Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गुणनखंड-शून्य नियम के अनुसार यदि \(r\) किसी बहुपद का शून्य है तो गुणनखंड \(x-r\) होता है। यहाँ \(r=-3\) है, अतः निश्चित गुणनखंड \(x-(-3)=x+3\) होगा। विकल्प A (\(x-3\)) वह शून्य \(3\) दर्शाता है, जो गलत है। विकल्प C (\(3x-1\)) का शून्य \(1/3\) है; इसका \(-3\) से कोई संबंध नहीं। विकल्प D (\(x^2-9\)) को \((x-3)(x+3)\) लिखा जा सकता है — यह तभी गुणनखंड बनेगा जब अन्य मूल \(3\) भी हो, इसलिए यह सुनिश्चित नहीं है। परीक््षा टिप: किसी शून्य \(r\) के लिए हमेशा लाइनियर गुणनखंड के रूप में \(x-r\) याद रखें; किसी बीजगुणक से गुणा की गई समरूप अभिव्यक्ति भी उस शून्य पर शून्य दे सकती है, पर सामान्य रूप में canonical गुणनखंड \(x-r\) ही लिया जाता है। / By the factor theorem, if \(r\) is a root of a polynomial then \(x-r\) is a factor. Here \(r=-3\), so the guaranteed factor is \(x-(-3)=x+3\). Option A (\(x-3\)) corresponds to root 3, not -3. Option C (\(3x-1\)) has root 1/3, unrelated to -3. Option D (\(x^2-9\)) equals \((x-3)(x+3)\); it would be a factor only if the other root were 3, so it is not guaranteed. Exam tip: for any root \(r\) use the linear factor \(x-r\); any nonzero constant multiple of that linear factor also vanishes at \(r\), but the canonical factor is \(x-r\).
इसका कारककरण करें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण का हल तब होता है जब प्रत्येक गुणक शून्य हो, अर्थात् \(x-2=0\) या \(x-3=0\) से \(x=2\) और \(x=3\)। निकटतम भ्रमित विकल्प \((-2,-3)\) इसलिए गलत है क्योंकि यहाँ संकेत उल्टे हैं — उनके गुणनफल की दिशा सही है पर उनके योग \(-5\) है, न कि आवश्यक \(+5\)। परीक्षा सुझाव: पूर्णांक गुणकों के लिए उस संख्यात्मक गुणनफल (यहाँ 6) के जोड़ों को देखें जिनका योग मध्यवर्ती गुणांक (यहाँ 5) दे। / Factorise: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). The roots are values of x that make a factor zero: \(x=2\) and \(x=3\). The closest distractor \((-2,-3)\) is wrong because the signs are reversed — their sum is \(-5\), not the required \(+5\). Exam tip: For quadratics with integer coefficients, look for factor pairs of the constant term whose sum equals the coefficient of x (with sign).
मोनिक द्विघात का सामान्य रूप है \,\(x^2-(\text{sum})x+\text{product}=0\). यहाँ sum = −9 और product = 20 है। इसे सूत्र में रखकर मिलता है \(x^2-(-9)x+20= x^2+9x+20=0\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में संकेत उल्टा है (यह sum = +9 देता है), और विकल्प C व D में product और sum दोनों बदल हुए हैं; इसलिए वे गलत हैं. परीक्षा-टिप: किसी भी द्विघात के लिए हमेशा प्रयोग करें \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}=0\) और sum के साइन का ध्यान रखें। / For a monic quadratic the standard relation is \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}=0\). Here sum = −9 and product = 20. Substituting gives \(x^2-(-9)x+20 = x^2+9x+20=0\), so option A is correct. Option B would correspond to sum = +9 (wrong sign). Options C and D have incorrect combinations of sum and product. Exam tip: always use \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}=0\) and be careful with the sign of the given sum of roots.
