समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) है। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\). What type of relation is it?
#equivalence relation
#types of relations
#class 12
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वसम / Only reflexive
C आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3) के बीच उल्टे युग्म भी पूरे हैं और (4) केवल स्वयं से संबंधित है। / Reverse pairs among (1,2,3) are complete, and (4) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक जुड़े समूह के भीतर संक्रमणीयता पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Transitivity holds inside each connected group, so it is an equivalence relation.
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उसी संबंध में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर बनने वाले तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?
For the same relation on \(A=\{1,2,3,4\}\), what are the equivalence classes?
#equivalence classes
#partition
#relations mcq
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? Hint Small clue
A ({1,2,3}) और ({4}) / ({1,2,3}) and ({4})
B ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
C ({1,4}) और ({2,3}) / ({1,4}) and ({2,3})
D ({1,2,3,4}) ही / Only ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({1,2,3}) और ({4}) / ({1,2,3}) and ({4})
Step 1
Concept
(1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,2,3) are mutually connected, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) केवल ((4,4)) से स्वयं से जुड़ा है, इसलिए उसका अलग वर्ग है। / (4) is connected only to itself through ((4,4)), so it forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े अवयवों को एक समूह में रखें। / While finding equivalence classes, group mutually related elements together.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो कौन-सा कथन सही है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), which statement is correct?
#partial order
#antisymmetric
#transitive relation
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? Hint Small clue
A यह आंशिक क्रम संबंध है / It is a partial order relation
B यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C यह सममित है / It is symmetric
D यह स्वसम नहीं है / It is not reflexive
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Correct Answer
A. यह आंशिक क्रम संबंध है / It is a partial order relation
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
किसी असमान युग्म का उल्टा साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements occurs, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), so it is a partial order relation.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\), तो (R) आंशिक क्रम क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\), why is (R) not a partial order?
#not partial order
#transitivity
#relations
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? Hint Small clue
A क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
B क्योंकि ((1,1)) है / Because ((1,1)) is present
C क्योंकि ((2,2)) है / Because ((2,2)) is present
D क्योंकि यह स्वसम है / Because it is reflexive
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
आंशिक क्रम में संक्रमणीयता जरूरी होती है। / A partial order must be transitive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) is required, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
स्वसमता और विरोधी सममितता होने पर भी संक्रमणीयता टूटे तो आंशिक क्रम नहीं बनेगा। / Even if reflexivity and antisymmetry hold, failure of transitivity prevents partial order.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर संबंध (aRb) तभी जब (a), (b) को विभाजित करे। कौन-सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (aRb) if (a) divides (b). Which statement is correct?
#divisibility relation
#partial order
#class 12 relations
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? Hint Small clue
A यह आंशिक क्रम संबंध है / It is a partial order relation
B यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C यह सममित संबंध है / It is symmetric relation
D यह स्वसम नहीं है / It is not reflexive
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Correct Answer
A. यह आंशिक क्रम संबंध है / It is a partial order relation
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए स्वसमता है। / Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो इस समुच्चय में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then (a=b) here, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता संक्रमणीय भी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / Divisibility is also transitive, so it is a partial order relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध में कौन-सा युग्म अवश्य होगा?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6\}\), which pair must be present?
#divisibility
#ordered pair
#relation example
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((2,6))
B ((6,2))
C ((3,2))
D ((6,1))
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Correct Answer
A. ((2,6))
Step 1
Concept
((a,b)) तब होगा जब (a), (b) को विभाजित करे। / ((a,b)) occurs when (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
(2), (6) को विभाजित करता है, इसलिए ((2,6)) संबंध में होगा। / (2) divides (6), so ((2,6)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहले देखें कि पहला अवयव दूसरे को पूरा भाग देता है या नहीं। / In divisibility questions, check whether the first element divides the second exactly.
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समुच्चयों के परिवार पर (A R B) तभी जब \(A\subset B\)। यह संबंध कैसा है?
On a family of sets, (A R B) if \(A\subset B\). What type of relation is this?
#proper subset relation
#transitive relation
#not reflexive
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A संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं / Transitive but not reflexive
B स्वसम और सममित / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं / Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई समुच्चय स्वयं का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। / No set is a proper subset of itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो \(A\subset C\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), then \(A\subset C\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक उपसमुच्चय और उपसमुच्चय में अंतर ध्यान से रखें। / Carefully distinguish proper subset from subset.
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समुच्चयों के परिवार पर (A R B) तभी जब \(A\subseteq B\)। यह संबंध किस कारण आंशिक क्रम है?
On a family of sets, (A R B) if \(A\subseteq B\). Why is this a partial order?
