समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) है। (R) किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\). What type is (R)?
#equivalence relation
#partition
#relations class 12
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वसम, सममित नहीं / Only reflexive, not symmetric
C सममित, पर स्वसम नहीं / Symmetric, but not reflexive
D सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
चारों अपने युग्म हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All four self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) हैं, इसलिए सममितता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर छोटे समूह में संक्रमणीयता भी पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Transitivity is satisfied inside each small group, so it is an equivalence relation.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (3) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (3). What type of relation is this?
#modulo relation
#equivalence relation
#integer relation
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Only symmetric
C स्वसम नहीं / Not reflexive
D संक्रमणीय नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0), (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वसमता है। / (a-a=0), which is divisible by (3), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले अंतरों का जोड़ फिर (3) से विभाज्य रहता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The sum of such divisible differences remains divisible by (3), so it is an equivalence relation.
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प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a) संख्या (b) का गुणज हो। कौन-सा कथन सही है?
On natural numbers, (aRb) if (a) is a multiple of (b). Which statement is correct?
#multiple relation
#reflexive transitive
#relations
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? Hint Small clue
A स्वसम और संक्रमणीय / Reflexive and transitive
B सममित और स्वसम / Symmetric and reflexive
C केवल सममित / Only symmetric
D रिक्त संबंध / Empty relation
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Correct Answer
A. स्वसम और संक्रमणीय / Reflexive and transitive
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं की गुणज होती है, इसलिए स्वसमता है। / Every number is a multiple of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) का गुणज और (b), (c) का गुणज है, तो (a), (c) का गुणज होगा। / If (a) is a multiple of (b) and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c).
Step 3
Exam Tip
गुणज संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता, जैसे (6), (3) का गुणज है पर (3), (6) का नहीं। / The multiple relation is generally not symmetric, for example (6) is a multiple of (3), but (3) is not a multiple of (6).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\). Choose the correct statement.
#equivalence relation
#small set
#relation properties
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? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वसम नहीं है / It is not reflexive
D यह सार्वत्रिक है / It is universal
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) तथा ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद हैं, इसलिए संक्रमणीयता भी है। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)) and ((3,3)), which are present, so it is transitive.
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किस संबंध में सममितता है, पर संक्रमणीयता नहीं है?
Which relation is symmetric but not transitive?
#symmetric not transitive
#transitivity
#mcq
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? Hint Small clue
A ({(1,2),(2,1)}) on ({1,2})
B ({(1,1),(2,2)}) on ({1,2})
C ({(1,2),(2,3),(1,3)}) on ({1,2,3})
D \(\varnothing\) on ({1,2})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1)}) on ({1,2})
Step 1
Concept
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / In the first option, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्म होने से सममितता आती है, पर संक्रमणीयता अपने आप नहीं आती। / Reverse pairs give symmetry, but not automatic transitivity.
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कौन-सा संबंध स्वसम और सममित है, पर संक्रमणीय नहीं है?
Which relation is reflexive and symmetric but not transitive?
#reflexive symmetric not transitive
#equivalence relation
#mcq
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? Hint Small clue
A ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) on ({1,2,3})
B ({(1,1),(2,2),(3,3)}) on ({1,2,3})
C ({(1,2),(2,1)}) on ({1,2,3})
D \(\varnothing\) on ({1,2,3})
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Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) on ({1,2,3})
Step 1
Concept
पहले विकल्प में सभी अपने युग्म हैं और हर असमान युग्म का उल्टा भी है। / The first option has all self-pairs and reverse pairs for every non-self pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध बनने के लिए तीनों गुण चाहिए, दो गुण काफी नहीं हैं। / An equivalence relation needs all three properties, not just two.
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यदि (R) किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध है, तो कौन-सा निष्कर्ष हमेशा सही है?
If (R) is an equivalence relation on a set, which conclusion is always true?
#equivalence relation
#definition
#types of relations
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A (R) स्वसम, सममित और संक्रमणीय है / (R) is reflexive, symmetric and transitive
B (R) केवल रिक्त है / (R) is only empty
C (R) केवल सार्वत्रिक है / (R) is only universal
D (R) में कोई अपना युग्म नहीं होता / (R) has no self-pair
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Correct Answer
A. (R) स्वसम, सममित और संक्रमणीय है / (R) is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों से बनती है। / An equivalence relation is defined by three properties.
