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योग का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए \(x\ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या अधिक रखें। / The domain of a sum is the intersection of both domains, so \(x\ge 2\). In exams, keep the radicand of a square root non-negative.
हर समान करने पर अंश ((x+1)+(x-3)=2x-2) मिलता है। सरल करते समय मूल प्रतिबंध \(x\ne3,-1\) भी याद रखें। / Using a common denominator gives numerator ((x+1)+(x-3)=2x-2). While simplifying, remember original restrictions \(x\ne3,-1\).
गुणन का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद है, इसलिए \(5-x\ge0\) और \(x+1\ge0\)। अतः \(-1\le x\le5\)। / The domain of a product is the intersection of both domains, so \(5-x\ge0\) and \(x+1\ge0\). Hence \(-1\le x\le5\).
\(\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2\), पर \(x=-2\) निषिद्ध रहेगा। कटाव के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / \(\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2\), but \(x=-2\) remains excluded. Do not forget the original denominator restriction after cancellation.
((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), इसलिए (x=4) पर मान (17) नहीं बल्कि (17)? जाँचें: (28-11=17)। / ((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), so at (x=4) the value is (17). Always simplify before substituting.
((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), इसलिए ((2f-3g)(4)=17)। रैखिक संयोजन में चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / ((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), hence ((2f-3g)(4)=17). In linear combinations, pay close attention to signs.
\(x\ge2\) पर (|x-2|=x-2), इसलिए अंतर (0) है। मापांक प्रश्नों में अंतराल बनाकर हल करें। / For \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so the difference is (0). For modulus questions, solve by splitting intervals.
समान \(x^2\) पद कट जाते हैं और (2x-(-2x)=4x) मिलता है। घटाव में दूसरी पूरी फलन का चिह्न बदलता है। / The equal \(x^2\) terms cancel and (2x-(-2x)=4x). In subtraction, the sign of the whole second function changes.
यद्यपि गुणनफल (1) बनता है, मूल फलनों में (x=0) और (x=1) निषिद्ध हैं। सरलीकरण से पहले प्रांत तय करना सुरक्षित तरीका है। / Although the product becomes (1), the original functions exclude (x=0) and (x=1). It is safer to decide the domain before simplification.
A. \(x\le-3\) या \(x\ge3,\ x\ne4\)/\(x\le-3\) or \(x\ge3,\ x\ne4\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x^2-9}\) के लिए \(x^2-9\ge0\) और भिन्न के लिए \(x\ne4\)। इसलिए \(x\le-3\) या \(x\ge3\), पर (x=4) हटेगा। / For \(\sqrt{x^2-9}\), \(x^2-9\ge0\), and for the fraction \(x\ne4\). Thus \(x\le-3\) or \(x\ge3\), but (x=4) is removed.
((f+g)(x)=x-3+2x) और ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x))। विषम फलनों का योग सामान्यतः विषम होता है। / ((f+g)(x)=x-3+2x) and ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x)). The sum of odd functions is generally odd.
दोनों \(x^2\) और (|x|) सम फलन हैं, इसलिए उनका योग भी सम है। समता जाँचने के लिए (x) के स्थान पर (-x) रखें। / Both \(x^2\) and (|x|) are even functions, so their sum is even. To test evenness, replace (x) by (-x).
\((fg)(x)=f(x)g(x)=x^2\cdot x=x^3\)। अब \((fg)(-x)=(-x)^3=-x^3=-(fg)(x)\), इसलिए यह विषम फलन है। सम फलन होने के लिए \(h(-x)=h(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा में याद रखें: सम और विषम फलन का गुणनफल विषम होता है। / \((fg)(x)=f(x)g(x)=x^2\cdot x=x^3\). Since \((fg)(-x)=(-x)^3=-x^3=-(fg)(x)\), the product is an odd function. It is not even because an even function must satisfy \(h(-x)=h(x)\). Exam tip: the product of an even and an odd function is odd, provided the domain is symmetric about zero.
\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), इसलिए भागफल (x-3) है और \(x=2\) निषिद्ध है। गुणनखंडन के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध रखें। / \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so the quotient is (x-3) and \(x=2\) is excluded. Keep the original denominator restriction after factorization.
(f(0)=\frac{1}{-1}=-1) और (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), इसलिए योग (-2) है। पहले जाँचें कि दिया गया (x) प्रांत में है। / (f(0)=\frac{1}{-1}=-1) and (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), so the sum is (-2). First check whether the given (x) lies in the domain.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) है। अतः (>0) सभी \(x\ne1\) के लिए होना चाहिए, इसलिए दिए विकल्पों में कोई? / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) at (x=1). Therefore (>0) holds for all \(x\ne1\); none of the broad options is exact.
((f-g)(x)=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) और बाकी जगह धनात्मक है। वर्ग रूप कठिन असमानताओं में तेज संकेत देता है। / ((f-g)(x)=(x-1)2), which is (0) at (x=1) and positive elsewhere. A square form gives a quick clue in inequalities.
((f+g)(x)=4x-2+2), अतः ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18)। पहले फलनों को जोड़ना गणना को आसान बनाता है। / ((f+g)(x)=4x-2+2), so ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18). Adding functions first makes calculation easier.
\(\frac{1}{x^2-1}\) में \(x^2-1\ne0\), इसलिए \(x\ne\pm1\)। बहुपद (g(x)) प्रांत को सीमित नहीं करता। / In \(\frac{1}{x^2-1}\), \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). The polynomial (g(x)) does not restrict the domain.
हर में \(\sqrt{x+2}\) है, इसलिए \(x+2>0\) चाहिए। अतः \(x>-2\), भले ही अंश कहीं भी परिभाषित हो। / The denominator is \(\sqrt{x+2}\), so \(x+2>0\) is required. Hence \(x>-2\), regardless of where the numerator is defined.
((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (2) है। गुणन में प्रमुख पदों का गुणन पहले देखें। / ((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), so the coefficient of \(x^2\) is (2). In multiplication, check the leading terms first.
(x-2+x+1=x-2(x+1)) से \(x^3-x-1=0\) नहीं, सही समीकरण \(x^2+x+1=x^3+x^2\) है। इसे जाँचने पर दिए विकल्प सही नहीं हैं। / From (x-2+x+1=x-2(x+1)), the equation is \(x^3-x-1=0\). The listed integer pairs are not exact solutions.
\(2x+1=x^2+x\) से \(x^2-x-1=0\) मिलता है। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), इसलिए विकल्पों में त्रुटि होगी। / \(2x+1=x^2+x\) gives \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), so the listed option pattern would be wrong.
