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\(125=25\times5\) और \(25\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में अतिरिक्त \(5\) गुणा हो गया है, जबकि विकल्प C अभी पूरी तरह सरल नहीं है और उसका मान \(25\) होता है। परीक्षा में करणी को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / Since \(125=25\times5\) and \(25\) is a perfect square, \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\). Therefore, option A is correct. Option B has an extra factor of \(5\), while option C is not the simplified form and equals \(25\). Exam tip: factor the radicand using its largest perfect-square factor before simplifying the square root.
\(147=49\times3\) इसलिए \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग को बाहर निकालना मुख्य कदम है। / Since \(147=49\times3\), \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \). Taking out the perfect square is the main step.
\(192=64\times3\) इसलिए \( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \)। करणी में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(192=64\times3\), \( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \). Find the largest perfect square inside the radical.
\( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) और \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) हैं। इसलिए योग \(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) and \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). So the sum is \(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\).
वर्ग का क्षेत्रफल \(=\) भुजा² होता है, इसलिए भुजा \(=\sqrt{2}\) मीटर होगी। 2 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता और यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प A गलत है, क्योंकि 2 मीटर भुजा होने पर क्षेत्रफल 4 वर्ग मीटर होता। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्ग की भुजा ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल का वर्गमूल लें और देखें कि क्षेत्रफल पूर्ण वर्ग है या नहीं। / The area of a square equals side², so its side is \(\sqrt{2}\) metres. Since 2 is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) cannot be expressed as a ratio of two integers and is therefore irrational. Option A is incorrect because a side of 2 metres would give an area of 4 square metres. Exam tip: To find the side of a square, take the square root of its area and check whether the area is a perfect square.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का उपयोग करें। यहाँ \(a=2\) और \(b=\sqrt{7}\) हैं, इसलिए \((2+\sqrt{7})^2=2^2+2(2)(\sqrt{7})+(\sqrt{7})^2=4+4\sqrt{7}+7=11+4\sqrt{7}\)। अतः सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि \((\sqrt{7})^2=7\), न कि \(\sqrt{2}\)। / Use the identity \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Here, \(a=2\) and \(b=\sqrt{7}\), so \((2+\sqrt{7})^2=2^2+2(2)(\sqrt{7})+(\sqrt{7})^2=4+4\sqrt{7}+7=11+4\sqrt{7}\). Therefore, option A is correct. Remember that \((\sqrt{7})^2=7\), not \(\sqrt{2}\).
( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ) से \(25-10\sqrt{6}+6=31-10\sqrt{6}\) मिलता है। संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / Using ( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ), we get \(25-10\sqrt{6}+6=31-10\sqrt{6}\). Pay special attention to signs.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}\), क्योंकि वर्गमूलों को जोड़ते समय उनके अंदर की संख्याएँ जोड़ी जा सकती हैं। इस कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. कथन गलत है, क्योंकि \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), जो \(\sqrt{10}\) के बराबर नहीं है।/The claim is incorrect because \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), which is not equal to \(\sqrt{10}\).
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। यह \(\sqrt{10}\) के बराबर नहीं है। वर्गमूलों को जोड़ने का सामान्य नियम \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\) नहीं होता; इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले पदों को समान बीजीय पदों की तरह जोड़ें, मूलांकों को सीधे न जोड़ें। / Since \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), we get \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). This is not equal to \(\sqrt{10}\). The rule \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\) is not generally valid, so option D is incorrect. Exam tip: simplify square roots first and combine only like radical terms; do not add radicands directly.
B. भुजा/side: \(3\sqrt{2}\) cm; परिमाप / perimeter: \(12\sqrt{2}\) cm
Explanation
Simple Explanation
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² होता है। इसलिए भुजा = \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) cm। परिमाप = 4 × भुजा = \(4\times3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) cm। अतः विकल्प B सही है। विकल्प D में भुजा तो \(\sqrt{18}\) cm, अर्थात् \(3\sqrt{2}\) cm, सही दी गई है, लेकिन उसका परिमाप गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग के प्रश्नों में पहले क्षेत्रफल से भुजा निकालें, फिर परिमाप के लिए उसे 4 से गुणा करें। / The area of a square is (side)². Hence, side = \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) cm. Its perimeter is 4 × side = \(4\times3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) cm, so option B is correct. In option D, \(\sqrt{18}\) cm is a correct form of the side, but the stated perimeter is incorrect. Exam tip: For a square, first find the side from the area and then multiply the side by 4 to obtain the perimeter.
