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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 33

फलन \(f(x)=\log_2(x^2-5x+6)\) का प्रांत क्या है?

What is the domain of the function \(f(x)=\log_2(x^2-5x+6)\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

लघुगणक का परिभाषित होना सुनिश्चित करने के लिए उसका तर्क strictly धनात्मक होना चाहिए: \(x^2-5x+6>0\)। गुणनखंड करने पर \((x-2)(x-3)>0\) मिलता है, जो \(x<2\) या \(x>3\) के लिए सत्य है। अतः प्रांत \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((2,3)\) में लघुगणक का तर्क ऋणात्मक होता है; 2 और 3 भी शामिल नहीं हो सकते क्योंकि वहाँ तर्क शून्य है। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ, केवल \(g(x)\ne0\) नहीं। / The argument of a logarithm must be strictly positive, so \(x^2-5x+6>0\). Factoring gives \((x-2)(x-3)>0\), which holds when \(x<2\) or \(x>3\). Therefore, the domain is \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\). Option B is incorrect because the logarithm's argument is negative between 2 and 3; the endpoints are also excluded because the argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\), not merely \(g(x)\ne0\).

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फलन \(f(x)=\log_2(x^2-5x+6)\) का प्रांत क्या है? / What is the domain of the function \(f(x)=\log_2(x^2-5x+6)\)?

Correct Answer: A. \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\). Explanation: लघुगणक का परिभाषित होना सुनिश्चित करने के लिए उसका तर्क strictly धनात्मक होना चाहिए: \(x^2-5x+6>0\)। गुणनखंड करने पर \((x-2)(x-3)>0\) मिलता है, जो \(x<2\) या \(x>3\) के लिए सत्य है। अतः प्रांत \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((2,3)\) में लघुगणक का तर्क ऋणात्मक होता है; 2 और 3 भी शामिल नहीं हो सकते क्योंकि वहाँ तर्क शून्य है। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ, केवल \(g(x)\ne0\) नहीं। / The argument of a logarithm must be strictly positive, so \(x^2-5x+6>0\). Factoring gives \((x-2)(x-3)>0\), which holds when \(x<2\) or \(x>3\). Therefore, the domain is \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\). Option B is incorrect because the logarithm's argument is negative between 2 and 3; the endpoints are also excluded because the argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\), not merely \(g(x)\ne0\).