A student says that the sum of two irrational numbers is always irrational. Which of the following examples disproves the statement?एक विद्यार्थी कहता है कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है। निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण उसके कथन को गलत सिद्ध करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})\)\(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})\)
Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\). Since 0 is rational, this is a counterexample to the claim that the sum of two irrational numbers is always irrational. Option A does give an irrational sum, but it does not disprove an “always” statement. Exam tip: one counterexample is enough to disprove a universal statement.\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, पर उनका योग \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) होता है। 0 एक परिमेय संख्या है, इसलिए यह उदाहरण बताता है कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। विकल्प A में योग अपरिमेय है, लेकिन वह दिए गए सार्वभौमिक कथन को गलत सिद्ध नहीं करता। परीक्षा टिप: “हमेशा” जैसे कथन को गलत सिद्ध करने के लिए केवल एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है।
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