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A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या अपने आप को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करे तो (a) (c) को विभाजित करता है, इसलिए यह संक्रामक है। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सममितता के लिए उल्टा युग्म जरूर जांचें, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं। / For symmetry, always check the reverse pair; (1) divides (2) but (2) does not divide (1).
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) and ((2,1)) both exist, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
जरूरी संयोजन जांचने पर संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Checking all needed chains shows transitivity is not broken, so it is an equivalence relation.
A. संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / ((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए, जो संबंध में है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and it is present.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में पहले गायब स्वयुग्म देखकर परावर्तन जल्दी खारिज करें। / In hard questions, first look for missing self-pairs to reject reflexivity quickly.
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई भी ((a,a)) मौजूद नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / No ((a,a)) pair is present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्म या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममित और संक्रामक शर्त खाली रूप से पूरी होती है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity, so those conditions hold vacuously.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध में परावर्तन जरूर जांचें, वही मुख्य फर्क बनाता है। / For an empty relation, reflexivity is the main condition to check.
(a-a=0) सम है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है, इसलिए संबंध सममित है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समता का जोड़ फिर सम देता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है और संबंध तुल्यता है। / The sum of even differences is even, so transitivity holds and the relation is an equivalence relation.
हर पूर्णांक के लिए \(a \equiv a \pmod{3}\), इसलिए परावर्ती है। / For every integer, \(a \equiv a \pmod{3}\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a \equiv b \pmod{3}\) तो \(b \equiv a \pmod{3}\), इसलिए सममित है। / If \(a \equiv b \pmod{3}\), then \(b \equiv a \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल का संबंध संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same remainder is transitive, so it is an equivalence relation.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
कोई भी ((1,1),(2,2),(3,3)) पूरा समूह नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / The self-pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are not all present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हर दिए गए युग्म का उल्टा युग्म भी मौजूद है, इसलिए सममित है। / Every listed pair has its reverse pair, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required but missing, so it is not transitive.
(a+a=2a) सम है, इसलिए हर स्वयुग्म मौजूद है। / (a+a=2a) is even, so every self-pair is present.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम है तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान सम-विषम प्रकृति के कारण संक्रामकता भी रहती है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / The same parity condition preserves transitivity, so the relation is an equivalence relation.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
((1,1)) जैसे स्वयुग्म में योग (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / A self-pair like ((1,1)) gives sum (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a+b=5), तो (b+a=5), इसलिए संबंध सममित है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) और ((4,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((1,4)) and ((4,1)), ((1,1)) would be needed, but it is missing, so transitivity fails.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व अपने आप से जुड़ा होता है, इसलिए परावर्ती है। / In the identity relation, every element is related to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का उल्टा भी वही ((a,a)) है, इसलिए सममित है। / The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((a,a)) और ((a,a)) से फिर ((a,a)) मिलता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / Combining self-pairs gives the same self-pair, so transitivity also holds.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(2) और (4) के स्वयुग्म नहीं आएंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। / Self-pairs for (2) and (4) will not occur, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों संख्याएं विषम हैं तो क्रम बदलने पर भी दोनों विषम रहती हैं, इसलिए सममित है। / If both numbers are odd, changing order keeps both odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
विषम तत्वों के समूह में जुड़ाव बना रहता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Within the odd elements, the relation stays connected, so transitivity holds.
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हर युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। / Every pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता की कमी है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्तन के लिए (4) स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए बाकी (12) युग्म स्वतंत्र हैं। / Reflexivity forces (4) self-pairs, so the remaining (12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
हर स्वतंत्र युग्म को चुनने या न चुनने के दो तरीके हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / Each optional pair has two choices, giving \(2^{12}\) relations.
तीन स्वयुग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। / The three self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के तीन जोड़े बनते हैं और हर जोड़े में दोनों दिशाएं साथ चुनी जाती हैं या साथ छोड़ी जाती हैं। / There are three unordered pairs of distinct elements, and both directions must be selected together or omitted together.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) है। / Total independent choices are (3+3=6), so the number is \(2^6\).
(n) स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े होते हैं, जिनमें दोनों दिशाएं साथ तय होती हैं। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements, and both directions are decided together.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
परावर्तन के कारण तीनों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces all three self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के तीन जोड़े हैं और सममितता के कारण हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाएगा। / There are three unordered distinct-element pairs, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल तीन स्वतंत्र चुनाव हैं और संख्या \(2^3\) है। / Hence only three independent choices remain, giving \(2^3\).
