Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वर्गमूल से \(x\ge 3\) और हर से \(x\ne 5\) चाहिए। परीक्षा में सभी प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लें। / The square root gives \(x\ge 3\) and the denominator gives \(x\ne 5\). In exams take the intersection of all restrictions.
वर्गमूल के लिए \(2x-1\ge 0\) से \(x\ge \frac{1}{2}\) मिलता है। (x=-4) इस अंतराल में नहीं है, इसलिए अलग से हटाने की जरूरत नहीं है। / The square root needs \(2x-1\ge 0\), so \(x\ge \frac{1}{2}\). Since (x=-4) is not in this interval, it need not be removed separately.
वर्गमूल के लिए \(x^2-16\ge 0\), यानी \(x^2\ge 16\)। परीक्षा में \(x^2\ge a^2\) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root needs \(x^2-16\ge 0\), that is \(x^2\ge 16\). In exams \(x^2\ge a^2\) gives the outer intervals.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-25>0\) चाहिए। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल के लिए बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so \(x^2-25>0\) is required. In exams do not include equality for a denominator square root.
मूल हर (x-2-4=(x-2)(x+2)) है, इसलिए \(x\ne -2,2\)। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर के शून्य हटाएं। / The original denominator is (x-2-4=(x-2)(x+2)), so \(x\ne -2,2\). In exams remove zeros of the original denominator before cancellation.
हर (x-2+2x-3=(x+3)(x-1)) से (x=-3) और (x=1) हटेंगे। परीक्षा में हर को गुणनखंड करें। / The denominator (x-2+2x-3=(x+3)(x-1)) removes (x=-3) and (x=1). In exams factorize the denominator.
शर्तें \(x-1\ge 0\) और \(7-x\ge 0\) मिलकर \(1\le x\le 7\) देती हैं। परीक्षा में संयुक्त डोमेन के लिए प्रतिच्छेद लें। / The conditions \(x-1\ge 0\) and \(7-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 7\). In exams take the intersection for the combined domain.
हर (x-2+6x+10=(x+3)2+1) कभी (0) नहीं होता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाकर हर की जांच करें। / The denominator (x-2+6x+10=(x+3)2+1) is never (0). In exams complete the square to test the denominator.
वर्गमूल के लिए \(12-3x\ge 0\) से \(x\le 4\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता उलटती है। / The square root needs \(12-3x\ge 0\), giving \(x\le 4\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
वर्गमूल के अंदर ((x-2)(x-6)\ge 0) होना चाहिए। परीक्षा में संकेत तालिका से बाहरी अंतराल चुनें। / The expression inside the square root must satisfy ((x-2)(x-6)\ge 0). In exams use a sign table to choose the outer intervals.
(x-2-6x+11=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग विधि से रेंज जल्दी मिलती है। / (x-2-6x+11=(x-3)2+2), so the minimum is (2). In exams completing the square gives the range quickly.
क्योंकि ((x+1)2\ge 0), इसलिए (5-(x+1)2\le 5)। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय की अधिकतम वैल्यू देखें। / Since ((x+1)2\ge 0), (5-(x+1)2\le 5). In exams check the maximum value of a downward parabola.
\(|x-3|\ge 0\), इसलिए \(|x-3|-2\ge -2\)। परीक्षा में मापांक की न्यूनतम वैल्यू उसके शून्य पर लें। / \(|x-3|\ge 0\), so \(|x-3|-2\ge -2\). In exams take the minimum of modulus where it becomes zero.
(|x+2|) की न्यूनतम वैल्यू (0) है, इसलिए आउटपुट कम से कम (1) होगा। परीक्षा में गुणक (3) न्यूनतम को नहीं बदलता जब मापांक (0) हो। / The minimum value of (|x+2|) is (0), so the output is at least (1). In exams the multiplier (3) does not change the minimum when modulus is (0).
\(\sqrt{x+4}\ge 0\), इसलिए \(\sqrt{x+4}-6\ge -6\)। परीक्षा में बाहर घटाई गई संख्या रेंज को नीचे शिफ्ट करती है। / \(\sqrt{x+4}\ge 0\), so \(\sqrt{x+4}-6\ge -6\). In exams an outside subtraction shifts the range downward.
\(\sqrt{x-1}\ge 0\), इसलिए \(2-\sqrt{x-1}\le 2\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में ऋण चिह्न रेंज की दिशा बदलता है। / \(\sqrt{x-1}\ge 0\), so \(2-\sqrt{x-1}\le 2\) and it can go down without bound. In exams a negative sign reverses the direction of the range.
हर \(x^2+1\) की न्यूनतम वैल्यू (1) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट (1) है और (0) नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal में (0) सीमा हो सकता है, वैल्यू नहीं। / The denominator \(x^2+1\) has minimum value (1), so the maximum output is (1) and (0) is not reached. In exams (0) may be a limit, not a value, for reciprocals.