#subset relation
#partial order
#relation properties
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A क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है / Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
B क्योंकि यह केवल सममित है / Because it is only symmetric
C क्योंकि यह रिक्त है / Because it is empty
D क्योंकि यह हमेशा तुल्यता संबंध है / Because it is always an equivalence relation
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Correct Answer
A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है / Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। / Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। / If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है। / The subset relation passes through another set, so transitivity holds.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (4) से विभाज्य हो। (0) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?
On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (4). What is the equivalence class of (0)?
#equivalence class
#modulo 4
#relations
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A (4) के गुणज / Multiples of (4)
B विषम संख्याएँ / Odd numbers
C सभी धनात्मक संख्याएँ / All positive numbers
D केवल (0) / Only (0)
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Correct Answer
A. (4) के गुणज / Multiples of (4)
Step 1
Concept
(0) से संबंधित संख्याओं के लिए (a-0), (4) से विभाज्य होना चाहिए। / Numbers related to (0) must satisfy (a-0) divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a), (4) का गुणज है। / This means (a) is a multiple of (4).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले संबंध में वर्ग वही संख्याएँ रखता है जिनका शेष समान हो। / In same-remainder relations, a class contains numbers with the same remainder.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (4) से विभाज्य हो। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (4). Which is the equivalence class of (1)?
#modulo relation
#equivalence classes
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
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A वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) हो / Numbers leaving remainder (1) on division by (4)
B वे संख्याएँ जिनका शेष (0) हो / Numbers leaving remainder (0)
C सिर्फ (1) / Only (1)
D सभी सम संख्याएँ / All even numbers
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Correct Answer
A. वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) हो / Numbers leaving remainder (1) on division by (4)
Step 1
Concept
(a), (1) से संबंधित है जब (a-1), (4) से विभाज्य हो। / (a) is related to (1) when (a-1) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेष (1) आता है। / This means (a) leaves remainder (1) when divided by (4).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग को शेष के आधार पर पहचानना आसान रहता है। / Equivalence classes are easy to identify by remainders.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (aRb) तभी जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेष हो, तो कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and (aRb) if (a) and (b) have the same remainder on division by (3), how many equivalence classes are formed?
#equivalence classes
#modulo 3
#partition
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A (2)
B (3)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) हो सकते हैं। / On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में तीनों प्रकार के शेष वाले अवयव हैं। / The given set contains elements of all three remainder types.
Step 3
Exam Tip
समान शेष का प्रत्येक समूह एक तुल्यता वर्ग बनाता है। / Each same-remainder group forms one equivalence class.
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उपरोक्त समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में (3) से समान शेष वाले संबंध के लिए (2) का वर्ग कौन-सा है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for the same-remainder modulo (3) relation, what is the class of (2)?
#equivalence class
#modulo relation
#mcq
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A ({2,5})
B ({1,4})
C ({3,6})
D ({2,3})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (2) leaves remainder (2) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(5) को भी (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (2) का तुल्यता वर्ग ({2,5}) है। / Hence the equivalence class of (2) is ({2,5}).
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यदि संबंध (R) सममित है और \((a,b)\in R\), तो कौन-सा कथन निश्चित रूप से सत्य है?
If relation (R) is symmetric and \((a,b)\in R\), which statement is definitely true?
#symmetric relation
#reverse pair
#concept
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A \((b,a)\in R\)
B \((a,a)\in R\)
C \((b,b)\in R\)
D (R) संक्रमणीय है / (R) is transitive
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Correct Answer
A. \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध की पहचान उल्टे युग्म से होती है। / A symmetric relation is identified by reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) होने पर ((b,a)) अवश्य होना चाहिए। / If ((a,b)) is present, ((b,a)) must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता अपने युग्म या संक्रमणीयता की गारंटी नहीं देती। / Symmetry does not guarantee self-pairs or transitivity.
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यदि संबंध (R) विरोधी सममित है और \(a\ne b\), तो कौन-सी स्थिति संभव नहीं है?
If relation (R) is antisymmetric and \(a\ne b\), which situation is impossible?
#antisymmetric relation
#relation properties
#mcq
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A \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों / Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
B \((a,a)\in R\)
C \((b,b)\in R\)
D \((a,b)\notin R\)
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Correct Answer
A. \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों / Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
विरोधी सममितता असमान अवयवों के उल्टे युग्मों को साथ नहीं रहने देती। / Antisymmetry does not allow reverse pairs together for unequal elements.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ne b\) होने पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों नहीं हो सकते। / If \(a\ne b\), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
अपने युग्म विरोधी सममितता को नहीं तोड़ते। / Self-pairs do not violate antisymmetry.
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कौन-सा संबंध सममित भी है और विरोधी सममित भी है?
Which relation is both symmetric and antisymmetric?
