sqrt{2}}{9}\). Exam tip: use the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
\( \sqrt{98}=7\sqrt{2} \), \( \sqrt{162}=9\sqrt{2} \), और \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \)। इसलिए परिणाम \(11\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{98}=7\sqrt{2} \), \( \sqrt{162}=9\sqrt{2} \), and \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \). So the result is \(11\sqrt{2}\).
\(44=4\times11\) और \(99=9\times11\), इसलिए \(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) तथा \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\)। अतः \(2\sqrt{44}+3\sqrt{99}=2(2\sqrt{11})+3(3\sqrt{11})=4\sqrt{11}+9\sqrt{11}=13\sqrt{11}\)। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A और C में गुणांकों का जोड़ गलत है, जबकि विकल्प D में मूलांक के अंदर का रूप बदल गया है। परीक्षा-युक्ति: करणी को जोड़ने से पहले प्रत्येक मूलांक को उसके सरलतम रूप में बदलें। / Since \(44=4\times11\) and \(99=9\times11\), we have \(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) and \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\). Therefore, \(2\sqrt{44}+3\sqrt{99}=2(2\sqrt{11})+3(3\sqrt{11})=4\sqrt{11}+9\sqrt{11}=13\sqrt{11}\). Hence, option B is correct. Options A and C use incorrect coefficients, while option D changes the radicand incorrectly. Exam tip: simplify each radical first, then combine like radicals.
\(112=16\times7\), इसलिए \(\sqrt{112}=4\sqrt{7}\)। इसी प्रकार, \(175=25\times7\), अतः \(2\sqrt{175}=2\times5\sqrt{7}=10\sqrt{7}\)। इसलिए योग \(4\sqrt{7}+10\sqrt{7}=14\sqrt{7}\) है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले पदों में केवल उनके गुणांकों को जोड़ा या घटाया जाता है। / Since \(112=16\times7\), \(\sqrt{112}=4\sqrt{7}\). Also, \(175=25\times7\), so \(2\sqrt{175}=2\times5\sqrt{7}=10\sqrt{7}\). Therefore, \(4\sqrt{7}+10\sqrt{7}=14\sqrt{7}\), making option B correct. Exam tip: after reducing surds to the same radical, add or subtract their coefficients only.
\(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\), इसलिए \(5\sqrt{48}=20\sqrt{3}\)। इसी प्रकार, \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\), इसलिए \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\)। अतः \(20\sqrt{3}-15\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे सवालों में पहले प्रत्येक करणी को सरल करके समान करणी वाले पदों को घटाएँ। / \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\), so \(5\sqrt{48}=20\sqrt{3}\). Similarly, \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\), so \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\). Therefore, \(20\sqrt{3}-15\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), making option A correct. In such questions, first simplify each surd and then combine only like surd terms.
\( \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{20}}=\sqrt{9}=3 \)। वर्गमूल के भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{20}}=\sqrt{9}=3 \). In division of square roots, divide the radicands.
\(\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{200}{2}}=\sqrt{100}=10\) और \(\sqrt{16}=4\)। इसलिए कुल मान \(10+4=14\) है। विकल्प B में केवल 10 और 2 के बीच का अंतर लिया गया है, जो सही प्रक्रिया नहीं है। परीक्षा में समान धनात्मक मूलों के भाग में उनके अंदर की राशियों का भाग करके वर्गमूल लेना उपयोगी है। / \(\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{200}{2}}=\sqrt{100}=10\), and \(\sqrt{16}=4\). Therefore, the value is \(10+4=14\). Option B incorrectly reflects a subtraction-based calculation rather than evaluating the quotient and then adding \(\sqrt{16}\). In the exam, remember that for positive radicands, \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\).
\(1.69=1.3^2\), इसलिए \(\sqrt{1.69}=1.3\)। इसी प्रकार, \(0.09=0.3^2\), इसलिए \(\sqrt{0.09}=0.3\)। अतः \(1.3+0.3=1.6\), इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प D केवल पहली वर्गमूल राशि का मान है; दोनों वर्गमूलों को जोड़ने पर वह पूर्ण उत्तर नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के वर्गमूल को पहचानने के लिए संख्या को किसी दशमलव संख्या के वर्ग के रूप में लिखें। / Since \(1.69=1.3^2\), we have \(\sqrt{1.69}=1.3\). Similarly, \(0.09=0.3^2\), so \(\sqrt{0.09}=0.3\). Therefore, \(1.3+0.3=1.6\), making option A correct. Option D is only the value of the first square root and does not include the second term. Exam tip: express each decimal as the square of a simpler decimal number before finding its square root.