गुणनफल शून्य का नियम कहता है कि यदि दो संख्या का गुणनफल शून्य है तो कम से कम एक संख्या शून्य होनी चाहिए। यहाँ (x+1)(x-8)=0 होने पर या तो x+1=0 या x-8=0। x+1=0 से x=-1 और x-8=0 से x=8 मिलता है। इसलिए मूल -1 और 8 हैं। निकटभ्रामक विकल्प A (1, 8) पहले अभाज्य का चिह्न उल्टा कर देता है, इसलिए गलत है। परीक्षा संकेत: हर बार गुणन किए गए कारकों को शून्य बराबर कर के सीधे समाधान निकालें और प्राप्त मूलों को मूल समीकरण में substitute कर जाँच लें। / By the zero-product rule, if a product of two factors is zero then at least one factor must be zero. For (x+1)(x-8)=0 either x+1=0 or x-8=0. Solving gives x=-1 and x=8, so the roots are -1 and 8. The nearest distractor A (1, 8) has the sign of the first root wrong. Exam tip: set each factor to zero to find roots and substitute them back into the equation to verify quickly.
\(x^2-64=0\) को हल करने पर \(x^2=64\) मिलता है, अतः \(x=\pm8\)। इसलिए \(8\) और \(-8\) दोनों मूल हैं। \(\sqrt{64}=8\) होता है, इसलिए विकल्प D भी एक मूल है। परंतु \(0\) को रखकर समीकरण सत्य नहीं बनता। परीक्षा-टिप: वर्ग के समीकरण में \(x^2=a\) का हल \(x=\pm\sqrt{a}\) याद रखें — \(\sqrt{a}\) केवल धनात्मक मूल दर्शाता है। / Solving \(x^2-64=0\) gives \(x^2=64\), so \(x=\pm8\). Thus 8 and -8 are roots. Also \(\sqrt{64}=8\), so option D represents 8 and is a root. Substituting 0 does not satisfy the equation, so 0 is not a root. Exam tip: for equations of the form \(x^2=a\) remember the solutions are \(x=\pm\sqrt{a}\); \(\sqrt{a}\) by itself denotes the principal (positive) square root.
\(x^2+14x+49\) को गुणा करके लिखने पर \((x+7)^2\) मिलता है, इसलिए समीकरण \((x+7)^2=0\) का एकमात्र (दोहराया) मूल \(-7\) है। डिस्क्रिमिनेंट की जांच से भी: \(b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0\), जिससे स्पष्ट है कि समान दोहरे मूल हैं। विकल्प A (7) गलत है क्योंकि वह \((x-7)^2\) के लिए होगा; C और D तर्कसंगत नहीं हैं क्योंकि वे दिए हुए अभिव्यक्ति से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: त्रिक रूप में गुणा कर के या डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) देख कर दोहरा मूल तुरंत पहचानें। / Factorizing \(x^2+14x+49\) gives \((x+7)^2\), so the equation \((x+7)^2=0\) has the single repeated root \(-7\). Checking the discriminant: \(b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot49=0\) confirms one repeated root. Option A (7) would correspond to \((x-7)^2\) and is therefore incorrect; options C and D do not satisfy the given quadratic. Exam tip: either factor into a perfect square or compute the discriminant to quickly detect a repeated root.
यदि \(x=0\) किसी द्विघात समीकरण का मूल है तो समीकरण में \(x\) की जगह \(0\) रखने पर शेष पद शून्य होना चाहिए। \(2(0)^2+b(0)+c=c\) से हमें \(c=0\) मिलता है। विकल्प C (\(c=b\)) भ्रम से आता है क्योंकि \(b\) मध्यम गुणांक है—कोई विशेष जानकारी न होने पर यह बराबर नहीं माना जा सकता। विकल्प B और D (\(2\) या \(-2\)) केवल मनमानी संख्याएँ हैं और अतिरिक्त शर्तों के बिना सत्य नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: यदि \(x=0\) मूल है तो हमेशा स्वतंत्र पद (constant term) को पहले जाँचें—वह शून्य होगा। / If \(x=0\) is a root, substitute \(x=0\) into \(2x^2+bx+c\). That gives \(2(0)^2+b(0)+c=c\), so \(c=0\). Option C (\(c=b\)) is incorrect because the coefficient \(b\) need not equal the constant term without extra conditions. Options B and D are arbitrary numeric values and are not determined by the given information. Exam tip: For a zero root, check the constant term first—it must be zero.