#symmetric antisymmetric
#identity relation
#types
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? Hint Small clue
A ({(1,1),(2,2)}) on ({1,2})
B ({(1,2),(2,1)}) on ({1,2})
C ({(1,2)}) on ({1,2})
D ({(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}) on ({1,2})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2)}) on ({1,2})
Step 1
Concept
केवल अपने युग्मों वाला संबंध सममित होता है, क्योंकि उल्टा युग्म वही रहता है। / A relation with only self-pairs is symmetric because each reverse is the same pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें असमान अवयवों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / It has no reverse pairs between unequal elements, so it is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म साथ मिलते ही विरोधी सममितता टूटती है। / Antisymmetry fails when reverse pairs of unequal elements occur together.
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यदि (R) स्वसम है और (S) स्वसम है, तो \(R\cup S\) कैसा होगा?
If (R) is reflexive and (S) is reflexive, what type is \(R\cup S\)?
#union of relations
#reflexive relation
#mcq
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? Hint Small clue
A स्वसम / Reflexive
B सममित अवश्य / Necessarily symmetric
C रिक्त अवश्य / Necessarily empty
D तत्समक अवश्य / Necessarily identity
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Correct Answer
A. स्वसम / Reflexive
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में हर अपने युग्म ((a,a)) मौजूद है। / Both relations contain every self-pair ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
संघ में दोनों के सभी युग्म आ जाते हैं, इसलिए अपने युग्म भी रहेंगे। / The union contains all pairs from both relations, so self-pairs remain.
Step 3
Exam Tip
स्वसम संबंधों का संघ स्वसम रहता है। / The union of reflexive relations is reflexive.
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यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) and (S) are symmetric relations, which statement is correct about \(R\cap S\)?
#intersection of relations
#symmetric relation
#class 12
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A यह सममित होगा / It will be symmetric
B यह स्वसम अवश्य होगा / It will necessarily be reflexive
C यह सार्वत्रिक अवश्य होगा / It will necessarily be universal
D यह संक्रमणीय कभी नहीं होगा / It will never be transitive
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Correct Answer
A. यह सममित होगा / It will be symmetric
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में वही युग्म होंगे जो दोनों में हैं। / \(R\cap S\) contains only pairs common to both relations.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) दोनों में है, तो सममितता के कारण ((b,a)) भी दोनों में होगा। / If ((a,b)) is in both, symmetry gives ((b,a)) in both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिच्छेद भी सममित रहता है। / Therefore the intersection is also symmetric.
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दो संक्रमणीय संबंधों का प्रतिच्छेद कैसा होता है?
What can be said about the intersection of two transitive relations?
#intersection transitive relations
#relation properties
#mcq
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? Hint Small clue
A हमेशा संक्रमणीय / Always transitive
B कभी संक्रमणीय नहीं / Never transitive
C हमेशा सममित / Always symmetric
D हमेशा रिक्त / Always empty
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Correct Answer
A. हमेशा संक्रमणीय / Always transitive
Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में आने वाले जुड़े युग्म दोनों संबंधों में मौजूद होंगे। / Linked pairs in the intersection are present in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संबंध संक्रमणीय हैं, इसलिए जरूरी तीसरा युग्म दोनों में होगा। / Since both relations are transitive, the required third pair is present in both.
Step 3
Exam Tip
इस कारण प्रतिच्छेद में भी तीसरा युग्म रहेगा और वह संक्रमणीय होगा। / Hence that third pair is also in the intersection, making it transitive.
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दो संक्रमणीय संबंधों का संघ हमेशा संक्रमणीय क्यों नहीं होता?
Why is the union of two transitive relations not always transitive?
#union of transitive relations
#transitivity concept
#relations
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A क्योंकि जुड़े युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं और तीसरा युग्म छूट सकता है / Because linked pairs may come from different relations and the third pair may be missing
B क्योंकि संघ में कोई युग्म नहीं होता / Because a union has no pair
C क्योंकि संक्रमणीय संबंध कभी संघ नहीं बनाते / Because transitive relations never form a union
D क्योंकि संघ हमेशा रिक्त होता है / Because a union is always empty
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Correct Answer
A. क्योंकि जुड़े युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं और तीसरा युग्म छूट सकता है / Because linked pairs may come from different relations and the third pair may be missing
Step 1
Concept
संक्रमणीयता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। / Transitivity requires ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
संघ में पहले दो युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं, इसलिए तीसरा युग्म मिलना जरूरी नहीं। / In a union, the first two pairs may come from different relations, so the third pair may not be present.
Step 3
Exam Tip
संघ की संक्रमणीयता को अलग से जाँचना चाहिए। / Always check transitivity of a union separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) है। क्या (R) संक्रमणीय है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\). Is (R) transitive?