A. \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
((f+g)(x)=2x+1) और ((fg)(x)=x(x+1)), इसलिए \(x^2-x-1=0\)। द्विघात सूत्र से सही हल \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) हैं। / ((f+g)(x)=2x+1) and ((fg)(x)=x(x+1)), so \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\).
\(\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\)। दोनों मूल फलनों के प्रतिबंध \(x\ne\pm2\) रहेंगे। / \(\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\). The restrictions \(x\ne\pm2\) from the original functions remain.
A. स्थिर धनात्मक फलन (2)/Constant positive function (2)
Explanation
Simple Explanation
फलनों के अंतर के लिए (g − f)(x) = g(x) − f(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2। यहाँ x² वाले पद आपस में कट जाते हैं, इसलिए परिणाम हर x के लिए 2 रहता है और यह एक स्थिर धनात्मक फलन है। विकल्प B में चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C में घटाने के बजाय पदों को जोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: (g − f)(x) में पहले दूसरे फलन से पहले फलन को घटाएँ और कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न का ध्यान रखें। / For the difference of two functions, (g − f)(x) = g(x) − f(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2. The x² terms cancel, so the result remains 2 for every x; hence it is a constant positive function. Option B has the wrong sign, while option C results from adding rather than subtracting the functions. Exam tip: In (g − f)(x), subtract the entire first function from the second and change the signs inside its parentheses carefully.
(f(1)=1) और (g(1)=-1), इसलिए योग (0) है। मूल्य निकालने से पहले (x=1) प्रांत में है या नहीं, यह देखें। / (f(1)=1) and (g(1)=-1), so the sum is (0). Before evaluating, check whether (x=1) lies in the domain.
समान हर ((x-2)(x+2)) लेने पर अंश (2x-(x+2)=x-2) होगा, इसलिए \(\frac{1}{x+2}\) पर \(x\ne\pm2\)। सही सरलीकरण विकल्प (C) है। / With common denominator ((x-2)(x+2)), numerator is (2x-(x+2)=x-2), so the form is \(\frac{1}{x+2}\) with \(x\ne\pm2\). Thus option (C) is the simplification.
(\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)})। इसलिए सरल रूप \(\frac{1}{x+2}\) है, पर \(x=\pm2\) हटे रहेंगे। / (\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}). Hence the simplified form is \(\frac{1}{x+2}\), but \(x=\pm2\) remain excluded.
((fg)(x)=|x|x-2) और ((fg)(-x)=|x|x-2), इसलिए यह सम फलन है। सम फलनों का गुणनफल सम रहता है। / ((fg)(x)=|x|x-2) and ((fg)(-x)=|x|x-2), so it is even. The product of even functions remains even.
((f+g)(x)=2x-2), जो सम फलन है। अलग-अलग फलन सम या विषम न हों, फिर भी योग सम बन सकता है। / ((f+g)(x)=2x-2), which is an even function. Even if individual functions are not even or odd, their sum may become even.
((f-g)(x)=6x), जो विषम फलन है। घटाव में समान घात वाले पद कट सकते हैं और प्रकृति बदल सकती है। / ((f-g)(x)=6x), which is an odd function. In subtraction, like-degree terms may cancel and change the nature.
((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), जिसका मान (-x) पर ऋणात्मक बदल जाता है। इसलिए यह विषम है और \(x\ne0\) प्रांत है। / ((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), whose value changes sign at (-x). Thus it is odd with domain \(x\ne0\).
\(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\)। मूल फलनों के कारण \(x\ne0,-1\) रहेगा। / \(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\). Because of the original functions, \(x\ne0,-1\) remains.
फलनों के रैखिक संयोजन में (3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x)। अतः 3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=6x-2-3-2x-2-4=4x-2-7। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत हो जाता है। परीक्षा में ऋण चिह्न वाले पूरे कोष्ठक को सावधानी से खोलें। / For a linear combination of functions, (3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x). Therefore, 3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=6x-2-3-2x-2-4=4x-2-7. Hence, option A is correct. Option C results from mishandling the constant term while subtracting 2g(x). In the exam, expand the entire second bracket carefully when a minus sign precedes it.
(f) के लिए \(x\ge4\) और (g) के लिए \(x\ne6\)। \(\frac{f}{g}\) में (g(x)\ne0) भी चाहिए, पर \(\frac{1}{x-6}\) कभी (0) नहीं होता। / For (f), \(x\ge4\), and for (g), \(x\ne6\). In \(\frac{f}{g}\), (g(x)\ne0) is also needed, but \(\frac{1}{x-6}\) is never (0).
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \(f(2)=2-1=1\) और \(g(2)=\frac{1}{2-1}=1\), अतः \((f+g)(2)=1+1=2\)। विकल्प B केवल किसी एक फलन का मान दर्शाता है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का मान निकालकर अंत में जोड़ें; \(g(x)\) के लिए \(x=1\) परिभाषित नहीं है, लेकिन \(x=2\) मान्य है। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(2)=2-1=1\) and \(g(2)=\frac{1}{2-1}=1\), so \((f+g)(2)=1+1=2\). Option B gives the value of only one function, not their sum. Exam tip: evaluate each function separately and then add; although \(g(x)\) is undefined at \(x=1\), \(x=2\) is valid.
(f=x(x-2)) और (g=x(x+2)), इसलिए (fg=x-2(x-2)(x+2))। पहले गुणनखंड बनाना लंबे विस्तार से बेहतर है। / (f=x(x-2)) and (g=x(x+2)), so (fg=x-2(x-2)(x+2)). Factoring first is better than long expansion.
पहले \(x^2-1\ge0\) से \(|x|\ge1\), और \(4-x^2\ge0\) से \(|x|\le2\)। प्रतिच्छेद \([-2,-1]\cup[1,2]\) है। / First \(x^2-1\ge0\) gives \(|x|\ge1\), and \(4-x^2\ge0\) gives \(|x|\le2\). The intersection is \([-2,-1]\cup[1,2]\).
\(\frac{f}{g}=\frac{(x+2)^2}{x+2}\) है, पर \(x=-2\) पर मूल हर (0) है। कटाव के बाद भी वह बिंदु प्रांत में वापस नहीं आता। / \(\frac{f}{g}=\frac{(x+2)^2}{x+2}\), but at \(x=-2\) the original denominator is (0). Cancellation does not bring that point back into the domain.