यदि द्विघात के मूल r1 और r2 हों तो एकांक गुणांक वाला बहुपद होता है \(x^2-(r1+r2)x + r1r2=0\)। यहाँ r1=5 और r2=−3 है, इसलिए योग = \(5+(-3)=2\) और गुणनफल = \(5\times(-3)=-15\)। इससे समीकरण \(x^2-2x-15=0\) बनता है (विकल्प A)। निकटतम विचलन विकल्प C है जो \(x^2-8x+15=0\) देता है; इसका योग 8 और गुणनफल 15 है, इसलिए उसके मूल 3 और 5 होंगे — केवल एक मूल (5) मिलता है, पर दूसरा गलत है। परीक्षात्मक टिप: सीधे सूत्र \(x^2-( ext{sum})x+( ext{product})=0\) का प्रयोग करें। / For a monic quadratic with roots r1 and r2 use \(x^2-(r1+r2)x+r1r2=0\). Here r1=5 and r2=−3 so sum = \(5+(-3)=2\) and product = \(5\times(-3)=-15\). Thus the equation is \(x^2-2x-15=0\) (option A). The closest distractor is option C, \(x^2-8x+15=0\), whose sum is 8 and product 15, giving roots 3 and 5 — it shares root 5 but the other root is different. Exam tip: compute sum and product of given roots and form \(x^2-( ext{sum})x+( ext{product})=0\).
\(x^2+4x = x(x+4)\) है। शून्य गुणनफल नियम के अनुसार यदि उत्पाद शून्य है तो कोई भी कारक शून्य हो सकता है; अतः मूल \(x=0\) और \(x=-4\) हैं। दिए गए विकल्पों में \(-4\) मौजूद है, इसलिए यह सही उत्तर है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4\) पर प्रतिस्थापन करने पर \(4^2+4\cdot4=16+16=32\neq0\) होता है, अतः वह मूल नहीं है। परीक्षा युक्ति: ऐसे बहुपद में सामान्य गुणक निकालकर \(x(x+4)=0\) बनाते ही दोनों मूल तुरंत मिल जाते हैं। / Factor the expression: \(x^2+4x = x(x+4)\). By the zero-product property, the roots are \(x=0\) and \(x=-4\). Among the given choices \(-4\) is present, so it is correct. For example, substituting \(x=4\) gives \(4^2+4\cdot4=16+16=32\neq0\), so 4 is not a root. Exam tip: always try factoring out the common factor first to apply the zero-product rule quickly.
यह एक difference of squares है क्योंकि \(x^2-49=(x-7)(x+7)\)। समीकऱण के दोनों कारकों को शून्य रखकर मिलते हैं: \(x-7=0\) से \(x=7\) और \(x+7=0\) से \(x=-7\)। विकल्प B गलत है क्योंकि 49 और −49 पर रखने से \(x^2=2401\) मिलेगा, जो मूल समीकऱण से मेल नहीं खाता। परिक्षा टिप: वर्गमूल लेते समय ± दोनों चिन्ह याद रखें — \(x^2=a\) से \(x=\pm\sqrt{a}\) होता है। / This is a difference of squares since \(x^2-49=(x-7)(x+7)\). Setting each factor to zero gives roots: from \(x-7=0\) we get \(x=7\), and from \(x+7=0\) we get \(x=-7\). Option B is wrong because using 49 or −49 would imply \(x^2=2401\), which does not satisfy the original equation. Exam tip: when taking square roots remember both signs — from \(x^2=a\) we get \(x=\pm\sqrt{a}\).
समीकरण में सीधे \(x=4\) प्रतिस्थापित करें: \(16+4m-20=0\) जिससे \(4m-4=0\) और अतः \(m=1\)। नज़दीकी विचलन (\(-1\)) गलत है क्योंकि यदि \(m=-1\) होता तो एक्सप्रेशन \(16-4-20=-8\) बनता जो शून्य नहीं है। परीक्षा युक्ति: वैतात सूत्र भी उपयोगी है — यदि एक मूल 4 है तो दूसरे का मान \(-5\) होगा (कारण उत्पाद \(= -20\)) और गुणा करने पर योग \(4+(-5)=-1=-m\) से \(m=1\)। / Substitute \(x=4\) into the equation: \(16+4m-20=0\), so \(4m-4=0\) and hence \(m=1\). The nearest distractor (\(-1\)) is wrong because with \(m=-1\) the left side becomes \(16-4-20=-8\), not zero. Exam tip: you can also use Vieta — with one root 4 the other is \(-5\) (product = \(-20\)), sum = \(4+(-5)=-1=-m\) giving \(m=1\).