हर में \(\sqrt{5}\) को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को \(\sqrt{5}\) से गुणा करें: \(\frac{4}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\), क्योंकि \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B मूल भिन्न का व्युत्क्रम है, जबकि C और D मूल संख्या के समतुल्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: हर में एक अकेला वर्गमूल हो, तो अंश और हर को उसी वर्गमूल से गुणा करें। / To remove the square root from the denominator, multiply both numerator and denominator by \(\sqrt{5}\): \(\frac{4}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\), since \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\). Therefore, option A is correct. Option B is the reciprocal of the original fraction, while C and D are not equivalent to it. Exam tip: when a denominator contains a single square root, multiply the numerator and denominator by that same square root.
अंश और हर को \( \sqrt{3} \) से गुणा करने पर \( \frac{7\sqrt{3}}{6} \) मिलता है। हर में करणी हटनी चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{3} \) gives \( \frac{7\sqrt{3}}{6} \). The radical should be removed from the denominator.
संयुग्मी \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) से गुणा करें और हर (6-5=1) बनेगा। इसलिए उत्तर \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) है। / Multiply by the conjugate \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) and the denominator becomes (6-5=1). So the answer is \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \).
\(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है। इसके विपरीत, \(0.125\) सांत दशमलव है, \(0.\overline{27}\) आवर्ती दशमलव है और \(\sqrt{81}=9\) एक परिमेय संख्या है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या आवर्ती, जबकि अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है। / \(\sqrt{2}\) is an irrational number, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring. In contrast, \(0.125\) is terminating, \(0.\overline{27}\) is recurring, and \(\sqrt{81}=9\) is rational. Exam tip: the decimal expansion of every rational number is either terminating or recurring, whereas an irrational number has a non-terminating, non-recurring decimal expansion.
\( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \), \( \sqrt{80}=4\sqrt{5} \), और \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \)। इसलिए \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) नहीं बल्कि \(5\sqrt{5}\) होगा। / \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \), \( \sqrt{80}=4\sqrt{5} \), and \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \). So the value is \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).
तीनों करणी को \( \sqrt{5} \) के पदों में बदलें। \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) सही है। / Convert all surds into terms of \( \sqrt{5} \). \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) is correct.
B. कथन गलत है; यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/The statement is incorrect; it is an irrational number because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती। दी गई संख्या में 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ रही है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता और प्रसार अनंत तथा अनावर्ती है। अतः यह अपरिमेय संख्या है। केवल प्रयुक्त अंकों की संख्या देखकर किसी संख्या को परिमेय नहीं कहा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: दशमलव प्रसार का सांत या आवर्ती होना जाँचें, केवल अंकों के प्रकार नहीं। / A rational number has a terminating or an eventually repeating decimal expansion. In the given number, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Hence its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, making the number irrational. The fact that only two digits are used does not determine rationality. Exam tip: Check whether the decimal terminates or repeats, not merely which digits appear.
B. हर अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है।/Every irrational number has a non-terminating and non-recurring decimal expansion.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याओं को ऐसे दशमलव प्रसार से दर्शाया जाता है जो अनंत और अनावर्ती होता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि सभी परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत नहीं होता; जैसे का प्रसार अनंत लेकिन आवर्ती है। पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं, इसलिए C और D भी गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: सांत या अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या को, जबकि अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या को दर्शाता है। / An irrational number has a decimal expansion that is non-terminating and non-recurring, so option B is correct. Option A is incorrect because not every rational number has a terminating decimal expansion; for example, has a non-terminating but recurring expansion. Integers and rational numbers are parts of the real number system, so options C and D are also false. Exam tip: a terminating or non-terminating recurring decimal represents a rational number, whereas a non-terminating non-recurring decimal represents an irrational number.
\( \sqrt{27}\times\sqrt{12}=\sqrt{324}=18 \)। गुणा में करणी के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{27}\times\sqrt{12}=\sqrt{324}=18 \). In multiplication, multiply the numbers inside the radicals.
विकल्प B में \(2-\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। फिर \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\), जो परिमेय है। इसलिए यह उदाहरण विद्यार्थी के दावे को गलत सिद्ध करता है। विकल्प A, C और D अपरिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय और कभी अपरिमेय हो सकता है। / In option B, \(2-\sqrt{2}\) is irrational because subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. However, \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\), which is rational. Thus, this example disproves the student's claim. Options A, C and D are irrational. Exam tip: The sum of two irrational numbers may be either rational or irrational.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, लेकिन उनका योग \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) है, और \(0\) एक परिमेय संख्या है। इसलिए यह उदाहरण विद्यार्थी के कथन को गलत सिद्ध करता है। अन्य विकल्पों में अपरिमेय संख्याओं के योग अपरिमेय ही रहते हैं। परीक्षा-युक्ति: दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता; विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\), and \(0\) is rational. Therefore, this example disproves the student's claim. In the other options, the sums remain irrational. Exam tip: The sum of two irrational numbers is not always irrational; opposite irrational numbers can add to zero.
