Topic Quiz • 150 questions • 30 seconds per question.
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What is the domain of the function (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}})?
A. (x>2)
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x-2>0) होना चाहिए। परीक्षा में हर वाले मूल में शून्य भी हटाएं। / The denominator has \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0) is required. In exams, also exclude zero in a denominator.
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What is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-2-25}})?
A. (\(5,\infty\))
अंश के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के लिए \(x^2-25>0\) चाहिए। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लेने पर (\(5,\infty\)) मिलता है। / The numerator needs \(x-3\ge 0\), and the denominator needs \(x^2-25>0\). Intersecting both conditions gives (\(5,\infty\)).
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What is the domain of the function (f(x)=\sqrt{5-2x})?
A. \(x\le \frac{5}{2}\)
वर्गमूल के अंदर \(5-2x\ge 0\) होना चाहिए। चिन्ह बदलते समय असमता की दिशा ध्यान रखें। / The radicand must satisfy \(5-2x\ge 0\). Remember to reverse the inequality when dividing by a negative number.
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If (f(x)=\frac{x-2-9}{x-2+9}) and \(x\in\mathbb{R}\), what is the range of (f)?
A. ([-1,1))
(f(x)=1-\frac{18}{x-2+9}) है और \(x^2+9\ge 9\) है। इसलिए न्यूनतम मान (-1) मिलता है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Here (f(x)=1-\frac{18}{x-2+9}), and \(x^2+9\ge 9\). So the minimum value is (-1), and (1) is not attained.
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What is the domain of (f(x)=\frac{x+1}{x-2-x-6})?
A. \(\mathbb{R}\setminus{-2,3}\)
हर (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) शून्य नहीं हो सकता। हर के शून्य देने वाले मान हमेशा प्रांत से हटते हैं। / The denominator (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) cannot be zero. Values that make the denominator zero are excluded from the domain.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x-2|-3}})?
A. (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\))
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x-2|-3>0) चाहिए। इससे (|x-2|>3) और प्रांत (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)) मिलता है। / The square root is in the denominator, so (|x-2|-3>0) is needed. This gives (|x-2|>3), so the domain is (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)).
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{x-2+4x+4})?
A. \(\mathbb{R}\setminus{-2}\)
हर (x-2+4x+4=(x+2)2) है इसलिए (x=-2) वर्जित है। पूर्ण वर्ग को पहचानना समय बचाता है। / The denominator is (x-2+4x+4=(x+2)2), so (x=-2) is excluded. Recognizing perfect squares saves time.
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If (f(x)=\frac{2x+7}{3x-4}), which value is not in the range of (f)?
A. \(\frac{2}{3}\)
\(y=\frac{2x+7}{3x-4}\) से \(x=\frac{4y+7}{3y-2}\) मिलता है। इसलिए \(3y-2\ne 0\), अतः \(y\ne \frac{2}{3}\) होगा। / From \(y=\frac{2x+7}{3x-4}\), we get \(x=\frac{4y+7}{3y-2}\). Hence \(3y-2\ne 0\), so \(y\ne \frac{2}{3}\).
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2-4}})?
A. (\(-\infty,-2\)\cup\(2,\infty\))
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-4>0\) चाहिए। हर के कारण बराबरी वाले मान शामिल नहीं होंगे। / The square root is in the denominator, so \(x^2-4>0\) is required. Equality values are not included because of the denominator.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{(x-1)(x+4)})?
A. (\(-\infty,-4]\cup[1,\infty\))
वर्गमूल के लिए ((x-1)(x+4)\ge 0) चाहिए। दो गुणनखंडों की असमता में अंतराल जांचें। / The radicand must satisfy ((x-1)(x+4)\ge 0). Check intervals when solving a product inequality.
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What is the domain of (f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{9-x-2}})?
A. ((-3,3))
हर में \(\sqrt{9-x^2}\) है इसलिए \(9-x^2>0\) चाहिए। हर में मूल हो तो सख्त असमता लगती है। / The denominator has \(\sqrt{9-x^2}\), so \(9-x^2>0\) is required. A square root in the denominator gives a strict inequality.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{|x|-3})?
A. \(\mathbb{R}\setminus{-3,3}\)
हर \(|x|-3\ne 0\) चाहिए इसलिए (|x|=3) के मान हटेंगे। निरपेक्ष मान में दोनों चिह्नों वाले हल लें। / The denominator must satisfy \(|x|-3\ne 0\), so values from (|x|=3) are excluded. For absolute value, take both signs.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{|x|-2})?
A. (\(-\infty,-2]\cup[2,\infty\))
वर्गमूल के लिए \(|x|-2\ge 0\) अर्थात \(|x|\ge 2\) चाहिए। निरपेक्ष मान की असमता को संख्या रेखा पर देखें। / The radicand needs \(|x|-2\ge 0\), so \(|x|\ge 2\). View absolute value inequalities on a number line.
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What is the range of (f(x)=x-2-4x+7)?
A. \([3,\infty\))
(f(x)=(x-2)2+3) इसलिए न्यूनतम मान (3) है। वर्ग पूर्ण करना परिसर निकालने की तेज विधि है। / Since (f(x)=(x-2)2+3), the minimum value is (3). Completing the square is a fast range method.
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What is the range of (f(x)=-x-2+6x-5)?
A. (\(-\infty,4]\)
(f(x)=-(x-3)2+4) इसलिए अधिकतम मान (4) है। ऋणात्मक वर्ग वाले परवलय में ऊपर की सीमा देखें। / Here (f(x)=-(x-3)2+4), so the maximum value is (4). For a negative square parabola, look for the upper bound.
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What is the range of (f(x)=(x+1)2-9)?
A. \([-9,\infty\))
((x+1)2\ge 0) इसलिए न्यूनतम मान (-9) है। वर्ग पद का सबसे छोटा मान हमेशा (0) होता है। / Since ((x+1)2\ge 0), the minimum value is (-9). The smallest value of a square term is always (0).
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If (f(x)=\frac{1}{x-2+1}) and \(x\in\mathbb{R}\), what is the range of (f)?
A. ((0,1])
\(x^2+1\ge 1\) इसलिए (0<f(x)\le 1) है। हर कभी अनंत नहीं होता इसलिए (0) नहीं आता। / Since \(x^2+1\ge 1\), (0<f(x)\le 1). The value (0) is never attained because the denominator is finite.
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If (f(x)=\frac{x-2}{x-2+1}) and \(x\in\mathbb{R}\), what is the range?
A. ([0,1))
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}) है इसलिए मान (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। सीमा मान और प्राप्त मान अलग-अलग जांचें। / Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}), so values start at (0) and stay below (1). Check limiting values and attained values separately.
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If (f(x)=\frac{x+2}{x-3}), what is the range of (f)?
A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
\(y=\frac{x+2}{x-3}\) से \(x=\frac{3y+2}{y-1}\) मिलता है इसलिए \(y\ne 1\)। परिसर में वह (y) हटता है जिससे (x) परिभाषित न हो। / From \(y=\frac{x+2}{x-3}\), \(x=\frac{3y+2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). The range excludes the (y)-value that makes (x) undefined.