यदि \(x+5\) किसी बहुपद का गुणनखंड है तो गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल पाया जाता है: \(x+5=0\) से \(x=-5\) मिलता है। इसीलिए निश्चित मूल \(-5\) है। विकल्प A (5) गलत है क्योंकि \(x+5=0\) से +5 नहीं मिलता — यह साइन में उलटा होगा। विकल्प C (0) गलत है क्योंकि यदि 0 मूल होता तो बहुपद में \(x\) गुणनखंड होना चाहिए। विकल्प D \(\left(\frac{1}{5}\right)\) गलत है क्योंकि यह तब मिलता यदि गुणनखंड \(x-\tfrac{1}{5}\) दिया होता। परीक्षा टिप: किसी भी रूप में दिए गए गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर सीधा मूल मिल जाता है। / If \(x+5\) is a factor, set the factor equal to zero: \(x+5=0\) gives \(x=-5\). Hence the certain root is \(-5\). Option A (5) is incorrect because the sign is reversed; solving \(x+5=0\) does not give +5. Option C (0) would only be correct if the factor were \(x\). Option D (\(\tfrac{1}{5}\)) would arise from a factor \(x-\tfrac{1}{5}\), not \(x+5\). Exam tip: always equate the linear factor to zero to find its root quickly.
समाधान के लिए गुणनखंड या विवेटा के नियम का प्रयोग करें। \(x^2-9x+18\) को गुणनखंड करने पर \(x^2-9x+18=(x-3)(x-6)\) आता है, इसलिए मूल 3 के साथ दूसरा मूल 6 है। वैकल्पिक रूप से विवेटा के अनुसार दो मूलों का योग सह-गुणांकों से \(\alpha+\beta=9\) होता है; यदि \(\alpha=3\) तो \(\beta=9-3=6\)। नज़दीकी भ्रमित करने वाला विकल्प 3 इसलिए गलत है क्योंकि वही मूल होने पर बहुपद \((x-3)^2=x^2-6x+9\) बनता जो दिये गये बहुपद से मेल नहीं खाता। परीक्षा सुझाव: समीकरण को जल्दी से गुणनखंड करें या विवेटा (sum and product of roots) तुरंत लगाएँ। / Use factorisation or Vieta's relations. Factorising gives \(x^2-9x+18=(x-3)(x-6)\), so if one root is 3 the other is 6. By Vieta, the sum of roots is \(\alpha+\beta=9\); with \(\alpha=3\) we get \(\beta=6\). The distractor 3 is incorrect because a repeated root 3 would make the polynomial \((x-3)^2=x^2-6x+9\), which does not match the given polynomial. Exam tip: try quick factorisation first; if not obvious use sum/product of roots.
यदि द्विघात समीकरण के मूल α और β हों तो समीकरण को \((x-α)(x-β)=0\) लिखा जा सकता है। यहाँ मूल -2 और 6 हैं, इसलिए समीकरण \((x+2)(x-6)=0\) होगा। इसे खोलने पर \(x^2-4x-12=0\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। उदाहरण के लिए विकल्प C का गुणनखंड \((x-2)(x-6)\) है जिससे मूल 2 और 6 होंगे, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: शीघ्र जाँच के लिए मूलों का योग और गुणन देखें — अगर मानी हुई समीकरण मونیक (coefficient of \(x^2\) = 1) है तो sum = -b और product = c। यहाँ sum = -2+6=4 (तो \(b=-4\)) और product = -12। / If a quadratic has roots α and β, it can be written as \((x-α)(x-β)=0\). With roots -2 and 6 we get \((x+2)(x-6)=0\). Expanding gives \(x^2-4x-12=0\), so option A is correct. For comparison, option C expands to \((x-2)(x-6)=x^2-8x+12\) which has roots 2 and 6, so it is wrong. Exam tip: check sum and product of roots quickly — for a monic quadratic \(x^2+bx+c\), sum of roots = -b and product = c; here sum = -2+6=4 (so \(b=-4\)), product = -12.