#transitive relation
#ordered pairs
#conceptual mcq
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि ((2,2)) नहीं है / No, because ((2,2)) is missing
C नहीं, क्योंकि ((1,1)) नहीं है / No, because ((1,1)) is missing
D नहीं, क्योंकि ((3,1)) नहीं है / No, because ((3,1)) is missing
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
मुख्य जुड़े युग्म ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जिनसे ((1,3)) चाहिए। / The main linked pairs are ((1,2)) and ((2,3)), requiring ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) मौजूद है और ((3,3)) से कोई नई कमी नहीं बनती। / ((1,3)) is present, and ((3,3)) does not create a missing requirement.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणीयता के लिए अपने सभी युग्म होना जरूरी नहीं, जरूरी जुड़े निष्कर्ष पूरे होने चाहिए। / Transitivity does not require all self-pairs, only required linked conclusions.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1)\}\) है। यह संक्रमणीय क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1)\}\). Why is it not transitive?
#not transitive
#self pair required
#relations
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A क्योंकि ((2,2)) नहीं है / Because ((2,2)) is missing
B क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
C क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
D क्योंकि ((3,1)) नहीं है / Because ((3,1)) is missing
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Correct Answer
A. क्योंकि ((2,2)) नहीं है / Because ((2,2)) is missing
Step 1
Concept
((2,1)) और ((1,2)) दोनों संबंध में हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) are both in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए इनसे ((2,2)) चाहिए। / Transitivity requires ((2,2)) from them.
Step 3
Exam Tip
((2,2)) न होने से संक्रमणीयता टूट जाती है। / Since ((2,2)) is missing, transitivity fails.
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (5) elements, what is the total number of relations on (A)?
#counting relations
#total relations
#class 12 math
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? Hint Small clue
A \(2^{25}\)
B \(2^{10}\)
C \(5^2\)
D \(2^5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{25}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में \(5^2=25\) क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(5^2=25\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / Every relation is a subset of \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
(25) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{25}\) है। / The number of subsets of (25) pairs is \(2^{25}\).
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (5) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?
#reflexive relations
#counting formula
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{20}\)
B \(2^{25}\)
C \(2^{15}\)
D \(5^5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{20}\)
Step 1
Concept
कुल युग्म \(5^2=25\) हैं। / Total pairs are \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
स्वसमता के लिए (5) अपने युग्म निश्चित होंगे। / Reflexivity fixes (5) self-pairs.
Step 3
Exam Tip
बाकी (25-5=20) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{20}\) है। / The remaining (25-5=20) pairs are free, so the count is \(2^{20}\).
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (5) elements, what is the number of symmetric relations on (A)?
#symmetric relations
#counting
#class 12
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? Hint Small clue
A \(2^{15}\)
B \(2^{20}\)
C \(2^{25}\)
D \(2^{10}\)
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Correct Answer
A. \(2^{15}\)
Step 1
Concept
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / For (n=5), \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(2^{15}\) होगी। / Therefore the number is \(2^{15}\).
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (5) elements, what is the number of relations that are both reflexive and symmetric?
#reflexive symmetric
#counting relations
#formula
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{10}\)
B \(2^{15}\)
C \(2^{20}\)
D \(2^{25}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
स्वसमता (5) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। / Reflexivity fixes the (5) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। / The non-self reverse-pair groups are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
ये (10) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / These (10) groups are independent, so the count is \(2^{10}\).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध किस गुण को पूरा करता है?
If (A) has (n) elements and is non-empty, which property does the empty relation satisfy?
#empty relation
#symmetric transitive
#non empty set
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A सममित और संक्रमणीय / Symmetric and transitive
B स्वसम और सममित / Reflexive and symmetric
C स्वसम और सार्वत्रिक / Reflexive and universal
D केवल सार्वत्रिक / Only universal
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Correct Answer
A. सममित और संक्रमणीय / Symmetric and transitive
Step 1
Concept
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता, इसलिए सममितता को तोड़ने वाला युग्म भी नहीं है। / The empty relation has no pair, so no pair violates symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं हैं। / There are no linked pairs to violate transitivity.
Step 3
Exam Tip
पर अरिक्त समुच्चय पर अपने युग्म न होने से यह स्वसम नहीं होता। / But on a non-empty set, it is not reflexive because self-pairs are missing.
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यदि (A) अरिक्त समुच्चय है, तो सार्वत्रिक संबंध किस गुण को अवश्य पूरा करता है?
If (A) is a non-empty set, which property does the universal relation definitely satisfy?
#universal relation
#reflexive symmetric transitive
#relations
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A स्वसम, सममित और संक्रमणीय / Reflexive, symmetric and transitive
B केवल स्वसम / Only reflexive
C केवल संक्रमणीय / Only transitive
D कोई भी नहीं / None
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Correct Answer
A. स्वसम, सममित और संक्रमणीय / Reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अपने युग्म, उल्टे युग्म और संक्रमणीयता के लिए जरूरी युग्म सभी उपलब्ध होते हैं। / Hence self-pairs, reverse pairs and pairs required for transitivity are all available.
