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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(b=-4\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}\) है। ध्यान रखें कि \(b\) का ऋणात्मक चिह्न सूत्र में शामिल होने पर उत्तर धनात्मक हो जाता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=5\) and \(b=-4\), so the sum is \(-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}\). Exam tip: substitute the signed value of \(b\), not just its magnitude, in the formula.
मध्य पद को विभाजित करने पर \(3x^2+10x+3=3x^2+9x+x+3=(3x+1)(x+3)\) प्राप्त होता है। अतः \((3x+1)(x+3)=0\) से \(x=-\frac{1}{3}\) या \(x=-3\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर दोनों मूल प्राप्त करें और मूलों का योग \(-\frac{10}{3}\) से मिलान कर लें। / Splitting the middle term gives \(3x^2+10x+3=3x^2+9x+x+3=(3x+1)(x+3)\). Therefore, \((3x+1)(x+3)=0\) gives \(x=-\frac{1}{3}\) or \(x=-3\), so option A is correct. Exam tip: After factorising, set each factor equal to zero and verify that the sum of the roots is \(-\frac{10}{3}\).
दिए गए समीकरण को \(2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। अतः \((2x-1)(x-3)=0\) से \(x=\frac{1}{2}\) या \(x=3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D के मूलों का योग और गुणनफल दिए गए समीकरण से मेल नहीं खाते। परीक्षा-टिप: मूलों का योग \(\frac{-b}{a}=\frac{7}{2}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{3}{2}\) लगाकर उत्तर की जाँच करें। / The equation can be factorised as \(2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)\). Therefore, \((2x-1)(x-3)=0\) gives \(x=\frac{1}{2}\) or \(x=3\), so option A is correct. The roots in option D do not have the required sum and product for this equation. Exam tip: verify the roots using sum \(\frac{-b}{a}=\frac{7}{2}\) and product \(\frac{c}{a}=\frac{3}{2}\).
दिए गए समीकरण को गुणनखंडित करने पर �(x-2-11x+28=(x-4)(x-7))� प्राप्त होता है। अतः �(x-4=0)� या �(x-7=0)� से मूल 4 और 7 मिलते हैं। विकल्प B में गुणनफल 28 है, लेकिन मूलों का योग 16 है, जबकि समीकरण में मूलों का योग 11 होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग 11 और गुणनफल 28 जाँचकर उत्तर शीघ्र सत्यापित करें। / Factoring the equation gives �(x-2-11x+28=(x-4)(x-7))�. Therefore, �(x-4=0)� or �(x-7=0)�, so the roots are 4 and 7. In option B, the product is 28, but the sum is 16 rather than the required 11. Exam tip: Quickly verify the roots using sum = 11 and product = 28.
किसी संख्या को द्विघात समीकरण का मूल जाँचने के लिए उसे समीकरण में रखकर देखना होता है। \(x=-1\) रखने पर \(2(-1)^2+5(-1)+3=2-5+3=0\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=-1\) इस समीकरण का मूल है। परीक्षा में ऋणात्मक मान का वर्ग करने और रैखिक पद के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें। / To test whether a number is a root, substitute it into the equation and check whether the result is zero. For \(x=-1\), \(2(-1)^2+5(-1)+3=2-5+3=0\). Therefore, \(x=-1\) is a root. In exams, carefully check the sign of the linear term and remember that the square of a negative number is positive.
किसी संख्या के मूल होने की जाँच करने के लिए उसे समीकरण में रखकर देखा जाता है कि समीकरण सत्य होता है या नहीं। (x=3) रखने पर \(3^2-7\times3+12=9-21+12=0\) मिलता है, इसलिए 3 इस समीकरण का मूल है। वास्तव में दूसरा मूल 4 है, इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूल जाँचने के लिए सीधे प्रतिस्थापन करें और प्राप्त मान को शून्य से मिलाएँ। / To check whether a number is a root, substitute it into the equation and verify whether the result is zero. For (x=3) , \(3^2-7\times3+12=9-21+12=0\) , so 3 is a root of the equation. The other root is 4, so option C is incorrect. Exam tip: For root verification, substitute the given value directly and check whether the expression becomes zero.