A. दोनों सूत्र समान हैं पर प्रांत अलग हैं/Their formulas match after simplification but domains differ
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x+3) केवल \(x\ne3\) के लिए है, जबकि (g) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। समान बीजगणितीय रूप हमेशा समान फलन नहीं बनाता। / (f(x)=x+3) only for \(x\ne3\), while (g) is defined for all real (x). The same algebraic form does not always mean the same function.
((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) और हर \(x^2-4\) है। वर्गों को फैलाते समय मध्यम पद कटते हैं। / ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) and the denominator is \(x^2-4\). The middle terms cancel when expanding the squares.
भागफल फलन के लिए \(g(x)\neq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\), इसलिए \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3\), जहाँ \(x\neq 3\)। अतः \(\left(\frac{f}{g}\right)(5)=5-3=2\)। विकल्प 4 केवल \(f(5)\) का मान है, भागफल का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(f(5)\) और \(g(5)\) अलग-अलग निकालकर उनका भाग करें। / For a quotient function, the denominator must be non-zero. Since \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\), we get \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3\), for \(x\neq 3\). Therefore, \(\left(\frac{f}{g}\right)(5)=5-3=2\). The value 4 is only \(f(5)\), not the quotient. Exam tip: evaluate the numerator and denominator separately, then divide.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge0\) और \(x-1\ge0\), इसलिए \(x\ge1\)। गुणनफल (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}) है। / For both square roots, \(x+3\ge0\) and \(x-1\ge0\), so \(x\ge1\). The product is (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}).
(\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), पर (x=-1) हटेगा। मूल हर से प्रतिबंध तय करें। / (\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), but (x=-1) is excluded. Use the original denominator to set restrictions.
((fg)(x)=2x-3+4x), जो \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए कोई न्यूनतम वास्तविक मान नहीं है। / ((fg)(x)=2x-3+4x), which tends to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\). Therefore no real minimum value exists.
(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1})। हर के शून्य \(x=\pm1\) निषिद्ध हैं। / (\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1}). The zeros \(x=\pm1\) of the denominator are excluded.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+2\ge0\) और \(6-x\ge0\), इसलिए \(-2\le x\le6\)। हर (f(x)+g(x)) इस अंतराल में (0) नहीं होता, इसलिए कोई बिंदु हटता नहीं है। / For both square roots, \(x+2\ge0\) and \(6-x\ge0\), so \(-2\le x\le6\). The denominator (f(x)+g(x)) is never (0) on this interval, so no point is removed.
दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \) है। परीक्षा में जोड़ के लिए हमेशा डोमेन का प्रतिच्छेद लें। / The common domain is \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \). For addition, always take the intersection of domains.
गुणन में डोमेन (f) और (g) के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए केवल (x=3) हटेगा। सरलीकरण से पहले मूल डोमेन देखना जरूरी है। / For product, the domain is the intersection of original domains, so only (x=3) is excluded. Check the original domain before simplifying.
हर जगह (g(x)\neq0) चाहिए, और \(x^2-4=0\) से \(x=\pm2\) मिलते हैं। भाग वाले प्रश्नों में हर के शून्य हमेशा हटाएं। / We need (g(x)\neq0), and \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm2\). In quotient questions, always exclude zeros of the denominator.
फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(3-x)=x-2\) होगा। अतः \((f+g)(4)=4-2=2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में योग के स्थान पर गलत सरलीकरण हुआ है। परीक्षा में पहले फलनों का योग निकालकर, फिर दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें। / The sum of the functions is \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(3-x)=x-2\). Therefore, \((f+g)(4)=4-2=2\), so option A is correct. Option B results from an incorrect simplification of the sum. In an exam, first form the sum of the functions and then substitute the given value.
((f-g)(x)=4x), अतः ((f-g)(-3)=-12)। घटाव में दूसरे पूरे फलन का चिन्ह बदलना न भूलें। / ((f-g)(x)=4x), hence ((f-g)(-3)=-12). In subtraction, change the sign of the whole second function.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) और \(\frac{1}{x-4}\) के लिए \(x\neq4\) चाहिए। इसलिए डोमेन \( [0,\infty\)-{4} ) है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge0\), and for \(\frac{1}{x-4}\), \(x\neq4\). Hence the domain is \( [0,\infty\)-{4} ).
यद्यपि (fg=1) बनता है, मूल फलनों में (x=-2) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। सरलीकृत अभिव्यक्ति से डोमेन बढ़ाना गलत है। / Although (fg=1), the original functions do not allow (x=-2) and (x=1). It is wrong to enlarge the domain after simplification.
\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), पर (x=1) मूल हर को शून्य करता है। रद्द करने के बाद भी हटाए गए बिंदु याद रखें। / \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), but (x=1) makes the original denominator zero. After cancellation, remember the removed point.
जब \(x\ge2\), तब (|x-2|=x-2), इसलिए (f-g=0)। मापांक वाले फलन में केस बनाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / When \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so (f-g=0). For modulus functions, making cases is the safest method.
यहाँ
(fg)(x)
का अर्थ दोनों फलनों का गुणनफल है, अर्थात्
(fg)(x)=f(x)g(x)=x-2(2x+1)
। इसलिए
(fg)(-2)=(-2)2[2(-2)+1]=4(-3)=-12
। विकल्प C केवल
g(-2)
का मान है, जबकि प्रश्न में
f(-2)
और
g(-2)
का गुणनफल माँगा गया है। परीक्षा-युक्ति:
(fg)
को
f\circ g
से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / Here,
(fg)(x)
denotes the product of the two functions:
(fg)(x)=f(x)g(x)=x-2(2x+1)
. Thus,
(fg)(-2)=(-2)2[2(-2)+1]=4(-3)=-12
. Option C is only the value of
g(-2)
, whereas the question asks for the product of
f(-2)
and
g(-2)
. Exam tip: distinguish
(fg)
, which means product, from
f\circ g
, which means composition.
\(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) के लिए (x>1) और \(\sqrt{4-x}\) के लिए \(x\le4\) चाहिए। अतः साझा डोमेन ( (1,4] ) है। / For \(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\), (x>1), and for \(\sqrt{4-x}\), \(x\le4\). Thus the common domain is ( (1,4] ).
पहले योग और अंतर निकालते हैं: \(f+g=(x^2+1)+(x^2-1)=2x^2\) तथा \(f-g=(x^2+1)-(x^2-1)=2\)। इसलिए \(\frac{f+g}{f-g}=\frac{2x^2}{2}=x^2\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में हर \(2\) से भाग देना छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग या अंतर का भाग लेने से पहले अंश और हर को अलग-अलग सरल करें। / First calculate the sum and difference: \(f+g=(x^2+1)+(x^2-1)=2x^2\) and \(f-g=(x^2+1)-(x^2-1)=2\). Hence, \(\frac{f+g}{f-g}=\frac{2x^2}{2}=x^2\), so option A is correct. Option B is incorrect because it omits division by the denominator \(2\). Exam tip: simplify the numerator and denominator separately before forming the quotient of functions.