वर्ग के विकर्ण के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाने पर \(d^2=1^2+1^2=2\), इसलिए \(d=\sqrt{2}\) मीटर। \(\sqrt{2}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प B में विकर्ण को 2 मीटर मानना गलत है; 2 वास्तव में विकर्ण के वर्ग का मान है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग की भुजा \(a\) हो तो विकर्ण \(a\sqrt{2}\) होता है। / Using the Pythagorean theorem for the square, \(d^2=1^2+1^2=2\), so \(d=\sqrt{2}\) metres. Since \(\sqrt{2}\) cannot be expressed as a ratio of two integers, it is irrational. Option B is incorrect because 2 is the value of the square of the diagonal, not the diagonal itself. Exam tip: the diagonal of a square with side \(a\) is \(a\sqrt{2}\).
A. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is an irrational number because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है। परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो समाप्त होता है या किसी निश्चित अंक-समूह की पुनरावृत्ति करता है। यहाँ 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं बनता और प्रसार अनंत तथा अनावर्ती है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होना संख्या को परिमेय नहीं बनाता। परीक्षा-युक्ति: किसी अनंत दशमलव को परिमेय मानने से पहले देखें कि उसमें आवर्ती पैटर्न है या नहीं। / Option A is correct. The decimal expansion of a rational number is either terminating or recurring. In this number, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats; hence the expansion is non-terminating and non-repeating. Using only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: For an infinite decimal, check whether a fixed repeating pattern exists before classifying it as rational.
पहला पद \( \frac{3}{4} \) और दूसरा \( \frac{5}{6} \) है। योग \( \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12} \) मिलता है। / The first term is \( \frac{3}{4} \) and the second is \( \frac{5}{6} \). The sum is \( \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12} \).
\( \sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10} \) और \( \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5} \) है। अंतर \( \frac{3}{10} \) है। / \( \sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10} \) and \( \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5} \). The difference is \( \frac{3}{10} \).
\(2^2<8<3^2\) इसलिए \( \sqrt{8} \) (2) और (3) के बीच है। (8) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(2^2<8<3^2\), \( \sqrt{8} \) lies between (2) and (3). Since (8) is not a perfect square, it is irrational.
\(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), जो परिमेय संख्या है। इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता और विकल्प A विद्यार्थी के दावे को गलत सिद्ध करता है। विकल्प B में गुणनफल \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है, जबकि C और D में क्रमशः \(2\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{5}\) अपरिमेय रहते हैं। परीक्षा-युक्ति: अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के बारे में हमेशा उदाहरण जाँचें; उसका परिणाम परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, but \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), which is rational. Therefore, the product of two irrational numbers is not always irrational, so option A disproves the student's claim. In option B, the product is \(\sqrt{6}\), which is irrational; in C and D, the products \(2\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{5}\) are also irrational. Exam tip: Never assume that multiplying two irrational numbers must give an irrational result; always simplify the product.
\(5^2=25\) और \(6^2=36\) है इसलिए \( \sqrt{26} \) (5) और (6) के बीच है। निकट पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(5^2=25\) and \(6^2=36\), so \( \sqrt{26} \) lies between (5) and (6). Compare nearby perfect squares.
क्योंकि \(7^2=49<53<64=8^2\), इसलिए \(7<\sqrt{53}<8\)। अतः \(\sqrt{53}\), 7 और 8 के बीच स्थित है। विकल्प B सही है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(8^2=64\) होने से \(\sqrt{53}\), 8 से छोटी है। परीक्षा में वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(7^2=49<53<64=8^2\), it follows that \(7<\sqrt{53}<8\). Therefore, \(\sqrt{53}\) lies between 7 and 8, so option B is correct. Option C is incorrect because \(\sqrt{53}\) is less than 8, as \(8^2=64\). Exam tip: compare the number with the nearest consecutive perfect squares to locate its square root.
\( \sqrt{20}\approx4.47 \) इसलिए \( -\sqrt{20}\approx-4.47 \)। ( -4.4 ) शून्य के अधिक निकट है इसलिए बड़ी है। / \( \sqrt{20}\approx4.47 \), so \( -\sqrt{20}\approx-4.47 \). ( -4.4 ) is closer to zero, so it is greater.