समीकऱण \(3x^2-27=0\) को 3 से भाग करने पर \(x^2=9\) प्राप्त होता है। अतः \(x=\pm3\) यानी 3 और −3 दोनों मूल हैं। विकल्प B (9, −9) गलत है क्योंकि उसने \(x^2\) का मान (9) सीधे जड़ मान लिया है — मूल जड़ का ± रूप होता है। विकल्प C और D कम या एकमात्र जड़ बताते हैं; वे समस्यात्मक हैं क्योंकि दूसरी जड़ −3 छोड़ी गई है। परीक्षा सुझाव: सबसे पहले समीकरण को गुणांक से भाग दें ताकि \(x^2=\) का रूप मिले, फिर ±√ लेकर जड़ें निकालें। / Divide both sides by 3: \(x^2=9\). Taking square roots gives \(x=\pm3\), so the roots are 3 and −3. Option B (9, −9) is incorrect because it confuses the value of \(x^2\) with the values of x (the square roots are ±3, not ±9). Options C and D omit the negative root. Exam tip: first divide by the leading coefficient to get \(x^2=\) form, then apply ±√ to find both roots.
समीकरण को शून्य के समान कर लें: \(x^2 - 9x = 0\)। बांटकर गुणा ज्ञात करें: \(x(x-9)=0\)। शून्य-उत्पाद गुण से या तो \(x=0\) या \(x-9=0\Rightarrow x=9\)। इसलिए मूल 0 और 9 हैं। अक्सर छात्र दोनों ओर से \(x\) से भाग कर देते हैं और \(x=0\) को छोड़ देते हैं — यह गलत है। परीक्षा-सूत्र: कभी भी किसी चर से भाग करने से पहले \(x=0\) सम्भावना जाँच लें या समाधान को फैक्टर करके निकालें। / Write the equation as \(x^2-9x=0\) and factor: \(x(x-9)=0\). By the zero-product property either \(x=0\) or \(x-9=0\Rightarrow x=9\). Hence the roots are 0 and 9. A common mistake is dividing both sides by \(x\), which loses the root \(x=0\). Exam tip: bring to standard form and factor, or if you divide by a variable, always check for the lost zero root.
किसी वास्तविक \\((x)\\) के लिए \\(x^2\\ge0\\) होता है, इसलिए \\(x^2+9\\ge9>0\\) रहेगा और शून्य नहीं हो सकता। डिस्क्रिमिनेन्ट \\(b^2-4ac = 0^2 - 4\cdot1\cdot9 = -36 < 0\\) भी यह दर्शाता है कि वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके स्थान पर समिश्र (complex) मूल \\(\pm 3i\\) होते हैं। निकटतम विकर्षक (option D) गलत है क्योंकि \\(3^2+9=18\\) शून्य नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी क्वाड्रेटिक के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेन्ट \\(b^2-4ac\\) देखें — यदि यह नकारात्मक हो तो वास्तविक मूल नहीं होंगे। / For any real \\((x)\\), \\(x^2\\ge0\\), so \\(x^2+9\\ge9>0\\) and cannot be zero. The discriminant \\(b^2-4ac = 0^2 - 4\cdot1\cdot9 = -36 < 0\\) therefore confirms there are no real roots; the equation has complex roots \\(\pm 3i\\). Closest distractor (option D) is wrong because \\(3^2+9=18\\), not zero. Exam tip: check the discriminant \\(b^2-4ac\\) to decide existence of real roots quickly.
डिस्क्रिमिनेंट D का चिन्ह मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है। यदि \(D<0\) होता है तो \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के मूल जटिल संघमित (complex conjugate) होते हैं और वास्तविक मूल नहीं होते। दूसरी ओर \(D>0\) पर दो विभिन्न वास्तविक मूल और \(D=0\) पर एक समान (दोहरा) वास्तविक मूल होता है, इसलिए ये विकल्प गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जल्दी निर्णय के लिए केवल \(b^2-4ac\) की संख्यात्मक मान की संख्या-रेखा पर त्वरित जाँच करें — ऋणात्मक होने पर तुरंत उत्तर तय करें। / The sign of the discriminant D determines the nature of the roots. When \(D<0\) the quantity \(\sqrt{D}\) is not real, so the roots are complex conjugates and there are no real roots. If \(D>0\) there are two distinct real roots, and if \(D=0\) there is one repeated real root; thus those options are incorrect. Exam tip: compute \(b^2-4ac\) quickly — if it is negative you can immediately conclude there are no real roots.