पहले फलन में \(x\neq-1\) और दूसरे में \(x\neq2\) चाहिए। जोड़ का डोमेन इन दोनों शर्तों का साझा भाग है। / The first function needs \(x\neq-1\), and the second needs \(x\neq2\). The domain of the sum is the common part of these conditions.
फलनों के योग से \(g(x)\) प्राप्त करने के लिए \(f(x)\) को घटाएँ: \(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=(x^2+x)-(3x-2)=x^2-2x+2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(3x\) को सही ढंग से घटाया नहीं गया है। परीक्षा में संकेत: फलनों के योग में प्रत्येक \(x\) के लिए मानों का जोड़ होता है, इसलिए अज्ञात फलन पाने के लिए ज्ञात फलन घटाएँ। / Subtract the known function from the sum: \(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=(x^2+x)-(3x-2)=x^2-2x+2\). Hence, option A is correct. Option D results from failing to subtract the \(3x\) term correctly. Exam tip: For the sum of functions, subtract the known function term by term to obtain the unknown function.
फलनों के घटाव से \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\), इसलिए \(g(x)=f(x)-(f-g)(x)\)। मान रखने पर \(g(x)=(x^2+3x)-(2x^2-x)=-x^2+4x\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में पूरे परिणाम का चिह्न उलट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(f-g\) दिया हो, तो अज्ञात फलन निकालने के लिए \(g=f-(f-g)\) लिखें। / Since \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\), we get \(g(x)=f(x)-(f-g)(x)\). Substituting the given functions, \(g(x)=(x^2+3x)-(2x^2-x)=-x^2+4x\), so option A is correct. Option B results from reversing the overall sign. Exam tip: when \(f-g\) is given, use \(g=f-(f-g)\) before substituting.
(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), पर (h(x)\neq0) से \(x\neq\pm2\) है। सरलीकरण के बाद भी मूल हर की रोक बनी रहती है। / (\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), but (h(x)\neq0) gives \(x\neq\pm2\). The original denominator restriction remains after simplification.
\(\sqrt{9-x^2}\) के लिए \(-3\le x\le3\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x\neq0\) है। अतः डोमेन ( [-3,3]-{0} ) है। / For \(\sqrt{9-x^2}\), \(-3\le x\le3\), and for \(\frac{1}{x}\), \(x\neq0\). Hence the domain is ( [-3,3]-{0} ).
दोनों हरों के शून्य हटाने होंगे, इसलिए \(x=\pm1,\pm2\) निषिद्ध हैं। घटाव में भी डोमेन का प्रतिच्छेद लिया जाता है। / Zeros of both denominators must be removed, so \(x=\pm1,\pm2\) are excluded. For subtraction also, take the intersection of domains.
((f-g)(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1)), इसलिए शून्य (-1,0,1) हैं। शून्य-समुच्चय के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f-g)(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1)), so the zeros are (-1,0,1). For a zero set, equate the function to (0).
(\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), पर (x=2) डोमेन में नहीं है। इसलिए शून्य नहीं मिलता। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), but (x=2) is not in the domain. Hence there is no zero.
मान \(x^2-|x|\) है, \(t=|x|\ge0\) रखने पर \(t^2-t\) का न्यूनतम \(-\frac{1}{4}\) है। कठिन प्रश्नों में मापांक को (t) से बदलना उपयोगी है। / The expression is \(x^2-|x|\). Put \(t=|x|\ge0\), then \(t^2-t\) has minimum \(-\frac{1}{4}\). For hard modulus questions, using (t) is helpful.
(f(0)=-1) और (g(0)=-1), इसलिए योग (-2) है। मान रखने से पहले जांचें कि (0) डोमेन में है। / (f(0)=-1) and (g(0)=-1), so the sum is (-2). Before substituting, check that (0) lies in the domain.
(g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, और तब (f(x)\neq0) अपने आप सत्य है। इसलिए डोमेन \( [1,\infty\) ) है। / For (g), \(x\ge1\) is needed, and then (f(x)\neq0) is automatically true. Hence the domain is \( [1,\infty\) ).
हर (g(x)) है, इसलिए \(\sqrt{x-1}\neq0\) और (x>1) चाहिए। भाग में हर वाले मूल को शून्य नहीं होने देना है। / The denominator is (g(x)), so \(\sqrt{x-1}\neq0\) and (x>1) are required. In division, the denominator radical cannot be zero.
\((f+g)(1)=f(1)+g(1)=(1+a)+(2-a)=3\) प्राप्त होता है। \(a\) के किसी भी मान के लिए \((f+g)(1)\) का मान 3 ही रहता है, इसलिए वह 7 के बराबर नहीं हो सकता। अतः \(a\) का कोई वास्तविक मान नहीं है। परीक्षा में पहले \(f(1)+g(1)\) को सरल करें; यदि \(a\) कट जाए, तो दी गई शर्त की संगति अवश्य जाँचें। / \((f+g)(1)=f(1)+g(1)=(1+a)+(2-a)=3\). The parameter \(a\) cancels, so \((f+g)(1)\) is always 3 and can never equal 7. Hence, no real value of \(a\) satisfies the condition. Exam tip: simplify the sum of the function values first; if the parameter cancels, check whether the given condition is consistent.
(f-g=2kx), अतः (2k=6) और (k=3)। गुणांक मिलाना पैरामीटर प्रश्नों में तेज तरीका है। / (f-g=2kx), so (2k=6) and (k=3). Comparing coefficients is the fastest method in parameter questions.
\((af+bg)(x)=a f(x)+b g(x)=a(x+1)+b(x-1)=(a+b)x+(a-b)\)। इसकी तुलना \(5x+1\) से करने पर \(a+b=5\) और \(a-b=1\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में समान घात वाले पदों, विशेषकर \(x\) के गुणांक, की तुलना सीधे करें। / \((af+bg)(x)=a f(x)+b g(x)=a(x+1)+b(x-1)=(a+b)x+(a-b)\). Comparing this with \(5x+1\) gives \(a+b=5\) and \(a-b=1\). Therefore, the correct answer is 5. In such questions, compare coefficients of corresponding powers, especially the coefficient of \(x\).
