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A. \(0\) दोहराया हुआ मूल है/\(0\) is a repeated root
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(11\neq 0\), इसलिए \(11x^2=0\) को 11 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। अतः \(x=0\) दोनों बार आता है, इसलिए 0 दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2=0\) में, जहाँ \(a\neq0\), मूल हमेशा \(x=0\) होता है और उसकी बहुलता 2 होती है। / Since \(11\neq 0\), dividing \(11x^2=0\) by 11 gives \(x^2=0\). Thus \(x=0\) occurs twice, so 0 is a repeated root. Exam tip: In an equation of the form \(ax^2=0\), where \(a\neq0\), the root is always \(x=0\) with multiplicity 2.
क्योंकि \\(5\\) समीकरण का मूल है, इसलिए \\(x=5\\) रखने पर \\(5^2+5t-30=0\\) मिलता है। अतः \\(25+5t-30=0\\), यानी \\(5t=5\\) और \\(t=1\\)। परीक्षा में दिया हुआ मूल सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करें; चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / Since \\(5\\) is a root, substitute \\(x=5\\) into the equation: \\(5^2+5t-30=0\\). Thus, \\(25+5t-30=0\\), so \\(5t=5\\) and \\(t=1\\). In such questions, substitute the given root directly and check the signs carefully.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि \(x-9\) बहुपद का गुणनखंड है, तो \(x-9=0\) रखने पर \(x=9\) प्राप्त होता है। इसलिए 9 निश्चित मूल है। ध्यान रखें: \(x-a\) से मूल \(a\) होता है, जबकि \(x+a\) से मूल \(-a\) होता है। / By the factor theorem, if \(x-9\) is a factor, then setting the factor equal to zero gives \(x-9=0\), so \(x=9\). Hence, 9 is certainly a root. Exam tip: a factor of the form \(x-a\) gives the root \(a\), whereas \(x+a\) gives the root \(-a\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(11\) है, इसलिए दूसरा मूल \(11-5=6\) होगा। वास्तव में, \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\), इसलिए मूल \(5\) और \(6\) हैं। ध्यान रखें कि \(11\) दोनों मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, the sum of the roots is \(11\), so the other root is \(11-5=6\). Indeed, \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\), giving roots \(5\) and \(6\). Remember that \(11\) is the sum of the roots, not the other root.
यदि मूल �(-4)� और �(2)� हों, तो समीकरण �\((x+4)(x-2)=0\)� होगा। इसका विस्तार करने पर �\(x^2+2x-8=0\)� प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B के मूल �(4)� और �(-2)� होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों से समीकरण बनाने के लिए �\((x-\alpha)(x-\beta)=0\)� का प्रयोग करें। / If the roots are �(-4)� and �(2)�, the equation is �\((x+4)(x-2)=0\)�. Expanding it gives �\(x^2+2x-8=0\)�, so option A is correct. Option B has roots �(4)� and �(-2)� instead. Exam tip: To form a quadratic from roots �\(\alpha\)� and �\(\beta\)�, use �\((x-\alpha)(x-\beta)=0\)�.
समीकरण को \(x^2-12x+36=(x-6)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-6)^2=0\), इसलिए मूल \(x=6\) है और यही दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग वाले द्विघात समीकरण में वर्ग के अंदर के पद को शून्य करके मूल ज्ञात करें। / The equation can be written as \(x^2-12x+36=(x-6)^2\). Thus, \((x-6)^2=0\), giving \(x=6\), which is the repeated root. Exam tip: In a perfect-square quadratic equation, set the expression inside the square equal to zero to find the repeated root.
समीकरण \(5x^2-45=0\) में 5 से भाग देने पर \(x^2-9=0\), अर्थात् \(x^2=9\) मिलता है। इसलिए \(x=\pm3\), यानी मूल 3 और −3 हैं। विकल्प B में \(x^2\) का मान 9 लिया गया है, मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) होने पर दोनों मूल \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखना न भूलें। / Dividing \(5x^2-45=0\) by 5 gives \(x^2-9=0\), so \(x^2=9\). Hence, \(x=\pm3\), and the roots are 3 and −3. In option B, 9 and −9 are incorrectly treated as the roots instead of the value of \(x^2\). Exam tip: whenever \(x^2=a\), write both roots as \(x=\pm\sqrt{a}\).