C. \( \frac{5}{0} \) वास्तविक संख्या है/\( \frac{5}{0} \) is a real number
Explanation
Simple Explanation
\( \frac{5}{0} \) परिभाषित नहीं है क्योंकि हर शून्य है। ऐसी संख्या वास्तविक नहीं मानी जाती। / \( \frac{5}{0} \) is undefined because the denominator is zero. Such a number is not considered real.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। अनावर्ती पैटर्न पहचानना जरूरी है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Identifying the non-repeating pattern is important.
\(1.232323\ldots\) में \(23\) का समूह बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह एक आवर्ती दशमलव है। प्रत्येक आवर्ती दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है; वास्तव में \(1.232323\ldots=\frac{122}{99}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। इसे अपरिमेय कहना गलत है, क्योंकि अनंत दशमलव होना अकेले पर्याप्त नहीं है—दशमलव का अनावर्ती होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: समाप्त होने वाले और आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / In \(1.232323\ldots\), the block \(23\) repeats indefinitely, so it is a recurring decimal. Every recurring decimal can be expressed as a fraction; in fact, \(1.232323\ldots=\frac{122}{99}\), so it is rational. It is not irrational because an infinite decimal is irrational only when it is non-terminating and non-recurring. Exam tip: terminating and recurring decimals are always rational.
स्थिर आवृत्ति न होने पर असमाप्त दशमलव अपरिमेय होता है। केवल आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is irrational. Only repeating decimals are rational.
A. विकर्ण परिमेय और परिमाप अपरिमेय है/The diagonal is rational and the perimeter is irrational
Explanation
Simple Explanation
वर्ग का विकर्ण = भुजा × \(\sqrt{2}=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) सेमी, इसलिए विकर्ण परिमेय है। परिमाप = \(4\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\) सेमी है, जो अपरिमेय है क्योंकि शून्येतर परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय होता है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: किसी अपरिमेय संख्या से जुड़े हर परिणाम को तुरंत अपरिमेय न मानें; पहले उसका सरलीकरण करें। / The diagonal of a square is side × \(\sqrt{2}\), so it is \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) cm, which is rational. The perimeter is \(4\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\) cm, which is irrational because the product of a non-zero rational number and an irrational number is irrational. Therefore, option A is correct. Exam tip: Do not classify an expression merely by looking at an irrational term; simplify it first.
\(40=2^3\times5\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(40=2^3\times5\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is a non-terminating recurring decimal
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{3}{28}\) सरलतम रूप में है और \(28=2^2\times 7\)। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी समाप्त होता है जब हर के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और \(5\) हों। यहाँ \(7\) भी गुणनखंड है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होगा, बल्कि असमाप्त आवर्ती होगा। यह परिमेय संख्या है, इसलिए इसे अपरिमेय या पूर्णांक नहीं कहा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: सरलतम रूप में हर देखकर केवल \(2\) और \(5\) होने पर समाप्त दशमलव पहचानें। / \(\frac{3}{28}\) is already in lowest terms, and \(28=2^2\times 7\). The decimal expansion of a rational number terminates only when the prime factors of its denominator are limited to \(2\) and \(5\). Since the denominator also contains the factor \(7\), the decimal expansion is non-terminating but recurring. The number is rational, so it is neither irrational nor an integer. Exam tip: After reducing a fraction, inspect its denominator; only factors \(2\) and \(5\) give a terminating decimal.
\(\frac{17}{125}\) पहले से सरल रूप में है और \(125=5^3\) है। सरल भिन्न के हर में केवल 2 और/या 5 के गुणनखंड होने पर उसका दशमलव प्रसार समाप्त होता है। वास्तव में, \(\frac{17}{125}=\frac{136}{1000}=0.136\), इसलिए यह समाप्त दशमलव है। विकल्प B गलत है क्योंकि दशमलव अनंत नहीं है, और विकल्प C भी गलत है क्योंकि यह एक परिमेय संख्या है। परीक्षा-युक्ति: हर के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और 5 हों, तो दशमलव समाप्त होगा। / The fraction \(\frac{17}{125}\) is already in lowest terms, and \(125=5^3\). A fraction in lowest terms has a terminating decimal expansion when its denominator contains only the prime factors 2 and/or 5. In fact, \(\frac{17}{125}=\frac{136}{1000}=0.136\), so the decimal terminates. Option B is incorrect because the decimal is not infinite, and option C is incorrect because the fraction is rational. Exam tip: Check the prime factors of the denominator after reducing the fraction; only 2s and 5s give a terminating decimal.