फलनों के रैखिक संयोजन के अनुसार \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\)। अतः \(2(x^2-2x)-3(3x-1)=2x^2-4x-9x+3=2x^2-13x+3\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में \(-3g(x)\) का \(x\)-गुणांक सही ढंग से नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-टिप: ऋण चिह्न वाले पूरे फलन को कोष्ठक में रखकर विस्तार करें। / For a linear combination of functions, \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\). Therefore, \(2(x^2-2x)-3(3x-1)=2x^2-4x-9x+3=2x^2-13x+3\). Hence, option A is correct. In option C, the \(x\)-terms from \(-3g(x)\) have not been combined correctly. Exam tip: Keep the entire function in parentheses when distributing a negative coefficient.
(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x[(x+1)-(x-1)]}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। समान हर बनाते समय कोष्ठक सही रखें। / (\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x[(x+1)-(x-1)]}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). Keep brackets correct while taking a common denominator.
समीकरण \(x^2+\frac{1}{x}=2\) से (x-3-2x+1=0=(x-1)\(x^2+x-1\)) मिलता है। \(x\neq0\) होने पर तीन में से दो वास्तविक हल अलग-अलग हैं? / The equation \(x^2+\frac{1}{x}=2\) gives (x-3-2x+1=0=(x-1)\(x^2+x-1\)). Since \(x\neq0\), count all valid real roots carefully.
((fg)(x)=x-2\cdot\frac{1}{x}=x), पर (x=0) डोमेन में नहीं है। अतः हर अशून्य वास्तविक संख्या हल है। / ((fg)(x)=x-2\cdot\frac{1}{x}=x), but (x=0) is not in the domain. Hence every non-zero real number is a solution.
\(\sqrt{x^2-4}\) के लिए \(x\le-2\) या \(x\ge2\), और (g) के लिए \(x\neq5\) है। दोनों शर्तें साथ लगेंगी। / For \(\sqrt{x^2-4}\), \(x\le-2\) or \(x\ge2\), and for (g), \(x\neq5\). Both conditions must be applied together.
(f(x)=x+3) केवल \(x\neq3\) पर है, इसलिए (f-g=0) उसी डोमेन पर है। बीजगणितीय समानता और फलन की समानता में डोमेन जरूरी है। / (f(x)=x+3) only for \(x\neq3\), so (f-g=0) on that domain. Domain is essential when comparing algebraic expressions as functions.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जिसका न्यूनतम (0) है। पूर्ण वर्ग बनाना ऐसे प्रश्नों में उपयोगी है। / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), whose minimum is (0). Completing the square is useful in such questions.
\((f-g)(x)=x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)। इसलिए न्यूनतम \(\frac{3}{4}\) है। / \((f-g)(x)=x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\). Therefore the minimum is \(\frac{3}{4}\).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए कोई वास्तविक संख्या हटेगी नहीं। हर को शून्य बनाने वाली वास्तविक संख्या ही हटाई जाती है। / The denominator \(x^2+1\) is never (0), so no real number is excluded. Only real zeros of the denominator are removed.
क्योंकि \(x^2+1>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है, (f) और (g) दोनों पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित हैं। अतः (fg=1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर है। / Since \(x^2+1>0\) for every real (x), both (f) and (g) are defined on all \(\mathbb{R}\). Hence (fg=1) on all \(\mathbb{R}\).
(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। जोड़ में अंशों को सही तरह जोड़ें। / (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). Add the numerators correctly after taking the common denominator.
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), जहाँ \(x\neq0\)। पहचान का प्रयोग गणना को छोटा करता है। / (f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), where \(x\neq0\). Using an identity makes the calculation shorter.
पहले x=0 रखने पर f(0)=0²+4(0)+5=5 और g(0)=0²−4(0)+5=5 प्राप्त होते हैं। गुणनफल फलन के लिए (fg)(0)=f(0)g(0), इसलिए (fg)(0)=5×5=25। विकल्प B केवल एक फलन का मान है, दोनों का गुणनफल नहीं। परीक्षा-सुझाव: (fg)(a) को हमेशा f(a) और g(a) के गुणनफल के रूप में लिखें। / Substituting x=0 gives f(0)=0²+4(0)+5=5 and g(0)=0²−4(0)+5=5. For the product function, (fg)(0)=f(0)g(0), so (fg)(0)=5×5=25. Option B is only the value of one function, not their product. Exam tip: Rewrite (fg)(a) as f(a)g(a) before substituting values.
भागफल \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) शून्य तभी होगा जब अंश शून्य हो और हर शून्य न हो। यहाँ \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), इसलिए अंश के शून्यक \(x=2\) और \(x=3\) हैं। लेकिन \(x=2\) पर \(g(x)=0\), इसलिए वह मान परिभाषित नहीं है। अतः केवल \(x=3\) पर भागफल शून्य होगा। परीक्षा-टिप: किसी भिन्नात्मक फलन के शून्यक ज्ञात करते समय अंश के शून्यकों में से उन मानों को हटाएँ जो हर को शून्य करते हैं। / The quotient \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) is zero only when the numerator is zero and the denominator is non-zero. Here, \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so the numerator is zero at \(x=2\) and \(x=3\). However, \(g(2)=0\), so the quotient is undefined at \(x=2\). Therefore, the only valid zero is \(x=3\). Exam tip: For the zeros of a quotient function, first find the zeros of the numerator and then exclude any value that makes the denominator zero.
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x\ge2\) और हर \(x-5\neq0\) चाहिए। इसलिए \( [2,\infty\)-{5} ) सही है। / For \(\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\), and the denominator needs \(x-5\neq0\). Hence \( [2,\infty\)-{5} ) is correct.
फलनों का बीजीय संयोजन उनके मानों पर उसी क्रम में लागू होता है: \((f-g+h)(x)=f(x)-g(x)+h(x)=x^2-2x+1\)। अतः यह \((x-1)^2\) के बराबर है। विकल्प B में \(-2x\) का चिन्ह गलत होकर \(+2x\) हो गया है। परीक्षा में घटाए जा रहे पूरे फलन के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलना न भूलें। / Algebraic operations on functions are performed in the stated order: \((f-g+h)(x)=f(x)-g(x)+h(x)=x^2-2x+1\). Therefore, it simplifies to \((x-1)^2\). In option B, the sign of the middle term is incorrectly changed to \(+2x\). Exam tip: when subtracting a function, carefully retain the negative sign for all its terms.
\(f-g=\frac{4}{x}\) और (f+g=2), इसलिए \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\)। पहचान (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) बहुत उपयोगी है। / Here \(f-g=\frac{4}{x}\) and (f+g=2), so \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\). The identity (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) is very useful.