यदि दोनों मूल 5 हैं, तो मूलों से बना समीकरण \((x-5)(x-5)=0\), अर्थात् \((x-5)^2=0\) होगा। इसका विस्तार करने पर \(x^2-10x+25=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक धनात्मक है, जो मूलों के योग के चिह्न के अनुरूप नहीं है। परीक्षा-टिप: मूल \(\alpha,\beta\) दिए हों तो मोनिक समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) लिखें। / If both roots are 5, the equation formed from the roots is \((x-5)(x-5)=0\), or \((x-5)^2=0\). Expanding it gives \(x^2-10x+25=0\), so option A is correct. Option B has the wrong sign for the coefficient of \(x\), since the sum of the roots is 10. Exam tip: For roots \(\alpha\) and \(\beta\), a monic quadratic is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
समीकरण को \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((2x-3)^2=0\), इसलिए \(2x-3=0\) और \(x=\frac{3}{2}\)। दोनों मूल समान और दोहराए हुए हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पूर्ण वर्ग पहचानना सबसे तेज़ तरीका है; ऋणात्मक मूल \(-\frac{3}{2}\) नहीं होगा। / The equation can be written as \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Hence, \((2x-3)^2=0\), so \(2x-3=0\) and \(x=\frac{3}{2}\). Both roots are equal and repeated. In the exam, identifying the perfect square is the quickest method; the negative value \(-\frac{3}{2}\) is not a root.
दोनों मूल \(r\) और \(r\) हैं, इसलिए उनका गुणनफल \(r \times r = r^2\) होगा। विकल्प A \(2r\) मूलों का योग है, गुणनफल नहीं। परीक्षा में याद रखें: समान मूल \(r, r\) होने पर योग \(2r\) और गुणनफल \(r^2\) होता है। / The two roots are \(r\) and \(r\), so their product is \(r \times r = r^2\). Option A, \(2r\), represents the sum of the roots, not their product. Exam tip: for equal roots \(r, r\), the sum is \(2r\) and the product is \(r^2\).
मूलों का योग = पहला मूल + दूसरा मूल। इसलिए दूसरा मूल = 12 − 5 = 7। अतः सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि दिए गए मूल को मूलों के योग में से घटाना होता है, जोड़ना नहीं। / The sum of the roots equals the first root plus the second root. Therefore, the other root = 12 − 5 = 7, so option B is correct. Exam tip: subtract the known root from the sum of the roots; do not add it.
मान लें मूल 6 और \(x\) हैं। तब \(6x=48\), इसलिए \(x=\frac{48}{6}=8\)। अतः दूसरा मूल 8 है। 42, \(48-6\) से प्राप्त होता है, जबकि यहाँ गुणनफल दिया गया है; इसलिए भाग करना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: दूसरे मूल के लिए गुणनफल को दिए गए मूल से भाग दें। / Let the roots be 6 and \(x\). Since their product is 48, \(6x=48\), so \(x=\frac{48}{6}=8\). Therefore, the other root is 8. The value 42 results from subtracting 6 from 48, but the question gives the product, so division is required. Exam tip: Divide the product of the roots by the known root to find the other root.
\(x^2=121\) का अर्थ है कि \(x\) का वर्ग 121 है। चूँकि \(11^2=121\) और \((-11)^2=121\), इसलिए दोनों मूल \(x=11\) और \(x=-11\) हैं। केवल धनात्मक मूल लेने पर विकल्प B अधूरा रह जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के वर्गमूल निकालते समय सामान्यतः \(\pm\) दोनों चिन्हों पर विचार करें। / The equation \(x^2=121\) means that the square of \(x\) is 121. Since \(11^2=121\) and \((-11)^2=121\), both \(x=11\) and \(x=-11\) are roots. Option B is incomplete because it includes only the positive root. Exam tip: When solving \(x^2=a\) for positive \(a\), consider both signs, \(x=\pm\sqrt{a}\).
दिए गए समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\) मिलता है। अतः \(x+4=0\) से \(x=-4\) और \(x-3=0\) से \(x=3\) प्राप्त होता है। इसलिए मूल 3 और −4 हैं। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलटे हैं। परीक्षा-युक्ति: स्थिर पद −12 के लिए ऐसे दो गुणनखंड चुनें जिनका गुणनफल −12 और योग 1 हो। / Factoring the equation gives \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\). Thus, \(x+4=0\) gives \(x=-4\), and \(x-3=0\) gives \(x=3\). Therefore, the roots are 3 and −4. In option B, the signs of both roots are reversed. Exam tip: Look for two factors of −12 whose product is −12 and whose sum is 1.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+36\ge 36\) होगा और यह कभी भी शून्य नहीं हो सकता। अतः समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) भी जाँच सकते हैं; यहाँ \(D=-144<0\), इसलिए वास्तविक मूलों की संख्या 0 है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+36\ge 36\) and can never equal zero. Therefore, the equation has no real roots, making 0 the correct answer. As an exam tip, the discriminant can also be checked: \(D=b^2-4ac=-144<0\), which confirms that there are no real roots.