B. कथन गलत है; \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।/The statement is incorrect; \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
18 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने पर \(18=9\times2\) मिलता है, इसलिए \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और शून्येतर परिमेय संख्या 3 से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है, अतः \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है। विकल्प A गलत है क्योंकि हर पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय नहीं होता, और 18 पूर्ण वर्ग भी नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी \(\sqrt{n}\) को परिमेय मानने से पहले जाँचें कि \(n\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Factoring 18 gives \(18=9\times2\), so \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, multiplying it by the non-zero rational number 3 still gives an irrational number. Therefore, \(\sqrt{18}\) is irrational. Option A is wrong because the square root of every integer is not rational, and 18 is not a perfect square. Exam tip: Before classifying \(\sqrt{n}\), check whether \(n\) is a perfect square.
दो अलग-अलग अपरिमेय करणी पदों का योग यहाँ अपरिमेय है। यह वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित है। / The sum of these two different irrational surds is irrational. It lies on the real number line.
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=10\)। संख्या 10 एक पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या है, इसलिए यह परिमेय तथा वास्तविक संख्या भी है। अतः विकल्प A सही है। यह अपरिमेय नहीं है, क्योंकि इसका मान एक पूर्ण संख्या प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: दो वर्गमूलों के गुणनफल में, जब भाज्य धनात्मक हों, तो \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) का प्रयोग करें और देखें कि परिणामी वर्गमूल पूर्ण संख्या बनता है या नहीं। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=10\). The number 10 is an integer and a natural number, so it is also a rational real number. Therefore, option A is correct. It is not irrational because the product simplifies to a whole number. Exam tip: For positive radicands, use \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), then check whether the resulting square root is a perfect square.
\(\sqrt{7}\times\sqrt{14}=\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\)। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और शून्येतर परिमेय संख्या \(7\) से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है, इसलिए यह अपरिमेय वास्तविक संख्या है। यह परिमेय या पूर्णांक नहीं हो सकती और इसका दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: मूलों के गुणनफल को पहले एक ही मूल में बदलकर पूर्ण वर्ग अलग करें। / \(\sqrt{7}\times\sqrt{14}=\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, multiplying it by the nonzero rational number \(7\) still gives an irrational number. Therefore, the expression is an irrational real number, not a rational number, integer, or terminating decimal. Exam tip: combine the square roots first and extract perfect-square factors.
संयुग्मी गुणन से (22-\(\sqrt{13}\)2=4-13=-9) मिलता है। इस रूप में अंतर के वर्ग का नियम लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (22-\(\sqrt{13}\)2=4-13=-9). Use the difference of squares rule here.
हर के संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करें। अंश (\(2+\sqrt{3}\)2=7+4\sqrt{3}) और हर (1) होगा। / Multiply by the conjugate \(2+\sqrt{3}\). The numerator becomes (\(2+\sqrt{3}\)2=7+4\sqrt{3}) and the denominator becomes (1).
हर के संयुग्मी \( \sqrt{5}-1 \) से गुणा करने पर हर (5-1=4) होगा। संयुग्मी विधि में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{5}-1 \) makes the denominator (5-1=4). Use difference of squares in the conjugate method.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है; 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; the number of zeros between 1s keeps increasing.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या अनंत आवर्ती होता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती है, इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। परीक्षा टिप: केवल अंकों को नहीं, उनके दोहराव के क्रम को जाँचें। / A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. Here the gaps of zeros between 1s are 1, 2, 3, 4, ..., so no fixed repeating block exists. Exam tip: check the repetition pattern, not merely the digits used.
B. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
0.1010010001... में 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4... बढ़ती है, इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: केवल अनंत दशमलव होना परिमेय होने का प्रमाण नहीं है। / In 0.1010010001..., the number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4..., so no repeating block occurs. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: an infinite decimal can still be rational only if it repeats.
वास्तविक संख्याओं में \( \sqrt{a^2}=|a| \) होता है क्योंकि वर्गमूल अमुख्य रूप से गैर-ऋणात्मक होता है। संकेत का ध्यान रखें। / In real numbers, \( \sqrt{a^2}=|a| \) because the principal square root is non-negative. Pay attention to the sign.
नियम \(\sqrt{x^2}=|x|\) के अनुसार, \(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\) होगा। वर्गमूल का मुख्य मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(-5\) सही उत्तर नहीं है। परीक्षा में याद रखें: \(\sqrt{x^2}\) का मान \(x\) नहीं, बल्कि \(|x|\) होता है। / Using the identity \(\sqrt{x^2}=|x|\), we get \(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\). The principal square root is always non-negative, so \(-5\) is not correct. Exam tip: remember that \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always \(x\).
संयुग्मी \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \) से गुणा करने पर हर (3-2=1) बनता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \) है। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \) makes the denominator (3-2=1). So the rationalised form is \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \).
