A student considers the number \(0.101001000100001\ldots\) rational because its decimal expansion does not terminate. What is the correct conclusion about this number?एक विद्यार्थी संख्या \(0.101001000100001\ldots\) को परिमेय मानता है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार समाप्त नहीं होता। इस संख्या के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार अनंत और अनावर्ती है।
The decimal expansion \(0.101001000100001\ldots\) is non-terminating, and the number of zeros between successive 1s keeps increasing. Hence, no fixed block of digits repeats regularly. A rational number has either a terminating or an infinitely repeating decimal expansion, so this number is irrational. Exam tip: an infinite decimal is not automatically irrational; an infinite recurring decimal, such as \(0.333\ldots\), is rational.संख्या \(0.101001000100001\ldots\) का दशमलव विस्तार अनंत है और इसमें 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती; अतः यह संख्या अपरिमेय है। ध्यान रखें कि केवल अनंत दशमलव होना पर्याप्त नहीं है—अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय भी हो सकता है, जैसे \(0.333\ldots\)।
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