क्योंकि \(4.84=(2.2)^2\), इसलिए \(\sqrt{4.84}=2.2\)। इसी प्रकार, \(1.44=(1.2)^2\), अतः \(\sqrt{1.44}=1.2\)। इसलिए मान \(2.2-1.2=1\) है। विकल्प B और D क्रमशः केवल दूसरे और पहले वर्गमूल के मान हैं, जबकि विकल्प C सही अंतर नहीं है। परीक्षा-टिप: दशमलवों के वर्गमूल निकालने के लिए उन्हें पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें। / Since \(4.84=(2.2)^2\), we have \(\sqrt{4.84}=2.2\). Similarly, \(1.44=(1.2)^2\), so \(\sqrt{1.44}=1.2\). Therefore, the required value is \(2.2-1.2=1\). Options B and D are only the values of the second and first square roots respectively, while option C is not the correct difference. Exam tip: Recognise decimal numbers as squares of terminating decimals before subtracting.
पहला पद \( \frac{4}{5} \) और दूसरा \( \frac{3}{8} \) है। योग \( \frac{32}{40}+\frac{15}{40}=\frac{47}{40} \) है। / The first term is \( \frac{4}{5} \) and the second is \( \frac{3}{8} \). The sum is \( \frac{32}{40}+\frac{15}{40}=\frac{47}{40} \).
\( \sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{9}{11} \) और \( \sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7} \) है। अंतर \( \frac{63}{77}-\frac{22}{77}=\frac{41}{77} \) है। / \( \sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{9}{11} \) and \( \sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7} \). The difference is \( \frac{63}{77}-\frac{22}{77}=\frac{41}{77} \).
\(5^2<31<6^2\) इसलिए \( \sqrt{31} \) (5) और (6) के बीच है। (31) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(5^2<31<6^2\), \( \sqrt{31} \) lies between (5) and (6). Since (31) is not a perfect square, it is irrational.
तुलना करने के लिए दोनों धनात्मक संख्याओं के वर्ग करें: \((\sqrt{45})^2=45\), जबकि \(\left(\frac{13}{2}\right)^2=\frac{169}{4}=42.25\)। क्योंकि \(45>42.25\), इसलिए \(\sqrt{45}>\frac{13}{2}\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना उनके वर्गों की तुलना करके जल्दी की जा सकती है। / Compare the squares of the two positive numbers: \((\sqrt{45})^2=45\), whereas \(\left(\frac{13}{2}\right)^2=\frac{169}{4}=42.25\). Since \(45>42.25\), we have \(\sqrt{45}>\frac{13}{2}\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For positive square roots or positive numbers, comparing their squares is often quicker than using decimal approximations.
\(8^2=64\) और \(9^2=81\) है इसलिए \( \sqrt{68} \) (8) और (9) के बीच है। निकट पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(8^2=64\) and \(9^2=81\), so \( \sqrt{68} \) lies between (8) and (9). Compare nearby perfect squares.
\(9^2=81\) और \(10^2=100\) है इसलिए \( \sqrt{86} \) (9) और (10) के बीच है। वर्ग करके सीमा जाँचें। / \(9^2=81\) and \(10^2=100\), so \( \sqrt{86} \) lies between (9) and (10). Check the range by squaring.
\( \sqrt{50}\approx7.07 \) इसलिए \( -\sqrt{50}\approx-7.07 \)। यह ( -7.2 ) से बड़ी है क्योंकि यह शून्य के अधिक निकट है। / \( \sqrt{50}\approx7.07 \), so \( -\sqrt{50}\approx-7.07 \). It is greater than ( -7.2 ) because it is closer to zero.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानें। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Identify the difference between repeating and non-repeating.
दशमलव के बाद 45 का खंड बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। प्रत्येक आवर्ती दशमलव परिमेय होता है; वास्तव में \(3.454545\ldots=3+\frac{45}{99}=\frac{38}{11}\)। यह पूर्णांक नहीं है क्योंकि \(\frac{38}{11}\) पूर्ण संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: समाप्त होने वाले और आवर्ती दशमलव दोनों परिमेय संख्याएँ होते हैं। / The block 45 repeats after the decimal point, so this is a recurring decimal. Every recurring decimal is rational; in fact, \(3.454545\ldots=3+\frac{45}{99}=\frac{38}{11}\). It is not an integer because \(\frac{38}{11}\) is not a whole number. Exam tip: Both terminating and recurring decimals are rational numbers.