\(\frac{2}{x^2+4}\) की रेंज ( \(0,\frac{1}{2}]\) है, इसलिए (3) जोड़ने पर ( \(3,\frac{7}{2}]\) मिलेगा। परीक्षा में रेंज पर vertical shift लगाएं। / The range of \(\frac{2}{x^2+4}\) is ( \(0,\frac{1}{2}]\), so adding (3) gives ( \(3,\frac{7}{2}]\). In exams apply the vertical shift to the range.
(x-2-4x+1=(x-2)2-3), इसलिए न्यूनतम (-3) है। परीक्षा में (x) के वर्ग को पूर्ण वर्ग में बदलें। / (x-2-4x+1=(x-2)2-3), so the minimum is (-3). In exams convert the quadratic into a perfect square.
((x-4)2\ge 0), इसलिए (8-(x-4)2\le 8)। परीक्षा में अधिकतम तब मिलता है जब वर्ग वाला भाग (0) हो। / ((x-4)2\ge 0), so (8-(x-4)2\le 8). In exams the maximum occurs when the squared part is (0).
अंतराल ([-3,2]) में (0) है, इसलिए न्यूनतम (0) और अधिकतम (9) है। परीक्षा में endpoints और critical point दोनों देखें। / The interval ([-3,2]) contains (0), so the minimum is (0) and the maximum is (9). In exams check both endpoints and the critical point.
([2,5]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए सिरों पर वैल्यू (4) और (25) मिलती हैं। परीक्षा में बंद अंतराल के endpoint शामिल करें। / On ([2,5]), \(x^2\) is increasing, so endpoint values are (4) and (25). In exams include endpoints for a closed interval.
(2x+1) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है, इसलिए endpoints (-3) और (7) बनते हैं। परीक्षा में खुले endpoint को खुला ही रखें। / (2x+1) is an increasing linear function, so the endpoints become (-3) and (7). In exams keep an open endpoint open.
फलन घटता है, इसलिए (x=0) पर (2) और (x=4) पर (-10) मिलता है। परीक्षा में घटते फलन में क्रम बदल सकता है। / The function is decreasing, so at (x=0) it gives (2) and at (x=4) it gives (-10). In exams the order may reverse for a decreasing function.
ऋणात्मक अंतराल पर (|x|) वैल्यू को धनात्मक बना देता है। परीक्षा में ([-5,-2]) की मापांक रेंज ([2,5]) होगी। / On a negative interval, (|x|) makes values positive. In exams the modulus range of ([-5,-2]) is ([2,5]).
डोमेन में (x=1) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) है और अधिकतम endpoint पर (3) है। परीक्षा में मापांक का zero point जरूर देखें। / The domain contains (x=1), so the minimum is (0) and the maximum is (3) at an endpoint. In exams always check the zero point of modulus.
\(\sqrt{x}\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए सिरों की वैल्यू \(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{16}=4\) हैं। परीक्षा में monotonicity का उपयोग करें। / \(\sqrt{x}\) is increasing, so endpoint values are \(\sqrt{4}=2\) and \(\sqrt{16}=4\). In exams use monotonicity.
धनात्मक (x) पर \(\frac{1}{x}\) घटता है, इसलिए रेंज \([\frac{1}{4},1]\) है। परीक्षा में घटते reciprocal में endpoint values का क्रम बदलें। / On positive (x), \(\frac{1}{x}\) decreases, so the range is \([\frac{1}{4},1]\). In exams reverse the order of endpoint values for a decreasing reciprocal.
\(\frac{1}{x-2}\) कभी (0) नहीं हो सकता। परीक्षा में horizontal shift से reciprocal की रेंज से हटने वाली वैल्यू (0) ही रहती है। / \(\frac{1}{x-2}\) can never be (0). In exams a horizontal shift keeps (0) excluded from the reciprocal range.
\(\frac{3}{x+1}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-4) आउटपुट नहीं मिलेगा। परीक्षा में vertical shift से excluded range value बदलती है। / \(\frac{3}{x+1}\) is never (0), so the output (-4) is not obtained. In exams a vertical shift changes the excluded range value.
डोमेन पर \(0\le 4-x^2\le 4\), इसलिए (0\le f(x)\le 2)। परीक्षा में वर्गमूल की रेंज हमेशा non-negative होती है। / On the domain, \(0\le 4-x^2\le 4\), so (0\le f(x)\le 2). In exams the range of a square root is always non-negative.
अंदर की अधिकतम वैल्यू (25) है और न्यूनतम (0) हो सकता है। इसलिए वर्गमूल की रेंज ([0,5]) है। / The maximum value inside is (25) and the minimum can be (0). Therefore the square root range is ([0,5]).
अंदर (x-2+6x+13=(x+3)2+4) है, इसलिए न्यूनतम (4) और रेंज \([2,\infty\)) है। परीक्षा में पहले अंदर का पूर्ण वर्ग बनाएं। / Inside, (x-2+6x+13=(x+3)2+4), so the minimum is (4) and the range is \([2,\infty\)). In exams complete the square inside first.
\(x^2\ge 0\) से आउटपुट (0) मिल सकता है, पर (1) कभी नहीं मिलता। परीक्षा में \(\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}\) उपयोगी है। / Since \(x^2\ge 0\), the output can be (0), but it never reaches (1). In exams \(\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}\) is useful.