दिए गए समीकरण को मानक रूप में लिखने पर \(x^2-4x=0\) मिलता है। गुणनखंड करने पर \(x(x-4)=0\), इसलिए शून्य गुणनफल नियम से \(x=0\) या \(x=4\)। अतः मूल 0 और 4 हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले सभी पदों को एक तरफ लाकर गुणनखंड करना याद रखें। / Rearranging the equation gives \(x^2-4x=0\). Factoring, \(x(x-4)=0\), so by the zero-product property, \(x=0\) or \(x=4\). Therefore, the roots are 0 and 4. Exam tip: first bring all terms to one side and then factorise the quadratic.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2+6x=x(x+6)=0\) मिलता है। अतः \(x=0\) या \(x+6=0\), जिससे \(x=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए मूल \(0\) और \(-6\) हैं। विकल्प B में \(-6\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे समीकरणों में पहले सामान्य गुणनखंड निकालकर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें। / Factoring the equation gives \(x^2+6x=x(x+6)=0\). Hence, either \(x=0\) or \(x+6=0\), which gives \(x=-6\). Therefore, the roots are \(0\) and \(-6\). Option B has the incorrect sign for the second root. Exam tip: When a quadratic has no constant term, take the common factor first and set each factor equal to zero.
C. इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(x^2+25\ge 25\), जो कभी भी शून्य नहीं हो सकता। अतः समीकरण \(x^2+25=0\) का कोई वास्तविक मूल नहीं है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(5^2+25=50\) और \((-5)^2+25=50\), शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) ऋणात्मक हो तो द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence \(x^2+25\ge 25\), so it can never equal zero. Therefore, \(x^2+25=0\) has no real roots. Option D is incorrect because both \(5^2+25\) and \((-5)^2+25\) equal 50, not zero. Exam tip: a quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D>0\), तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। \(D=0\) पर दोनों मूल समान होते हैं और \(D<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का मान जाँचें। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), the equation has two distinct real roots. If \(D=0\), the roots are equal, while \(D<0\) gives non-real roots. In exams, first calculate \(D=b^2-4ac\) to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विभेदक का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=4\) हैं। इसलिए \(D=4^2-4(1)(4)=16-16=0\)। विकल्प 16 में \(4ac\) घटाना भूल गया है, जबकि ऋणात्मक चिह्न लगाने पर \(-16\) प्राप्त होगा, जो गलत है। अतः सही उत्तर 0 है और समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a\), \(b\) और \(c\) के चिह्नों सहित सही मान पहचानें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=4\). Therefore, \(D=4^2-4(1)(4)=16-16=0\). The value 16 results from forgetting to subtract \(4ac\), while -16 comes from using an incorrect sign. Thus, 0 is correct, and the equation has real and equal roots. Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\), including their signs, before substituting them into the formula.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। मूल सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) में \(D=0\) रखने पर दोनों मूल \(\frac{-b}{2a}\) प्राप्त होते हैं। इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं। विकल्प A के लिए \(D>0\) आवश्यक है, जबकि \(D<0\) होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा ‘समान और वास्तविक मूल’ याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Using the quadratic formula \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), when \(D=0\), both values of \(x\) become \(\frac{-b}{2a}\). Hence, the equation has two equal real roots. Option A applies when \(D>0\), whereas \(D<0\) gives no real roots. Exam tip: remember that \(D=0\) means equal and real roots.
मानक द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=6\) और \(c=-2\), इसलिए गुणनफल \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\) है। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है, जबकि विकल्प C और D में भिन्न का हर गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) सीधे याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). In this equation, \(a=6\) and \(c=-2\), so the product is \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\). Option B misses the negative sign, while options C and D use an incorrect denominator. Exam tip: remember that the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\), whereas their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। दिए गए समीकरण में \(a=2\) और \(b=3\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{3}{2}\) होगा। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है, जबकि विकल्प C और D में अचर पद \(c=-5\) को अनुचित रूप से लिया गया है। परीक्षा में मूलों के योग के लिए सीधे \(-b/a\) सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of its roots is \(-\frac{b}{a}\). In the given equation, \(a=2\) and \(b=3\), so the sum is \(-\frac{3}{2}\). Option B misses the negative sign, while options C and D incorrectly use the constant term instead of the coefficient of \(x\). In an exam, apply the sum-of-roots formula \(-b/a\) directly.