Step 2
Why this answer is correct
ये गुण हैं स्वसमता, सममितता और संक्रमणीयता। / These are reflexivity, symmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
किसी प्रश्न में तुल्यता लिखा हो तो तुरंत तीनों गुणों को लागू करें। / Whenever a question says equivalence, immediately apply all three properties.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) क्यों तुल्यता संबंध नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\) not an equivalence relation?
#not equivalence relation
#transitivity
#relations
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A ((2,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है / ((2,3)) is missing, so transitivity fails
B ((1,1)) नहीं है / ((1,1)) is missing
C यह स्वसम नहीं है / It is not reflexive
D यह सममित नहीं है / It is not symmetric
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Correct Answer
A. ((2,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है / ((2,3)) is missing, so transitivity fails
Step 1
Concept
संबंध स्वसम और सममित दिखता है। / The relation looks reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। / ((2,1)) and ((1,3)) require ((2,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में संक्रमणीयता की पूरी जाँच करना जरूरी है। / For equivalence relation, full transitivity checking is necessary.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) का संबंध समान शेष (2) से भाग देने पर परिभाषित है, तो (R) कितने वर्ग बनाता है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is defined by having the same remainder when divided by (2), how many classes does (R) form?
#equivalence classes
#modulo 2
#relations
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A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
(2) से भाग देने पर केवल दो शेष संभव हैं: (0) और (1)। / When divided by (2), only two remainders are possible: (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2,4) एक वर्ग में और (1,3) दूसरे वर्ग में आएँगे। / (2,4) form one class and (1,3) form another.
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले संबंध में वर्गों की संख्या संभावित शेषों से जुड़ी होती है। / In same-remainder relations, the number of classes is linked to possible remainders.
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यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) का (5) से भाग देने पर समान शेष है, तो यह संबंध कैसा है?
If (aRb) means (a) and (b) have the same remainder when divided by (5), what type of relation is it?
#modulo relation
#equivalence relation
#class 12
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वसम / Only reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमणीय नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या का शेष अपने साथ समान है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same remainder as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है, तो (b) और (a) का भी समान है। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also do.
Step 3
Exam Tip
समान शेष की कड़ी तीसरी संख्या तक जाती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The same-remainder link passes to a third number, so it is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) से बनने वाले तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?
For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what are the equivalence classes?
#equivalence classes
#partition
#relations mcq
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? Hint Small clue
A ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
B ({1}) और ({2,3}) / ({1}) and ({2,3})
C ({1,3}) और ({2}) / ({1,3}) and ({2})
D ({1,2,3}) ही / Only ({1,2,3})
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Correct Answer
A. ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
Step 1
Concept
(1) और (2) एक-दूसरे से संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) are related to each other, so they belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग बनेगा। / (3) is related only to itself, so it forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय जो अवयव आपस में जुड़े हों उन्हें एक समूह में रखें। / While forming equivalence classes, group elements that are mutually related.
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कौन-सा संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर आंशिक क्रम संबंध का उदाहरण हो सकता है?
Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) can be an example of a partial order relation?
#partial order
#less than equal
#relations
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? Hint Small clue
A \(\le\) द्वारा बना संबंध / Relation defined by \(\le\)
B समान लिंग संबंध / Same gender relation
C समान शेष संबंध / Same remainder relation
D केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
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Correct Answer
A. \(\le\) द्वारा बना संबंध / Relation defined by \(\le\)
Step 1
Concept
आंशिक क्रम में स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। / A partial order needs reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
\(\le\) संबंध ये तीनों गुण पूरा करता है। / The relation \(\le\) satisfies all three.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता और आंशिक क्रम में अंतर याद रखें: तुल्यता में सममितता, आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है। / Remember the difference: equivalence uses symmetry, partial order uses antisymmetry.
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विरोधी सममित संबंध में यदि ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों, तो क्या निष्कर्ष निकलता है?
In an antisymmetric relation, if both ((a,b)) and ((b,a)) are present, what conclusion follows?
#antisymmetric relation
#partial order
#concept mcq
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A (a=b)
B \(a\ne b\)
C संबंध रिक्त है / The relation is empty
D संबंध सममित अवश्य है / The relation must be symmetric
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Step 1
Concept
विरोधी सममितता में दो उल्टे युग्म तभी साथ हो सकते हैं जब दोनों अवयव समान हों। / In antisymmetry, two reverse pairs can both exist only when the two elements are equal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) से (a=b) निष्कर्ष आता है। / So ((a,b)) and ((b,a)) imply (a=b).