\(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\) है। न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) मिलता है, लेकिन (1) नहीं मिलता। / \(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\). The minimum \(\frac{1}{2}\) is obtained, but (1) is not obtained.
हर (|x|+2) की न्यूनतम वैल्यू (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए आउटपुट (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है। / The denominator (|x|+2) has minimum value (2) and can grow without bound. So the output is greater than (0) and up to \(\frac{1}{2}\).
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x-2\ge 0\) चाहिए, इसलिए सभी वास्तविक (x) नहीं चलेंगे। परीक्षा में वर्गमूल वाले विकल्प पर domain restriction जांचें। / \(\sqrt{x-2}\) needs \(x-2\ge 0\), so all real (x) are not allowed. In exams check the domain restriction in square root options.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (2) आउटपुट नहीं बनता। परीक्षा में reciprocal के vertical shift को पहचानें। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams identify the vertical shift of a reciprocal.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([3,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([3,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+9\ge 9\), इसलिए वर्गमूल कम से कम (3) है और डोमेन सभी वास्तविक है। परीक्षा में अंदर की न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(x^2+9\ge 9\), the square root is at least (3) and the domain is all real numbers. In exams check the minimum value inside.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-1,1}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-1,1}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-1\) तब (0) होता है जब \(x=\pm 1\)। परीक्षा में rational function में denominator zero values हटाएं। / The denominator \(x^2-1\) becomes (0) when \(x=\pm 1\). In exams remove denominator zero values in rational functions.
\(\sqrt{x+2}=3\) से (x+2=9) और (x=7) मिलता है। परीक्षा में वर्ग करने के बाद domain condition भी सही रखें। / \(\sqrt{x+2}=3\) gives (x+2=9) and (x=7). In exams keep the domain condition valid after squaring.
(|x-4|=6) से (x-4=6) या (x-4=-6) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण की दोनों शाखाएं लिखें। / (|x-4|=6) gives (x-4=6) or (x-4=-6). In exams write both branches of a modulus equation.
(f(3)=32-2(3)+5=8) है। परीक्षा में substitution करते समय चिन्हों का ध्यान रखें। / (f(3)=32-2(3)+5=8). In exams be careful with signs while substituting.
(f(4)=\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2) है। परीक्षा में denominator zero न हो यह भी जांचें। / (f(4)=\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2). In exams also check that the denominator is not zero.
(f(5)=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4) है। परीक्षा में वर्गमूल की मुख्य धनात्मक वैल्यू लें। / (f(5)=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4). In exams take the principal positive square root.
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-9\ge -9\)। परीक्षा में codomain और actual range में फर्क रखें। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-9\ge -9\). In exams keep the difference between codomain and actual range clear.
A. रेंज \([4,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([4,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
फलन में दिया गया दूसरा समुच्चय codomain है, जबकि वास्तविक आउटपुट \([4,\infty\)) हैं। परीक्षा में arrow notation से codomain पहचानें। / The second set in the function notation is the codomain, while actual outputs are \([4,\infty\)). In exams identify codomain from arrow notation.
इनपुट पर वैल्यू (f(-2)=2), (f(0)=0), (f(3)=12) हैं। परीक्षा में finite domain में हर input की image निकालें। / The values are (f(-2)=2), (f(0)=0), and (f(3)=12). In exams find the image of every input in a finite domain.
(x=1,2,4,5) पर outputs \(0,1,\sqrt{3},2\) मिलते हैं। परीक्षा में set domain में केवल दिए गए inputs लें। / For (x=1,2,4,5), the outputs are \(0,1,\sqrt{3},2\). In exams use only the given inputs in a set domain.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-2}{x+1}\ge 0\) और \(x\ne -1\) चाहिए। संकेत तालिका से (\(-\infty,-1\)\cup[2,\infty)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-2}{x+1}\ge 0\) and \(x\ne -1\). A sign table gives (\(-\infty,-1\)\cup[2,\infty)).
वर्गमूल से \(x+1\ge 0\) और हर से \(x-2\ne 0\) चाहिए। इसलिए डोमेन \([-1,\infty\)\setminus{2}) है। / The square root needs \(x+1\ge 0\) and the denominator needs \(x-2\ne 0\). Hence the domain is \([-1,\infty\)\setminus{2}).
वर्गमूल के लिए \(5-x\ge 0\) और हर के लिए \(x+3\ne 0\) चाहिए। परीक्षा में दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The square root needs \(5-x\ge 0\) and the denominator needs \(x+3\ne 0\). In exams take the intersection of both conditions.
वर्गमूल के अंदर \(x^2-9\ge 0\) होना चाहिए। \(x^2\ge 9\) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The expression inside the square root must satisfy \(x^2-9\ge 0\). From \(x^2\ge 9\), we get the outer intervals.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(16-x^2>0\) चाहिए। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so \(16-x^2>0\) is required. In exams do not include equality for a denominator square root.
हर (x-2-16=(x-4)(x+4)) है इसलिए \(x=\pm4\) हटेंगे। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक लगाएं। / The denominator is (x-2-16=(x-4)(x+4)), so \(x=\pm4\) are excluded. In exams apply restrictions from the original denominator before cancellation.