यदि किसी बहुपद का मूल \(r\) है, तो गुणनखंड प्रमेय के अनुसार \((x-r)\) उसका गुणनखंड होता है। यहाँ \(r=7\), इसलिए निश्चित गुणनखंड \((x-7)\) है। \((x+7)\) होने पर मूल \(-7\) होता। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को \(x-r\) में सीधे रखें। / By the factor theorem, if \(r\) is a root of a polynomial, then \((x-r)\) is its factor. Here, \(r=7\), so the required factor is \((x-7)\). The factor \((x+7)\) would correspond to the root \(-7\). Exam tip: substitute the given root directly into the form \(x-r\).
\(x^2-6x+9=(x-3)^2\), इसलिए \((x-3)^2=0\) से \(x=3\) प्राप्त होता है। अतः दोनों मूल 3 और 3 हैं; यह एक समान मूल वाला द्विघात समीकरण है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानने पर उत्तर जल्दी मिल जाता है। / Since \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), we get \((x-3)^2=0\), so \(x=3\). Therefore, both roots are 3 and 3; the equation has equal roots. In an exam, identifying the perfect square form is the quickest method.
मूल \(x=4\) को समीकरण में रखने पर \(2(4)^2-9(4)+n=0\) मिलता है। अतः \(32-36+n=0\), इसलिए \(n=4\)। परीक्षा में किसी दिए गए मूल का मान सीधे समीकरण में रखकर अज्ञात स्थिरांक निकालें। / Substitute the given root \(x=4\) into the equation: \(2(4)^2-9(4)+n=0\). Thus, \(32-36+n=0\), which gives \(n=4\). Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the quadratic equation to find the unknown constant.
मूलों का योग सीधे दोनों मूलों को जोड़कर निकाला जाता है: 4 + (−7) = −3। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। ऋणात्मक संख्या जोड़ते समय उसके चिन्ह का ध्यान रखें; 3 केवल परिमाण का अंतर है, सही योग नहीं। परीक्षा टिप: मूलों का योग और मूलों का गुणनफल अलग-अलग राशियाँ हैं। / The sum of the roots is found by adding them directly: 4 + (−7) = −3. Therefore, option B is correct. The value 3 represents only the difference in magnitudes, not the signed sum. Exam tip: do not confuse the sum of the roots with their product.
शून्य गुणनफल नियम के अनुसार \((x-4)=0\) या \((x+9)=0\) होगा। इसलिए \(x=4\) या \(x=-9\), अर्थात मूल \(4\) और \(-9\) हैं। विकल्प B में दोनों चिह्न गलत हैं; विशेष रूप से \(x+9=0\) से \(x=-9\) मिलता है। परीक्षा में गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर प्रत्येक मूल अलग-अलग निकालें। / By the zero-product property, either \((x-4)=0\) or \((x+9)=0\). Thus, \(x=4\) or \(x=-9\), so the roots are \(4\) and \(-9\). Option B has both signs wrong; in particular, \(x+9=0\) gives \(x=-9\). In an exam, set each factor equal to zero and solve separately.
\(x^2-100=0\) को \(x^2=100\) या \(x^2-(10)^2=0\) लिख सकते हैं। अतः \((x-10)(x+10)=0\), इसलिए इसके मूल \(10\) और \(-10\) हैं। \(x=0\) रखने पर \(0^2-100=-100\neq0\), इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा में किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे सीधे समीकरण में रखकर देखें। / The equation \(x^2-100=0\) gives \(x^2=100=10^2\). Thus, \((x-10)(x+10)=0\), so its roots are \(10\) and \(-10\). Substituting \(x=0\) gives \(-100\neq0\), so statement C is incorrect. Exam tip: check a proposed root by substituting it directly into the equation.
यहाँ \(x^2-18x+81=(x-9)^2\) है। अतः \((x-9)^2=0\) से \(x=9\) प्राप्त होता है और यही मूल दो बार आता है। इसलिए सही उत्तर 9 है। परीक्षा-युक्ति: जब द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग के रूप में हो, तो उसके वर्ग के अंदर का रैखिक पद शून्य करके मूल ज्ञात करें। / Here, \(x^2-18x+81=(x-9)^2\). Thus, \((x-9)^2=0\) gives \(x=9\), and this root occurs twice. Therefore, the correct answer is 9. Exam tip: If a quadratic is a perfect square, set the linear expression inside the square equal to zero to find the repeated root.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(4x^2-20x=4x(x-5)=0\) मिलता है। अतः \(4x=0\) से \(x=0\) और \(x-5=0\) से \(x=5\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही मूल 0 और 5 हैं। परीक्षा-युक्ति: जब दो गुणनखंडों का गुणनफल शून्य हो, तो प्रत्येक गुणनखंड को अलग-अलग शून्य के बराबर रखें। / Factoring the equation gives \(4x^2-20x=4x(x-5)=0\). Thus, \(4x=0\) gives \(x=0\), and \(x-5=0\) gives \(x=5\). Therefore, the roots are 0 and 5. Exam tip: If the product of two factors is zero, set each factor equal to zero separately.