Step 3
Exam Tip
सभी संभव युग्म होने से तीनों गुण पूरे हो जाते हैं। / Since all possible pairs are present, all three properties hold.
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तत्समक संबंध और सार्वत्रिक संबंध कब समान होते हैं?
When are the identity relation and universal relation the same?
#identity relation
#universal relation
#singleton set
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A जब समुच्चय में केवल एक अवयव हो / When the set has exactly one element
B जब समुच्चय में दो अवयव हों / When the set has two elements
C जब समुच्चय में तीन अवयव हों / When the set has three elements
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब समुच्चय में केवल एक अवयव हो / When the set has exactly one element
Step 1
Concept
एक अवयव वाले समुच्चय में केवल एक ही संभव युग्म ((a,a)) होता है। / A one-element set has only one possible pair ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
वही युग्म तत्समक संबंध में भी है और सार्वत्रिक संबंध में भी। / The same pair appears in both the identity and universal relations.
Step 3
Exam Tip
दो या अधिक अवयवों पर सार्वत्रिक संबंध में अतिरिक्त असमान युग्म भी होते हैं। / With two or more elements, the universal relation has extra non-self pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), which conclusion is correct?
#equivalence relation
#transitivity
#concept
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (aRc)
B \(a\ne c\)
C (cRa) नहीं हो सकता / (cRa) cannot occur
D (a) और (b) अलग वर्गों में होंगे / (a) and (b) will be in different classes
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध संक्रमणीय होता है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) और (bRc) से (aRc) अवश्य मिलेगा। / From (aRb) and (bRc), (aRc) must follow.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में एक कड़ी से जुड़े अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, linked elements belong to the same class.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), तो (bRa) किस गुण से मिलेगा?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), by which property do we get (bRa)?
#equivalence relation
#symmetry
#reverse relation
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A सममितता / Symmetry
B स्वसमता / Reflexivity
C संक्रमणीयता / Transitivity
D विरोधी सममितता / Antisymmetry
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Correct Answer
A. सममितता / Symmetry
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में सममितता शामिल होती है। / Symmetry is included in an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता कहती है कि (aRb) होने पर (bRa) होगा। / Symmetry says that if (aRb), then (bRa).
Step 3
Exam Tip
प्रश्न में उल्टा संबंध माँगा हो तो सममितता पहचानें। / When the reverse relation is asked, identify symmetry.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो हर अवयव (a) के लिए (aRa) किस गुण से सत्य है?
If (R) is an equivalence relation, by which property is (aRa) true for every element (a)?
#reflexivity
#equivalence relation
#self pair
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A स्वसमता / Reflexivity
B सममितता / Symmetry
C संक्रमणीयता / Transitivity
D विरोधी सममितता / Antisymmetry
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Correct Answer
A. स्वसमता / Reflexivity
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में स्वसमता पहला आवश्यक गुण है। / Reflexivity is the first required property of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
स्वसमता के अनुसार हर अवयव स्वयं से संबंधित होता है। / Reflexivity means every element is related to itself.
Step 3
Exam Tip
अपने युग्म दिखें तो स्वसमता को तुरंत याद करें। / When self-pairs are involved, recall reflexivity immediately.
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यदि (R) आंशिक क्रम संबंध है, तो कौन-सा गुण आवश्यक नहीं है?
If (R) is a partial order relation, which property is not required?
#partial order
#required properties
#types of relations
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A सममितता / Symmetry
B स्वसमता / Reflexivity
C विरोधी सममितता / Antisymmetry
D संक्रमणीयता / Transitivity
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Correct Answer
A. सममितता / Symmetry
Step 1
Concept
आंशिक क्रम संबंध के लिए स्वसमता जरूरी है। / A partial order requires reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें विरोधी सममितता और संक्रमणीयता भी जरूरी होती है। / It also requires antisymmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
सममितता तुल्यता संबंध में आती है, आंशिक क्रम की जरूरी शर्त नहीं है। / Symmetry belongs to equivalence relations, not as a required condition for partial order.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो कौन-सा गुण आवश्यक नहीं है?
If (R) is an equivalence relation, which property is not required?
#equivalence relation
#antisymmetry
#concept mcq
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A विरोधी सममितता / Antisymmetry
B स्वसमता / Reflexivity
C सममितता / Symmetry
D संक्रमणीयता / Transitivity
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Correct Answer
A. विरोधी सममितता / Antisymmetry
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए स्वसमता, सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। / An equivalence relation needs reflexivity, symmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी सममितता इसकी शर्त नहीं है। / Antisymmetry is not a required condition for equivalence.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता और आंशिक क्रम की शर्तों को अलग-अलग याद रखें। / Remember the conditions of equivalence and partial order separately.