डिसक्रिमिनेंट का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1,\; b=-2,\; c=5\)। अतः \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\)। इसलिए डिस्क्रिमिनेंट \'-16\' सही है और चिह्न नकारात्मक होने के कारण वास्तविक मूल नहीं होंगे; मूल जटिल युग्म होंगे। निकटतम भ्रामक विकल्प 16 इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ b के चिन्ह को उल्टा लिया गया होगा (\(+2\) के बजाय \(-2\))। परिक्षा टिप: b को उसके पूरा चिन्ह के साथ ही रखें — बायाँ चिन्ह भूलकर बदलने से साइन में त्रुटि होती है। / Use the formula \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\; b=-2,\; c=5\), so \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\). Thus the correct discriminant is -16; a negative D means no real roots (the roots are complex conjugates). The closest distractor 16 is wrong because it comes from treating b as +2 instead of -2. Exam tip: always substitute b with its sign (the coefficient as written) to avoid sign errors.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(b=-5\) इसलिए योग \(-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}\) है। निकटतम विचलन \(-\frac{5}{3}\) साइन की गलती है, और \(\frac{2}{3}\) मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है न कि योग। परीक्षा-टिप: हमेशा पहले \(a,b,c\) पहचान कर \(-b/a\) लागू करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots equals \(-\frac{b}{a}\). Here \(a=3\) and \(b=-5\), so the sum is \(-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}\). The nearest distractor \(-\frac{5}{3}\) is a sign error; \(\frac{2}{3}\) is the product of the roots \(c/a\), not the sum. Exam tip: identify \(a,b,c\) first and then use \(-b/a\).
दिए गए मूल को समीकरण में रखें: जब \(x=2\) तो \(4+2q-10=0\) अर्थात् \(2q-6=0\)। इससे \(q=3\) प्राप्त होता है। विकल्प A, C, D गलत हैं क्योंकि वे उपरोक्त सरल गुणन और घटाव से प्राप्त परिणाम से मेल नही खाते — उदाहरण के लिए यदि \(q=2\) रखते तो शेष पद \(2q-6\) शून्य नहीं होगा। परीक्षा युक्ति: किसी भी दिए गए मूल को सीधे समीकरण में स्थानापन्न करके सरल रैखिक समीकरण प्राप्त करें और उसे हल करें। / Substitute the given root into the equation: with \(x=2\) we get \(4+2q-10=0\), i.e. \(2q-6=0\). Hence \(q=3\). Options A, C and D are incorrect because they do not satisfy the resulting equation (for example, \(q=2\) gives \(2q-6\neq0\)). Exam tip: always substitute the known root into the quadratic and solve the resulting linear equation for the parameter.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल r_1 और r_2 हों तो सामान्य रूप होता है \(k(x-r_1)(x-r_2)=0\)। यहाँ मूल 0 और -6 हैं, अत: समीकरण \(x(x+6)=0\) होगा और इसे खोलने पर \(x^2+6x=0\) मिलता है। विकल्प B में गुणनफल \(x(x-6)=0\) मिलता है इसलिए उसके मूल 0 और 6 हैं — यह गलत है। विकल्प C का समीकरण \(x^2+36=0\) समिश्र (complex) मूल ±6i देता है, और D से मूल ±6 (0 नहीं) मिलते हैं। परीक्षा टिप: किसी दिए समीकरण में दिए हुए मूलों को परखने के लिए सीधे उन मानों को समीकरण में रखें; यदि दोनों पर शून्य मिलता है तो समीकरण सही है। / If a quadratic has roots r_1 and r_2 its monic form is \(k(x-r_1)(x-r_2)=0\). With roots 0 and -6 we get \(x(x+6)=0\), which expands to \(x^2+6x=0\). Option B corresponds to \(x(x-6)=0\) so its roots are 0 and 6, not -6. Option C, \(x^2+36=0\), has complex roots ±6i. Option D, \(x^2-36=0\), has roots ±6 (not 0 and -6). Exam tip: verify quickly by substituting x=0 and x=-6 into the candidate equation — both should satisfy it for a correct choice.
