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\(320=64\times5\) और \(64\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{320}=\sqrt{64\times5}=\sqrt{64}\times\sqrt{5}=8\sqrt{5}\)। विकल्प B में गुणांक दोगुना हो गया है, जबकि विकल्प C में 320 का गलत गुणनखंडन किया गया है। परीक्षा में करणी सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(320=64\times5\) and \(64\) is a perfect square, \(\sqrt{320}=\sqrt{64\times5}=\sqrt{64}\times\sqrt{5}=8\sqrt{5}\). In option B, the coefficient has been incorrectly doubled, while option C results from an incorrect factorisation of 320. Exam tip: take the largest perfect-square factor outside the square root.
\(363=121\times3\) इसलिए \( \sqrt{363}=11\sqrt{3} \)। करणी में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / Since \(363=121\times3\), \( \sqrt{363}=11\sqrt{3} \). Take the perfect square out of the radical.
\(432=144\times3=12^2\times3\)। इसलिए \(\sqrt{432}=\sqrt{12^2\times3}=12\sqrt{3}\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प A में 432 के गुणनखंड का सही पूर्ण वर्ग नहीं लिया गया है, जबकि विकल्प C और D का वर्ग 432 के बराबर नहीं है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / \(432=144\times3=12^2\times3\). Therefore, \(\sqrt{432}=\sqrt{12^2\times3}=12\sqrt{3}\), so option B is correct. Option A does not use the correct perfect-square factor, while squaring options C and D does not give 432. Exam tip: factor the number using the largest perfect-square factor before simplifying a surd.
B. असांत आवर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्या परिमेय होती है।/A number with a non-terminating recurring decimal expansion is rational.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{7}{24}=0.29166\ldots\) में 6 बार-बार आता है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। असांत आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय संख्या को दर्शाता है; केवल असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। विकल्प A असांत और असांत आवर्ती दशमलवों में अंतर नहीं करता। परीक्षा टिप: दशमलव में कोई अंक-समूह नियमित रूप से दोहराए, तो संख्या परिमेय होती है। / \(\frac{7}{24}=0.29166\ldots\), where 6 repeats, so its decimal expansion is non-terminating recurring. Every non-terminating recurring decimal represents a rational number; only non-terminating non-recurring decimals are irrational. Option A wrongly ignores the difference between non-terminating and non-terminating recurring decimals. Exam tip: If a digit or group of digits repeats regularly, the number is rational.
एक छात्र कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसके दशमलव प्रसार में केवल 0 और 1 अंक आते हैं। छात्र की त्रुटि को सही ढंग से कौन समझाता है?
C. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार न तो सांत है और न ही आवर्ती।/It is irrational because its decimal expansion is neither terminating nor recurring.
Explanation
Simple Explanation
\(0.101001000100001\ldots\) में 1 के बीच आने वाले 0 की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। यह दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होने से कोई संख्या परिमेय नहीं हो जाती। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। / In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring; therefore, the number is irrational. Using only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: A rational number has either a terminating decimal expansion or a non-terminating recurring decimal expansion.
वितरण नियम से \( \sqrt{7}\times4+\sqrt{7}\times\sqrt{7}=4\sqrt{7}+7 \)। समान वर्गमूल का गुणन अंदर की संख्या देता है। / By distributive law, \( \sqrt{7}\times4+\sqrt{7}\times\sqrt{7}=4\sqrt{7}+7 \). Multiplying the same square root gives the radicand.
C. असमाप्त अनावर्ती दशमलव प्रसार अपरिमेय संख्या दर्शाता है।/A non-terminating non-recurring decimal expansion represents an irrational number.
Explanation
Simple Explanation
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव प्रसार अपरिमेय संख्या का लक्षण है। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{2} \) का दशमलव प्रसार 1.414213... है, जो न समाप्त होता है और न ही किसी निश्चित क्रम में दोहराता है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि 0.333... जैसे असमाप्त आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: समाप्त होने वाले या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं; असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। / A non-terminating, non-recurring decimal expansion is a characteristic of an irrational number. For example, the decimal expansion of \(\sqrt{2} \) is 1.414213..., which neither terminates nor repeats in a fixed pattern. Options B and D are incorrect because non-terminating recurring decimals such as 0.333... are rational. Exam tip: Terminating or recurring decimals are rational, while non-terminating non-recurring decimals are irrational.
( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ) से \(49-14\sqrt{3}+3=52-14\sqrt{3}\) मिलता है। संकेतों पर ध्यान दें। / Using ( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ), we get \(49-14\sqrt{3}+3=52-14\sqrt{3}\). Watch the signs carefully.
ये दोनों व्यंजक संयुग्मी हैं। पहचान \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लगाने पर \((6+\sqrt{23})(6-\sqrt{23})=6^2-(\sqrt{23})^2=36-23=13\) मिलता है। विकल्प A में 23 को गलत तरीके से जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में संयुग्मी पदों को पहचानकर सीधे वर्गों का अंतर लगाएँ। / The two factors are conjugates. Using \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), we get \((6+\sqrt{23})(6-\sqrt{23})=6^2-(\sqrt{23})^2=36-23=13\). Option A results from incorrectly adding 23. Exam tip: When conjugate factors appear, apply the difference of squares directly.
A. क्योंकि \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(3\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है।/Since \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), the sum is \(3\sqrt{2}\), which is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और किसी शून्येतर परिमेय संख्या से उसका गुणनफल भी अपरिमेय रहता है, इसलिए \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। विकल्प C में वर्गमूलों को जोड़कर \(\sqrt{10}\) लिखना गलत नियम है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) को सामान्यतः \(\sqrt{a+b}\) नहीं लिखा जा सकता। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, its product with a non-zero rational number such as 3 is also irrational. Hence the sum is irrational. Option C uses the incorrect rule \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\). Exam tip: simplify each surd first and then combine like surds.
हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर दोनों को \sqrt{11} से गुणा करें: \frac{8}{\sqrt{11}}\times\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{8\sqrt{11}}{11}। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B मूल भिन्न का सही समतुल्य रूप नहीं है और विकल्प C में \sqrt{11} का गुणनफल छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: एकपदी मूल वाले हर को उसी मूल से गुणा करके हर को पूर्ण वर्ग में बदलें। / To rationalise the denominator, multiply both numerator and denominator by \sqrt{11}: \frac{8}{\sqrt{11}}\times\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{8\sqrt{11}}{11}. Hence, option A is correct. Option B is not equivalent to the original fraction, while option C omits the factor \sqrt{11} in the numerator. Exam tip: for a denominator containing a single square root, multiply by the same square root to obtain a perfect-square denominator.
अंश और हर को \( \sqrt{5} \) से गुणा करने पर \( \frac{9\sqrt{5}}{20} \) मिलता है। हर से करणी हटनी चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{5} \) gives \( \frac{9\sqrt{5}}{20} \). The radical should be removed from the denominator.
हर \( \sqrt{13}+2\sqrt{3} \) है और संयुग्मी \( \sqrt{13}-2\sqrt{3} \) होगा। हर (13-12=1) बनता है। / The denominator is \( \sqrt{13}+2\sqrt{3} \) and its conjugate is \( \sqrt{13}-2\sqrt{3} \). The denominator becomes (13-12=1).
हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर को संयुग्मी \(\sqrt{17}+\sqrt{8}\) से गुणा करें। तब हर \((\sqrt{17}-\sqrt{8})(\sqrt{17}+\sqrt{8})=17-8=9\) हो जाता है और अंश \(\sqrt{17}+\sqrt{8}\) रहता है। इसलिए सही उत्तर \(\frac{\sqrt{17}+\sqrt{8}}{9}\) है। परीक्षा-युक्ति: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करें। / To rationalise the denominator, multiply the numerator and denominator by the conjugate \(\sqrt{17}+\sqrt{8}\). The denominator becomes \((\sqrt{17}-\sqrt{8})(\sqrt{17}+\sqrt{8})=17-8=9\), while the numerator becomes \(\sqrt{17}+\sqrt{8}\). Hence, the correct form is \(\frac{\sqrt{17}+\sqrt{8}}{9}\). Exam tip: use the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
\( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \), \( \sqrt{200}=10\sqrt{2} \), और \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \)। इसलिए परिणाम \(12\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \), \( \sqrt{200}=10\sqrt{2} \), and \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \). So the result is \(12\sqrt{2}\).