हर (x-2-x-20=(x-5)(x+4)) है इसलिए \(x\ne5\) और \(x\ne-4\)। परीक्षा में denominator को गुणनखंड करें। / The denominator (x-2-x-20=(x-5)(x+4)), so \(x\ne5\) and \(x\ne-4\). In exams factorize the denominator.
दोनों शर्तें \(x-2\ge0\) और \(9-x\ge0\) मिलकर \(2\le x\le9\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो common interval लें। / The two conditions \(x-2\ge0\) and \(9-x\ge0\) together give \(2\le x\le9\). In exams take the common interval for two square roots.
हर (x-2-4x+5=(x-2)2+1) कभी (0) नहीं होता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाकर हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें। / The denominator (x-2-4x+5=(x-2)2+1) is never (0). In exams complete the square to check the minimum denominator value.
वर्गमूल के लिए \(15-5x\ge0\) से \(x\le3\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता बदलती है। / The square root needs \(15-5x\ge0\), giving \(x\le3\). In exams the inequality reverses when dividing by a negative coefficient.
वर्गमूल के अंदर ((x+1)(x-5)\ge0) होना चाहिए। संकेत तालिका से बाहरी अंतराल सही मिलते हैं। / The expression inside the square root must satisfy ((x+1)(x-5)\ge0). A sign table gives the correct outer intervals.
(x-2+8x+18=(x+4)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। परीक्षा में quadratic की रेंज के लिए पूर्ण वर्ग विधि उपयोगी है। / (x-2+8x+18=(x+4)2+2), so the minimum is (2). In exams completing the square is useful for the range of a quadratic.
क्योंकि ((x-3)2\ge0), इसलिए (7-(x-3)2\le7)। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय की maximum value पहचानें। / Since ((x-3)2\ge0), (7-(x-3)2\le7). In exams identify the maximum value of a downward-opening parabola.
\(|x+4|\ge0\), इसलिए \(|x+4|-5\ge-5\)। परीक्षा में मापांक का minimum उसके zero point पर मिलता है। / \(|x+4|\ge0\), so \(|x+4|-5\ge-5\). In exams the minimum of modulus occurs at its zero point.
(|x-1|) की न्यूनतम वैल्यू (0) है, इसलिए (f(x)\ge2)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) minimum को ऊपर करता है। / The minimum value of (|x-1|) is (0), so (f(x)\ge2). In exams the outside added (2) shifts the minimum upward.
\(\sqrt{x+9}\ge0\), इसलिए \(\sqrt{x+9}-4\ge-4\)। परीक्षा में वर्गमूल की basic range पर vertical shift लगाएं। / \(\sqrt{x+9}\ge0\), so \(\sqrt{x+9}-4\ge-4\). In exams apply the vertical shift to the basic square-root range.
\(\sqrt{x+2}\ge0\), इसलिए \(6-\sqrt{x+2}\le6\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में negative sign रेंज की दिशा बदलता है। / \(\sqrt{x+2}\ge0\), so \(6-\sqrt{x+2}\le6\) and can decrease without bound. In exams a negative sign changes the direction of the range.
हर \(x^2+9\) की न्यूनतम वैल्यू (9) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{9}\) है। (0) केवल सीमा है, प्राप्त वैल्यू नहीं। / The denominator \(x^2+9\) has minimum value (9), so the maximum output is \(\frac{1}{9}\). (0) is only a limiting value, not an attained value.
\(\frac{4}{x^2+5}\) की रेंज ( \(0,\frac{4}{5}]\) है। इसमें (-1) जोड़ने पर (\(-1,-\frac{1}{5}]\) मिलता है। / The range of \(\frac{4}{x^2+5}\) is ( \(0,\frac{4}{5}]\). Adding (-1) gives (\(-1,-\frac{1}{5}]\).
(x-2+2x-8=(x+1)2-9), इसलिए न्यूनतम (-9) है। परीक्षा में quadratic को पूर्ण वर्ग में बदलें। / (x-2+2x-8=(x+1)2-9), so the minimum is (-9). In exams convert the quadratic into a perfect square.
((x+2)2\ge0), इसलिए (10-(x+2)2\le10)। परीक्षा में maximum तब आता है जब squared term (0) हो। / ((x+2)2\ge0), so (10-(x+2)2\le10). In exams the maximum occurs when the squared term is (0).
अंतराल ([-4,1]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) और अधिकतम (16) है। परीक्षा में endpoints के साथ vertex भी जांचें। / The interval ([-4,1]) contains (0), so the minimum is (0) and the maximum is (16). In exams check the vertex along with endpoints.
ऋणात्मक अंतराल पर \(x^2\) की वैल्यू (36) से (4) तक आती है। इसलिए रेंज ([4,36]) है। / On the negative interval, \(x^2\) values go from (36) to (4). Therefore the range is ([4,36]).
(3x-2) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है। खुले endpoint (-1) से (-5) खुलेगा और (5) से (13) शामिल होगा। / (3x-2) is an increasing linear function. The open endpoint (-1) gives open (-5) and (5) gives included (13).