Step 3
Exam Tip
विरोधी सममितता को सममितता का विपरीत समझने की गलती न करें। / Do not treat antisymmetry as simply the opposite of symmetry.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) क्या विरोधी सममित है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) antisymmetric?
#antisymmetric relation
#partial order
#relations
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब (1=2) / Only if (1=2)
D कह नहीं सकते / Cannot say
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विरोधी सममितता तब टूटती है जब \(a\ne b\) के लिए ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों। / Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) occur for \(a\ne b\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
उल्टे असमान युग्म की जोड़ी न होने पर विरोधी सममितता बनी रहती है। / If no reverse non-self pair pair exists, antisymmetry holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) क्या विरोधी सममित है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) antisymmetric?
#not antisymmetric
#reverse pairs
#relations
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A हाँ, क्योंकि अपने युग्म हैं / Yes, because self-pairs are present
B नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\) / No, because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
C हाँ, क्योंकि यह स्वसम है / Yes, because it is reflexive
D कह नहीं सकते / Cannot say
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\) / No, because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
विरोधी सममितता में असमान अवयवों के उल्टे युग्म साथ नहीं होने चाहिए। / In antisymmetry, reverse pairs for unequal elements must not both be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\ne2\) है और ((1,2),(2,1)) दोनों हैं। / Here \(1\ne2\), and both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 3
Exam Tip
यह विरोधी सममितता तोड़ने का सीधा उदाहरण है। / This is a direct violation of antisymmetry.
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कौन-सा संबंध स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है?
Which relation is reflexive, antisymmetric and transitive?
#partial order relation
#antisymmetric
#types of relations
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A आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C रिक्त संबंध / Empty relation
D केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
Step 1
Concept
आंशिक क्रम संबंध की तीन शर्तें होती हैं। / A partial order relation has three conditions.
Step 2
Why this answer is correct
ये शर्तें स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता हैं। / These are reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता में सममितता होती है, जबकि आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है। / Equivalence uses symmetry, while partial order uses antisymmetry.
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धनात्मक पूर्णांकों पर विभाज्यता संबंध (aRb) तभी जब (a) संख्या (b) को विभाजित करे। यह कैसा संबंध है?
On positive integers, (aRb) if (a) divides (b). What type of relation is it?
#divisibility
#partial order
#positive integers
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A आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित संबंध / Symmetric relation
D रिक्त संबंध / Empty relation
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Correct Answer
A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
Step 1
Concept
हर धनात्मक पूर्णांक स्वयं को विभाजित करता है, इसलिए स्वसमता है। / Every positive integer divides itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो धनात्मक पूर्णांकों में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then for positive integers (a=b), so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए यह आंशिक क्रम है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is a partial order.
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समुच्चयों के परिवार पर संबंध (A R B) तभी जब \(A\subseteq B\)। यह संबंध कैसा है?
On a family of sets, (A R B) if \(A\subseteq B\). What type of relation is this?
#subset relation
#partial order
#set relation
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A आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
B केवल सममित / Only symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D स्वसम नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
Step 1
Concept
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। / Every set is a subset of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो (A=B), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then (A=B), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\subseteq C\), इसलिए यह आंशिक क्रम है। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then \(A\subseteq C\), so it is a partial order.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब \(a^2=b^2\)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) if \(a^2=b^2\). What type of relation is this?
#square equality
#equivalence relation
#real numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
C स्वसम नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2=a^2\), इसलिए स्वसमता है। / \(a^2=a^2\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so transitivity holds.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) if (|a|=|b|). What type of relation is this?
#absolute value
#equivalence relation
#relations
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वसम / Only reflexive
C केवल संक्रमणीय / Only transitive
D विरोधी सममित / Antisymmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|a|=|a|), इसलिए स्वसमता है। / (|a|=|a|), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान परम मान तीसरी संख्या तक भी जुड़ता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of absolute values transfers through a third number, so it is an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a=b) या (a=-b)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) if (a=b) or (a=-b). What type of relation is this?