नियमित आवृत्ति न होने पर असमाप्त दशमलव अपरिमेय होता है। केवल स्थिर आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without regular repetition is irrational. Only fixed repeating decimals are rational.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating
Explanation
Simple Explanation
हर (13) में (2) या (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (13) has factors other than (2) or (5). Therefore the decimal will be non-terminating repeating.
\(80=2^4\times5\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(80=2^4\times5\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
B. यह एक अपरिमेय संख्या है।/It is an irrational number.
Explanation
Simple Explanation
वर्ग के विकर्ण की लंबाई \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) सेमी होती है। 2 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता; अतः यह अपरिमेय संख्या है। यह पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या भी नहीं है, इसलिए विकल्प C और D गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी गैर-पूर्ण वर्ग का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The diagonal of the square is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) cm. Since 2 is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) cannot be expressed exactly as a ratio of two integers; therefore, it is irrational. It is neither an integer nor a natural number, so options C and D are incorrect. Exam tip: the square root of a non-perfect square is generally irrational.
\(200=2^3\times5^2\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(200=2^3\times5^2\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
वर्ग का विकर्ण = भुजा × \(\sqrt{2}\) = \(5\sqrt{2}\) सेमी। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और 5 एक अशून्य परिमेय संख्या है, इसलिए \(5\sqrt{2}\) भी अपरिमेय होगा। अतः सही उत्तर B है। ध्यान रखें: किसी अपरिमेय संख्या को किसी अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। / The diagonal of a square is given by side × \(\sqrt{2}\), so its length is \(5\sqrt{2}\) cm. Since \(\sqrt{2}\) is irrational and 5 is a non-zero rational number, \(5\sqrt{2}\) is also irrational. Therefore, option B is correct. Exam tip: multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps the result irrational.
एक विद्यार्थी संख्या \(0.101001000100001\ldots\) को परिमेय संख्या बताता है क्योंकि इसमें केवल 0 और 1 अंक हैं। इस संख्या के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
C. यह एक अनवर्ती अनावर्ती दशमलव है, इसलिए अपरिमेय है/It is a non-terminating non-recurring decimal, so it is irrational.
Explanation
Simple Explanation
दशमलव विस्तार \(0.101001000100001\ldots\) में 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है; इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। यह अनवर्ती अनावर्ती दशमलव है और ऐसी संख्या अपरिमेय होती है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होना परिमेय होने का प्रमाण नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव समाप्त हो या किसी निश्चित पैटर्न में दोहराए, तभी वह परिमेय होता है। / In the decimal expansion \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats regularly. Hence it is a non-terminating, non-recurring decimal and therefore irrational. The use of only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: a decimal is rational only if it terminates or eventually repeats a fixed pattern.
एक विद्यार्थी संख्या \(0.101001000100001\ldots\) को परिमेय मानता है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार समाप्त नहीं होता। इस संख्या के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
C. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
संख्या \(0.101001000100001\ldots\) का दशमलव विस्तार अनंत है और इसमें 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती; अतः यह संख्या अपरिमेय है। ध्यान रखें कि केवल अनंत दशमलव होना पर्याप्त नहीं है—अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय भी हो सकता है, जैसे \(0.333\ldots\)। / The decimal expansion \(0.101001000100001\ldots\) is non-terminating, and the number of zeros between successive 1s keeps increasing. Hence, no fixed block of digits repeats regularly. A rational number has either a terminating or an infinitely repeating decimal expansion, so this number is irrational. Exam tip: an infinite decimal is not automatically irrational; an infinite recurring decimal, such as \(0.333\ldots\), is rational.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{21}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\)। चूँकि \(7\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है और \(3\sqrt{7}\) भी अपरिमेय रहेगा। अतः यह अपरिमेय वास्तविक संख्या है। यह पूर्णांक, परिमेय संख्या या समाप्त दशमलव नहीं हो सकती। परीक्षा में याद रखें: किसी गैर-पूर्ण-वर्ग संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{21}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\). Since 7 is not a perfect square, \(\sqrt{7}\) is irrational, and multiplying it by the non-zero rational number 3 remains irrational. Therefore, the given expression is an irrational real number. It is neither an integer, a rational number, nor a terminating decimal. Exam tip: the square root of a positive non-perfect square is irrational.