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संबंध (aRb) तभी जब (a) और (b) का वर्ग समान हो। वास्तविक संख्याओं पर यह संबंध कैसा है?
A relation (aRb) holds if (a) and (b) have the same square. On real numbers, what type of relation is this?
#same square
#equivalence relation
#real numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
C स्वसम नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या का वर्ग स्वयं के वर्ग के बराबर है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same square as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
वर्ग की समानता तीसरी संख्या तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of squares transfers to a third number, so it is an equivalence relation.
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संबंध (aRb) तभी जब \(|a|\le |b|\)। वास्तविक संख्याओं पर यह संबंध कैसा है?
A relation (aRb) holds if \(|a|\le |b|\). On real numbers, what type of relation is this?
#absolute value relation
#reflexive transitive
#not antisymmetric
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A स्वसम और संक्रमणीय, पर विरोधी सममित नहीं / Reflexive and transitive, but not antisymmetric
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित संबंध / Symmetric relation
D स्वसम नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
A. स्वसम और संक्रमणीय, पर विरोधी सममित नहीं / Reflexive and transitive, but not antisymmetric
Step 1
Concept
\(|a|\le |a|\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। / \(|a|\le |a|\) is always true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो \(|a|\le |c|\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then \(|a|\le |c|\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
(1) और (-1) अलग हैं, फिर भी दोनों दिशाओं में संबंध हो सकता है, इसलिए विरोधी सममितता नहीं है। / (1) and (-1) are different but can be related both ways, so antisymmetry fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2\le b^2\)। यह संबंध आंशिक क्रम क्यों नहीं है?
On real numbers, (aRb) if \(a^2\le b^2\). Why is this not a partial order?
#partial order
#antisymmetry
#real numbers relation
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A क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है / Because antisymmetry fails
B क्योंकि स्वसमता नहीं है / Because reflexivity fails
C क्योंकि संक्रमणीयता नहीं है / Because transitivity fails
D क्योंकि यह संबंध नहीं है / Because it is not a relation
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Correct Answer
A. क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है / Because antisymmetry fails
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\) से स्वसमता मिलती है। / \(a^2\le a^2\) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
वर्गों की तुलना संक्रमणीय भी होती है। / Comparison of squares is transitive.
Step 3
Exam Tip
(1) और (-1) के लिए दोनों दिशाओं में संबंध है, पर \(1\ne -1\), इसलिए विरोधी सममितता टूटती है। / For (1) and (-1), relation holds both ways but \(1\ne -1\), so antisymmetry fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) के लिए सही कथन चुनिए।
For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), choose the correct statement.
#reflexive transitive
#not symmetric
#relations
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A यह स्वसम और संक्रमणीय है / It is reflexive and transitive
B यह सममित है / It is symmetric
C यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
D यह स्वसम नहीं है / It is not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह स्वसम और संक्रमणीय है / It is reflexive and transitive
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) या ((1,3)) से कोई ऐसा नया जुड़ा युग्म नहीं बनता जो गायब हो। / ((1,2)) or ((1,3)) does not create any missing linked conclusion.
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए यह सममित नहीं, पर संक्रमणीय हो सकता है। / Reverse pairs are absent, so it is not symmetric, but it can be transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) आंशिक क्रम है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) a partial order?
#partial order
#small relation
#types of relations
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A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि स्वसमता नहीं है / No, because reflexivity is absent
C नहीं, क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है / No, because antisymmetry is absent
D नहीं, क्योंकि कोई अपना युग्म नहीं है / No, because no self-pair is present
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म होने से स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements appears, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
जुड़े युग्मों से कोई जरूरी युग्म गायब नहीं, इसलिए संक्रमणीयता भी है। / No required linked pair is missing, so it is also transitive.
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कौन-सा संबंध न स्वसम है, न सममित है, पर विरोधी सममित और संक्रमणीय है?
Which relation is neither reflexive nor symmetric, but antisymmetric and transitive?
#less than relation
#antisymmetric transitive
#relations
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? Hint Small clue
A वास्तविक संख्याओं पर (<) / (<) on real numbers
B वास्तविक संख्याओं पर (=) / (=) on real numbers
C सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
D समान शेष संबंध / Same remainder relation
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Correct Answer
A. वास्तविक संख्याओं पर (<) / (<) on real numbers
Step 1
Concept
(a<a) असत्य है, इसलिए (<) स्वसम नहीं है।
Step 2
Why this answer is correct
(a<b) होने पर (b<a) नहीं होता, इसलिए सममितता नहीं है और विरोधी सममितता नहीं टूटती। / If (a<b), then (b<a) is false, so symmetry fails and antisymmetry is not violated.
Step 3
Exam Tip
(a<b) और (b<c) से (a<c), इसलिए संक्रमणीयता है।
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कौन-सा संबंध स्वसम, सममित, विरोधी सममित और संक्रमणीय चारों हो सकता है?