\(54=9\times6\) और \(150=25\times6\), इसलिए \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\) तथा \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\)। अतः \(3\sqrt{54}+2\sqrt{150}=3(3\sqrt{6})+2(5\sqrt{6})=9\sqrt{6}+10\sqrt{6}=19\sqrt{6}\)। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले करणी पदों को उनके गुणांकों की तरह जोड़ा या घटाया जा सकता है। / Since \(54=9\times6\) and \(150=25\times6\), we have \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\) and \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\). Therefore, \(3\sqrt{54}+2\sqrt{150}=3(3\sqrt{6})+2(5\sqrt{6})=9\sqrt{6}+10\sqrt{6}=19\sqrt{6}\). Hence, option B is correct. Exam tip: Radicals with the same radicand can be added or subtracted by combining their coefficients.
विकल्प C में दशमलव के बाद 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। यह दशमलव प्रसार न समाप्त होता है और न किसी निश्चित क्रम में दोहराता है, इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प B असमाप्य है, लेकिन उसमें 3 बार-बार दोहरता है; अतः वह आवर्ती दशमलव और परिमेय संख्या है। परीक्षा टिप: असमाप्य-अनावर्ती दशमलव हमेशा अपरिमेय होता है, जबकि समाप्य या आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / In option C, the number of zeros between successive 1s keeps increasing. Its decimal expansion neither terminates nor repeats a fixed pattern, so it is irrational. Option B is non-terminating, but the digit 3 repeats, making it a recurring decimal and therefore rational. Exam tip: A non-terminating, non-repeating decimal is always irrational, while a terminating or recurring decimal is rational.
B. अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है।/The decimal expansion of irrational numbers is non-terminating and non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत होता है, लेकिन उसमें कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता; इसलिए वह अनावर्ती होता है। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\) का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है। इसके विपरीत, \(1/3=0.333\ldots\) अनंत आवर्ती है, पर वह परिमेय संख्या है। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती दशमलव को परिमेय और अनंत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / The decimal expansion of an irrational number is non-terminating, but no fixed block of digits repeats indefinitely; hence it is non-recurring. For example, \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\) is non-terminating and non-recurring. In contrast, \(1/3=0.333\ldots\) is non-terminating and recurring, so it is rational. Exam tip: recurring decimals are rational, while non-terminating non-recurring decimals are irrational.
\( \frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}}=\sqrt{121}=11 \)। वर्गमूल के भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}}=\sqrt{121}=11 \). In division of square roots, divide the radicands.
एक विद्यार्थी कहता है कि सरलतम रूप में किसी भिन्न के हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड होने पर उसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। निम्नलिखित में से कौन-सा भिन्न उसके कथन का उदाहरण है?
\(\frac{11}{12}\) के हर का अभाज्य गुणनखंडन \(12=2^2\times3\) है। इसमें 3 भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है: \(0.91\overline{6}\)। इसके विपरीत, \(8\), \(20\) और \(125\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हैं, इसलिए उनके दशमलव प्रसार सांत होते हैं। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले सरलतम रूप में लिखकर हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / For \(\frac{11}{12}\), the denominator is \(12=2^2\times3\). Since it contains the prime factor 3, its decimal expansion is non-terminating recurring: \(0.91\overline{6}\). In contrast, the denominators 8, 20 and 125 have only 2 and/or 5 as prime factors, so their decimal expansions terminate. Exam tip: First reduce a fraction to its simplest form, then check the prime factors of its denominator.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, पर उनका योग \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) होता है। 0 एक परिमेय संख्या है, इसलिए यह उदाहरण बताता है कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। विकल्प A में योग अपरिमेय है, लेकिन वह दिए गए सार्वभौमिक कथन को गलत सिद्ध नहीं करता। परीक्षा टिप: “हमेशा” जैसे कथन को गलत सिद्ध करने के लिए केवल एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\). Since 0 is rational, this is a counterexample to the claim that the sum of two irrational numbers is always irrational. Option A does give an irrational sum, but it does not disprove an “always” statement. Exam tip: one counterexample is enough to disprove a universal statement.
\(6.25=2.5^2\), इसलिए \(\sqrt{6.25}=2.5\)। इसी प्रकार, \(0.64=0.8^2\), इसलिए \(\sqrt{0.64}=0.8\)। अतः मान \(2.5-0.8=1.7\) है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: दशमलवों के वर्गमूल निकालते समय पहले जाँचें कि वे किसी दशमलव संख्या के पूर्ण वर्ग हैं। / Since \(6.25=2.5^2\), we have \(\sqrt{6.25}=2.5\). Similarly, \(0.64=0.8^2\), so \(\sqrt{0.64}=0.8\). Therefore, the value is \(2.5-0.8=1.7\), making option A correct. Exam tip: When finding the square root of a decimal, check whether it is the square of a simple decimal number before calculating.
