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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Real Numbers Medium Level 2

एक विद्यार्थी संख्या \(0.101001000100001\ldots\) को परिमेय मानता है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार समाप्त नहीं होता। इस संख्या के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

A student considers the number \(0.101001000100001\ldots\) rational because its decimal expansion does not terminate. What is the correct conclusion about this number?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार अनंत और अनावर्ती है।It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.

Explanation

Simple Explanation

संख्या \(0.101001000100001\ldots\) का दशमलव विस्तार अनंत है और इसमें 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती; अतः यह संख्या अपरिमेय है। ध्यान रखें कि केवल अनंत दशमलव होना पर्याप्त नहीं है—अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय भी हो सकता है, जैसे \(0.333\ldots\)। / The decimal expansion \(0.101001000100001\ldots\) is non-terminating, and the number of zeros between successive 1s keeps increasing. Hence, no fixed block of digits repeats regularly. A rational number has either a terminating or an infinitely repeating decimal expansion, so this number is irrational. Exam tip: an infinite decimal is not automatically irrational; an infinite recurring decimal, such as \(0.333\ldots\), is rational.

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एक विद्यार्थी संख्या \(0.101001000100001\ldots\) को परिमेय मानता है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार समाप्त नहीं होता। इस संख्या के बारे में सही निष्कर्ष क्या है? / A student considers the number \(0.101001000100001\ldots\) rational because its decimal expansion does not terminate. What is the correct conclusion about this number?

Correct Answer: C. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव विस्तार अनंत और अनावर्ती है। / It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.. Explanation: संख्या \(0.101001000100001\ldots\) का दशमलव विस्तार अनंत है और इसमें 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती; अतः यह संख्या अपरिमेय है। ध्यान रखें कि केवल अनंत दशमलव होना पर्याप्त नहीं है—अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय भी हो सकता है, जैसे \(0.333\ldots\)। / The decimal expansion \(0.101001000100001\ldots\) is non-terminating, and the number of zeros between successive 1s keeps increasing. Hence, no fixed block of digits repeats regularly. A rational number has either a terminating or an infinitely repeating decimal expansion, so this number is irrational. Exam tip: an infinite decimal is not automatically irrational; an infinite recurring decimal, such as \(0.333\ldots\), is rational.