फलन घटता है, इसलिए (x=1) पर (2) और \(x\to6\) पर (-8) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में endpoints का क्रम बदलें। / The function is decreasing, so at (x=1) it gives (2) and as \(x\to6\) it approaches (-8), not included. In exams reverse endpoint order for a decreasing function.
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और सबसे बड़ा मापांक (7) है। परीक्षा में interval में (0) है या नहीं देखें। / The domain contains (0), so the minimum is (0) and the largest modulus is (7). In exams check whether the interval contains (0).
इस डोमेन पर (x+2) धनात्मक है, इसलिए (|x+2|=x+2)। endpoints से रेंज ([3,7]) मिलती है। / On this domain, (x+2) is positive, so (|x+2|=x+2). Endpoint values give the range ([3,7]).
\(\sqrt{x-1}\) बढ़ता है, इसलिए endpoints पर वैल्यू (0) और (3) हैं। परीक्षा में बंद अंतराल के endpoints शामिल करें। / \(\sqrt{x-1}\) is increasing, so endpoint values are (0) and (3). In exams include endpoints of a closed interval.
धनात्मक अंतराल पर \(\frac{1}{x+1}\) घटता है। (x=1) और (x=3) से \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{4}\) मिलते हैं। / On the positive interval, \(\frac{1}{x+1}\) decreases. At (x=1) and (x=3), values are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{x+6}\) कभी (0) नहीं हो सकता। परीक्षा में horizontal shift से reciprocal की excluded range value नहीं बदलती। / \(\frac{1}{x+6}\) can never be (0). In exams a horizontal shift does not change the excluded range value of a reciprocal.
\(\frac{5}{x-2}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (1) आउटपुट नहीं मिलता। परीक्षा में vertical shift से excluded value बदलती है। / \(\frac{5}{x-2}\) is never (0), so output (1) is not obtained. In exams a vertical shift changes the excluded value.
डोमेन पर अंदर की वैल्यू (0) से (9) तक हो सकती है। इसलिए वर्गमूल की रेंज ([0,3]) है। / On the domain, the inside value can vary from (0) to (9). Hence the square-root range is ([0,3]).
अंदर की अधिकतम वैल्यू (36) है और न्यूनतम (0) हो सकती है। इसलिए (f(x)) की रेंज ([0,6]) है। / The maximum inside value is (36) and the minimum can be (0). Therefore the range of (f(x)) is ([0,6]).
अंदर (x-2-2x+10=(x-1)2+9) है, इसलिए न्यूनतम (9) है। वर्गमूल लेने पर रेंज \([3,\infty\)) होगी। / Inside, (x-2-2x+10=(x-1)2+9), so the minimum is (9). Taking square root gives the range \([3,\infty\)).
(f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), इसलिए (0) मिलता है पर (1) नहीं मिलता। परीक्षा में ऐसे rational expressions को (1-) रूप में लिखना उपयोगी है। / (f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), so (0) is attained but (1) is not. In exams writing such rational expressions in (1-) form is useful.
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\) है। (x=0) पर न्यूनतम \(\frac{2}{5}\) मिलता है और (1) नहीं मिलता। / \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\). At (x=0), the minimum \(\frac{2}{5}\) is attained and (1) is not attained.
हर (|x-3|+1) की न्यूनतम वैल्यू (1) है और यह अनंत तक जा सकता है। इसलिए output (0) से बड़ा और (1) तक है। / The denominator (|x-3|+1) has minimum value (1) and can grow without bound. Hence the output is greater than (0) and up to (1).
बहुपद \(x^2+8\) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में polynomial functions का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) होता है। / The polynomial \(x^2+8\) is defined for every real (x). In exams polynomial functions usually have domain \(\mathbb{R}\).
\(\frac{2}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-3) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal function की vertical shift पहचानें। / \(\frac{2}{x}\) is never (0), so output (-3) cannot occur. In exams identify the vertical shift of a reciprocal function.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([4,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([4,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2+16\ge16\), इसलिए वर्गमूल कम से कम (4) है। अंदर की राशि हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। / Since \(x^2+16\ge16\), the square root is at least (4). The inside expression is defined for every real (x).
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-4\) तब (0) होगा जब (x=-2) या (x=2)। परीक्षा में denominator की zero values हटाएं। / The denominator \(x^2-4\) becomes (0) when (x=-2) or (x=2). In exams remove zero values of the denominator.
\(\sqrt{x-3}=5\) से (x-3=25), इसलिए (x=28)। परीक्षा में वर्ग करने के बाद original equation में जांच लें। / \(\sqrt{x-3}=5\) gives (x-3=25), so (x=28). In exams check the answer in the original equation after squaring.
(|x+6|=9) से (x+6=9) या (x+6=-9) मिलता है। परीक्षा में modulus equation की दोनों शाखाएं लें। / (|x+6|=9) gives (x+6=9) or (x+6=-9). In exams take both branches of a modulus equation.
(f(-2)=(-2)2+3(-2)-2=-4) है। परीक्षा में ऋणात्मक input डालते समय brackets लगाएं। / (f(-2)=(-2)2+3(-2)-2=-4). In exams use brackets while substituting a negative input.