दोनों व्यंजक संयुग्मी हैं। इसलिए \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) का उपयोग करें: \((3+\sqrt{14})(3-\sqrt{14})=3^2-(\sqrt{14})^2=9-14=-5\)। विकल्प A में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: संयुग्मी युग्म का गुणनफल निकालने के लिए सीधे अंतर के वर्ग का सूत्र लगाएँ। / The two expressions are conjugates, so use \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\): \((3+\sqrt{14})(3-\sqrt{14})=3^2-(\sqrt{14})^2=9-14=-5\). Option A results from missing the negative sign. Exam tip: whenever conjugate pairs appear, apply the difference-of-squares identity directly.
हर के संयुग्मी \(3+\sqrt{2}\) से गुणा करें। अंश (\(3+\sqrt{2}\)2=11+6\sqrt{2}) और हर (7) होगा। / Multiply by the conjugate \(3+\sqrt{2}\). The numerator is (\(3+\sqrt{2}\)2=11+6\sqrt{2}) and the denominator is (7).
हर के संयुग्मी \( \sqrt{7}+2 \) से गुणा करने पर हर (7-4=3) होगा। संयुग्मी विधि में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{7}+2 \) makes the denominator (7-4=3). Use difference of squares in the conjugate method.
B. कथन गलत है; सही परिणाम \(3\sqrt{2}\) है और यह अपरिमेय संख्या है/The statement is incorrect; the correct result is \(3\sqrt{2}\), which is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), न कि \(\sqrt{10}\)। \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और शून्येतर परिमेय संख्या से उसका गुणनफल भी अपरिमेय रहता है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग वर्गमूलों को जोड़ने के लिए पहले उन्हें सरल करके समान मूल वाले पद बनाइए; \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) सामान्यतः \(\sqrt{a+b}\) नहीं होता। / Since \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), we get \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), not \(\sqrt{10}\). Because \(\sqrt{2}\) is irrational, its product with the non-zero rational number 3 is also irrational. Exam tip: simplify radicals first and combine only like radical terms; in general, \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}\).
\(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{100}=10\) होते हैं। इसलिए \(\left|\sqrt{25}-\sqrt{100}\right|=|5-10|=|-5|=5\)। विकल्प B में संख्याओं को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है, जबकि विकल्प C में परिमाण चिह्न का प्रभाव नहीं लगाया गया। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या का परिमाण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। / \(\sqrt{25}=5\) and \(\sqrt{100}=10\). Therefore, \(\left|\sqrt{25}-\sqrt{100}\right|=|5-10|=|-5|=5\). Option B results from adding the two values instead of subtracting them, while option C ignores that an absolute value cannot be negative. Exam tip: the absolute value of any real number is always non-negative.
वास्तविक संख्याओं में \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। इसलिए \(\sqrt{(-9)^2}=|-9|=9\)। ध्यान रखें कि वर्गमूल का प्रधान मान गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए उत्तर \(-9\) नहीं, बल्कि \(9\) है। परीक्षा में \(\sqrt{x^2}\) को सीधे \(x\) न लिखकर \(|x|\) लिखें। / For real numbers, \(\sqrt{x^2}=|x|\). Therefore, \(\sqrt{(-9)^2}=|-9|=9\). The principal square root is always non-negative, so \(-9\) is not the answer. Exam tip: simplify \(\sqrt{x^2}\) as \(|x|\), not automatically as \(x\).
किसी भी वास्तविक संख्या \(x\) के लिए \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, न कि हमेशा \(x\)। इसलिए \(x=-8\) पर \(\sqrt{x^2}+x=|-8|+(-8)=8-8=0\)। विकल्प B में \(\sqrt{x^2}\) को सीधे \(x\) मानने की गलती की गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल वाले ऐसे प्रश्नों में पहले उसे निरपेक्ष मान में बदलें। / For every real number \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always \(x\). Thus, for \(x=-8\), \(\sqrt{x^2}+x=|-8|+(-8)=8-8=0\). Option B results from the common mistake of taking \(\sqrt{x^2}=x\) directly. Exam tip: In such questions, first rewrite \(\sqrt{x^2}\) as the absolute value \(|x|\).
संयुग्मी \(5-2\sqrt{6}\) से गुणा करने पर हर (25-24=1) बनता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(5-2\sqrt{6}\) है। / Multiplying by the conjugate \(5-2\sqrt{6}\) makes the denominator (25-24=1). So the rationalised form is \(5-2\sqrt{6}\).
\( \sqrt{242}=11\sqrt{2} \) और \( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \) है। इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) मिलता है। / \( \sqrt{242}=11\sqrt{2} \) and \( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \). Therefore the difference is \(3\sqrt{2}\).