(f) के लिए (x>0) और (g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, अतः प्रतिच्छेद \( [1,\infty\) ) है। गुणन में भी दोनों फलनों का साझा डोमेन लें। / For (f), (x>0), and for (g), \(x\ge1\). Their intersection is \( [1,\infty\) ). For product also, take the common domain of both functions.
समीकरण (x-2-4-(|x|-2)=0) से \(x^2-|x|-2=0\) मिलता है। (t=|x|) रखने पर (t=2) नहीं, बल्कि सीधे केस से (x=-1,2) मिलते हैं। / The equation (x-2-4-(|x|-2)=0) gives \(x^2-|x|-2=0\). Solving by cases gives (x=-1,2).
\(f+g=2x^2+2q\), इसलिए (2q=10) और (q=5)। समान पदों के गुणांक मिलाना सबसे साफ तरीका है। / \(f+g=2x^2+2q\), so (2q=10) and (q=5). Comparing coefficients of like terms is the cleanest method.
A. समान नियम और समान डोमेन होने पर/when they have same rule and same domain
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x-1) केवल \(x\neq-1\) पर है, जबकि (g) पूरे \(\mathbb{R}\) पर है। समान फलन के लिए नियम के साथ डोमेन भी समान होना चाहिए। / (f(x)=x-1) only for \(x\neq-1\), while (g) is on all \(\mathbb{R}\). Equal functions must have both the same rule and the same domain.
दोनों फलनों में (x=-1) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। इसलिए (f-g) का डोमेन \( \mathbb{R}-{-1,1} \) है। / In both functions, (x=-1) and (x=1) are not allowed. Hence the domain of (f-g) is \( \mathbb{R}-{-1,1} \).
(f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (0) केवल (x=1) पर होता है। पूर्ण वर्ग देखकर शून्य जल्दी मिल जाता है। / (f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) only at (x=1). A perfect square helps identify the zero quickly.
मूल के लिए \(x\ge -3\) और हर के लिए \(x\ne 2\) चाहिए। गुणन में भी दोनों फलनों का सामान्य प्रांत लिया जाता है। / The root needs \(x\ge -3\) and the denominator needs \(x\ne 2\). For a product, take the common domain of both functions.
सरलीकरण के बाद भी मूल हर \(x-2\ne 0\) होना चाहिए। रद्द करने से हटे हुए मान वापस प्रांत में नहीं आते। / Even after simplification, the original denominator must satisfy \(x-2\ne 0\). Cancelled denominator values do not return to the domain.
(f(4)=1) और (g(4)=9), इसलिए ((f-g)(4)=1-9=-8)। मान निकालते समय पहले अलग-अलग फलनों के मान निकालें। / (f(4)=1) and (g(4)=9), so ((f-g)(4)=1-9=-8). Find individual function values first.
दोनों हरों के कारण \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\) चाहिए। गुणन (1) बनता है पर प्रतिबंध बने रहते हैं। / The denominators require \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). The product becomes (1), but the restrictions remain.
मूल के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\), और \(x\ne 0\)। योग का प्रांत दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The root needs \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\), and \(x\ne 0\). The domain of the sum is the intersection.
फलनों के बीजीय संयोजन में \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\)। अतः \(2f(x)=2x^2+4x\) और \(3g(x)=9x-15\)। इसलिए \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\)। विकल्प C में \(3g(x)\) घटाते समय \(9x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले पूरे पद को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / For an algebraic combination of functions, \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\). Thus, \(2f(x)=2x^2+4x\) and \(3g(x)=9x-15\). Therefore, \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\). Option C results from using the wrong sign while subtracting \(3g(x)\). Exam tip: place the entire function being subtracted in parentheses before simplifying.
समान हर ((x+1)(x-1)) लेने पर अंश ((x-1)+(x+1)=2x) मिलता है। हर के शून्य मान हटाना न भूलें। / With common denominator ((x+1)(x-1)), the numerator is ((x-1)+(x+1)=2x). Do not forget excluded denominator values.
\(x^2+\frac{1}{x}=2\) को (x) से गुणा करने पर \(x^3+1=2x\) मिलता है। \(x\ne 0\) शर्त जरूरी है। / Multiplying \(x^2+\frac{1}{x}=2\) by (x) gives \(x^3+1=2x\). The condition \(x\ne 0\) is necessary.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। भागफल में भाजक फलन शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\) and the denominator needs \(x\ne 4\). In a quotient, the denominator function must not be zero.
(f(-2)=0) और (g(-2)=3), इसलिए गुणन (0) है। यदि किसी एक गुणक का मान (0) हो, तो गुणनफल (0) होता है। / (f(-2)=0) and (g(-2)=3), so the product is (0). If one factor value is (0), the product is (0).
(f) के लिए \(x\ne 3\), (g) के लिए \(x\ne 0\), और भाजक (g(x)\ne 0) से \(x\ne 3\)। सभी प्रतिबंध मिलाकर \(x\ne 0,3\) मिलते हैं। / (f) needs \(x\ne 3\), (g) needs \(x\ne 0\), and divisor (g(x)\ne 0) gives \(x\ne 3\). Together, \(x\ne 0,3\).
पहले मूल के लिए \(x\ge 2\) और दूसरे के लिए \(x\ge -2\) चाहिए। प्रतिच्छेद \( [2,\infty\) ) है। / The first root needs \(x\ge 2\) and the second needs \(x\ge -2\). Their intersection is \( [2,\infty\) ).
\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), पर \(x=1\) हटेगा। सरलीकृत रूप के साथ प्रांत प्रतिबंध लिखना जरूरी है। / \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), but \(x=1\) is excluded. Always write the domain restriction with a simplified form.
((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1) नहीं, सही योग (x-2+2x=x(x+2)) का न्यूनतम (-1) होता है। ध्यान दें \(2x-1+x^2+1=x^2+2x\)। / ((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), so the minimum is (-1). Be careful because \(2x-1+x^2+1=x^2+2x\).
मान लें कि वास्तविक फलन \(f\) और \(g\) दोनों का प्रांत \(\mathbb{R}\) है। निम्नलिखित में से कौन-सी शर्त सुनिश्चित करती है कि भागफल फलन \(\frac{f}{g}\) का प्रांत भी \(\mathbb{R}\) हो?