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If (f(x)=\frac{2x-5}{x+4}), what is the range of (f)?
A. \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
\(y=\frac{2x-5}{x+4}\) हल करने पर \(x=\frac{-5-4y}{y-2}\) मिलता है। इसलिए (y=2) परिसर में नहीं है। / Solving \(y=\frac{2x-5}{x+4}\) gives \(x=\frac{-5-4y}{y-2}\). Hence (y=2) is not in the range.
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What is the range of (f(x)=|x-4|+2)?
A. \([2,\infty\))
\(|x-4|\ge 0\) इसलिए न्यूनतम मान (2) है। निरपेक्ष मान में नीचे की सीमा तुरंत मिलती है। / Since \(|x-4|\ge 0\), the minimum value is (2). Absolute value expressions quickly reveal the lower bound.
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What is the range of (f(x)=3-|2x+1|)?
A. (\(-\infty,3]\)
\(|2x+1|\ge 0\) इसलिए \(3-|2x+1|\le 3\) है। ऋणात्मक निरपेक्ष मान में अधिकतम मान देखें। / Because \(|2x+1|\ge 0\), \(3-|2x+1|\le 3\). For a negative absolute value term, look for the maximum.
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If (f(x)=\sqrt{x-1}+3), which are the domain and range of (f)?
A. प्रांत \([1,\infty\)), परिसर \([3,\infty\))Domain \([1,\infty\)), range \([3,\infty\))
\(x-1\ge 0\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) से उत्तर मिलता है। अंदर का प्रतिबंध प्रांत देता है और बाहर का जोड़ परिसर बदलता है। / The conditions \(x-1\ge 0\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\) give the answer. The inside restriction gives the domain, and the outside shift changes the range.
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If (f(x)=\sqrt{4-x}+1), what are the domain and range of (f)?
A. प्रांत (\(-\infty,4]\), परिसर \([1,\infty\))Domain (\(-\infty,4]\), range \([1,\infty\))
\(4-x\ge 0\) से \(x\le 4\) और \(\sqrt{4-x}\ge 0\) से परिसर \([1,\infty\)) है। सीमा पर बराबरी जांचना जरूरी है। / From \(4-x\ge 0\), \(x\le 4\), and \(\sqrt{4-x}\ge 0\), the range is \([1,\infty\)). Checking equality at endpoints is important.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}+!5)?
A. (\(-2,\infty\))
हर में \(\sqrt{x+2}\) है इसलिए (x+2>0) चाहिए। बाहर जोड़ा गया (5) प्रांत को नहीं बदलता। / The denominator contains \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. The outside addition (5) does not change the domain.
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If (f(x)=\frac{1}{x-2-6x+10}), what is the range of (f)?
A. ((0,1])
हर (x-2-6x+10=(x-3)2+1) है इसलिए कम से कम (1) है। अतः व्युत्क्रम (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / The denominator (x-2-6x+10=(x-3)2+1) is at least (1). Therefore the reciprocal is greater than (0) and at most (1).
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If (f(x)=\frac{1}{(x-1)2+4}), what is the range?
A. (\(0,\frac{1}{4}]\)
हर का न्यूनतम मान (4) है इसलिए अधिकतम फलन मान \(\frac{1}{4}\) है। बड़े हर पर फलन (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator has minimum value (4), so the maximum function value is \(\frac{1}{4}\). For large denominators the function approaches (0) but never becomes (0).
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What is the range of (f(x)=2-\sqrt{9-x-2})?
A. ([-1,2])
\(\sqrt{9-x^2}\) का परिसर ([0,3]) है। इसे (2) से घटाने पर परिसर ([-1,2]) बनता है। / The range of \(\sqrt{9-x^2}\) is ([0,3]). Subtracting it from (2) gives the range ([-1,2]).
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If (f(x)=\frac{x-2-1}{x-1}) and \(x\ne 1\), what is the range of (f)?
A. \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
(f(x)=x+1) है पर (x=1) अनुमत नहीं है इसलिए (y=2) नहीं मिलेगा। सरलीकरण के बाद हटाए गए प्रांत मान का प्रभाव जरूर देखें। / Here (f(x)=x+1), but (x=1) is not allowed, so (y=2) is not obtained. After simplification, always track excluded domain values.
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If (f(x)=\frac{x-2-4}{x-2}) and \(x\ne 2\), what is the range?
A. \(\mathbb{R}\setminus{4}\)
सरलीकरण से (f(x)=x+2) मिलता है पर (x=2) हटाया गया है। इसलिए (y=4) परिसर से हटेगा। / Simplification gives (f(x)=x+2), but (x=2) is excluded. Therefore (y=4) is removed from the range.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x})?
A. ([-3,5])
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) साथ-साथ चाहिए। संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x+3\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) simultaneously. Take the intersection of the conditions.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{4-x})?
A. ((-1,4])
पहले भाग से (x+1>0) और दूसरे से \(4-x\ge 0\) चाहिए। अतः संयुक्त प्रांत ((-1,4]) है। / The first part requires (x+1>0), and the second requires \(4-x\ge 0\). Hence the combined domain is ((-1,4]).
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{2-x}})?
A. ([-3,2))
\(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। शून्य अंश से आ सकता है पर हर से नहीं। / We need \(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) and \(x\ne 2\). Zero may come from the numerator but not from the denominator.
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If (f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}), what is the domain?
A. \(\mathbb{R}\setminus{1,-2}\)
दोनों हर अलग-अलग शून्य नहीं होने चाहिए। इसलिए (x=1) और (x=-2) हटेंगे। / Both denominators must be non-zero. Therefore (x=1) and (x=-2) are excluded.
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What is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-5})?
A. ([1,5)\cup\(5,\infty\))
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। दोनों शर्तें साथ लागू करें। / The square root requires \(x\ge 1\), and the denominator requires \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
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If (f(x)=\sqrt{x-2+6x+8}), what is the domain?
A. (\(-\infty,-4]\cup[-2,\infty\))
(x-2+6x+8=(x+4)(x+2)) और यह शून्य या धनात्मक चाहिए। बाहर के अंतराल सही हैं। / Here (x-2+6x+8=(x+4)(x+2)), and it must be non-negative. The outer intervals are correct.
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Which value is not in the domain of (f(x)=\frac{1}{x-2-5x+6})?
A. (x=2)
हर (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए (x=2) और (x=3) हटते हैं। विकल्पों में केवल (x=2) दिया है। / The denominator (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so (x=2) and (x=3) are excluded. Among the options, only (x=2) appears.
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If (f(x)=\frac{3}{x-2+2x+5}), what is the maximum value of (f)?