दिए गए बहुपद को गुणनखण्डों में बाँटें: \(x^2+9x+20=(x+4)(x+5)\)। किसी गुणनखण्ड को शून्य पर रखकर मूल मिलते हैं: \(x+4=0\Rightarrow x=-4\) और \(x+5=0\Rightarrow x=-5\)। विकल्प B (4, 5) नकारात्मक चिह्नों के उलट है — यहाँ गुणनखण्डों के रूप में +4 और +5 होने पर शून्य के लिए x उनके ऋणात्मक मान होते हैं। परिक्षा-सुझाव: तय करें दो संख्याएँ जिनका गुणन 20 और योग 9 हो — फिर चिन्हों से सुनिश्चित करें कि वे दोनों सकारात्मक होने पर मूल ऋणात्मक होंगे (क्योंकि गुणनखण्ड हैं \(x+4\) और \(x+5\))। / Factor the quadratic: \(x^2+9x+20=(x+4)(x+5)\). Setting each factor to zero gives the roots \(x=-4\) and \(x=-5\). Option B (4, 5) has the wrong signs — the factors are \(x+4\) and \(x+5\), so the variable equals the negatives of 4 and 5. Exam tip: look for two numbers with product 20 and sum 9, then use signs of the factors to get the correct roots and verify by substitution if unsure.
समीकरण को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). इससे दोनों गुणनखंड शून्य होने पर \(x=3\) या \(x=4\) आते हैं, इसलिए मूल 3 और 4 हैं। विकल्प B (−3 और −4) का गुणनफल 12 जरूर है पर उनका योग −7 है, जबकि यहाँ मूलों का योग \(7\) होना चाहिए (कारण: किसी भी द्विघात \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है)। परीक्षा टिप: जल्दी के लिए गुणनफल 12 के ऐसे दो मान खोजें जो जोड़ में 7 दें — वही मूल होंगे। / Factorise the quadratic: \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). Setting each factor to zero gives \(x=3\) or \(x=4\), so the roots are 3 and 4. Option B (−3 and −4) also gives product 12 but their sum is −7, not +7; for \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots is \(-b/a\) and product is \(c/a\). Exam tip: find two numbers whose product is 12 and whose sum is 7 — those are the roots.
\(x^2-25\) एक अंतर वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\)। यदि \((x-5)(x+5)=0\) तो या तो \(x-5=0\) (जिसका हल \(x=5\)) या \(x+5=0\) (जिसका हल \(x=-5\)) होगा। इसलिए मूल \(5\) और \(-5\) हैं। नज़दीक भ्रमित विकल्प \(25\) और \(-25\) गलत है क्योंकि यह संख्या \(25\) के वर्गमूल \(5\) और \(-5\) में उलटा कर देता है — आप सीधे \(x^2=25\) से \(x=\pm5\) निकालते हैं, \(\pm25\) नहीं। परीक्षा टिप: जब \(x^2=a\) हो तो याद रखें \(x=\pm\sqrt{a}\), न कि \(\pm a\)। / Write the expression as a difference of squares: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\). Setting each factor to zero gives \(x-5=0\Rightarrow x=5\) and \(x+5=0\Rightarrow x=-5\). Thus the roots are 5 and -5. The closest distractor 25 and -25 is wrong because from \(x^2=25\) the solutions are \(x=\pm\sqrt{25}=\pm5\), not \(\pm25\). Exam tip: for equations of the form \(x^2=a\) always take square root to get \(x=\pm\sqrt{a}\).
\(x=-2\) रखने पर \((-2)^2+3(-2)+2 = 4-6+2 = 0\) प्राप्त होता है, इसलिए यह समीकरण का मूल है। इस द्विघात को फैक्टर करने पर \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\) मिलकर वास्तविक मूल \(x=-1\) और \(x=-2\) देते हैं। इसलिए विकल्प 'केवल \(x=2\)' गलत है क्योंकि \(+2\) मूल नहीं है, और 'कोई वास्तविक मूल नहीं' भी गलत है। परीक्षा-टिप: नकारात्मक संख्याएँ सब्स्टिट्यूट करते समय संकेतों पर ध्यान दें या सीधे फैक्टर करके जड़ें जाँच लें। / Substituting \(x=-2\) gives \((-2)^2+3(-2)+2 = 4-6+2 = 0\), so \(x=-2\) is indeed a root. Factoring yields \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\), so the real roots are \(x=-1\) and \(x=-2\). Thus 'Only at \(x=2\)' is incorrect because \(+2\) is not a root, and 'No real root' is also incorrect. Exam tip: either substitute carefully (watch signs) or factor the quadratic to find/check roots quickly.