\(x^2+16x+64=(x+8)^2\) है। इसलिए \((x+8)^2=0\), जिससे \(x=-8\) प्राप्त होता है और दोनों मूल \((-8,-8)\) हैं। विकल्प A में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: यदि द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग हो, तो उसका दोहरा मूल सीधे निकाला जा सकता है। / Since \(x^2+16x+64=(x+8)^2\), the equation becomes \((x+8)^2=0\). Hence \(x=-8\), so both roots are \((-8,-8)\). Option A results from an incorrect sign. Exam tip: when a quadratic is a perfect square, its repeated root can be found directly by setting the squared factor equal to zero.
मूल \\(x=-3\\) रखने पर \\((-3)^2+u(-3)-18=0\\), अर्थात् \\(9-3u-18=0\\)। इससे \\(-3u=9\\) और \\(u=-3\\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को हमेशा सीधे समीकरण में रखकर शेष अज्ञात राशि ज्ञात करें। / Substitute the given root \\(x=-3\\) into the equation: \\((-3)^2+u(-3)-18=0\\), which gives \\(9-3u-18=0\\). Thus, \\(-3u=9\\) and \\(u=-3\\). Therefore, option A is correct. Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the polynomial and solve for the unknown parameter.
किसी समीकरण का 0 मूल होने का अर्थ है कि \(x=0\) रखने पर समीकरण सत्य हो। रखने पर \(5(0)^2+k(0)+c=0\), अतः \(c=0\) होना आवश्यक है। \(k=0\) होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा में 0 मूल की शर्त के लिए सीधे \(p(0)=0\) का उपयोग करें। / For 0 to be a root, substituting \(x=0\) must satisfy the equation: \(5(0)^2+k(0)+c=0\). Hence, \(c=0\) is necessary. The coefficient \(k\) need not be zero. Exam tip: for a zero root, evaluate the polynomial at \(x=0\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का गुणनफल \\(\\frac{c}{a}\\) होता है। यहाँ \\(a=7\\) और \\(c=-14\\), इसलिए गुणनफल \\(\\frac{-14}{7}=-2\\) है। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \\( -\\frac{b}{a}\\) और \\(\\frac{c}{a}\\) याद रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the product of its roots is \\(\\frac{c}{a}\\). Here, \\(a=7\\) and \\(c=-14\\), so the product is \\(\\frac{-14}{7}=-2\\). Option B has the sign wrong. Exam tip: remember that the sum and product of roots are \\( -\\frac{b}{a}\\) and \\(\\frac{c}{a}\\), respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-13\), इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-13}{1}=13\) है। विकल्प 42 मूलों के गुणनफल \(\frac{c}{a}\) से संबंधित है, योग से नहीं। परीक्षा में योग ज्ञात करने के लिए सीधे \(-b/a\) का उपयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-13\), so the sum is \(-\frac{-13}{1}=13\). The value 42 is related to the product of the roots, \(\frac{c}{a}\), not their sum. In an exam, use \(-b/a\) directly to find the sum.
यदि मूल 6 और −2 हैं, तो समीकरण \((x-6)(x+2)=0\) होगा। इसका विस्तार करने पर \(x^2-4x-12=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: मूलों का योग 4 है, इसलिए \(x\) का गुणांक −4 होना चाहिए और मूलों का गुणनफल −12 है। / If the roots are 6 and −2, the equation is \((x-6)(x+2)=0\). Expanding it gives \(x^2-4x-12=0\), so option A is correct. Exam tip: the sum of the roots is 4, giving the coefficient −4 for \(x\), and their product is −12.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2-9x=x(x-9)=0\) मिलता है। अतः इसके मूल \(x=0\) और \(x=9\) हैं। दिए गए विकल्पों में 9 सही है; 3 और -3 मूल नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे द्विघात समीकरणों में पहले सामान्य गुणनखंड लेकर गुणनखंडन करें। / Factoring the equation gives \(x^2-9x=x(x-9)=0\). Hence, its roots are \(x=0\) and \(x=9\). Among the given options, 9 is correct; 3 and -3 are not roots. Exam tip: First take the common factor and use the zero-product property when possible.
\(x^2-81=0\) को \(x^2=81\) लिखने पर \(x=\pm 9\) मिलता है। अतः दोनों मूल \(9\) और \(-9\) हैं। विकल्प B में 81 को ही मूल समझ लिया गया है, जबकि 81, \(x^2\) का मान है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान अवश्य जाँचें। / Rewriting \(x^2-81=0\) as \(x^2=81\) gives \(x=\pm 9\). Therefore, the two roots are \(9\) and \(-9\). Option B incorrectly treats 81 as a root, although 81 is the value of \(x^2\). In exams, remember to consider both the positive and negative values when taking the square root.