A. \(\frac{3}{4}\)
हर (x-2+2x+5=(x+1)2+4) का न्यूनतम मान (4) है। धनात्मक भिन्न का अधिकतम हर के न्यूनतम पर मिलता है। / The denominator (x-2+2x+5=(x+1)2+4) has minimum value (4). A positive fraction is maximum when its denominator is minimum.
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If (f(x)=\frac{2}{(x+3)2+1}-4), what is the range?
A. ((-4,-2])
(\frac{2}{(x+3)2+1}) का परिसर ((0,2]) है। इसमें (-4) जोड़ने पर परिसर ((-4,-2]) मिलता है। / The range of (\frac{2}{(x+3)2+1}) is ((0,2]). Adding (-4) gives ((-4,-2]).
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What is the range of (f(x)=|x+2|-|x-2|)?
A. ([-4,4])
टुकड़ों में देखने पर \(x\le -2\) पर मान (-4), \(x\ge 2\) पर (4), और बीच में (2x) मिलता है। इसलिए सभी मान ([-4,4]) आते हैं। / Piecewise checking gives (-4) for \(x\le -2\), (4) for \(x\ge 2\), and (2x) between them. Hence all values in ([-4,4]) occur.
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What is the minimum value of (f(x)=|x-1|+|x+3|)?
A. (4)
दो बिंदुओं (1) और (-3) के बीच की दूरी (4) है। निरपेक्ष मानों के योग का न्यूनतम अक्सर दूरी से मिलता है। / The distance between the points (1) and (-3) is (4). The minimum sum of absolute distances often equals the distance between fixed points.
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If (f(x)=\frac{x}{|x|}), what are the domain and range of (f)?
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{0}\), परिसर ({-1,1})Domain \(\mathbb{R}\setminus{0}\), range ({-1,1})
हर (|x|) शून्य नहीं होना चाहिए इसलिए \(x\ne 0\) है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) मिलता है। / The denominator (|x|) must be non-zero, so \(x\ne 0\). Positive (x) gives (1), and negative (x) gives (-1).
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If (f(x)=\sqrt{x-2+4x+4}), what is the range of (f)?
A. \([0,\infty\))
(x-2+4x+4=(x+2)2) इसलिए (f(x)=|x+2|) है। निरपेक्ष मान का परिसर \([0,\infty\)) होता है। / Since (x-2+4x+4=(x+2)2), (f(x)=|x+2|). The range of an absolute value is \([0,\infty\)).
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What is the range of (f(x)=\sqrt{(x-2)2+7})?
A. \([\sqrt{7},\infty\))
((x-2)2\ge 0) इसलिए मूल के अंदर न्यूनतम (7) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{7}\) होगा। / Because ((x-2)2\ge 0), the minimum inside the root is (7). Taking the square root gives minimum \(\sqrt{7}\).
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{|x+1|+2})?
A. (\(0,\frac{1}{2}]\)
हर (|x+1|+2) का न्यूनतम (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए फलन (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है। / The denominator (|x+1|+2) has minimum (2) and can grow without bound. Thus the function is greater than (0) and at most \(\frac{1}{2}\).
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What is the range of (f(x)=\frac{|x|}{|x|+1})?
A. ([0,1))
मान लें (t=|x|), तब \(t\ge 0\) और \(f=\frac{t}{t+1}\) है। (t=0) पर (0) मिलता है और (t) बढ़ने पर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं मिलता। / Let (t=|x|), so \(t\ge 0\) and \(f=\frac{t}{t+1}\). At (t=0) the value is (0), and as (t) grows it approaches (1) but never reaches it.
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If (f(x)=\frac{x-2+1}{x-2+2}), what is the range of (f)?
A. \([\frac{1}{2},1\))
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) और \(x^2+2\ge 2\) है। इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) and \(x^2+2\ge 2\). Thus the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is not attained.
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What is the range of (f(x)=\frac{x-2+4}{x-2+1})?
A. ((1,4])
(f(x)=1+\frac{3}{x-2+1}) है और (\frac{3}{x-2+1}\in(0,3]) है। इसलिए परिसर ((1,4]) है। / Here (f(x)=1+\frac{3}{x-2+1}), and (\frac{3}{x-2+1}\in(0,3]). Hence the range is ((1,4]).
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If (f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{x-8}), what is the domain?
A. \([8,\infty\))
दोनों मूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(x-8\ge 0\) चाहिए। कठोर शर्त \(x\ge 8\) है। / Both roots require \(x-2\ge 0\) and \(x-8\ge 0\). The stronger condition is \(x\ge 8\).
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What is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{7-x}})?
A. ([-2,7))
अंश के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत ([-2,7)) है। / The numerator requires \(x+2\ge 0\), and the denominator requires (7-x>0). Therefore the domain is ([-2,7)).
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If (f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x}), what is the domain of (f)?
A. ( [2,5] )
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge0\) और \(5-x\ge0\) होना चाहिए। परीक्षा में संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x-2\ge0\) and \(5-x\ge0\). In exams take the intersection of all conditions.
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Which is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2-9}})?
A. ( \(-\infty,-3\)\cup\(3,\infty\) )
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-9>0\) चाहिए। ध्यान रखें हर में शून्य स्वीकार नहीं होता। / The denominator has a square root, so \(x^2-9>0\) is needed. Remember zero is not allowed in a denominator.
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If (f(x)=\frac{x+1}{x-2-5x+6}), what is the domain?
A. \( \mathbb{R}\setminus{2,3} \)
हर (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए (x=2,3) हटेंगे। परीक्षा में पहले हर को शून्य के बराबर करें। / The denominator is (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so (x=2,3) are excluded. In exams set the denominator equal to zero first.
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If (f(x)=x-2-4x+7) where \(x\in\mathbb{R}\), what is the range of (f)?
A. \( [3,\infty\) )
(x-2-4x+7=(x-2)2+3) इसलिए न्यूनतम मान (3) है। पूर्ण वर्ग बनाना सबसे तेज विधि है। / Since (x-2-4x+7=(x-2)2+3), the minimum value is (3). Completing the square is the fastest method.
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{x-2+4}) where \(x\in\mathbb{R}\)?
A. ( \(0,\frac{1}{4}] \)
क्योंकि \(x^2+4\ge4\), अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है और (0) केवल निकट आता है। परीक्षा में असम्प्राप्त सीमा को बंद न करें। / Because \(x^2+4\ge4\), the maximum value is \(\frac{1}{4}\), and (0) is only approached. In exams do not close an unattained endpoint.
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If (f(x)=|x-3|+|x+1|), what is the minimum value of (f)?
A. (4)
दो बिंदुओं ( -1 ) और (3) से दूरी का योग कम से कम उनके बीच की दूरी (4) होता है। निरपेक्ष मान में दूरी वाला विचार उपयोगी है। / The sum of distances from (-1) and (3) is at least their distance (4). The distance idea is useful for absolute value questions.
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What is the range of (f(x)=\frac{x-1}{x+2}) where \(x\ne-2\)?