यदि कोई संख्या \(\alpha\) समीकरण का मूल है तो उसे स्थान पर रखने पर \(p(\alpha)=0\) होगा। इसलिए किसी द्विघात (या किसी भी बहुपद) का मूल वह संख्या है जिससे बहुपद का मान शून्य बन जाता है। विकल्प A और C केवल विशेष बहुपदों के लिए सत्य हो सकते हैं — सामान्य परिभाषा में वे सही उत्तर नहीं हैं। विकल्प D (\(p(x)\)) बहुपद का नाम/अभिव्यक्ति है, मूल्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिये गए अंक को जाँचने के लिए उसे स्थान पर रखकर \(p(\text{that value})\) निकालें — अगर परिणाम 0 आये तो वह मूल है। / If a number \(\alpha\) is a root, then substituting it gives \(p(\alpha)=0\). Thus the value of the polynomial must become zero. Options A and C (1 and -1) could be roots for some specific polynomials but are not the general definition. Option D (\(p(x)\)) is the polynomial expression itself, not the numeric value it attains. Exam tip: always verify a claimed root by substitution — compute \(p(\text{the value})\) and check if it equals 0.
A सही है क्योंकि \(x^2+5x= x(x+5)\) के रूप में फैक्टर होता है और इसलिए \(x=0\) एक मूल है। सामान्य नियम: किसी द्विघात समीकरण में शून्य (0) तब ही मूल होगा जब स्थायी पद (constant term) शून्य हो। उदाहरण के लिए विकल्प C का फैक्टरisation \((x-2)(x-3)\) है और D का \((x+1)^2\) है, इसलिए उनके मूल 2, 3 और −1 हैं, न कि 0। परीक्षात्मक सुझाव: जल्दी जाँच के लिए constant term देखें — यदि वह 0 है तो तुरंत x=0 एक मूल होगा। / A is correct because \(x^2+5x = x(x+5)\), so \(x=0\) is a root. Rule: a quadratic has 0 as a root only if its constant term is 0 (i.e., the polynomial is divisible by x). For contrast, option C factors as \((x-2)(x-3)\) and D as \((x+1)^2\), so their roots are 2, 3 and −1 respectively, not 0. Exam tip: check the constant term quickly — if it is 0, then x=0 is a root.
यदि दो मूल α और β हों और उनका योग α+β = 5 दिया है तथा एक मूल α = 2 दिया है, तो दूसरा β = 5−2 = 3. विकल्प A गलत है क्योंकि दोनों मूल 2 माने तो योग 4 होगा; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि वे दिए गए योग 5 के साथ मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: हमेशा दिए हुए योग में से ज्ञात मूल घटा कर जांचें। / Let the roots be α and β with α+β = 5, and suppose one root α = 2. Then the other root is β = 5−2 = 3. Option A is wrong because if both roots were 2 the sum would be 4; options C and D do not satisfy the given sum 5. Exam tip: subtract the known root from the total sum and verify by adding the two roots.
दोनों मूलों का गुणनफल αβ = 12 दिया है और एक मूल α = 3 है। इसलिए दूसरे मूल β = \\(\frac{12}{3}=4\\) होगा। सामान्य रूप से किसी द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 के लिए गुणनफल c/a होता है। विकल्प A (3) गलत है क्योंकि यदि दूसरा मूल 3 होता तो गुणनफल 3×3=9 होता, जो दिए गए 12 से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुइट: दिए गए गुणनफल से दिए मूल को भाग करके तुरंत दूसरा मूल निकालें। / Let the roots be α and β with product αβ = 12, and given α = 3. Thus β = \\(\frac{12}{3}=4\\). More generally for ax-2+bx+c=0 the product of roots equals c/a. Option A (3) is incorrect because 3×3 = 9 ≠ 12; options C and D (9 and 12) give products 27 and 36 respectively, so they also do not match. Exam tip: use product = (given product) ÷ (given root) to find the other root quickly and check by multiplication.