क्योंकि \(x=3\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \(3^2+3s-12=0\) मिलता है। अतः \(9+3s-12=0\), यानी \(3s=3\) और \(s=1\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखने से पैरामीटर का मान आसानी से निकाला जा सकता है। / Since \(x=3\) is a root, substitute it directly into the equation: \(3^2+3s-12=0\). Thus, \(9+3s-12=0\), so \(3s=3\) and \(s=1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: whenever a root is given, substitute it for \(x\) in the quadratic equation.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल 0 और 8 हों, तो उसका रूप \((x-0)(x-8)=0\) होगा। अतः \(x(x-8)=0\), जिसे खोलने पर \(x^2-8x=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में मूल 0 और −8 होते हैं, जबकि विकल्प C में मूल 8 और −8 होते हैं। परीक्षा में मूल दिए हों तो \((x-\alpha)(x-\beta)=0\) का प्रयोग करें। / If the roots of a quadratic equation are 0 and 8, its factored form is \((x-0)(x-8)=0\). Thus, \(x(x-8)=0\), which expands to \(x^2-8x=0\). Option B has roots 0 and −8, while option C has roots 8 and −8. Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), use \((x-\alpha)(x-\beta)=0\).
दिए गए समीकरण को \(x^2+10x+21=(x+3)(x+7)\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसलिए \((x+3)(x+7)=0\) से \(x=-3\) या \(x=-7\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-10\) और गुणनफल \(21\) होना चाहिए। / The equation can be factorised as \(x^2+10x+21=(x+3)(x+7)\). Hence, \((x+3)(x+7)=0\) gives \(x=-3\) or \(x=-7\). Option B has the wrong signs. Exam tip: the sum of the roots must be \(-10\) and their product must be \(21\).
द्विघात व्यंजक को गुणनखंडित करने पर \(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\) मिलता है। अतः \((x-3)(x-5)=0\) से \(x=3\) या \(x=5\), इसलिए सही मूल 3 और 5 हैं। ऋणात्मक मूलों वाला विकल्प चिन्ह की गलती के कारण गलत है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर पद 15 के ऐसे गुणनखंड चुनें जिनका योग 8 हो। / Factoring the quadratic gives \(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\). Thus, \((x-3)(x-5)=0\) implies \(x=3\) or \(x=5\), so the roots are 3 and 5. The negative pair is incorrect because it gives the wrong sign for the middle term. Exam tip: look for factors of 15 whose sum is 8.
समीकरण से \(x^2=36\) प्राप्त होता है। अतः \(x=\pm\sqrt{36}=\pm6\), इसलिए दोनों मूल 6 और -6 हैं। विकल्प B में 36 और -36 को मूल समझ लिया गया है, जबकि 36 समीकरण में दिया गया स्थिरांक है। परीक्षा में याद रखें कि \(x^2=a^2\) होने पर मूल \(x=\pm a\) होते हैं। / From the equation, \(x^2=36\). Therefore, \(x=\pm\sqrt{36}=\pm6\), so the two roots are 6 and -6. Option B incorrectly treats 36 and -36 as the roots, whereas 36 is the constant in the equation. Exam tip: when \(x^2=a^2\), the roots are \(x=\pm a\).
समीकरण में \(x=-1\) रखने पर \(2(-1)^2+(-1)-1=2-1-1=0\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=-1\) इस द्विघात समीकरण का मूल है। परीक्षा में किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे समीकरण में रखकर देखना चाहिए कि परिणाम शून्य आता है या नहीं। / Substituting \(x=-1\) into the equation gives \(2(-1)^2+(-1)-1=2-1-1=0\). Therefore, \(x=-1\) is a root of the quadratic equation. In an exam, check a proposed root by substituting it and verifying that the result is zero.
समीकरण में \(x=2\) रखने पर \(2^2-4(2)+4=4-8+4=0\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=2\) इस द्विघात समीकरण का मूल है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=4\) रखने पर मान \(16-16+4=4\) मिलता है, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे समीकरण में रखकर देखिए कि परिणाम शून्य आता है या नहीं। / Substituting \(x=2\) gives \(2^2-4(2)+4=4-8+4=0\). Therefore, \(x=2\) is a root of the quadratic equation. Option C is incorrect because substituting \(x=4\) gives \(16-16+4=4\), not zero. Exam tip: To test whether a number is a root, substitute it into the equation and check whether the result is zero.