(f(1)=\frac{1-3}{1+2}=-\frac{2}{3}) है। परीक्षा में numerator और denominator अलग-अलग सावधानी से रखें। / (f(1)=\frac{1-3}{1+2}=-\frac{2}{3}). In exams handle the numerator and denominator separately with care.
(f(-5)=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3) है। परीक्षा में वर्गमूल की principal value non-negative होती है। / (f(-5)=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3). In exams the principal value of square root is non-negative.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-12\ge-12\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-12\ge-12\). In exams remember the minimum value of the square function is (0).
A. रेंज \([7,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([7,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([7,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain अलग रखें। / In the given notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([7,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
(f(-3)=8), (f(-1)=0), और (f(2)=3) हैं। परीक्षा में set में repeated output हो तो एक बार ही लिखें। / (f(-3)=8), (f(-1)=0), and (f(2)=3). In exams write a repeated output only once in a set.
दिए गए inputs पर (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), और (f(17)=4) हैं। परीक्षा में finite domain में केवल दिए गए inputs लें। / For the given inputs, (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), and (f(17)=4). In exams use only the given inputs in a finite domain.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) और \(x\ne1\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) and \(x\ne1\). A sign table gives ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)).
दोनों वर्गमूलों से \(4\le x\le10\) और हर से \(x\ne6\) चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The two square roots give \(4\le x\le10\) and the denominator gives \(x\ne6\). In exams take the intersection of all conditions.
A. प्रांत ( [-3,3] ), परिसर ( [0,3] )/Domain ( [-3,3] ), range ( [0,3] )
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{9-x^2}\) वास्तविक होने के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\) और \(f(x)\in[0,3]\)। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन में अंदर की राशि को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For \(\sqrt{9-x^2}\) to be real, \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\) and \(f(x)\in[0,3]\). In exams, always keep the expression inside a square root \(\ge 0\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-1}{x-7}\ge0\) और \(x\ne7\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-\infty,1]\cup\(7,\infty\)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-1}{x-7}\ge0\) and \(x\ne7\). A sign table gives ((-\infty,1]\cup\(7,\infty\)).
हर में वर्गमूल है इसलिए ((x+2)(5-x)>0) चाहिए। परीक्षा में denominator radical के लिए बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so ((x+2)(5-x)>0) is required. In exams do not include equality for a denominator radical.
अंदर की राशि (x-2+4x-12=(x+6)(x-2)) है और उसे \(\ge0\) होना चाहिए। परीक्षा में upward quadratic के लिए बाहरी अंतराल चुनें। / The inside expression is (x-2+4x-12=(x+6)(x-2)) and it must be \(\ge0\). In exams choose the outer intervals for an upward quadratic.
वर्गमूल के लिए \(18-2x-x^2\ge0\) चाहिए। यह downward quadratic है इसलिए roots के बीच वाला बंद अंतराल डोमेन है। / The square root needs \(18-2x-x^2\ge0\). This is a downward quadratic, so the closed interval between the roots is the domain.
(x-2-10x+21=(x-5)2-4), इसलिए न्यूनतम (-4) है। परीक्षा में quadratic की रेंज के लिए पूर्ण वर्ग बनाएं। / (x-2-10x+21=(x-5)2-4), so the minimum is (-4). In exams complete the square to find the range of a quadratic.
क्योंकि ((x-5)2\ge0), इसलिए (12-(x-5)2\le12)। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय की अधिकतम वैल्यू देखें। / Since ((x-5)2\ge0), (12-(x-5)2\le12). In exams check the maximum value of a downward-opening parabola.
अंदर (x-2+8x+20=(x+4)2+4) है, इसलिए न्यूनतम (4) है। वर्गमूल लेने पर रेंज \([2,\infty\)) होगी। / Inside, (x-2+8x+20=(x+4)2+4), so the minimum is (4). Taking square root gives the range \([2,\infty\)).
डोमेन पर अंदर की वैल्यू (0) से (49) तक हो सकती है। इसलिए वर्गमूल की रेंज ([0,7]) है। / On the domain, the inside value can vary from (0) to (49). Hence the square-root range is ([0,7]).
हर (x-2-6x+13=(x-3)2+4) है, जिसकी न्यूनतम वैल्यू (4) है। इसलिए output (0) से बड़ा और \(\frac{1}{4}\) तक है। / The denominator (x-2-6x+13=(x-3)2+4), whose minimum value is (4). So the output is greater than (0) and up to \(\frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{x^2+2}\) की रेंज ( \(0,\frac{3}{2}]\) है। इसमें (-5) जोड़ने पर (\(-5,-\frac{7}{2}]\) मिलता है। / The range of \(\frac{3}{x^2+2}\) is ( \(0,\frac{3}{2}]\). Adding (-5) gives (\(-5,-\frac{7}{2}]\).