A. \( \mathbb{R}\setminus{1} \)
\(y=\frac{x-1}{x+2}\) से \(x=\frac{1+2y}{1-y}\) मिलता है इसलिए \(y\ne1\)। परिसर के लिए (x) को (y) के रूप में लिखना कारगर है। / From \(y=\frac{x-1}{x+2}\), we get \(x=\frac{1+2y}{1-y}\), so \(y\ne1\). Writing (x) in terms of (y) works well for range.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{1}{x-1})?
A. \( [-4,\infty\)\setminus{1} )
वर्गमूल से \(x\ge-4\) और हर से \(x\ne1\) चाहिए। मिश्रित फलन में सभी प्रतिबंध साथ लागू करें। / The square root gives \(x\ge-4\), and the denominator gives \(x\ne1\). Apply all restrictions together in mixed functions.
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If (f(x)=\log_2(7-2x)), what is the domain of (f)?
A. ( \(-\infty,\frac{7}{2}\) )
लघुगणक के अंदर (7-2x>0) होना चाहिए। \(\log\) में शून्य या ऋणात्मक मान स्वीकार नहीं होता। / The logarithm argument must satisfy (7-2x>0). A logarithm does not accept zero or negative input.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}})?
A. ( \(-\infty,-3\)\cup[1,\infty) )
हमें \(\frac{x-1}{x+3}\ge0\) और \(x\ne-3\) चाहिए। संख्या रेखा पर चिन्ह जाँच सबसे सुरक्षित है। / We need \(\frac{x-1}{x+3}\ge0\) and \(x\ne-3\). A sign chart on the number line is the safest method.
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If (f(x)=\frac{2x+3}{x-4}), which value is not in the range of (f)?
A. (2)
\(y=\frac{2x+3}{x-4}\) से \(x=\frac{4y+3}{y-2}\) मिलता है इसलिए \(y\ne2\)। ऐसे प्रश्न में अनुपलब्ध (y) खोजें। / From \(y=\frac{2x+3}{x-4}\), we get \(x=\frac{4y+3}{y-2}\), so \(y\ne2\). In such questions find the unavailable (y).
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What is the range of (f(x)=3-\sqrt{2x-1})?
A. ( \(-\infty,3] \)
\(\sqrt{2x-1}\ge0\) इसलिए \(3-\sqrt{2x-1}\le3\) और नीचे अनबाउंड है। ऋण चिह्न सीमा की दिशा बदल देता है। / Since \(\sqrt{2x-1}\ge0\), \(3-\sqrt{2x-1}\le3\) and is unbounded below. The negative sign reverses the direction of the range.
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If (f(x)=\frac{1}{|x|-2}), what is the domain?
A. \( \mathbb{R}\setminus{-2,2} \)
हर शून्य तब होगा जब (|x|-2=0), यानी \(x=\pm2\)। निरपेक्ष मान समीकरण के दोनों हल याद रखें। / The denominator is zero when (|x|-2=0), so \(x=\pm2\). Remember both solutions of an absolute value equation.
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What is the range of (f(x)=|x-2|+3)?
A. \( [3,\infty\) )
क्योंकि \(|x-2|\ge0\), न्यूनतम मान (3) है। ऐसे प्रश्न में निरपेक्ष मान का न्यूनतम (0) रखें। / Because \(|x-2|\ge0\), the minimum value is (3). In such questions keep the minimum of absolute value as (0).
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If (f(x)=\sqrt{9-(x-1)2}), what is the domain?
A. ( [-2,4] )
शर्त (9-(x-1)2\ge0) से ((x-1)2\le9) मिलता है। केंद्र (1) और त्रिज्या (3) सोचकर अंतराल लें। / The condition (9-(x-1)2\ge0) gives ((x-1)2\le9). Think of center (1) and radius (3) to get the interval.
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What is the domain of (f(x)=\frac{x-2+1}{x-2-1})?
A. \( \mathbb{R}\setminus{-1,1} \)
हर \(x^2-1=0\) पर शून्य होता है इसलिए \(x=\pm1\) हटेंगे। अंश से प्रांत पर प्रतिबंध नहीं आता। / The denominator becomes zero at \(x^2-1=0\), so \(x=\pm1\) are excluded. The numerator does not restrict the domain.
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If (f(x)=x+\frac{1}{x}) and (x>0), what is the range of (f)?
A. \( [2,\infty\) )
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge2\) और समानता (x=1) पर मिलती है। एएम-जीएम असमानता यहाँ तेज है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge2\), with equality at (x=1). The AM-GM inequality is quick here.
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If (f(x)=x+\frac{1}{x}) and (x<0), what is the range of (f)?
A. ( \(-\infty,-2] \)
ऋणात्मक (x) के लिए मान (-2) या उससे कम होते हैं और समानता (x=-1) पर आती है। प्रांत का चिन्ह परिसर बदल देता है। / For negative (x), the values are (-2) or less, with equality at (x=-1). The sign of the domain changes the range.
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What is the range of (f(x)=\frac{x-2}{x-2+1}) where \(x\in\mathbb{R}\)?
A. ( [0,1) )
\(x^2\ge0\) से मान (0) पर मिलता है और \(\frac{x^2}{x^2+1}<1\) रहता है। सीमा (1) प्राप्त नहीं होती। / Since \(x^2\ge0\), the value (0) is attained, and \(\frac{x^2}{x^2+1}<1\). The limit (1) is not attained.
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If (f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}), what are the domain and range respectively?
A. \( [0,\infty\),,(0,1] )
\(x\ge0\) और हर \(1+\sqrt{x}\ge1\) है। (x=0) पर (1) मिलता है और (0) केवल निकट आता है। / Here \(x\ge0\), and \(1+\sqrt{x}\ge1\). At (x=0) the value is (1), while (0) is only approached.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x-2-4x+3})?
A. ( \(-\infty,1]\cup[3,\infty\) )
(x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) और इसे \(\ge0\) चाहिए। ऊपर खुलने वाले द्विघात में बाहरी अंतराल चुने जाते हैं। / Since (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)), it must be \(\ge0\). For an upward quadratic, the outside intervals are selected.
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If (f(x)=\frac{1}{\sqrt{16-x-2}}), what is the domain?
A. ( (-4,4) )
हर में वर्गमूल है इसलिए \(16-x^2>0\) चाहिए। यहाँ सिरों \(x=\pm4\) को शामिल नहीं किया जाएगा। / The square root is in the denominator, so \(16-x^2>0\) is required. The endpoints \(x=\pm4\) are not included here.
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What is the range of (f(x)=\frac{3}{2+\cos x})?
A. ( [1,3] )
\(\cos x\in[-1,1]\) इसलिए \(2+\cos x\in[1,3]\), अतः \(f(x)\in[1,3]\)। reciprocal लेते समय क्रम उलट सकता है। / Since \(\cos x\in[-1,1]\), \(2+\cos x\in[1,3]\), so \(f(x)\in[1,3]\). The order may reverse when taking reciprocals.
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If (f(x)=5-2\sin x), what is the range of (f)?