#equivalence relation
#real numbers
#absolute value idea
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Only symmetric
C स्वसम नहीं / Not reflexive
D संक्रमणीय नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर (a) के लिए (a=a), इसलिए स्वसमता है। / For every (a), (a=a), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी सही रहता है। / If (a=b) or (a=-b), the reverse relation also holds.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध (|a|=|b|) जैसा है, इसलिए संक्रमणीयता भी मिलती है और यह तुल्यता संबंध है। / This relation is like (|a|=|b|), so transitivity also holds and it is an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b>0)। कौन-सा गुण सही है?
On real numbers, (aRb) if (a-b>0). Which property is correct?
#greater than relation
#transitive
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संक्रमणीय / Transitive
B स्वसम / Reflexive
C सममित / Symmetric
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
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Correct Answer
A. संक्रमणीय / Transitive
Step 1
Concept
(a-b>0) का अर्थ (a>b) है। / (a-b>0) means (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए संक्रमणीयता है। / If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
यह स्वसम या सममित नहीं है, क्योंकि कोई संख्या स्वयं से बड़ी नहीं होती। / It is not reflexive or symmetric because no number is greater than itself.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब \(a-b\ge0\)। यह संबंध किसका उदाहरण है?
On real numbers, (aRb) if \(a-b\ge0\). This relation is an example of what?
#greater than equal
#partial order
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित संबंध / Symmetric relation
D रिक्त संबंध / Empty relation
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Correct Answer
A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
Step 1
Concept
\(a-b\ge0\) का अर्थ \(a\ge b\) है। / \(a-b\ge0\) means \(a\ge b\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\ge\) संबंध स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय होता है। / The relation \(\ge\) is reflexive, antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
इसे तुल्यता न मानें, क्योंकि यह सामान्यतः सममित नहीं है। / Do not call it equivalence because it is generally not symmetric.
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कौन-सा संबंध न स्वसम है, न सममित है, पर संक्रमणीय है?
Which relation is neither reflexive nor symmetric, but transitive?
#less than relation
#transitive
#not reflexive
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? Hint Small clue
A वास्तविक संख्याओं पर (<) / (<) on real numbers
B वास्तविक संख्याओं पर (=) / (=) on real numbers
C समुच्चय पर \(A\times A\) / \(A\times A\) on a set
D समान शेष संबंध / Same remainder relation
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Correct Answer
A. वास्तविक संख्याओं पर (<) / (<) on real numbers
Step 1
Concept
(a<a) असत्य है, इसलिए (<) स्वसम नहीं है।
Step 2
Why this answer is correct
(a<b) से (b<a) नहीं आता, इसलिए यह सममित नहीं है।
Step 3
Exam Tip
(a<b) और (b<c) से (a<c) आता है, इसलिए यह संक्रमणीय है।
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((2,5)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((2,5)\in R\), which pair must be in (R)?
#equivalence relation
#symmetric property
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((5,2))
B ((2,3))
C ((5,3))
D ((3,2))
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Correct Answer
A. ((5,2))
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध सममित होता है। / An equivalence relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के कारण ((2,5)) होने पर ((5,2)) अवश्य होगा। / Because of symmetry, ((2,5)) implies ((5,2)).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में दिए गए युग्म से पहले उसका उल्टा युग्म निकालें। / In equivalence relation questions, first write the reverse pair of a given pair.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((1,2)\in R\), \((2,4)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((1,2)\in R\), \((2,4)\in R\), which pair must be in (R)?
#equivalence relation
#transitive property
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,4))
B ((4,1)) ही, ((1,4)) नहीं / Only ((4,1)), not ((1,4))
C ((3,4))
D ((1,3))
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Correct Answer
A. ((1,4))
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध संक्रमणीय होता है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) अवश्य मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
फिर सममितता से ((4,1)) भी मिल सकता है, पर पहले सीधा निष्कर्ष ((1,4)) है। / Symmetry can then give ((4,1)), but the direct transitive conclusion is ((1,4)).
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यदि (R) आंशिक क्रम संबंध है और \((a,b)\in R\), \((b,a)\in R\), तो क्या होगा?
If (R) is a partial order relation and \((a,b)\in R\), \((b,a)\in R\), what follows?