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं, इसलिए सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((1,3)) has ((3,1)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so it is not transitive.
(|a|=|a|), इसलिए संबंध परावर्ती है। / (|a|=|a|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममित है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान परिमाण का संबंध तीसरी संख्या तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Equality of absolute values passes through a third number, so transitivity holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
((2,2)) में समापवर्तक (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं। / For ((2,2)), the greatest common divisor is (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं का सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममित है। / The greatest common divisor does not change when order is changed, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2) और (3) सहअभाज्य हैं तथा (3) और (4) सहअभाज्य हैं, पर (2) और (4) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं। / (2) is coprime to (3), and (3) is coprime to (4), but (2) is not coprime to (4), so transitivity fails.
A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्ती है। / Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता में \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\), इसलिए संक्रामक है। / In divisibility, \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid 4\) सत्य है पर \(4\mid 2\) असत्य है, इसलिए सममित नहीं। / \(2\mid 4\) is true but \(4\mid 2\) is false, so it is not symmetric.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म दिए हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
दिए गए आगे बढ़ने वाले युग्मों के लिए जरूरी परिणामी युग्म जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद हैं, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / Required resulting pairs such as ((1,3),(2,4),(1,4)) are present, so transitivity holds.
हर विद्यार्थी का जन्म महीना अपने जन्म महीने के समान है, इसलिए परावर्ती है। / Every student has the same birth month as themselves, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) का महीना (b) जैसा है, तो (b) का महीना भी (a) जैसा है, इसलिए सममित है। / If (a)'s month is the same as (b)'s, then (b)'s is the same as (a)'s, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान जन्म महीना तीसरे विद्यार्थी तक भी समान रहता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Same birth month passes through a third student, so transitivity holds.
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई व्यक्ति स्वयं से लंबा नहीं हो सकता, इसलिए परावर्ती नहीं। / A person cannot be taller than themselves, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) से लंबा है तो (b), (a) से लंबा नहीं होगा, इसलिए सममित नहीं। / If (a) is taller than (b), then (b) is not taller than (a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a), (b) से लंबा और (b), (c) से लंबा है, तो (a), (c) से लंबा होगा, इसलिए संक्रामक है। / If (a) is taller than (b) and (b) is taller than (c), then (a) is taller than (c), so it is transitive.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
\(a\neq a\) असत्य है, इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं और संबंध परावर्ती नहीं। / \(a\neq a\) is false, so no self-pair exists and the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq b\), तो \(b\neq a\), इसलिए सममित है। / If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(1\neq 2\) और \(2\neq 1\) हैं पर \(1\neq 1\) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / \(1\neq 2\) and \(2\neq 1\) hold but \(1\neq 1\) does not, so transitivity fails.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए परावर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (2), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है तो (b-a) भी (2) से विभाज्य है, इसलिए सममित है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
विभाज्य अंतरों का योग भी विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / The sum of divisible differences is divisible, so transitivity holds.
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) हैं, इसलिए सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((3,4)) has ((4,3)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर समूह ({1,2}) और ({3,4}) के भीतर जरूरी युग्म पूरे हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / Within the groups ({1,2}) and ({3,4}), required pairs are complete, so transitivity holds.
A. नहीं, उदाहरण के लिए \(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/No, for example on \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
सममित और संक्रामक होना अपने आप सभी स्वयुग्म नहीं देता। / Being symmetric and transitive does not automatically give all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) में ((2,2)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / On \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) misses ((2,2)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सिद्धांत प्रश्नों में एक छोटा प्रति-उदाहरण सबसे तेज तरीका होता है। / For such theory questions, a small counterexample is the fastest method.
A. नहीं, \(A=\{1,2,3\}\) पर ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) प्रति-उदाहरण है/No, on \(A=\{1,2,3\}\), ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) is a counterexample
Step 1
Concept
परावर्ती और सममित होना पर्याप्त नहीं है। / Reflexive and symmetric together are not sufficient.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए उदाहरण में ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / In the given example, ((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध साबित करने के लिए तीनों गुण अलग-अलग जांचना जरूरी है। / To prove an equivalence relation, all three properties must be checked separately.
पहले सभी स्वयुग्म देखें, विकल्प A में तीनों स्वयुग्म हैं। / First check all self-pairs; option A has all three.
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प A में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता ठीक है। / Option A contains both ((1,2)) and ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
उपलब्ध युग्मों की श्रृंखला संक्रामकता नहीं तोड़ती, इसलिए विकल्प A तुल्यता संबंध है। / The available chains do not break transitivity, so option A is an equivalence relation.