A. ( [3,7] )
\(\sin x\in[-1,1]\) होने से \(-2\sin x\in[-2,2]\) और कुल परिसर ( [3,7] ) है। गुणा और जोड़ को क्रम से लागू करें। / Since \(\sin x\in[-1,1]\), \(-2\sin x\in[-2,2]\), giving total range ([3,7]). Apply multiplication and addition step by step.
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What is the domain of (f(x)=\tan x)?
A. \( \mathbb{R}\setminus{\frac{\pi}{2}+n\pi:n\in\mathbb{Z}} \)
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है इसलिए \(\cos x\ne0\) होना चाहिए। \(\tan x\) में विषम \(\frac{\pi}{2}\) वाले कोण हटते हैं। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), we need \(\cos x\ne0\). For \(\tan x\), odd multiples around \(\frac{\pi}{2}\) are excluded.
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If (f(x)=\frac{1}{\log x}), what is the domain of (f)?
A. ( \(0,\infty\)\setminus{1} )
\(\log x\) के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log x\ne0\) चाहिए। इसलिए (x=1) अलग से हटेगा। / For \(\log x\), (x>0), and for the denominator \(\log x\ne0\). Therefore (x=1) must be excluded separately.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{\log_3(x-2)})?
A. \( [3,\infty\) )
वर्गमूल के लिए (\log_3(x-2)\ge0) चाहिए जिससे \(x-2\ge1\) मिलता है। साथ में (x-2>0) पहले से पूरा है। / The square root requires (\log_3(x-2)\ge0), giving \(x-2\ge1\). The condition (x-2>0) is already satisfied.
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If (f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-5}), what is the domain?
A. \( [1,\infty\)\setminus{5} )
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge1\) और हर के लिए \(x\ne5\) चाहिए। सिरा (x=1) मान्य है क्योंकि हर शून्य नहीं है। / For \(\sqrt{x-1}\), \(x\ge1\), and for the denominator \(x\ne5\). The endpoint (x=1) is valid because the denominator is not zero.
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{x-2-6x+10})?
A. ( (0,1] )
हर ((x-3)2+1\ge1) है इसलिए अधिकतम \(\frac{1}{1}=1\) है और (0) प्राप्त नहीं होता। पूर्ण वर्ग से सीमा साफ मिलती है। / The denominator ((x-3)2+1\ge1), so the maximum is \(\frac{1}{1}=1\), and (0) is not attained. Completing the square gives the bounds clearly.
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If (f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{6-x}), what is the domain?
A. ( [0,6] )
\(\sqrt{x}\) से \(x\ge0\) और \(\sqrt{6-x}\) से \(x\le6\) है। दोनों शर्तों का साझा भाग ( [0,6] ) है। / From \(\sqrt{x}\), \(x\ge0\), and from \(\sqrt{6-x}\), \(x\le6\). The common part is ([0,6]).
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What is the maximum value of (f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{6-x})?
A. \(2\sqrt{3}\)
सममिति के कारण अधिकतम (x=3) पर है और मान \(2\sqrt{3}\) है। ऐसे रूप में दोनों पद बराबर करने की कोशिश करें। / By symmetry the maximum occurs at (x=3), and the value is \(2\sqrt{3}\). In such forms try making the two terms equal.
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If (f(x)=x-2) and the domain is ([-5,-2]), what is the range?
A. ( [4,25] )
इस अंतराल में (|x|) का न्यूनतम (2) और अधिकतम (5) है। ऋणात्मक प्रांत में \(x^2\) घटता दिख सकता है पर मान धनात्मक रहते हैं। / On this interval, the minimum of (|x|) is (2) and the maximum is (5). On a negative domain \(x^2\) may decrease, but values remain positive.
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What is the range of (f(x)=\frac{x}{x-2+1}) where \(x\in\mathbb{R}\)?
A. \( [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \)
\(y=\frac{x}{x^2+1}\) से \(yx^2-x+y=0\) मिलता है और विविक्तकर \(\ge0\) देने पर \(|y|\le\frac{1}{2}\)। परिसर के लिए विविक्तकर विधि उपयोगी है। / From \(y=\frac{x}{x^2+1}\), we get \(yx^2-x+y=0\), and discriminant \(\ge0\) gives \(|y|\le\frac{1}{2}\). The discriminant method is useful for range.
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If (f(x)=\frac{x-2+2x+5}{x-2+2x+2}), what is the range of (f)?
A. ( \(1,\frac{5}{2}] \)
हर ((x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। इसलिए मान (1) से बड़े और \(\frac{5}{2}\) तक हैं। / The denominator is ((x+1)2+1), and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). Hence values are greater than (1) and up to \(\frac{5}{2}\).
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{|x|+1})?
A. ( (0,1] )
\(|x|+1\ge1\) इसलिए अधिकतम (1) है और (0) प्राप्त नहीं होता। हर के अनंत होने पर भिन्न (0) के पास जाती है। / Since \(|x|+1\ge1\), the maximum is (1), and (0) is not attained. As the denominator grows without bound, the fraction approaches (0).
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If (f(x)=\sqrt{|x|-3}), what is the domain?
A. ( \(-\infty,-3]\cup[3,\infty\) )
वर्गमूल के लिए \(|x|-3\ge0\) यानी \(|x|\ge3\) चाहिए। निरपेक्ष असमानता में बाहरी भाग चुने जाते हैं। / The square root requires \(|x|-3\ge0\), so \(|x|\ge3\). For this absolute inequality, the outside intervals are selected.
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What is the range of (f(x)=|x-1|-|x+2|)?
A. ( [-3,3] )
दो स्थिर बिंदुओं से दूरी के अंतर का मान उनकी दूरी (3) से अधिक नहीं होता। इसलिए परिसर ( [-3,3] ) है। / The difference of distances from two fixed points cannot exceed their distance (3). Therefore the range is ([-3,3]).
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If (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\sqrt{8-x}), what is the domain?
A. ( (2,8] )
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x>2), और \(\sqrt{8-x}\) से \(x\le8\) है। हर के कारण (2) हटेगा पर (8) रहेगा। / Since \(\sqrt{x-2}\) is in the denominator, (x>2), and \(\sqrt{8-x}\) gives \(x\le8\). Because of the denominator (2) is excluded but (8) remains.
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What is the range of (f(x)=\sqrt{x-2+6x+10})?
A. \( [1,\infty\) )
अंदर का पद ((x+3)2+1\ge1) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम मान (1) मिलता है। / The inside expression is ((x+3)2+1\ge1). Taking the square root gives the minimum value (1).
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If (f(x)=\frac{x-2-1}{x-2+1}), what is the range of (f)?
A. ( [-1,1) )
(f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}) है इसलिए न्यूनतम (-1) और ऊपरी सीमा (1) अप्राप्त है। रूप बदलकर परिसर जल्दी मिलता है। / Here (f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}), so the minimum is (-1), and the upper bound (1) is not attained. Rewriting the expression quickly gives the range.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4})?