पहला पद \( \frac{5}{7} \) और दूसरा \( \frac{4}{9} \) है। योग \( \frac{45}{63}+\frac{28}{63}=\frac{73}{63} \) है। / The first term is \( \frac{5}{7} \) and the second is \( \frac{4}{9} \). The sum is \( \frac{45}{63}+\frac{28}{63}=\frac{73}{63} \).
\( \sqrt{\frac{100}{169}}=\frac{10}{13} \) और \( \sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{3}{8} \) है। अंतर \( \frac{80}{104}-\frac{39}{104}=\frac{41}{104} \) है। / \( \sqrt{\frac{100}{169}}=\frac{10}{13} \) and \( \sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{3}{8} \). The difference is \( \frac{80}{104}-\frac{39}{104}=\frac{41}{104} \).
\(6^2<43<7^2\) इसलिए \( \sqrt{43} \) (6) और (7) के बीच है। (43) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(6^2<43<7^2\), \( \sqrt{43} \) lies between (6) and (7). Since (43) is not a perfect square, it is irrational.
क्योंकि \(63<64\), इसलिए \(\sqrt{63}<\sqrt{64}=8\)। अतः \(8\) बड़ा है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(\sqrt{63}\), 8 से थोड़ा छोटा है; विकल्प C भी गलत है क्योंकि दोनों संख्याएँ बराबर नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्याओं के वर्गों की तुलना करके उनके वर्गमूलों का क्रम आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। / Since \(63<64\), we have \(\sqrt{63}<\sqrt{64}=8\). Therefore, \(8\) is greater. Option A is incorrect because \(\sqrt{63}\) is slightly less than 8, and option C is incorrect because the two numbers are not equal. Exam tip: For non-negative numbers, comparing their squares is a quick way to compare their square roots.
\(10^2=100\) और \(11^2=121\) है इसलिए \( \sqrt{101} \) (10) और (11) के बीच है। निकट पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(10^2=100\) and \(11^2=121\), so \( \sqrt{101} \) lies between (10) and (11). Compare nearby perfect squares.
\(11^2=121\) और \(12^2=144\) है इसलिए \( \sqrt{130} \) (11) और (12) के बीच है। सीमा वर्ग करके जाँचें। / \(11^2=121\) and \(12^2=144\), so \( \sqrt{130} \) lies between (11) and (12). Check the range by squaring.
\( \sqrt{65}\approx8.06 \) इसलिए \( -\sqrt{65}\approx-8.06 \)। ( -8.06 ) ( -8.1 ) से बड़ा होता है। / \( \sqrt{65}\approx8.06 \), so \( -\sqrt{65}\approx-8.06 \). ( -8.06 ) is greater than ( -8.1 ).
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानें। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Identify the difference between repeating and non-repeating.
दशमलव 4.616161... में 61 का समूह बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह एक आवर्ती दशमलव है। प्रत्येक आवर्ती दशमलव परिमेय होता है; वास्तव में 4.616161... = 457/99। इसलिए सही उत्तर परिमेय वास्तविक संख्या है। यह पूर्णांक नहीं है, क्योंकि इसका दशमलव भाग शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं, जबकि अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। / In 4.616161..., the block 61 repeats indefinitely, so it is a recurring decimal. Every recurring decimal is rational; in fact, 4.616161... = 457/99. Therefore, it is a rational real number. It is not an integer because its decimal part is not zero. Exam tip: terminating and recurring decimals are rational, whereas non-terminating, non-recurring decimals are irrational.
नियमित आवृत्ति न होने पर असमाप्त दशमलव अपरिमेय होता है। केवल स्थिर आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without regular repetition is irrational. Only fixed repeating decimals are rational.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating
Explanation
Simple Explanation
हर (17) में (2) या (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (17) has factors other than (2) or (5). Therefore the decimal will be non-terminating repeating.
\(160=2^5\times5\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(160=2^5\times5\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
\(66=2\times3\times11\) में (3) और (11) हैं। इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा लेकिन आवर्ती होगा। / \(66=2\times3\times11\) has (3) and (11). So the decimal will not terminate but will repeat.