\(\frac{x^2+3}{x^2+7}=1-\frac{4}{x^2+7}\) है। (x=0) पर \(\frac{3}{7}\) मिलता है और (1) कभी नहीं मिलता। / \(\frac{x^2+3}{x^2+7}=1-\frac{4}{x^2+7}\). At (x=0), \(\frac{3}{7}\) is obtained and (1) is never obtained.
\(\frac{x^2+5}{x^2+1}=1+\frac{4}{x^2+1}\) है। अधिकतम (5) मिलता है, लेकिन (1) केवल limit है। / \(\frac{x^2+5}{x^2+1}=1+\frac{4}{x^2+1}\). The maximum (5) is attained, but (1) is only a limit.
हर (|x+4|+3) की न्यूनतम वैल्यू (3) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए रेंज ( \(0,\frac{1}{3}]\) है। / The denominator (|x+4|+3) has minimum value (3) and can grow without bound. Hence the range is ( \(0,\frac{1}{3}]\).
(|x-6|) की न्यूनतम वैल्यू (0) है। इसलिए (2|x-6|-1) की न्यूनतम वैल्यू (-1) होगी। / The minimum value of (|x-6|) is (0). Therefore the minimum value of (2|x-6|-1) is (-1).
क्योंकि \(|x+1|\ge0\), इसलिए \(9-3|x+1|\le9\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में negative coefficient से range की दिशा बदलती है। / Since \(|x+1|\ge0\), \(9-3|x+1|\le9\) and can go down without bound. In exams a negative coefficient changes the range direction.
\(\sqrt{x+12}\ge0\), इसलिए (f(x)\ge-7)। परीक्षा में बाहर घटाई गई संख्या वर्गमूल की रेंज को नीचे shift करती है। / \(\sqrt{x+12}\ge0\), so (f(x)\ge-7). In exams an outside subtraction shifts the square-root range downward.
\(\sqrt{x-5}\ge0\), इसलिए \(4-\sqrt{x-5}\le4\)। परीक्षा में वर्गमूल से पहले ऋण चिह्न हो तो output नीचे की ओर जाता है। / \(\sqrt{x-5}\ge0\), so \(4-\sqrt{x-5}\le4\). In exams if a minus sign is before the square root, outputs go downward.
ऋणात्मक अंतराल पर \(x^2\) की सबसे छोटी वैल्यू (9) और सबसे बड़ी (49) है। परीक्षा में interval में (0) न हो तो endpoints जांचें। / On the negative interval, the smallest value of \(x^2\) is (9) and the largest is (49). In exams check endpoints when (0) is not in the interval.
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) है और (6) शामिल नहीं इसलिए (36) शामिल नहीं होगा। परीक्षा में खुले endpoint का असर रेंज पर देखें। / The domain contains (0), so the minimum is (0), and (6) is not included, so (36) is not included. In exams check how an open endpoint affects the range.
(5x-4) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है। (x=-3) खुला है इसलिए (-19) खुला और (x=2) से (6) शामिल है। / (5x-4) is an increasing linear function. Since (x=-3) is open, (-19) is open, and (x=2) gives included (6).
फलन घटता है, (x=1) पर (3) और \(x\to5\) पर (-13) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में range का क्रम उलट जाता है। / The function is decreasing; at (x=1) it gives (3), and as \(x\to5\) it approaches (-13), not included. In exams the range order reverses for a decreasing function.
डोमेन में (x=5) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और दूर endpoint (12) से maximum (7) है। परीक्षा में modulus का zero point देखें। / The domain contains (x=5), so the minimum is (0), and the far endpoint (12) gives maximum (7). In exams check the zero point of modulus.
इस अंतराल में (x+3) ऋणात्मक है, इसलिए (|x+3|=-(x+3))। (x=-4) से (1) शामिल और (x=-8) से (5) खुला है। / In this interval, (x+3) is negative, so (|x+3|=-(x+3)). (x=-4) gives included (1) and (x=-8) gives open (5).
\(\sqrt{x+4}\) बढ़ता हुआ फलन है और endpoints पर (0) तथा (4) देता है। परीक्षा में closed domain हो तो endpoint values शामिल करें। / \(\sqrt{x+4}\) is an increasing function and gives (0) and (4) at the endpoints. In exams include endpoint values for a closed domain.
इस domain पर denominator धनात्मक है और reciprocal घटता है। (x=3) से \(\frac{1}{2}\) और (x=9) से \(\frac{1}{8}\) मिलता है। / On this domain the denominator is positive and the reciprocal decreases. (x=3) gives \(\frac{1}{2}\) and (x=9) gives \(\frac{1}{8}\).
(x+2) की वैल्यू ([-4,-1]) में है, इसलिए reciprocal \([-1,-\frac{1}{4}]\) देता है। परीक्षा में ऋणात्मक denominator पर क्रम सावधानी से रखें। / The value of (x+2) lies in ([-4,-1]), so the reciprocal gives \([-1,-\frac{1}{4}]\). In exams handle the order carefully for negative denominators.
\(\frac{1}{x-9}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (4) output नहीं बन सकता। परीक्षा में vertical shift से excluded range value पहचानें। / \(\frac{1}{x-9}\) is never (0), so output (4) cannot occur. In exams identify the excluded range value after a vertical shift.