A. \( [4,\infty\) )
दोनों वर्गमूलों में \(x-1\ge0\) और \(x-4\ge0\) चाहिए। कठोरतम शर्त \(x\ge4\) है। / Both square roots require \(x-1\ge0\) and \(x-4\ge0\). The strongest condition is \(x\ge4\).
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If (f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}), what is the range of (f)?
A. \( [\sqrt{3},\infty\) )
प्रांत \(x\ge4\) है और (x=4) पर मान \(\sqrt{3}\) मिलता है। दोनों पद बढ़ते हैं इसलिए यही न्यूनतम है। / The domain is \(x\ge4\), and at (x=4) the value is \(\sqrt{3}\). Both terms increase, so this is the minimum.
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What is the maximum value of (f(x)=\frac{1}{x-2+2x+5})?
A. \(\frac{1}{4}\)
हर ((x+1)2+4) का न्यूनतम (4) है। भिन्न का अधिकतम तब होता है जब धनात्मक हर न्यूनतम हो। / The denominator ((x+1)2+4) has minimum (4). The fraction is maximum when the positive denominator is minimum.
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If (f(x)=\frac{x+2}{x-2+4x+5}), what is the range of (f)?
A. \( [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \)
(t=x+2) रखने पर \(f=\frac{t}{t^2+1}\) मिलता है। इसका परिसर \( [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \) है। / Putting (t=x+2), we get \(f=\frac{t}{t^2+1}\). Its range is \([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\).
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{2-|x-1|})?
A. ( [-1,3] )
शर्त \(2-|x-1|\ge0\) से \(|x-1|\le2\) मिलता है। इससे \(-1\le x\le3\) होगा। / The condition \(2-|x-1|\ge0\) gives \(|x-1|\le2\). Hence \(-1\le x\le3\).
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If (f(x)=\sqrt{2-|x-1|}), what is the range of (f)?
A. \( [0,\sqrt{2}] \)
अंदर (2-|x-1|) का अधिकतम (2) और न्यूनतम (0) है। वर्गमूल से परिसर \( [0,\sqrt{2}] \) मिलता है। / The inside expression (2-|x-1|) has maximum (2) and minimum (0). Taking square root gives the range \([0,\sqrt{2}]\).
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x+2|-5}})?
A. ( \(-\infty,-7\)\cup\(3,\infty\) )
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x+2|-5>0) चाहिए। अतः (|x+2|>5) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so (|x+2|-5>0) is required. Thus (|x+2|>5) gives the outside open intervals.
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If (f(x)=\frac{4x-1}{2x+5}), what is the range of (f)?
A. \( \mathbb{R}\setminus{2} \)
\(y=\frac{4x-1}{2x+5}\) से \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\) मिलता है इसलिए \(y\ne2\)। रैखिक भिन्नात्मक फलन में अनुपलब्ध मान अक्सर अग्र गुणांकों का अनुपात होता है। / From \(y=\frac{4x-1}{2x+5}\), we get \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\), so \(y\ne2\). For a linear fractional function, the missing value is often the ratio of leading coefficients.
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If (f(x)=\frac{\sqrt{(x-2)(7-x)}}{x-2-9}), what is the domain of (f)?
A. ( [2,3)\cup(3,7] )
वर्गमूल के लिए ((x-2)(7-x)\ge0) से \(x\in[2,7]\) मिलता है और हर से \(x\ne3\) हटेगा। संयुक्त प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लेना जरूरी है। / For the square root, ((x-2)(7-x)\ge0) gives \(x\in[2,7]\), and the denominator removes (x=3). Taking the intersection of all restrictions is essential.
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What is the range of (f(x)=1+\frac{2}{x-2-4x+8}) where \(x\in\mathbb{R}\)?
A. ( \(1,\frac{3}{2}] \)
हर (x-2-4x+8=(x-2)2+4) है इसलिए भिन्न का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है और न्यूनतम (0) प्राप्त नहीं होता। इसलिए कुल परिसर ( \(1,\frac{3}{2}] \) है। / The denominator is (x-2-4x+8=(x-2)2+4), so the fraction has maximum \(\frac{1}{2}\) and never attains (0). Hence the total range is (\(1,\frac{3}{2}]\).
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What is the domain of the function (f(x)=\sqrt{3x-12})?
A. \(x\ge 4\)
वर्गमूल के अंदर \(3x-12\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ge 4\)। परीक्षा में वर्गमूल के लिए अंदर का भाग हमेशा अशून्य या धनात्मक रखें। / The expression inside the square root must satisfy \(3x-12\ge 0\), so \(x\ge 4\). In exams, always keep the radicand non-negative.
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Choose the domain of (f(x)=\sqrt{25-x-2}).
A. ([-5,5])
यहां \(25-x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2\le 25\) और \(x\in[-5,5]\)। ऐसे प्रश्नों में असमानता को सावधानी से हल करें। / Here \(25-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 25\) and \(x\in[-5,5]\). In such questions, solve the inequality carefully.
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What will be the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}})?
A. (x>2)
हर में वर्गमूल है, इसलिए (x-2>0) चाहिए। इसलिए प्रांत (\(2,\infty\)) है। / The square root is in the denominator, so (x-2>0) is required. Hence the domain is (\(2,\infty\)).
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Find the domain of (f(x)=\frac{x+1}{x-2-9}).
A. \(\mathbb{R}-{-3,3}\)
हर \(x^2-9\ne 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ne -3,3\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएं। / The denominator must satisfy \(x^2-9\ne 0\), so \(x\ne -3,3\). In exams, remove values that make the denominator zero.
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Which is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-4})?
A. \([-1,\infty\)-{4})
वर्गमूल के लिए \(x+1\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-1,\infty\)-{4}) है। / For the square root \(x+1\ge 0\) and for the denominator \(x\ne 4\) are required. Thus the intersection is \([-1,\infty\)-{4}).
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What is the range of (f(x)=(x-2)2+5)?
A. \([5,\infty\))
क्योंकि ((x-2)2\ge 0), न्यूनतम मान (5) है। अतः परिसर \([5,\infty\)) है। / Since ((x-2)2\ge 0), the minimum value is (5). Hence the range is \([5,\infty\)).
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Choose the range of (f(x)=7-(x+3)2).
A. (\(-\infty,7]\)
क्योंकि ((x+3)2\ge 0), (7-(x+3)2\le 7)। अधिकतम मान (7) है। / Since ((x+3)2\ge 0), (7-(x+3)2\le 7). The maximum value is (7).
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If (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}), what is the domain of (f)?
A. \(\mathbb{R}-{3}\)
हर \(x-3\ne 0\), इसलिए \(x\ne 3\)। रैशनल फलन में हर की शर्त सबसे पहले देखें। / The denominator \(x-3\ne 0\), so \(x\ne 3\). For rational functions, check the denominator condition first.
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What is the range of (f(x)=\frac{2x+1}{x-3})?