Which relation can be reflexive, symmetric, antisymmetric and transitive all together?
#identity relation
#all properties
#relations
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A तत्समक संबंध / Identity relation
B सार्वत्रिक संबंध दो अवयवों पर / Universal relation on two elements
C समान शेष संबंध जिसमें अलग अवयव जुड़े हों / Same remainder relation with different elements related
D केवल (<) संबंध / Only (<) relation
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Correct Answer
A. तत्समक संबंध / Identity relation
Step 1
Concept
तत्समक संबंध में हर अपने युग्म होता है, इसलिए स्वसमता है। / Identity relation has every self-pair, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अपने युग्म अपने ही उल्टे हैं, इसलिए सममितता है। / Self-pairs are their own reverses, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म नहीं होते और संक्रमणीयता भी पूरी रहती है। / There are no reverse pairs for unequal elements and transitivity also holds.
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यदि (R) केवल अपने युग्मों से बना है, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) consists only of self-pairs, which statement about (R) is correct?
#self pairs
#symmetric antisymmetric
#identity type
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? Hint Small clue
A यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा / It will be both symmetric and antisymmetric
B यह कभी सममित नहीं होगा / It will never be symmetric
C यह हमेशा सार्वत्रिक होगा / It will always be universal
D यह कभी संक्रमणीय नहीं होगा / It will never be transitive
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Correct Answer
A. यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा / It will be both symmetric and antisymmetric
Step 1
Concept
अपने युग्म का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता पूरी होती है। / The reverse of a self-pair is the same pair, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
असमान अवयवों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / There are no two-way pairs between unequal elements, so antisymmetry also holds.
Step 3
Exam Tip
केवल अपने युग्मों वाले संबंधों में दोनों गुण साथ मिल सकते हैं। / Relations with only self-pairs can satisfy both properties.
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यदि (R) सममित है और (R) में ((1,2),(2,3)) हैं, तो सममितता से कौन-से युग्म अवश्य मिलेंगे?
If (R) is symmetric and contains ((1,2),(2,3)), which pairs must be present by symmetry?
#symmetric relation
#reverse pair
#exam mcq
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? Hint Small clue
A ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
D ((3,3)) और ((1,1)) / ((3,3)) and ((1,1))
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Correct Answer
A. ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
Step 1
Concept
सममितता प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म देती है। / Symmetry gives the reverse of each pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। / ((1,2)) gives ((2,1)), and ((2,3)) gives ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
((1,3)) संक्रमणीयता से आ सकता है, सममितता से नहीं। / ((1,3)) may come from transitivity, not symmetry.
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यदि (R) संक्रमणीय है और (R) में ((1,2),(2,3),(3,4)) हैं, तो कौन-सा युग्म अवश्य होगा?
If (R) is transitive and contains ((1,2),(2,3),(3,4)), which pair must be present?
#transitive relation
#chain property
#ordered pairs
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A ((1,4))
B ((4,1))
C ((2,1))
D ((3,1))
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Correct Answer
A. ((1,4))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,3)), we get ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मिलेगा। / Then from ((1,3)) and ((3,4)), we get ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ी में संक्रमणीयता को क्रम से लगाएँ। / Apply transitivity step by step in a chain.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (a) का वर्ग ({a,b,c}) है, तो (b) का वर्ग क्या होगा?
If (R) is an equivalence relation and the class of (a) is ({a,b,c}), what is the class of (b)?
#equivalence class
#partition property
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({a,b,c})
B ({b})
C ({a,c})
D कह नहीं सकते / Cannot say
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Correct Answer
A. ({a,b,c})
Step 1
Concept
तुल्यता वर्गों में एक ही वर्ग के सभी अवयव समान समूह साझा करते हैं। / In equivalence classes, all elements of the same class share the same group.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b), (a) के वर्ग में है, तो (b) का वर्ग भी वही होगा। / Since (b) is in the class of (a), the class of (b) is the same.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या बिल्कुल अलग होते हैं। / Equivalence classes are either identical or disjoint.
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तुल्यता संबंध से बने दो तुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about two equivalence classes formed by an equivalence relation?
#equivalence classes
#partition
#concept mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
B वे हमेशा आंशिक रूप से मिलेंगे / They always partially overlap
C वे कभी समान नहीं हो सकते / They can never be identical
D वे हमेशा रिक्त होंगे / They are always empty
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Correct Answer
A. वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate classes.
Step 2
Why this answer is correct
किसी अवयव को दो अलग वर्गों में आधा-आधा नहीं रखा जा सकता। / An element cannot belong partly to two different classes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दो वर्ग या तो एक जैसे होंगे या बिल्कुल अलग होंगे। / Hence two classes are either identical or disjoint.
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यदि किसी संबंध से समुच्चय (A) का विभाजन बनता है, तो वह संबंध सामान्यतः किस प्रकार से जुड़ा होता है?