हर संख्या का शेषफल अपने आप के समान होता है, इसलिए परावर्ती है। / Every number has the same remainder as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममित है। / Same remainder is unaffected by changing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का समान है, तो (a) और (c) का भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also do.
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(a=b) होने से सभी स्वयुग्म आते हैं, इसलिए परावर्ती है। / Because (a=b) is allowed, all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) क्रम बदलने पर भी वही रहता है, इसलिए सममित है। / The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) तो है, लेकिन ((1,4)) और ((4,2)) नहीं जुड़े; मुख्य जांच में ((1,4)) और ((4,1)) ठीक है, पर ((2,3)) और ((3,4)) लागू नहीं। सही टूटन ((1,4)) और ((4,1)) से नहीं, इसलिए दूसरा मार्ग देखें: यह संबंध वास्तव में दो जोड़ों और स्वयुग्मों में बंद है, अतः संक्रामक है। / The relation splits into the blocks ({1,4}) and ({2,3}), so it is actually transitive and hence an equivalence relation.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le 1\), इसलिए परावर्ती है। / \(|a-a|=0\le 1\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं क्योंकि अंतर (2) है, इसलिए संक्रामक नहीं। / ((1,2)) and ((2,3)) exist, but ((1,3)) does not because the difference is (2), so it is not transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्ती है। / (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होना क्रम बदलने पर भी समान रहता है, इसलिए सममित है। / The condition that (a+b) is even remains the same after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
असल में यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, जो संक्रामक भी होता है। / This is essentially the same-parity relation, which is also transitive.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
चारों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / All four self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) के बीच सभी दिशाओं वाले युग्म और (4) का स्वयुग्म हैं, इसलिए सममितता बनी है। / Within ({1,2,3}), all directed pairs are present, and (4) has its self-pair, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) एक पूरा बंद समूह है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संबंध संक्रामक भी है। / ({1,2,3}) is a closed complete block and (4) is a single class, so transitivity also holds.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
चारों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All four self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and it is present, so transitivity holds.
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हर दिए गए युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। / Every listed pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल होती है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so transitivity fails.
(a-a=0) (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य है, इसलिए सममित है। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो ऐसे अंतरों का योग भी (5) से विभाज्य होगा, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / The sum of two such differences is also divisible by (5), so transitivity holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / (a-a=0) is rational, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) अपरिमेय है, तो (b-a) भी अपरिमेय है, इसलिए सममित है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) जैसे अंतर मिलकर (0) दे सकते हैं, इसलिए संक्रामकता जरूरी नहीं रहती। / Differences like \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) can add to (0), so transitivity need not hold.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (3) के स्वयुग्म नहीं आएंगे, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / Self-pairs for (1) and (3) will not occur, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्व सम होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are even remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि संबंध केवल सम तत्वों के बीच है, तो उनके बीच की श्रृंखला भी सम तत्वों में ही रहती है, इसलिए संक्रामकता है। / Chains stay within even elements, so transitivity holds.
चार स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The four self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) अनियोजित जोड़े हैं। / There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (4+6=10), so the number of symmetric relations is \(2^{10}\).
परावर्तन के कारण चारों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces all four self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (6) अनियोजित जोड़े हैं और सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है। / There are (6) unordered pairs of distinct elements, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
केवल (6) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / Only (6) independent choices remain, so the number is \(2^6\).
A. यह सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध दोनों है/It is both the universal relation and an equivalence relation
Step 1
Concept
तीन तत्वों के लिए \(A\times A\) में कुल (9) युग्म होते हैं और यहां सभी (9) युग्म हैं। / For a set of three elements, \(A\times A\) has (9) pairs and all (9) are listed here.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है। / Therefore, it is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध परावर्ती, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध भी है। / The universal relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is also an equivalence relation.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,4)) हैं पर ((1,4)) नहीं/No, because ((1,3)) and ((3,4)) exist but ((1,4)) does not
Step 1
Concept
((1,3)) में अंतर (2) है, इसलिए यह संबंध में है। / ((1,3)) has difference (2), so it is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) में अंतर (1) है, इसलिए यह भी संबंध में है। / ((3,4)) has difference (1), so it is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) में अंतर (3) है, जो सीमा से अधिक है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,4)) has difference (3), which is beyond the limit, so transitivity fails.
हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a^3=a^3\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3=b^3\) से \(b^3=a^3\) मिलता है, इसलिए सममितता है। / From \(a^3=b^3\), we get \(b^3=a^3\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संबंध संक्रामक भी है। / If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive too.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\), इसलिए संबंध परावर्ती है। / \(a^2\le a^2\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो \(a^2\le c^2\), इसलिए संक्रामक है। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then \(a^2\le c^2\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1^2\le2^2\) सही है पर \(2^2\le1^2\) गलत है, इसलिए सममित नहीं। / \(1^2\le2^2\) is true but \(2^2\le1^2\) is false, so it is not symmetric.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म दिए हैं, इसलिए परावर्ती है। / All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,4),(1,4)) जैसे सभी अतिरिक्त युग्मों के उल्टे भी हैं, इसलिए सममित है। / Extra pairs such as ((1,2),(2,4),(1,4)) have their reverse pairs, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,4}) एक पूरा बंद समूह है और (3) अकेला है, इसलिए संबंध संक्रामक भी है। / ({1,2,4}) is a complete closed block and (3) is alone, so the relation is transitive too.
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई भी स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / No self-pair is present, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए और वह मौजूद है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so transitivity holds.
A. यह तुल्यता संबंध होता है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से जुड़ा होता है, इसलिए परावर्ती है। / In the identity relation, every element is related only to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का उल्टा वही ((a,a)) रहता है, इसलिए सममित है। / The reverse of ((a,a)) is still ((a,a)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
स्वयुग्मों की श्रृंखला फिर स्वयुग्म ही देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / Chains of self-pairs again give self-pairs, so transitivity holds.
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय में परावर्तन के लिए कम से कम स्वयुग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। / On a non-empty set, reflexivity needs self-pairs, but the empty relation has no pair.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला भी कोई युग्म नहीं है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सममित और संक्रामक माना जाता है, पर परावर्ती नहीं। / Hence it is symmetric and transitive, but not reflexive.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required.
Step 3
Exam Tip
तीसरे तत्व से कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) ही न्यूनतम हैं। / No chain involves the third element, so ((1,1)) and ((2,2)) are the minimum additions.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (4) अभाज्य नहीं हैं, इसलिए उनके स्वयुग्म नहीं आएंगे और परावर्तन नहीं होगा। / (1) and (4) are not prime, so their self-pairs will not occur and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both are prime does not change with order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / The relation is complete within ({2,3}), so transitivity holds.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं की गुणज होती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number is a multiple of itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(4) (2) का गुणज है, पर (2) (4) का गुणज नहीं है, इसलिए सममित नहीं। / (4) is a multiple of (2), but (2) is not a multiple of (4), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) (b) का और (b) (c) का गुणज है, तो (a) (c) का गुणज होगा, इसलिए संक्रामक है। / If (a) is a multiple of (b) and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c), so it is transitive.
हर व्यक्ति का रक्त समूह अपने रक्त समूह के समान होता है, इसलिए परावर्तन है। / Every person has the same blood group as themselves, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समानता का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Equality is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो लोगों का रक्त समूह समान है, तो पहले और तीसरे का भी समान होगा, इसलिए संक्रामकता है। / If two pairs have the same blood group through a common person, the first and third also have the same group, so transitivity holds.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity fails.
कुल संबंधों की संख्या \(2^{3^2}=2^9\) है। / The total number of relations is \(2^{3^2}=2^9\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों में तीन स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^{9-3}=2^6\) है। / In reflexive relations, three self-pairs are compulsory, so the number is \(2^{9-3}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात \(2^9:2^6=2^3:1\) होगा। / The ratio is \(2^9:2^6=2^3:1\).
परावर्तन के कारण (n) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces the (n) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े बचते हैं। / The remaining unordered pairs of distinct elements are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / For symmetry, each such pair is chosen or omitted together, so the number is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिल जाते हैं, इसलिए परावर्ती है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}={1,2}) में क्रम का महत्व नहीं है, इसलिए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मिलते हैं। / ({a,b}={1,2}) does not depend on order, so both ((1,2)) and ((2,1)) occur.
Step 3
Exam Tip
({1,2}), ({3}), ({4}) जैसे बंद वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / It forms closed classes ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds.