\(f\) हर वास्तविक \(x\) पर परिभाषित है, पर \(\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) के लिए हर \(g(x)\) शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए C सही है। एक-एक होना शून्य मान को नहीं रोकता। परीक्षा में पहले \(g(x)=0\) हल करके अपवर्जित मान जाँचें। / Although \(f\) is defined for every real \(x\), \(\frac{f(x)}{g(x)}\) is defined only when \(g(x)\ne0\). Hence C is correct. Being one-one does not prevent \(g\) from taking value zero. In exams, solve \(g(x)=0\) first to find excluded inputs.
(x=0) दोनों फलनों के प्रांत में है और (f(0)g(0)=(-1)(-1)=1)। पहले जांचें कि दिया मान प्रांत में है या नहीं। / (x=0) is in both domains and (f(0)g(0)=(-1)(-1)=1). First check whether the given value is in the domain.
\(\sqrt{4-x}\) के लिए \(x\le 4\), और \(\sqrt{x}\) हर में होने से (x>0)। प्रतिच्छेद ( (0,4] ) है। / \(\sqrt{4-x}\) needs \(x\le 4\), and \(\sqrt{x}\) in the denominator needs (x>0). The intersection is ( (0,4] ).
\(f(1)=2\) और \(g(1)=2\), इसलिए दोनों अनुपात (1) हैं। भागफल प्रश्न में भाजक का मान शून्य नहीं होना चाहिए। / \(f(1)=2\) and \(g(1)=2\), so both ratios are (1). In quotient questions, the denominator value must be non-zero.
A. (f(x)=g(x)) पर \(x\ne 3\)/(f(x)=g(x)) but \(x\ne 3\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+3) बनता है, पर (x=3) पर मूल फलन परिभाषित नहीं है। समान सूत्र और समान फलन में प्रांत भी मिलना चाहिए। / (f(x)) simplifies to (x+3), but the original function is not defined at (x=3). Same formula and same function require matching domains.
बिंदुवार गुणनफल के लिए (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। अतः (fg)(x)=(|x|+x)(|x|-x)=|x|2-x-2=0, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक x के लिए |x|2=x-2। विकल्प B में योग जैसे पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में (a+b)(a-b)=a-2-b-2 की पहचान तुरंत लगाएँ। / For the pointwise product, (fg)(x)=f(x)g(x). Hence, (fg)(x)=(|x|+x)(|x|-x)=|x|2-x-2=0, since |x|2=x-2 for every real x. Option B results from an incorrect expansion that treats the factors as if their terms were simply added. Exam tip: apply the identity (a+b)(a-b)=a-2-b-2 directly.
पहले फलन में \(x^2-4\ne 0\) से \(x\ne \pm2\), और दूसरे में \(x\ne 2\)। संयुक्त प्रांत \( \mathbb{R}\setminus{-2,2} \) है। / The first function gives \(x^2-4\ne 0\), so \(x\ne \pm2\), and the second gives \(x\ne 2\). The common domain is \( \mathbb{R}\setminus{-2,2} \).
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)\)। शून्य गुणनफल नियम से \(x^2=0\) पर \(x=0\) और \(x-1=0\) पर \(x=1\) मिलता है। इसलिए वास्तविक हल \(0\) और \(1\) हैं। विकल्प B में \(x=0\) छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे समीकरणों में पहले सामान्य गुणनखंड निकालकर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)\). By the zero-product property, \(x^2=0\) gives \(x=0\), and \(x-1=0\) gives \(x=1\). Hence the real solutions are \(0\) and \(1\). Option B is incomplete because it omits \(x=0\). Exam tip: factor the expression first, then set each factor equal to zero.
अंश ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) है। समान हर बनाते समय पूरे वर्ग ध्यान से खोलें। / The numerator is ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8). Expand both squares carefully while taking a common denominator.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+ax-(bx+1)=x^2+(a-b)x-1\)। इसे दिए गए \(x^2-5x-1\) से तुलना करने पर \(a-b=-5\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि इस सूचना से \(a\) और \(b\) के अलग-अलग मान निश्चित नहीं होते; केवल उनका अंतर निर्धारित होता है। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+ax-(bx+1)=x^2+(a-b)x-1\). Comparing this with the given expression \(x^2-5x-1\), the coefficient of \(x\) gives \(a-b=-5\). Hence, option A is correct. Exam tip: compare corresponding coefficients, and do not assume that \(a\) and \(b\) individually are determined when only their difference is given.
भाग देने पर \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\) मिलता है। मूल (g) के लिए \(x\ne -1\) भी जरूरी है। / Dividing gives \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\). The original (g) also requires \(x\ne -1\).
\((f-g)(x)=0\) का अर्थ है \(x^2-|x|=0\), अर्थात् \(x^2=|x|\)। \(t=|x|\ge 0\) रखने पर \(t^2=t\), इसलिए \(t=0\) या \(t=1\)। इससे \(x=0\) या \(x=\pm1\), यानी \(x\in\{-1,0,1\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(x=-1\) छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: modulus वाले समीकरणों में पहले \(|x|\) को एक गैर-ऋणात्मक चर मानकर हल करें। / The condition \((f-g)(x)=0\) gives \(x^2-|x|=0\), or \(x^2=|x|\). Let \(t=|x|\ge 0\). Then \(t^2=t\), so \(t=0\) or \(t=1\). Hence \(x=0\) or \(x=\pm1\), giving \(x\in\{-1,0,1\}\). Option B is incorrect because it omits \(x=-1\). Exam tip: for equations involving a modulus, substitute \(t=|x|\) with \(t\ge0\) before solving.
((fg)(x)=\sqrt{(x+1)(2-x)}) और अंदर का द्विघात अधिकतम \(\frac{9}{4}\) है। इसलिए अधिकतम \(\frac{3}{2}\) है। / ((fg)(x)=\sqrt{(x+1)(2-x)}), and the quadratic inside has maximum \(\frac{9}{4}\). Therefore the maximum is \(\frac{3}{2}\).
((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}) नहीं, सही स्थिर मान से न्यूनतम \(-\frac{5}{4}\) है। विकल्पों में त्रुटि जांचें। / ((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}), so the minimum is \(-\frac{5}{4}\). Check options carefully.
पहले हर से \(x\ne -2\) और दूसरे हर से \(x\ne 0\) मिलता है। योग का प्रांत दोनों प्रतिबंधों को साथ रखता है। / The first denominator gives \(x\ne -2\), and the second gives \(x\ne 0\). The domain of the sum keeps both restrictions.
((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), इसलिए शून्य (x=-2) पर है। पूर्ण वर्ग पहचान परीक्षा में उपयोगी है। / ((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), so the zero is at (x=-2). Perfect square identity is useful in exams.
