A student says that \(0.101001000100001\ldots\) is a rational number because its decimal expansion contains only the digits 0 and 1. Which statement correctly explains the student's error?एक छात्र कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसके दशमलव प्रसार में केवल 0 और 1 अंक आते हैं। छात्र की त्रुटि को सही ढंग से कौन समझाता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It is irrational because its decimal expansion is neither terminating nor recurring.यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार न तो सांत है और न ही आवर्ती।
In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring; therefore, the number is irrational. Using only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: A rational number has either a terminating decimal expansion or a non-terminating recurring decimal expansion.\(0.101001000100001\ldots\) में 1 के बीच आने वाले 0 की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। यह दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होने से कोई संख्या परिमेय नहीं हो जाती। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या असांत आवर्ती।
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