If a relation creates a partition of set (A), it is generally connected with which type of relation?
#partition
#equivalence relation
#relations concept
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल रिक्त संबंध / Only empty relation
C केवल सार्वत्रिक संबंध / Only universal relation
D केवल असममित संबंध / Only asymmetric relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को तुल्यता वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
ये वर्ग मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं और आपस में अलग रहते हैं। / These classes together cover the set and remain disjoint.
Step 3
Exam Tip
विभाजन दिखे तो तुल्यता संबंध का विचार करें। / When you see a partition, think of an equivalence relation.
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यदि किसी संबंध में हर दो अवयव तुलनीय हों और वह आंशिक क्रम भी हो, तो उसे क्या कहा जाता है?
If every two elements are comparable in a relation and it is also a partial order, what is it called?
#total order
#partial order
#types of relations
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A पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C रिक्त संबंध / Empty relation
D सममित संबंध / Symmetric relation
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Correct Answer
A. पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
Step 1
Concept
आंशिक क्रम में सभी अवयवों का तुलनीय होना जरूरी नहीं है। / In a partial order, not every pair of elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
जब हर दो अवयव तुलनीय हों, तो आंशिक क्रम पूर्ण क्रम बन जाता है। / When every two elements are comparable, the partial order becomes a total order.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) जैसे संबंध पूर्ण क्रम के सामान्य उदाहरण हैं। / Relations like \(\le\) are common examples of total order.
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प्राकृतिक संख्याओं पर \(\le\) संबंध कैसा है?
What type of relation is \(\le\) on natural numbers?
#less than equal
#total order
#natural numbers
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A पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
B केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D रिक्त संबंध / Empty relation
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Correct Answer
A. पूर्ण क्रम संबंध / Total order relation
Step 1
Concept
\(\le\) स्वसम है क्योंकि \(a\le a\)। / \(\le\) is reflexive because \(a\le a\).
Step 2
Why this answer is correct
यह विरोधी सममित और संक्रमणीय भी है। / It is also antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में हर दो संख्याओं की तुलना \(\le\) से हो सकती है, इसलिए यह पूर्ण क्रम है। / Any two natural numbers are comparable under \(\le\), so it is a total order.
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समुच्चय ({{1},{2},{1,2}}) पर \(\subseteq\) संबंध पूर्ण क्रम क्यों नहीं है?
On the set ({{1},{2},{1,2}}), why is \(\subseteq\) not a total order?
#subset relation
#total order
#comparability
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि ({1}) और ({2}) तुलनीय नहीं हैं / Because ({1}) and ({2}) are not comparable
B क्योंकि \({1}\subseteq{1}\) गलत है / Because \({1}\subseteq{1}\) is false
C क्योंकि यह संक्रमणीय नहीं है / Because it is not transitive
D क्योंकि यह संबंध नहीं है / Because it is not a relation
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Correct Answer
A. क्योंकि ({1}) और ({2}) तुलनीय नहीं हैं / Because ({1}) and ({2}) are not comparable
Step 1
Concept
पूर्ण क्रम में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। / In a total order, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\({1}\subseteq{2}\) नहीं है और \({2}\subseteq{1}\) भी नहीं है। / \({1}\subseteq{2}\) is false and \({2}\subseteq{1}\) is also false.
Step 3
Exam Tip
एक अतुलनीय जोड़ी मिलते ही पूर्ण क्रम नहीं बनता। / One incomparable pair is enough to stop it from being a total order.
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संबंधों के प्रकार की पहचान में सबसे सुरक्षित अंतिम रणनीति कौन-सी है?
What is the safest final strategy for identifying the type of a relation?
#exam strategy
#types of relations
#concept clarity
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? Hint Small clue
A स्वसमता, सममितता या विरोधी सममितता, और संक्रमणीयता को अलग-अलग जाँचना / Check reflexivity, symmetry or antisymmetry, and transitivity separately
B केवल युग्मों की संख्या देखकर उत्तर देना / Answer only by counting pairs
C केवल पहले युग्म को देखकर उत्तर देना / Answer only by seeing the first pair
D केवल संबंध का नाम देखकर उत्तर देना / Answer only by seeing the relation name
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Correct Answer
A. स्वसमता, सममितता या विरोधी सममितता, और संक्रमणीयता को अलग-अलग जाँचना / Check reflexivity, symmetry or antisymmetry, and transitivity separately
Step 1
Concept
अपने युग्मों से स्वसमता जाँचें। / Check reflexivity using self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्मों से सममितता या विरोधी सममितता जाँचें। / Check symmetry or antisymmetry using reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
जुड़े युग्मों से संक्रमणीयता जाँचकर ही अंतिम प्रकार तय करें। / Check transitivity using linked pairs before deciding the final type.
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