#partial order
#antisymmetry
#ordered pair
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (a=b)
B \(a\ne b\)
C (R) सममित है / (R) is symmetric
D (R) रिक्त है / (R) is empty
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Step 1
Concept
आंशिक क्रम संबंध विरोधी सममित होता है। / A partial order relation is antisymmetric.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी सममितता में दोनों उल्टे युग्म होने पर अवयव समान होने चाहिए। / In antisymmetry, if both reverse pairs are present, the elements must be equal.
Step 3
Exam Tip
आंशिक क्रम के प्रश्न में यह निष्कर्ष बहुत उपयोगी होता है। / This conclusion is very useful in partial order questions.
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तत्समक संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about identity relation is correct?
#identity relation
#equivalence relation
#properties
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा स्वसम, सममित और संक्रमणीय होता है / It is always reflexive, symmetric and transitive
B यह कभी स्वसम नहीं होता / It is never reflexive
C यह हमेशा रिक्त होता है / It is always empty
D यह कभी संक्रमणीय नहीं होता / It is never transitive
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Correct Answer
A. यह हमेशा स्वसम, सममित और संक्रमणीय होता है / It is always reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ये युग्म स्वसमता देते हैं, अपने उल्टे स्वयं हैं और संक्रमणीयता भी नहीं तोड़ते। / These pairs give reflexivity, are their own reverses, and do not break transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए तत्समक संबंध तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण है। / So identity relation is a simple example of an equivalence relation.
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सार्वत्रिक संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about the universal relation is correct?
#universal relation
#reflexive symmetric
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा स्वसम और सममित होता है / It is always reflexive and symmetric
B यह कभी स्वसम नहीं होता / It is never reflexive
C यह हमेशा रिक्त होता है / It is always empty
D यह अपने युग्म नहीं रखता / It does not contain self-pairs
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Correct Answer
A. यह हमेशा स्वसम और सममित होता है / It is always reflexive and symmetric
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर अपने युग्म और हर उल्टा युग्म भी मौजूद होता है। / Hence every self-pair and every reverse pair is present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को सभी युग्मों का पूरा संग्रह समझें। / Think of the universal relation as the complete collection of all pairs.
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many total relations are possible on (A)?
#counting total relations
#cartesian product
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(2^4\)
B \(2^8\)
C \(2^{16}\)
D \(4^{16}\)
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Correct Answer
C. \(2^{16}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / Every relation is a subset of \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
(16) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) है। / The number of subsets of (16) pairs is \(2^{16}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many reflexive relations are possible on (A)?
#number of reflexive relations
#counting
#mcq
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A \(2^{12}\)
B \(2^{16}\)
C \(2^4\)
D \(4^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल युग्म \(4^2=16\) हैं। / Total pairs are \(4^2=16\).
Step 2
Why this answer is correct
स्वसम संबंध में (4) अपने युग्म निश्चित रहेंगे। / A reflexive relation fixes (4) self-pairs.
Step 3
Exam Tip
बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many symmetric relations are possible on (A)?
#number of symmetric relations
#counting formula
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^6\)
B \(2^{10}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^{16}\)
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Correct Answer
B. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=4) रखने पर \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / For (n=4), \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी। / Therefore the number is \(2^{10}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?
#reflexive symmetric relations
#counting
#advanced mcq
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A \(2^4\)
B \(2^6\)
C \(2^{10}\)
D \(2^{12}\)
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Correct Answer
B. \(2^6\)
Step 1
Concept
स्वसमता के कारण (4) अपने युग्म निश्चित हो जाते हैं। / Reflexivity fixes the (4) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं। / The non-self reverse-pair groups are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
ये (6) समूह स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / These (6) groups can be chosen independently, so the number is \(2^6\).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या है?
If (A) has (n) elements, what is the number of relations that are both reflexive and symmetric?
#counting relations
#reflexive symmetric formula
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
B \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(2^{n^2}\)
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Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
Step 1
Concept
स्वसमता सभी (n) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। / Reflexivity fixes all (n) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए केवल असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह स्वतंत्र रहते हैं। / For symmetry, only non-self reverse-pair groups remain independent.
Step 3
Exam Tip
ऐसे समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
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यदि (R) सममित है और \((1,2),(2,3)\in R\), तो क्या \((1,3)\in R\) अवश्य होगा?
If (R) is symmetric and \((1,2),(2,3)\in R\), must \((1,3)\in R\)?