\((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\)। समान हर लेने पर अंश \((x-1)^2-(x+1)^2\) मिलता है। इसका मान \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\) है और हर \((x+1)(x-1)=x^2-1\) है। इसलिए सही रूप \(\frac{-4x}{x^2-1}\) है। मूल फलनों के हर शून्य न हों, इसलिए \(x\ne\pm1\)। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे भिन्न के पूरे अंश के आगे ऋण चिह्न लगाना न भूलें; इसी कारण विकल्प B गलत है। / \((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\). Taking the common denominator gives the numerator \((x-1)^2-(x+1)^2\). Expanding, this is \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\), while the denominator is \((x+1)(x-1)=x^2-1\). Hence the simplified form is \(\frac{-4x}{x^2-1}\). The domain excludes \(x=1\) and \(x=-1\), where the original functions are undefined. Exam tip: retain the minus sign before the entire second numerator; losing it leads to option B.
\(f(x)=\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) आवश्यक है। लेकिन भागफल \(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। \(x=1\) पर हर \(0\) हो जाता है, इसलिए \(x>1\) होना चाहिए और प्रांत \((1,\infty)\) है। विकल्प B में \(x=1\) को गलती से शामिल किया गया है। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल और भाजक दोनों की शर्तें साथ-साथ जाँचें। / For \(f(x)=\sqrt{x-1}\), we need \(x\ge 1\). However, in the quotient \(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}}\), the denominator must not be zero. At \(x=1\), the denominator is zero, so the actual condition is \(x>1\), giving the domain \((1,\infty)\). Option B incorrectly includes \(x=1\). Exam tip: For a quotient involving a square root, apply both the square-root condition and the non-zero-denominator condition.
(f(1)=-1) और (g(1)=4), इसलिए ((fg)(1)=-4)। उत्पाद फलन में मानों को गुणा करें, सूत्रों को नहीं जोड़ें। / (f(1)=-1) and (g(1)=4), so ((fg)(1)=-4). For a product function, multiply values, do not add formulas.
दोनों फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\) है। चूँकि \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता, यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान हमेशा 1 रहता है। इसलिए परिसर केवल \(\{1\}\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का गुणनफल सरल करके स्थिर फलन पहचानें। / The product is \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\). Since \(x^2+1\) is never zero, the product is defined for every real \(x\), but its value is always 1. Hence, its range is only \(\{1\}\). Exam tip: simplify the product first and check whether it becomes a constant function.
पहले मूल से \(x\ge 0\) और दूसरे से \(x\le 1\) मिलता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद ( [0,1] ) है। / The first root gives \(x\ge 0\), and the second gives \(x\le 1\). Their intersection is ( [0,1] ).
((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) का न्यूनतम (0) होने के लिए विविक्तकर (0) होगा। इसलिए ((p+2)2=20)। / For ((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) to have minimum (0), its discriminant must be (0). Hence ((p+2)2=20).
(f(x)=x-2) पर (x=-2) हटता है, इसलिए अंतर (0) सभी \(x\ne -2\) पर है। प्रांत प्रतिबंध उत्तर का हिस्सा है। / (f(x)=x-2), but (x=-2) is excluded, so the difference is (0) for all \(x\ne -2\). Domain restriction is part of the answer.
((f-g)(x)=x-2-4), इसलिए \(x^2-4>0\) से (|x|>2)। द्विघात असमिका में संख्या रेखा उपयोगी है। / ((f-g)(x)=x-2-4), so \(x^2-4>0\) gives (|x|>2). A number line is useful for quadratic inequalities.
\(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\), पर \(x\ne 1\)। सरलीकरण के बाद भी पुराना प्रतिबंध रहता है। / \(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\), but \(x\ne 1\). The original restriction remains after simplification.
\(\frac{x^2+1}{x^2-1}>1\) से \(\frac{2}{x^2-1}>0\), अतः \(x^2-1>0\)। हर का संकेत जांचना जरूरी है। / \(\frac{x^2+1}{x^2-1}>1\) gives \(\frac{2}{x^2-1}>0\), so \(x^2-1>0\). Checking the denominator sign is essential.
(f(0)=2) और (g(0)=2), इसलिए अंतर (0) है। मापांक में अंदर का मान पहले रखें फिर धनात्मक दूरी लें। / (f(0)=2) and (g(0)=2), so the difference is (0). In modulus, substitute first and then take positive distance.
यहाँ \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{x+1}{x-1}\), जहाँ \(x\ne1\) है। समीकरण \(\frac{x+1}{x-1}=1\) से \(x+1=x-1\) प्राप्त होता है, जो असंभव है। इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। विकल्प \(x=1\) भी मान्य नहीं है, क्योंकि वहाँ \(f(x)\) परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले समीकरण में पहले हर को शून्य न होने की शर्त अवश्य लिखें। / Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{x+1}{x-1}\), with the domain restriction \(x\ne1\). Solving \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives \(x+1=x-1\), which is impossible. Hence, there is no real solution. The choice \(x=1\) is also invalid because \(f(x)\) is undefined there. Exam tip: For an equation containing a fraction, first state that its denominator cannot be zero.
((f+g)(x)=4x-2), इसलिए (4x-2=0) से \(x=\frac{1}{2}\)। रैखिक समीकरण में संकेत जल्दी जांचें। / ((f+g)(x)=4x-2), so (4x-2=0) gives \(x=\frac{1}{2}\). Check signs quickly in linear equations.
भाजक \(g(x)=x+1\) है, इसलिए \(x\ne -1\)। अंश के लिए कोई अतिरिक्त वास्तविक प्रतिबंध नहीं है। / The denominator is \(g(x)=x+1\), so \(x\ne -1\). The numerator gives no additional real restriction.
मूल से \(x\ge -4\) और हर से \(x\ne 1\) मिलता है। योग के लिए दोनों शर्तें साथ लागू होती हैं। / The root gives \(x\ge -4\), and the denominator gives \(x\ne 1\). Both conditions apply together for the sum.
अंश के मूल से \(2x-3\ge 0\) और हर के मूल से (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ) है। / The numerator root needs \(2x-3\ge 0\), and the denominator root needs (7-x>0). Therefore the domain is \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ).
((f+g)(x)=x-2-2x-1=(x-1)2-2), इसलिए न्यूनतम मान (-2) है। पूर्ण वर्ग विधि ऐसे प्रश्नों में तेज होती है। / ((f+g)(x)=x-2-2x-1=(x-1)2-2), so the minimum value is (-2). Completing the square is fast for such questions.