विकल्प A में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) का उल्टा वही है। / In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and ((3,3)) reverses to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सममित है। / Hence it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) और ((2,2)) गायब हैं, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3) और (4) अपने आप से संबंधित नहीं होंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। / (3) and (4) are not related to themselves, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। / The condition that both elements are less than (3) remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete within ({1,2}), so it is transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
\(0\cdot0=0\), इसलिए (0) स्वयं से संबंधित नहीं है और परावर्तन नहीं है। / \(0\cdot0=0\), so (0) is not related to itself and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(ab>0) होने पर (ba>0) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If (ab>0), then (ba>0), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक-दोनों या ऋणात्मक-दोनों स्थिति आगे भी समान चिन्ह बनाए रखती है, इसलिए संक्रामकता है। / Same-sign non-zero numbers keep the sign class through a chain, so transitivity holds.
तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(1R2) और (2R4) से संक्रामकता द्वारा (1R4) मिलता है। / From (1R2) and (2R4), transitivity gives (1R4).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे अलग तत्व (3) से जुड़ा निष्कर्ष बिना सूचना के नहीं निकाला जा सकता। / No conclusion involving the separate element (3) can be drawn without more information.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), इसलिए परावर्ती है।
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R0.6) and (0.6R1.2) are true, but (0R1.2) is false, so it is not transitive.
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक/Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), इसलिए परावर्ती नहीं है। / (a-a=0), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b=1) होने पर (b-a=-1), इसलिए सममितता नहीं है। / If (a-b=1), then (b-a=-1), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2R1) और (1R0) सही हैं, पर (2R0) के लिए अंतर (2) है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / (2R1) and (1R0) are true, but (2R0) has difference (2), so transitivity also fails.
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({2,4,6},{1,3,5}) हैं/It is an equivalence relation with classes ({2,4,6},{1,3,5})
Step 1
Concept
हर संख्या अपने जैसे ही विभाज्यता प्रकार में आती है, इसलिए परावर्तन है। / Every number has the same divisibility type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान विभाज्यता प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Same divisibility type is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता है और वर्ग सम तथा विषम संख्याओं के बनते हैं। / A chain of the same type remains in that type, so transitivity holds and the classes are even and odd numbers.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((2,2)) में योग (4) पूर्ण वर्ग है, पर ((1,1)) में योग (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / For ((2,2)), the sum (4) is a perfect square, but for ((1,1)), the sum (2) is not, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / (a+b) does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
(a-b) का (3) से विभाज्य होना समान शेषफल का संबंध है। / Divisibility of (a-b) by (3) means having the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (5) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। / (2) and (5) both leave remainder (2) on division by (3).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग में वही तत्व रखें जिनका शेषफल चुने गए तत्व जैसा हो। / Put only those elements in the class that have the same remainder as the chosen element.
A. सममितता और संक्रामकता दोनों/Both symmetry and transitivity
Step 1
Concept
तीनों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममितता असफल है। / ((1,3)) is present but ((3,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी असफल है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity also fails.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में योग (2) है, जो (3) से विभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the sum is (2), not divisible by (3), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
योग क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। / The sum remains the same when order changes, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
पांच स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The five self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) अनियोजित जोड़े हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (5+10=15) हैं, इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{15}\) है। / Total independent choices are (5+10=15), so the number of symmetric relations is \(2^{15}\).
परावर्तन के कारण पांचों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces all five self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (10) अनियोजित जोड़े बचते हैं। / The (10) unordered pairs of distinct elements remain.
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{10}\) है। / For symmetry, each pair is chosen or omitted together, so the total number is \(2^{10}\).
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / There is no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर आगे की श्रृंखला का जरूरी परिणामी युग्म जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता है। / Every needed forward result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds.
A. सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध/Universal relation and equivalence relation
Step 1
Concept
समुच्चय के सभी तत्व (4) से बड़े नहीं हैं। / Every element of the set is not greater than (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर \(a,b\in A\) के लिए ((a,b)) संबंध में होगा। / Hence every ((a,b)) with \(a,b\in A\) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जब सभी युग्म मौजूद हों, तो संबंध सार्वत्रिक और साथ ही तुल्यता संबंध होता है। / When all pairs are present, the relation is universal and also an equivalence relation.
(a=a) होने से हर संख्या अपने आप से संबंधित है, इसलिए परावर्ती है। / Since (a=a), every number is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी वही शर्त पूरी करता है, इसलिए सममितता है। / If (a=b) or (a=-b), the reverse relation satisfies the same condition, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह समान निरपेक्ष मान वाले तत्वों का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / This is the relation of equal absolute values, so transitivity also holds.