#symmetry vs transitivity
#concept mcq
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हाँ, सममितता से / Yes, by symmetry
B नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैं / No, symmetry gives only reverse pairs
C हाँ, स्वसमता से / Yes, by reflexivity
D हाँ, हमेशा / Yes, always
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Correct Answer
B. नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैं / No, symmetry gives only reverse pairs
Step 1
Concept
सममितता केवल ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) देती है। / Symmetry gives only ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) की गारंटी संक्रमणीयता से आती, सममितता से नहीं। / ((1,3)) would be guaranteed by transitivity, not symmetry.
Step 3
Exam Tip
गुणों को मिलाकर न पढ़ें, हर गुण का अलग काम है। / Do not mix properties; each property has a separate role.
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यदि (R) संक्रमणीय है और \((1,2),(2,1)\in R\), तो कौन-से युग्म अवश्य होंगे?
If (R) is transitive and \((1,2),(2,1)\in R\), which pairs must be present?
#transitive relation
#reverse pairs
#self pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
D कोई युग्म नहीं / No pair
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Correct Answer
A. ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रमणीयता के अनुसार ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), it requires ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्मों की जोड़ी होने पर संक्रमणीयता अपने युग्मों की मांग कर सकती है। / A pair of reverse pairs can force self-pairs through transitivity.
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यदि (R) स्वसम और सममित है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and symmetric, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#reflexive symmetric
#transitive needed
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
C हाँ, यदि समुच्चय में तीन अवयव हों / Yes, if the set has three elements
D नहीं, क्योंकि सममितता उपयोगी नहीं / No, because symmetry is useless
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। / An equivalence relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
स्वसमता और सममितता के साथ संक्रमणीयता भी जरूरी है। / Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also necessary.
Step 3
Exam Tip
दो गुण देखकर तुल्यता संबंध घोषित न करें। / Do not declare equivalence after checking only two properties.
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यदि (R) स्वसम और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and transitive, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#symmetry needed
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
C हाँ, यदि संबंध रिक्त हो / Yes, if the relation is empty
D नहीं, क्योंकि स्वसमता गलत गुण है / No, because reflexivity is the wrong property
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में स्वसमता और संक्रमणीयता के साथ सममितता भी चाहिए। / Equivalence relation needs symmetry along with reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
कई संबंध जैसे \(\le\) स्वसम और संक्रमणीय होते हैं, पर सममित नहीं। / Many relations like \(\le\) are reflexive and transitive but not symmetric.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता के लिए तीनों गुण पूरे होने चाहिए। / All three properties are required for equivalence.
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यदि (R) सममित और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य स्वसम होगा?
If (R) is symmetric and transitive, must (R) be reflexive?
#symmetric transitive
#not necessarily reflexive
#conceptual
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? Hint Small clue
A हाँ, हर समुच्चय पर / Yes, on every set
B नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते / No, self-pairs for all elements need not occur
C हाँ, क्योंकि संक्रमणीयता पर्याप्त है / Yes, because transitivity is enough
D हाँ, क्योंकि सममितता पर्याप्त है / Yes, because symmetry is enough
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते / No, self-pairs for all elements need not occur
Step 1
Concept
सममित और संक्रमणीय होने से कुछ जुड़े अवयवों के अपने युग्म मिल सकते हैं। / Symmetry and transitivity can create self-pairs for connected elements.
Step 2
Why this answer is correct
पर जिन अवयवों का कोई संबंध नहीं है, उनके अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते। / But elements not related to anything may still miss their self-pairs.
Step 3
Exam Tip
स्वसमता के लिए हर अवयव का अपना युग्म अलग से जाँचना जरूरी है। / Reflexivity requires checking self-pairs for every element separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\) है। यह सममित और संक्रमणीय है, पर स्वसम क्यों नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\). It is symmetric and transitive, but why is it not reflexive?
#not reflexive
#symmetric transitive
#relations mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
B ((1,3)) नहीं है / ((1,3)) is missing
C ((3,1)) नहीं है / ((3,1)) is missing
D ((2,3)) नहीं है / ((2,3)) is missing
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Correct Answer
A. ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
स्वसमता के लिए (1,2,3) तीनों के अपने युग्म चाहिए। / Reflexivity requires self-pairs for (1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) हैं, पर ((3,3)) नहीं है। / The relation has ((1,1)) and ((2,2)), but not ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
किसी भी एक अवयव का अपना युग्म छूटे तो संबंध स्वसम नहीं होता। / If even one element lacks its self-pair, the relation is not reflexive.
