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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 31

यदि वास्तविक संख्या परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{2}{(x+3)^2+1}-4\) है, तो इसका परिसर क्या होगा?

If \(f(x)=\frac{2}{(x+3)^2+1}-4\) is defined for all real numbers, what is its range?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((-4,-2]\)

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए \((x+3)^2+1\ge 1\)। अतः \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\)। \(x=-3\) पर इसका अधिकतम मान \(2\) मिलता है, इसलिए \(f(x)\) का अधिकतम मान \(-2\) है और वह शामिल है। जब \(|x|\) अनंत की ओर बढ़ता है, तब \(f(x)\) \(-4\) के निकट पहुँचता है, लेकिन \(-4\) कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परिसर \((-4,-2]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले हर के लिए पहले उसके न्यूनतम मान का उपयोग करें। / Since \((x+3)^2\ge 0\), we have \((x+3)^2+1\ge 1\). Therefore, \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\). The maximum value \(2\) occurs at \(x=-3\), so the maximum value of \(f(x)\) is \(-2\), which is included. As \(|x|\) tends to infinity, \(f(x)\) approaches \(-4\), but never equals it. Hence the range is \((-4,-2]\). Exam tip: For a denominator containing a square, first determine its minimum possible value.

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Correct Answer: A. \((-4,-2]\). Explanation: क्योंकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए \((x+3)^2+1\ge 1\)। अतः \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\)। \(x=-3\) पर इसका अधिकतम मान \(2\) मिलता है, इसलिए \(f(x)\) का अधिकतम मान \(-2\) है और वह शामिल है। जब \(|x|\) अनंत की ओर बढ़ता है, तब \(f(x)\) \(-4\) के निकट पहुँचता है, लेकिन \(-4\) कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परिसर \((-4,-2]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले हर के लिए पहले उसके न्यूनतम मान का उपयोग करें। / Since \((x+3)^2\ge 0\), we have \((x+3)^2+1\ge 1\). Therefore, \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\). The maximum value \(2\) occurs at \(x=-3\), so the maximum value of \(f(x)\) is \(-2\), which is included. As \(|x|\) tends to infinity, \(f(x)\) approaches \(-4\), but never equals it. Hence the range is \((-4,-2]\). Exam tip: For a denominator containing a square, first determine its minimum possible value.