जब \(p(a)=0\) होता है, तो \(x=a\) रखने पर समीकरण \(p(x)=0\) संतुष्ट होता है। इसलिए \(a\) उस समीकरण का मूल कहलाता है। गुणांक पदों के संख्यात्मक कारक होते हैं, जबकि अचर स्थिर पद और घात उच्चतम घातांक को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी मान के मूल होने की जाँच के लिए उसे बहुपद में रखकर परिणाम \(0\) होना चाहिए। / When \(p(a)=0\), substituting \(x=a\) satisfies the equation \(p(x)=0\). Therefore, \(a\) is called a root of the equation. Coefficients are numerical factors of terms, a constant is a fixed term, and the degree is the highest exponent. Exam tip: to check whether a value is a root, substitute it into the polynomial and verify that the result is \(0\).
यदि समान मूल r हो तो मोनिक द्विघात समीकरण
\((x-r)^2=0\) होता है। यहाँ r = −4 है, अतः \((x-(-4))^2=(x+4)^2=0\)। इसे खोला जाए तो \((x^2+8x+16=0)\) मिलता है। विकल्प B में यदि दोनों मूल +4 होते तो वही बहुपद मिलता (साइन उल्टा है), इसलिए B गलत है। विकल्प C और D के गुणांक और स्थायी पद सही नहीं देते और उनके मूल −4 नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी दो मूल \(\alpha,\beta\) के लिए मोनिक द्विघात समीकरण लिखें \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)। / For a repeated root r the monic quadratic is \((x-r)^2=0\). With r=−4 we get \((x+4)^2=0\), which expands to \((x^2+8x+16=0)\). Option B would correspond to repeated root +4 (sign of the linear term is opposite), so it is incorrect. Options C and D have different coefficients and do not give root −4. Exam tip: to form a monic quadratic from roots \(\alpha,\beta\) use \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
गुणनखंड विधि से: गुणांक का गुणनफल \(a\cdot c=3\cdot 3=9\) और मध्यम पद का गुणा -10 है, इसलिए उन दो संख्याओं की तलाश करें जिनका गुणनफल 9 और योग -10 हो — वे हैं -9 और -1। अब \(3x^2-10x+3=3x^2-9x-x+3=3x(x-3)-1(x-3)=(3x-1)(x-3)\)। इसलिए मूल \(x=\frac{1}{3}\) और \(x=3\) हैं (क्रम कोई मायने नहीं रखता)। विकल्प B (1, 3) गलत है क्योंकि \(x=1\) पर बहुपद का मान \(3-10+3=-4\) होता है, न कि शून्य। परीक्षा संकेत: किसी भी द्विघात के लिए पहले \(a\cdot c\) देखें और ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल \(a\cdot c\) और योग middle-coefficient हों; फिर समूहबद्ध कर के गुणा करें या सिधे क्वाड्रैटिक सूत्र से जाँच करें। / Factorization method: compute \(a\cdot c=3\cdot3=9\) and note the middle coefficient is -10, so find two numbers with product 9 and sum -10 — they are -9 and -1. Rewrite: \(3x^2-10x+3=3x^2-9x-x+3=3x(x-3)-1(x-3)=(3x-1)(x-3)\). Hence roots are \(x=\frac{1}{3}\) and \(x=3\). Option B (1, 3) is wrong because substituting \(x=1\) gives \(3-10+3=-4\), not zero. Exam tip: use the product-sum (ac method) and factor by grouping, and always verify roots by substitution or the quadratic formula if unsure.
मूलों का योग \(r+(-r)=r-r=0\) होता है। इसलिए सही उत्तर 0 है। विकल्प B में चिह्नों की अनदेखी करके \(r+r=2r\) माना गया है, जो गलत है। परीक्षा में विपरीत चिह्न वाले पदों का योग करते समय पहले उनके चिह्न अवश्य जाँचें। / The sum of the roots is \(r+(-r)=r-r=0\). Therefore, the correct answer is 0. Option B incorrectly treats both roots as positive and adds them as \(r+r=2r\). In exams, check the signs of the roots before adding them.