\(\frac{6}{x+5}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-2) output नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal function की horizontal और vertical shift अलग पहचानें। / \(\frac{6}{x+5}\) is never (0), so output (-2) is not obtained. In exams identify horizontal and vertical shifts of reciprocal functions separately.
\(\frac{x}{x^2-9}\) में हर ((x-3)(x+3)) है, इसलिए \(x=\pm3\) हटते हैं। परीक्षा में rational function में denominator zero values हटाएं। / In \(\frac{x}{x^2-9}\), the denominator is ((x-3)(x+3)), so \(x=\pm3\) are removed. In exams remove denominator zero values in rational functions.
\(\frac{2}{x-1}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (5) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal की vertical shift वाली range पहचानें। / \(\frac{2}{x-1}\) is never (0), so output (5) cannot occur. In exams identify the range of a vertically shifted reciprocal.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([5,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([5,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2+25\ge25\), इसलिए (f(x)\ge5) और हर वास्तविक (x) स्वीकार्य है। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(x^2+25\ge25\), (f(x)\ge5) and every real (x) is allowed. In exams first check the minimum value inside.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-16\) तब (0) होता है जब (x=-4) या (x=4)। परीक्षा में denominator को (0) बनाने वाली values हटाएं। / The denominator \(x^2-16\) becomes (0) when (x=-4) or (x=4). In exams remove values that make the denominator (0).
\(\sqrt{x+6}=4\) से (x+6=16), इसलिए (x=10)। परीक्षा में वर्ग करने के बाद उत्तर को मूल शर्त में जांचें। / \(\sqrt{x+6}=4\) gives (x+6=16), so (x=10). In exams check the answer in the original condition after squaring.
(|x-7|=11) से (x-7=11) या (x-7=-11) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण की दोनों शाखाएं लें। / (|x-7|=11) gives (x-7=11) or (x-7=-11). In exams take both branches of a modulus equation.
(f(-1)=(-1)2-5(-1)+2=8) है। परीक्षा में ऋणात्मक input के लिए brackets का प्रयोग करें। / (f(-1)=(-1)2-5(-1)+2=8). In exams use brackets for a negative input.
(f(0)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}) है। परीक्षा में denominator की sign पर ध्यान दें। / (f(0)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}). In exams pay attention to the sign of the denominator.
(f(-10)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8) है। परीक्षा में वर्गमूल की principal value non-negative होती है। / (f(-10)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8). In exams the principal value of the square root is non-negative.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-15\ge-15\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-15\ge-15\). In exams remember that the minimum value of the square function is (0).
A. रेंज \([11,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([11,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([11,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain को अलग रखें। / In the notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([11,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
(f(-4)=8), (f(-2)=0), और (f(1)=3) हैं। परीक्षा में finite domain में हर input की image निकालें। / (f(-4)=8), (f(-2)=0), and (f(1)=3). In exams find the image of every input in a finite domain.
दिए inputs पर outputs (0,1,2,3) मिलते हैं। परीक्षा में set domain में केवल दिए गए elements का उपयोग करें। / For the given inputs, the outputs are (0,1,2,3). In exams use only the given elements in a set domain.
outputs (5,2,0,3) हैं और set में इन्हें ({0,2,3,5}) लिखा जाता है। परीक्षा में repeated या unordered values को set form में लिखें। / The outputs are (5,2,0,3), written as ({0,2,3,5}) in set form. In exams write repeated or unordered values in set form.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{6-x}{x+2}\ge0\) और \(x\ne-2\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-2,6]) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{6-x}{x+2}\ge0\) and \(x\ne-2\). A sign table gives ((-2,6]).
शर्त \(\frac{x+5}{9-x}\ge0\) और \(x\ne9\) है। संकेत तालिका से ([-5,9)) सही डोमेन मिलता है। / The condition is \(\frac{x+5}{9-x}\ge0\) and \(x\ne9\). A sign table gives the correct domain ([-5,9)).
ऊपर के वर्गमूल से \(x\ge2\) और नीचे के वर्गमूल से (8-x>0) चाहिए। इसलिए डोमेन ([2,8)) है। / The numerator square root gives \(x\ge2\) and the denominator square root gives (8-x>0). Hence the domain is ([2,8)).
ऊपर के वर्गमूल से \(x\le11\) और नीचे के वर्गमूल से (x+1>0) चाहिए। इसलिए \(-1<x\le11\) है। / The numerator square root gives \(x\le11\) and the denominator square root gives (x+1>0). Therefore \(-1<x\le11\).
(x=2) शामिल है इसलिए output (0) शामिल है, लेकिन (x=18) खुला है इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में endpoint की openness रेंज में भी देखें। / Since (x=2) is included, output (0) is included, but (x=18) is open, so (4) is not included. In exams track endpoint openness in the range.
(x=20) शामिल है इसलिए output (0) शामिल है, और (x=4) खुला है इसलिए output (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में decreasing square-root expression में endpoints उलट जाते हैं। / Since (x=20) is included, output (0) is included, and since (x=4) is open, output (4) is not included. In exams endpoints reverse for a decreasing square-root expression.