A. \(\mathbb{R}-{2}\)
यदि \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), तो \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), अतः \(y\ne 2\)। इसलिए परिसर \(\mathbb{R}-{2}\) है। / If \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), then \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), so \(y\ne 2\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{2}\).
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Find the range of (f(x)=\frac{1}{x-2+4}).
A. (\(0,\frac{1}{4}]\)
क्योंकि \(x^2+4\ge 4\), इसलिए (0<f(x)\le \frac{1}{4})। शून्य प्राप्त नहीं होता। / Since \(x^2+4\ge 4\), (0<f(x)\le \frac{1}{4}). The value (0) is never attained.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{9-(x-1)2})?
A. ([-2,4])
शर्त (9-(x-1)2\ge 0) से ((x-1)2\le 9) मिलता है। इसलिए \(x\in[-2,4]\)। / The condition (9-(x-1)2\ge 0) gives ((x-1)2\le 9). Hence \(x\in[-2,4]\).
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Choose the range of (f(x)=\sqrt{9-(x-1)2}).
A. ([0,3])
वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता और अंदर का अधिकतम मान (9) है। इसलिए परिसर ([0,3]) है। / A square root is never negative and the maximum inside value is (9). Hence the range is ([0,3]).
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If (f(x)=|x-4|+2), what is its range?
A. \([2,\infty\))
क्योंकि \(|x-4|\ge 0\), न्यूनतम मान (2) है। अतः परिसर \([2,\infty\)) है। / Since \(|x-4|\ge 0\), the minimum value is (2). Hence the range is \([2,\infty\)).
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Which is the range of (f(x)=\frac{1}{|x|+1})?
A. ((0,1])
क्योंकि \(|x|+1\ge 1\), इसलिए (0<f(x)\le 1)। (0) केवल सीमा मान है, प्राप्त नहीं होता। / Since \(|x|+1\ge 1\), (0<f(x)\le 1). The value (0) is only a limiting value and is not attained.
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What is the range of (f(x)=\frac{x-2-1}{x-2+1})?
A. ([-1,1))
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t-1}{t+1}\)। (t=0) पर (-1) मिलता है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t-1}{t+1}\). At (t=0), (-1) occurs and (1) is not attained.
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Find the domain of (f(x)=\sqrt{x-2-16}).
A. (\(-\infty,-4]\cup[4,\infty\))
वर्गमूल के लिए \(x^2-16\ge 0\), इसलिए \(x^2\ge 16\)। अतः \(x\le -4\) या \(x\ge 4\)। / For the square root \(x^2-16\ge 0\), so \(x^2\ge 16\). Hence \(x\le -4\) or \(x\ge 4\).
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Choose the range of (f(x)=\sqrt{x-2-16}).
A. \([0,\infty\))
प्रांत में \(x^2-16\ge 0\) और वर्गमूल का न्यूनतम मान (0) है। बड़े (|x|) पर मान असीमित बढ़ता है। / On the domain, \(x^2-16\ge 0\) and the minimum square-root value is (0). For large (|x|), the value grows without bound.
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What is the domain of (f(x)=\log_2\(x^2-5x+6\))?
A. (\(-\infty,2\)\cup\(3,\infty\))
लघुगणक के लिए \(x^2-5x+6>0\) चाहिए। ((x-2)(x-3)>0), इसलिए (x<2) या (x>3)। / For a logarithm, \(x^2-5x+6>0\) is needed. Since ((x-2)(x-3)>0), (x<2) or (x>3).
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Which is the domain of (f(x)=\log_5(4-x))?
A. (\(-\infty,4\))
लघुगणक का आर्गुमेंट (4-x>0) होना चाहिए। इसलिए (x<4)। / The logarithm argument must satisfy (4-x>0). Therefore (x<4).
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\log_3 x})?
A. (\(0,\infty\)-{1})
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_3 x\ne 0\), यानी \(x\ne 1\)। दोनों शर्तें साथ रखें। / For the logarithm (x>0), and for the denominator \(\log_3 x\ne 0\), so \(x\ne 1\). Keep both conditions together.
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If (f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}), which is the domain?
A. (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty))
शर्त \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) है। साइन चार्ट से (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign chart gives (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)).
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Find the domain of (f(x)=\sqrt{\frac{5-x}{x+1}}).
A. ((-1,5])
शर्त \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) और \(x\ne -1\) है। साइन परीक्षण से ((-1,5]) मिलता है। / The condition is \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) and \(x\ne -1\). Sign testing gives ((-1,5]).
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{x-2-4x+5})?
A. ((0,1])
हर (x-2-4x+5=(x-2)2+1\ge 1)। इसलिए (0<f(x)\le 1)। / The denominator (x-2-4x+5=(x-2)2+1\ge 1). Hence (0<f(x)\le 1).
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Choose the range of (f(x)=\frac{x}{x-2+1}).
A. \([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\)
यदि \(y=\frac{x}{x^2+1}\), तो \(yx^2-x+y=0\) में विविक्तकर \(1-4y^2\ge 0\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\)। / If \(y=\frac{x}{x^2+1}\), then the discriminant of \(yx^2-x+y=0\) must satisfy \(1-4y^2\ge 0\). Thus \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\).
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If (f(x)=x+\frac{1}{x}), (x>0), what is the range of (f)?
A. \([2,\infty\))
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) होता है। बराबरी (x=1) पर आती है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge 2\). Equality occurs at (x=1).
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If (f(x)=x+\frac{4}{x}), (x<0), choose the range of (f).
A. (\(-\infty,-4]\)
ऋणात्मक (x) के लिए (x=-t), (t>0), तब (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4)। इसलिए परिसर (\(-\infty,-4]\) है। / For negative (x), put (x=-t), (t>0), then (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4). Hence the range is (\(-\infty,-4]\).
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Find the range of (f(x)=\frac{x-2}{x+5}).
A. \(\mathbb{R}-{1}\)
यदि \(y=\frac{x-2}{x+5}\), तो \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), इसलिए \(y\ne 1\)। अतः परिसर \(\mathbb{R}-{1}\) है। / If \(y=\frac{x-2}{x+5}\), then \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{1}\).
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x})?
A. ([-2,6])
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+2\ge 0\) और \(6-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(x\in[-2,6]\)। / For both square roots, \(x+2\ge 0\) and \(6-x\ge 0\) are required. Hence \(x\in[-2,6]\).
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What is the maximum value of (f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x})?
A. (4)
प्रांत ([-2,6]) पर योग सममित है और अधिकतम (x=2) पर मिलता है। तब मान \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\) है। / On ([-2,6]), the sum is symmetric and maximum occurs at (x=2). Then the value is \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\).
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Choose the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x-2}}).
A. ((-2,2))
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(4-x^2>0\) चाहिए। इससे (-2<x<2) मिलता है। / The square root is in the denominator, so \(4-x^2>0\) is required. This gives (-2<x<2).
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x-2}})?