यदि मूल α और β हों तो α+β = 8 दिया गया है। एक मूल 3 है इसलिए दूसरे मूल β = 8 − 3 = 5। विकल्प A गलत है क्योंकि वह वही दिया गया मूल है; विकल्प C गलत है क्योंकि 8 योग है न कि कोई एक मूल; विकल्प D गलत है क्योंकि यह योग और दिए गए मूल का जोड़ है और परिस्थिति से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: जब जोड़ (sum) व एक मूल दिया हो तो दूसरे को जोड़ से घटा दें। / Let the roots be α and β with α + β = 8. Given one root is 3, the other is β = 8 − 3 = 5. Option A is incorrect because it repeats the given root; C is wrong because 8 is the sum, not an individual root; D is incorrect because it adds instead of subtracting. Exam tip: If the sum of roots and one root are given, find the other root by subtracting the given root from the sum.
घातांक समीकरण \(x^2=49\) को हल करने के लिए दोनों ओर का वर्गमूल लें: \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\)। इसलिए मूल होंगे (7) और (-7)। विकल्प B गलत है क्योंकि केवल धनात्मक मान लेना नकारात्मक मूल को नज़रअंदाज़ करना है; विकल्प C गलत है — 14 का विचार तब होता है जब कोई गलती से \(7+7\) या \(2\times7\) सोच लेता है; विकल्प D बेतुका है क्योंकि 0 और 49 से समीकरण की कोई जड़ नहीं मिलती। परीक्षा सुझाव: जब किसी सकारात्मक संख्या का वर्गमूल लेते हों तो हमेशा \(\pm\) दोनों चिन्ह याद रखें। / Solve by taking square root of both sides: \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\). Thus the roots are 7 and -7. Option B is wrong because it ignores the negative root; option C is wrong because 14 arises from a mistaken doubling (e.g. thinking 7+7) rather than taking the square root; option D is unrelated to solving \(x^2=49\). Exam tip: for equations of form \(x^2=a\) with \(a>0\), always include both signs \(\pm\) when writing the roots.
दिए हुए द्विघात को गुणनखंडों में बाँटें: \(x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)\)। इसलिए समीकरण के हल (मूल) \(x=5\) और \(x=-2\) हैं। जाँच के लिए गुणनफल और योग देखें: मूलों का योग \(5+(-2)=3\) और गुणनफल \(5\times(-2)=-10\), जोांक समीकरण के गुणांक से मेल खाते हैं। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प B (2 और -5) का गुणनफल सही है पर उनका योग \(-3\) है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: तेज सत्यापन के लिए फलन को गुणनखंडों में बाँटें या मूलों का योग व गुणनफल (Vieta) से तुरंत जाँच करें। / Factor the quadratic: \(x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)\). Hence the solutions are \(x=5\) and \(x=-2\). Check via sum and product: sum = \(5+(-2)=3\) and product = \(5\times(-2)=-10\), matching the equation's coefficients. Closest distractor B (2 and -5) gives the correct product but wrong sum (\(-3\)), so it is incorrect. Exam tip: either factor quickly or use sum/product (Vieta) to verify roots under time pressure.
क्वाड्राटिक समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए विविक्तांक (discriminant) \(D=b^2-4ac\) देखकर निर्णय लिया जाता है। यहाँ \(a=1,\;b=0,\;c=16\) इसलिए \(D=0^2-4\times1\times16=-64<0\)। विविक्तांक ऋणात्मक होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। वैकल्पिक दृष्टिकोण: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+16\) कभी शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: वास्तविक मूल के लिए पहले विविक्तांक जांचें; यदि \(D<0\) है तो उत्तर तुरंत 0 होगा। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the number of real roots depends on the discriminant \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=0,\;c=16\), so \(D=0^2-4\times1\times16=-64<0\). A negative discriminant means no real roots. Alternatively, since for any real x, \(x^2\ge0\), \(x^2+16\) cannot be zero. Exam tip: check the discriminant first — \(D>0\) gives 2 roots, \(D=0\) gives 1, \(D<0\) gives 0 real roots. The option “cannot be determined” is wrong because all coefficients are given.