हर तत्व अपने ही (3) से विभाज्यता प्रकार में आता है, इसलिए परावर्तन है। / Every element belongs to the same divisibility-by-(3) type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The same type condition is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / A chain within the same type remains in that type, so transitivity holds.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / ((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म मौजूद हैं और (3) से कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए संक्रामकता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and no chain involves (3), so transitivity holds.
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई संख्या अपने आप से (2) कम नहीं हो सकती, इसलिए परावर्ती नहीं है। / No number can be at least (2) less than itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) से कम है, तो उल्टा सही नहीं होगा, इसलिए सममित नहीं। / If (a) is less than (b), the reverse cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\le b-2\) और \(b\le c-2\), तो \(a\le c-4\), इसलिए (a) (c) से कम से कम (2) कम है। / If \(a\le b-2\) and \(b\le c-2\), then \(a\le c-4\), so (a) is at least (2) less than (c).
तुल्यता संबंध में सममितता हमेशा होती है। / Every equivalence relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) होने पर सममितता से (bRa) अनिवार्य रूप से मिलेगा। / If (aRb), symmetry necessarily gives (bRa).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे तत्व (c) से जुड़ा निष्कर्ष बिना अतिरिक्त सूचना के नहीं निकाला जाता। / No statement involving an arbitrary third element (c) follows without more information.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(5) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / (5) will not be related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (5) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are less than (5) remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2,3,4}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation is complete inside ({1,2,3,4}), so transitivity also holds.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए परावर्तन है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, और बाकी जरूरी शृंखलाएं भी टूटती नहीं हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, and other required chains also do not fail.
सममित संबंध में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होता है। / In a symmetric relation, whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 2
Why this answer is correct
विलोम संबंध इन्हीं युग्मों को उलटता है, इसलिए कोई नया अलग समूह नहीं बनता। / The inverse relation reverses these pairs, so it does not create a different set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / Therefore, for a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({1,2},{3}) हैं/It is an equivalence relation with classes ({1,2},{3})
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन पूरा है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म हैं और (3) अकेला है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is alone, so the relation is an equivalence relation.
\(a\equiv 0 \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) हो। / \(a\equiv 0 \pmod{4}\) means (a) leaves remainder (0) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक (4) के सभी गुणज होते हैं। / Such integers are all multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग हमेशा समान शेषफल वाले सभी तत्वों को रखता है। / An equivalence class contains all elements with the same remainder.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में न्यूनतम (1) है, इसलिए सभी स्वयुग्म नहीं मिलते और परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the minimum is (1), so not all self-pairs occur and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The minimum does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) और ((2,4)) हैं पर ((3,4)) में न्यूनतम (3) है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((3,2)) and ((2,4)) exist, but ((3,4)) has minimum (3), so transitivity fails.
(a=b) के कारण सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / Because (a=b), all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (2) से बड़ा होना क्रम बदलने पर भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। / The condition that both are greater than (2) is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({3,4}) एक बंद वर्ग बनता है और (1,2) अलग-अलग वर्ग हैं, इसलिए संक्रामकता है। / ({3,4}) forms a closed class while (1,2) are singleton classes, so transitivity holds.
विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / Option A misses ((3,3)), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी आवश्यक युग्म मौजूद हैं और (3) अलग है, इसलिए संक्रामकता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is separate, so transitivity holds.
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलेगा। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S), so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संक्रामक संबंधों का संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Hence the union of transitive relations is not always transitive.
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) के संक्रामक होने से ((a,c)) (R) में होगा और (S) के संक्रामक होने से (S) में भी होगा। / Since (R) is transitive, ((a,c)) is in (R); since (S) is transitive, it is also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में होगा। / Therefore ((a,c)) is in \(R\cap S\).
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
अपने आप से अंतर (0) है, इसलिए परावर्ती है। / The difference of an element from itself is (0), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। / Difference remains the same when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) और (3R4) सही हैं, पर (1R4) गलत है क्योंकि अंतर (3) है, इसलिए संक्रामकता नहीं। / (1R3) and (3R4) are true, but (1R4) is false because the difference is (3), so it is not transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है, इसलिए सममितता है। / (a+b=5) remains true after reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,4}) और ({2,3}) के बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so transitivity also holds.
परावर्ती संबंध में स्वयुग्म अनिवार्य होते हैं, पर अन्य युग्म भी जोड़े जा सकते हैं। / A reflexive relation must contain self-pairs, but other pairs may also be included.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम स्थिति में संबंध \(A\times A\) होगा। / In the maximum case, the relation is \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
(4) तत्वों के लिए \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / For (4) elements, \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