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किसी समुच्चय पर रिक्त संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about the empty relation on a set is correct?
#empty relation
#symmetric transitive
#concept
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? Hint Small clue
A यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता है / It is always symmetric and transitive
B यह हर अरिक्त समुच्चय पर स्वसम होता है / It is reflexive on every non-empty set
C यह हमेशा सार्वत्रिक होता है / It is always universal
D यह कभी संबंध नहीं होता / It is never a relation
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Correct Answer
A. यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता है / It is always symmetric and transitive
Step 1
Concept
रिक्त संबंध में कोई ऐसा युग्म नहीं होता जो सममितता को तोड़े। / In the empty relation, no pair exists to violate symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं होते। / There are no linked pairs to violate transitivity either.
Step 3
Exam Tip
पर अरिक्त समुच्चय पर यह स्वसम नहीं होता, क्योंकि अपने युग्म नहीं होते। / But on a non-empty set it is not reflexive because self-pairs are missing.
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यदि (A) रिक्त समुच्चय है, तो (A) पर रिक्त संबंध के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If (A) is the empty set, what can be said about the empty relation on (A)?
#empty set
#empty relation
#vacuous truth
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता है / It is considered reflexive, symmetric and transitive
B यह संबंध नहीं है / It is not a relation
C यह केवल सार्वत्रिक नहीं हो सकता / It cannot be universal
D यह सममित नहीं है / It is not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता है / It is considered reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए स्वसमता की शर्त तोड़ने वाला कोई अवयव नहीं है। / In the empty set, there is no element that can violate reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता और संक्रमणीयता तोड़ने वाले युग्म भी नहीं हैं। / There are no pairs that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में शर्तें रिक्त रूप से सत्य हो सकती हैं। / In empty-set questions, conditions can be vacuously true.
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कौन-सा संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों हो सकता है?
Which relation can be both symmetric and antisymmetric?
#symmetric antisymmetric
#identity relation
#partial order
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? Hint Small clue
A तत्समक संबंध / Identity relation
B ({(1,2),(2,1)})
C सार्वत्रिक संबंध दो अवयवों पर / Universal relation on two elements
D समान शेष संबंध जिसमें अलग अवयव जुड़े हों / Same remainder relation with different elements related
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Correct Answer
A. तत्समक संबंध / Identity relation
Step 1
Concept
तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अपने युग्म सममितता भी पूरी करते हैं और विरोधी सममितता भी नहीं तोड़ते। / Self-pairs satisfy symmetry and do not violate antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म साथ हों तो विरोधी सममितता टूट जाती है। / Reverse pairs of unequal elements would break antisymmetry.
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यदि कोई संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों है, तो असमान अवयवों के बारे में क्या सही होगा?
If a relation is both symmetric and antisymmetric, what is true about unequal elements?
#symmetric and antisymmetric
#concept
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता / No pair can occur between unequal elements
B हर असमान जोड़ी दोनों दिशाओं में होगी / Every unequal pair occurs both ways
C संबंध सार्वत्रिक होगा / The relation will be universal
D संबंध तुल्यता अवश्य होगा / The relation must be equivalence
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Correct Answer
A. असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता / No pair can occur between unequal elements
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी सममितता असमान (a,b) के लिए दोनों युग्मों को साथ अनुमति नहीं देती। / Antisymmetry does not allow both pairs for unequal (a,b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए असमान अवयवों के बीच युग्म रखना संभव नहीं रहता। / Therefore no pair between unequal elements can remain.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) क्या संक्रमणीय है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) transitive?
#transitive relation
#not transitive
#mcq
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं है / No, because ((1,3)) is missing
C नहीं, क्योंकि ((2,1)) नहीं है / No, because ((2,1)) is missing
D नहीं, क्योंकि ((3,1)) नहीं है / No, because ((3,1)) is missing
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं है / No, because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, जो नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
स्वसम युग्म मौजूद होने पर भी संक्रमणीयता अलग से टूट सकती है। / Even with self-pairs present, transitivity can fail separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) क्या आंशिक क्रम संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) a partial order relation?