\(500=2^2\times5^3\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(500=2^2\times5^3\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
\(\frac{37}{54}\) पहले से ही सरल रूप में है क्योंकि 37 और 54 का महत्तम समापवर्तक 1 है। हर \(54=2\times3^3\) में 2 के साथ 3 का गुणनखंड भी है। सरल भिन्न के हर में केवल 2 और 5 होने पर ही दशमलव समाप्त होता है; इसलिए इसका दशमलव \(0.685185185\ldots\) असमाप्त आवर्ती होगा। अतः ‘समाप्त’ विकल्प गलत है। परीक्षा-युक्ति: हर के अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य गुणनखंड हो, तो दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है। / \(\frac{37}{54}\) is already in lowest terms because the greatest common divisor of 37 and 54 is 1. The denominator is \(54=2\times3^3\), so it contains the factor 3 along with 2. A reduced fraction has a terminating decimal only when its denominator contains no prime factors other than 2 and 5. Therefore, \(\frac{37}{54}=0.685185185\ldots\) is non-terminating and repeating. Thus, the ‘Terminating’ option is incorrect. Exam tip: If a reduced denominator has any prime factor other than 2 or 5, the decimal expansion is non-terminating repeating.
\(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है। \(\frac{7}{16}\) का दशमलव प्रसार सांत होता है, जबकि \(0.363636\ldots\) अनंत तो है, पर आवर्ती है; इसलिए ये दोनों परिमेय संख्याएँ हैं। परीक्षा टिप: अनंत अनावर्ती दशमलव प्रसार अपरिमेय संख्या की पहचान है। / \(\sqrt{2}\) is an irrational number, so its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. \(\frac{7}{16}\) has a terminating decimal expansion, while \(0.363636\ldots\) is non-terminating but repeating; both are rational numbers. Exam tip: A non-terminating, non-repeating decimal expansion identifies an irrational number.
B. चूँकि \(375=3\times5^3\) है, इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।/Since \(375=3\times5^3\), the decimal expansion will be non-terminating recurring.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{13}{375}\) पहले से ही सरलतम रूप में है और \(375=3\times5^3\) है। किसी परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) का दशमलव प्रसार केवल तब सांत होता है, जब सरलतम रूप में \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। यहाँ 3 भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा, असांत अनावर्ती नहीं। परीक्षा टिप: हर को सरलतम रूप में गुणनखंडित करके केवल 2 और 5 की जाँच करें। / The fraction \(\frac{13}{375}\) is already in lowest terms, and \(375=3\times5^3\). A rational number \(\frac{p}{q}\) has a terminating decimal expansion only when, in lowest terms, the prime factors of \(q\) are only 2 and 5. Since 3 is also a factor here, the decimal expansion is non-terminating recurring, not non-terminating non-recurring. Exam tip: First reduce the fraction, then check whether the denominator has only 2 and 5 as prime factors.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
इस संख्या में 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या क्रमशः बढ़ती जाती है: 1, फिर 2, फिर 3, फिर 4 शून्य आदि। इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार एक ही क्रम में नहीं दोहराता। इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, अतः यह संख्या अपरिमेय है। केवल किसी अंक का बार-बार आना परिमेय होने के लिए पर्याप्त नहीं है; दशमलव प्रसार में एक निश्चित आवर्ती खंड होना चाहिए। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing: 1 zero, then 2, then 3, then 4, and so on. Hence, no fixed block of digits repeats periodically. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, so the number is irrational. The repeated occurrence of a digit alone does not make a number rational; a fixed repeating block is required. Exam tip: A rational number has either a terminating decimal expansion or a non-terminating recurring decimal expansion.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, लेकिन उनका योग \(0\) है, जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होने का कथन गलत है। विकल्प D में योग \(3\sqrt{7}\) है, जो अपरिमेय ही रहता है; अतः वह कथन का खंडन नहीं करता। परीक्षा टिप: ‘हमेशा’ या ‘सदैव’ जैसे कथन को गलत सिद्ध करने के लिए केवल एक सही प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational numbers, but their sum is \(0\), which is rational. Hence, the statement that the sum of two irrational numbers is always irrational is false. In option D, the sum is \(3\sqrt{7}\), which is still irrational, so it does not disprove the statement. Exam tip: To disprove a statement containing words such as “always,” one valid counterexample is enough.