A. \([\frac{1}{2},\infty\))
\(\sqrt{4-x^2}\) का अधिकतम मान (2) है, इसलिए (f) का न्यूनतम मान \(\frac{1}{2}\) है। किनारों के पास मान असीमित बढ़ता है। / The maximum value of \(\sqrt{4-x^2}\) is (2), so the minimum value of (f) is \(\frac{1}{2}\). Near the endpoints, the value grows without bound.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-5})?
A. \([1,\infty\)-{5})
वर्गमूल के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([1,\infty\)-{5}) है। / For the square root \(x\ge 1\), and for the denominator \(x\ne 5\) are needed. Hence the domain is \([1,\infty\)-{5}).
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Choose the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{7-x}}).
A. ([3,7))
ऊपर के वर्गमूल के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के वर्गमूल के लिए (7-x>0) चाहिए। अतः \(x\in[3,7\))। / For the numerator square root \(x-3\ge 0\), and for the denominator square root (7-x>0). Thus \(x\in[3,7\)).
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If (f(x)=x-2-6x+11), what is the minimum value of (f)?
A. (2)
(x-2-6x+11=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। पूर्ण वर्ग बनाना ऐसे प्रश्नों में सबसे तेज विधि है। / Since (x-2-6x+11=(x-3)2+2), the minimum value is (2). Completing the square is the fastest method here.
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What is the range of (f(x)=-2x-2+8x+1)?
A. (\(-\infty,9]\)
(f(x)=-2(x-2)2+9), इसलिए अधिकतम मान (9) है। नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का परिसर (\(-\infty,9]\) होता है। / (f(x)=-2(x-2)2+9), so the maximum value is (9). A downward-opening parabola has range (\(-\infty,9]\).
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If (f(x)=\frac{3}{x-2-2x+2}+1), what is the range of (f)?
A. ((1,4])
\(हर (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), इसलिए (\frac{3}{\)हर}\in(0,3])। इसलिए परिसर ((1,4]) है। \(/ The denominator (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), so (\frac{3}{\)denominator\(}\in(0,3]). Hence the range is ((1,4]).\)
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Choose the range of (f(x)=\frac{x-2+2}{x-2+5}).
A. \([\frac{2}{5},1\))
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t+2}{t+5}\)। यह (t=0) पर \(\frac{2}{5}\) है और (1) तक पहुंचता है पर (1) नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+2}{t+5}\). It is \(\frac{2}{5}\) at (t=0) and approaches (1) but never equals (1).
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If (f(x)=\frac{x-2+1}{x-2-1}), what is the domain?
A. \(\mathbb{R}-{-1,1}\)
हर \(x^2-1\ne 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x\ne -1\) और \(x\ne 1\)। / The denominator must satisfy \(x^2-1\ne 0\). Therefore \(x\ne -1\) and \(x\ne 1\).
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What is the range of (f(x)=\frac{x-2+1}{x-2-1})?
A. ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\))
यदि \(t=x^2\ge 0\) और \(t\ne 1\), तो \(y=\frac{t+1}{t-1}\)। इससे \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) देकर परिसर ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)) मिलता है। / If \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 1\), then \(y=\frac{t+1}{t-1}\). Using \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) gives the range ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)).
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{2x-x-2})?
A. ([0,2])
शर्त \(2x-x^2\ge 0\) से (x(2-x)\ge 0) मिलता है। इसलिए \(x\in[0,2]\)। / The condition \(2x-x^2\ge 0\) gives (x(2-x)\ge 0). Hence \(x\in[0,2]\).
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Choose the range of (f(x)=\sqrt{2x-x-2}).
A. ([0,1])
(2x-x-2=1-(x-1)2), जिसका अधिकतम मान (1) है। वर्गमूल से परिसर ([0,1]) मिलता है। / (2x-x-2=1-(x-1)2), whose maximum value is (1). The square root gives the range ([0,1]).
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If (f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}), what is the domain?
A. \(\mathbb{R}-{-1,1}\)
दोनों हर शून्य नहीं होने चाहिए, इसलिए \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\)। योग वाले रैशनल फलन में सभी हर जांचें। / Both denominators must be non-zero, so \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). In sums of rational functions, check every denominator.
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Which is the range of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2+6x+10}})?
A. ((0,1])
क्योंकि (x-2+6x+10=(x+3)2+1\ge 1), हर का न्यूनतम मान (1) है। इसलिए (0<f(x)\le 1)। / Since (x-2+6x+10=(x+3)2+1\ge 1), the denominator has minimum value (1). Therefore (0<f(x)\le 1).
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What is the range of (f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-2+1}})?
A. ((-1,1))
हर हमेशा (|x|) से बड़ा होता है, इसलिए (-1<f(x)<1)। (-1) और (1) केवल सीमा मान हैं। / The denominator is always greater than (|x|), so (-1<f(x)<1). The values (-1) and (1) are only limiting values.
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If (f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}), what is the domain?
A. ([0,1])
शर्तें \(x\ge 0\) और \(1-x\ge 0\) हैं। दोनों मिलाकर \(x\in[0,1]\) मिलता है। / The conditions are \(x\ge 0\) and \(1-x\ge 0\). Together they give \(x\in[0,1]\).
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Choose the range of (f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}).
A. \([1,\sqrt{2}]\)
प्रांत ([0,1]) में न्यूनतम मान किनारों पर (1) और अधिकतम \(x=\frac{1}{2}\) पर \(\sqrt{2}\) है। इसलिए परिसर \([1,\sqrt{2}]\) है। / On ([0,1]), the minimum at endpoints is (1) and the maximum at \(x=\frac{1}{2}\) is \(\sqrt{2}\). Hence the range is \([1,\sqrt{2}]\).
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What is the maximum value of (f(x)=\frac{1}{x-2+2x+2})?
A. (1)
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1) का न्यूनतम मान (1) है। इसलिए फलन का अधिकतम मान (1) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1) has minimum value (1). Hence the maximum value of the function is (1).
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If the real function (f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-2-9}) is given, what is its domain?
A. \([2,\infty\)-{3})
वर्गमूल के लिए \(x\ge 2\) और हर के लिए \(x\ne -3,3\) चाहिए। लेकिन (-3) पहले ही \(x\ge 2\) में नहीं है, इसलिए केवल (3) हटेगा। / For the square root \(x\ge 2\), and for the denominator \(x\ne -3,3\) are required. But (-3) is already outside \(x\ge 2\), so only (3) is removed.
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{\frac{x-2-4}{9-x-2}})?
A. (\(-3,-2]\cup[2,3\))
शर्त \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) और \(x\ne -3,3\) है। साइन चार्ट से (\(-3,-2]\cup[2,3\)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) and \(x\ne -3,3\). A sign chart gives (\(-3,-2]\cup[2,3\)).
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If (f(x)=\frac{2x-2+3}{x-2+1}), what is the range of (f)?
A. ((2,3])
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) घटता है। (t=0) पर (3) मिलता है और (2) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) is decreasing. At (t=0), (3) is obtained and (2) is not attained.
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