#partial order relation
#reflexive antisymmetric transitive
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि स्वसमता नहीं है / No, because reflexivity is absent
C नहीं, क्योंकि संक्रमणीयता नहीं है / No, because transitivity is absent
D नहीं, क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है / No, because antisymmetry is absent
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements occurs, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)\}\) आंशिक क्रम क्यों नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\) not a partial order?
#not partial order
#antisymmetry violation
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\) / Because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
B क्योंकि ((1,1)) है / Because ((1,1)) is present
C क्योंकि ((1,3)) है / Because ((1,3)) is present
D क्योंकि यह स्वसम है / Because it is reflexive
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\) / Because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
आंशिक क्रम के लिए विरोधी सममितता जरूरी है। / A partial order requires antisymmetry.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ असमान (1) और (2) के लिए दोनों उल्टे युग्म मौजूद हैं। / Here for unequal (1) and (2), both reverse pairs are present.
Step 3
Exam Tip
विरोधी सममितता टूटते ही संबंध आंशिक क्रम नहीं रह सकता। / Once antisymmetry fails, the relation cannot be a partial order.
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कौन-सा संबंध तुल्यता संबंध नहीं है, पर आंशिक क्रम संबंध है?
Which relation is not an equivalence relation but is a partial order relation?
#partial order not equivalence
#less than equal
#relations
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? Hint Small clue
A वास्तविक संख्याओं पर \(\le\) / \(\le\) on real numbers
B समान शेष (3) से भाग देने पर / Same remainder on division by (3)
C समान परम मान / Same absolute value
D तत्समक संबंध / Identity relation
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Correct Answer
A. वास्तविक संख्याओं पर \(\le\) / \(\le\) on real numbers
Step 1
Concept
\(\le\) स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है, इसलिए आंशिक क्रम है। / \(\le\) is reflexive, antisymmetric and transitive, so it is a partial order.
Step 2
Why this answer is correct
यह सममित नहीं है, क्योंकि \(2\le3\) है पर \(3\le2\) नहीं। / It is not symmetric because \(2\le3\) but \(3\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए 3: तुल्यता संबंध के लिए सममितता जरूरी होती है। / Symmetry is required for equivalence relation.
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कौन-सा संबंध आंशिक क्रम नहीं है, पर तुल्यता संबंध है?
Which relation is not a partial order but is an equivalence relation?
#equivalence not partial order
#modulo relation
#concept mcq
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? Hint Small clue
A पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने पर / Same remainder on division by (2) over integers
B वास्तविक संख्याओं पर \(\le\) / \(\le\) on real numbers
C धनात्मक पूर्णांकों पर विभाज्यता / Divisibility on positive integers
D समुच्चयों पर उपसमुच्चय / Subset relation on sets
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Correct Answer
A. पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने पर / Same remainder on division by (2) over integers
Step 1
Concept
समान शेष संबंध स्वसम, सममित और संक्रमणीय है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The same-remainder relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यह विरोधी सममित नहीं होता, क्योंकि अलग संख्याएँ भी समान शेष रख सकती हैं। / It is not antisymmetric because different numbers can have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
सममित तुल्यता संबंधों को आंशिक क्रम से अलग पहचानें। / Distinguish symmetric equivalence relations from partial orders.
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संबंधों के प्रकार पहचानते समय सही जाँच क्रम कौन-सा उपयोगी है?
While identifying types of relations, which checking order is useful?
#exam strategy
#types of relations
#concept clarity
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? Hint Small clue
A पहले अपने युग्म, फिर उल्टे युग्म, फिर जुड़े युग्म / First self-pairs, then reverse pairs, then linked pairs
B पहले केवल कुल युग्म गिनना / First only count total pairs
C पहले केवल सबसे बड़ा अवयव देखना / First only see the largest element
D पहले केवल नाम देखकर उत्तर देना / First answer only by seeing the name
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Correct Answer
A. पहले अपने युग्म, फिर उल्टे युग्म, फिर जुड़े युग्म / First self-pairs, then reverse pairs, then linked pairs
Step 1
Concept
अपने युग्मों से स्वसमता जल्दी जाँची जाती है। / Self-pairs help check reflexivity quickly.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्मों से सममितता या विरोधी सममितता जाँची जाती है। / Reverse pairs help check symmetry or antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
जुड़े युग्मों से संक्रमणीयता जाँचकर अंतिम प्रकार तय करें। / Linked pairs help check transitivity and then decide the final type.
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