हर के संयुग्मी \(4+\sqrt{3}\) से गुणा करें। अंश (\(4+\sqrt{3}\)2=19+8\sqrt{3}) और हर (13) होगा। / Multiply by the conjugate \(4+\sqrt{3}\). The numerator is (\(4+\sqrt{3}\)2=19+8\sqrt{3}) and the denominator is (13).
हर के संयुग्मी \( \sqrt{11}+3 \) से गुणा करने पर हर (11-9=2) होगा। संयुग्मी विधि में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{11}+3 \) makes the denominator (11-9=2). Use difference of squares in the conjugate method.
एक विद्यार्थी कहता है, “जिस संख्या का दशमलव प्रसार अनंत होता है, वह हमेशा अपरिमेय होती है।” निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण उसके कथन की त्रुटि सिद्ध करता है?
\(\frac{7}{11}=0.636363\ldots\) का दशमलव प्रसार अनंत है, लेकिन इसमें 63 बार-बार दोहराता है। इसलिए यह अनंत आवर्ती दशमलव है और \(\frac{7}{11}\) परिमेय संख्या है। इसके विपरीत, \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) के दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती होते हैं, इसलिए वे अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: अनंत दशमलव देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; पहले जाँचें कि वह आवर्ती है या अनावर्ती। / \(\frac{7}{11}=0.636363\ldots\) has an infinite decimal expansion, but the block 63 repeats. Hence, it is a non-terminating recurring decimal and is rational. In contrast, \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) have non-terminating, non-recurring decimal expansions, so they are irrational. Exam tip: Do not classify an infinite decimal as irrational until you check whether it repeats.
\(\sqrt{36}=6\) और \(\sqrt{121}=11\) है। अतः \(\sqrt{36}-\sqrt{121}=6-11=-5\)। किसी संख्या का निरपेक्ष मान सदैव ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(\left|-5\right|=5\)। विकल्प C निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह निरपेक्ष मान लगाने से पहले का मान है। परीक्षा टिप: पहले वर्गमूल निकालें, फिर अंतर का निरपेक्ष मान लें। / \(\sqrt{36}=6\) and \(\sqrt{121}=11\). Therefore, \(\sqrt{36}-\sqrt{121}=6-11=-5\). The absolute value of a number is never negative, so \(\left|-5\right|=5\). Option C is a close distractor because it is the value before applying the absolute value. Exam tip: evaluate the square roots first, then take the absolute value of the difference.
वास्तविक संख्याओं में \(\sqrt{a^2}=|a|\) होता है, क्योंकि वर्गमूल का मुख्य मान सदैव ऋणेतर होता है। अतः \(\sqrt{(-12)^2}=|-12|=12\)। विकल्प \(-12\) गलत है, क्योंकि \(-12\) का वर्ग 144 तो होता है, लेकिन 144 का मुख्य वर्गमूल 12 है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{x^2}\) को सीधे \(x\) न लिखें; इसे \(|x|\) लिखें। / In real numbers, \(\sqrt{a^2}=|a|\), because the principal square root is always non-negative. Therefore, \(\sqrt{(-12)^2}=|-12|=12\). The option \(-12\) is incorrect: although its square is 144, the principal square root of 144 is 12. Exam tip: Do not simplify \(\sqrt{x^2}\) directly as \(x\); write it as \(|x|\).
यहाँ \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, न कि हमेशा \(x\)। क्योंकि \(x=-15\) है, इसलिए \(\sqrt{x^2}=|-15|=15\)। अतः \(\sqrt{x^2}-x=15-(-15)=30\)। विकल्प \(0\) तब मिलता यदि गलती से \(\sqrt{x^2}=x\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल का मुख्य मान सदैव ऋणेतर होता है, इसलिए \(\sqrt{x^2}=|x|\) लिखें। / Use \(\sqrt{x^2}=|x|\), not simply \(x\) in every case. Since \(x=-15\), \(\sqrt{x^2}=|-15|=15\). Therefore, \(\sqrt{x^2}-x=15-(-15)=30\). The option \(0\) results from the incorrect assumption that \(\sqrt{x^2}=x\) for a negative value of \(x\). Exam tip: the principal square root is always non-negative, so write \(\sqrt{x^2}=|x|\).
संयुग्मी \(6-\sqrt{35}\) से गुणा करने पर हर (36-35=1) बनता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(6-\sqrt{35}\) है। / Multiplying by the conjugate \(6-\sqrt{35}\) makes the denominator (36-35=1). So the rationalised form is \(6-\sqrt{35}\).
