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चूँकि \(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+4\ge 4>0\)। अतः \(x^2+4\) कभी शून्य नहीं होगा और वास्तविक मूल मौजूद नहीं हैं। इसी को द्विघात समीकरण के वर्णक से भी देख सकते हैं: \(\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot4=-16<0\), जिससे वास्तविक मूल नहीं होते। सबसे घातक भ्रम यह है कि सभी द्विघातों के दो मूल होते हैं — यह तभी सच है जब \(\Delta>0\) हो। परीक्षा-सूत्र: किसी भी द्विघात के वास्तविक मूलों की संख्या के लिए वर्णक \(\Delta=b^2-4ac\) देख लें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+4\ge 4>0\), so \(x^2+4\) can never be zero and there are no real roots. Using the quadratic discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot4=-16<0\), which confirms no real solutions. Common distractor: students may think a quadratic always has two roots — that requires \(\Delta>0\). Exam tip: check \(\Delta\) or the minimum value of \(x^2\) to decide real roots quickly.
यदि किसी बहुपद का सरल मूल \(r\) है तो उससे संबंधित सरल गुणनखंड \(x-r\) होगा। अतः जब मूल \(2\) है, तो गुणनखंड निश्चित रूप से \(x-2\) होगा। अन्य विकल्पों का विश्लेषण: \(x+2\) का शून्य \(-2\) देता है, इसलिए वह गलती से चुना गया विकल्प है; \(2x+1\) का शून्य \(-\tfrac{1}{2}\) है; और \(x^2+2\) एक द्विघात अभिन्न पद है, यह किसी बहुपद का सरल रैखिक गुणनखंड नहीं हो सकता। परीक्षात्मक सुझाव: यदि संदेह हो तो बहुपद में \(x=2\) रखकर मान शून्य आता है या नहीं जाँचें। / For any polynomial, a simple root \(r\) corresponds to the linear factor \(x-r\). So if the root is \(2\), the guaranteed factor is \(x-2\). Analysis of distractors: \(x+2\) would correspond to root \(-2\); \(2x+1\) corresponds to root \(-\tfrac{1}{2}\); and \(x^2+2\) is a quadratic expression and cannot be the linear factor associated with root \(2\). Exam tip: substitute \(x=2\) into the polynomial — it must give zero if 2 is truly a root.
गुणनखंडन करने पर \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) मिलता है, इसलिए समीकरण के मूल (roots) हैं \(x=1\) और \(x=2\)। निकटतम भ्रमित विकल्प D में एकमात्र सही संख्या 2 है पर 3 गलत है, इसलिए D गलत है। जांच के लिए discriminant \(b^2-4ac=9-8=1\) एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है, अतः जड़ें यथार्थ और रोational हैं। परीक्षा सुझाव: त्वरित जाँच के लिए Vieta का नियम उपयोग करें — गुणनफल =2 और गुण =1+2=3 चाहिए। / Factorising gives \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), so the roots are \(x=1\) and \(x=2\). The closest distractor D contains 2 (which is correct) but also 3 (which is not), so D is wrong. Also the discriminant is \(b^2-4ac=9-8=1\), a positive perfect square, confirming two rational real roots. Exam tip: use Vieta — sum of roots =3 and product =2 to check your answer quickly.
मूलों का योग सीधे जोड़ने से मिलता है: 1 + (−4) = −3। द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 में दो मूल α और β के लिए α+β = −b/a होता है — यहाँ दिए गए मूलों का योग इसी गणना से भी −3 आता है। निकटतम ग़लत विकल्प −5 इसलिए गलत है कि कुछ छात्र 1 को गलती से −1 मानकर (−1)+(−4)=−5 कर सकते हैं। परीक्षा-सुझाव: धन-ऋण के चिह्न स्पष्ट लिखें और पहले संकेत वाले गुणा/घटाना की बजाय सीधे जोड़ें। / Compute the sum directly: 1 + (−4) = −3. For a quadratic ax-2+bx+c=0 the sum of roots α+β = −b/a, which agrees with the direct addition here. The closest wrong option, −5, would arise if a student mistakenly treated 1 as −1 and computed (−1)+(−4)=−5. Exam tip: always write the signs explicitly and perform the addition carefully when a negative number is involved.
गुणनफल शून्य नियम: यदि दो गुणकों का गुणनफल शून्य है तो कम-से-कम एक गुणक शून्य होगा। इसलिए \(x-2=0\) या \(x+7=0\)। पहले से \(x-2=0\) से \(x=2\) और दूसरे से \(x+7=0\) से \(x=-7\)। अतः मूल 2 और −7 हैं। निकटभ्रम (विकल्प A: 2 और 7) तब होता है जब किसी ने द्वितीय गुणक का знак गलत ले लिया हो; इसलिए वह गलत है। परीक्षा-टिप: हर गुणक को अलग से शून्य के बराबर रखकर हल करें और संकेत (sign) पर ध्यान दें। / Zero-product rule: if a product of two factors is zero, at least one factor is zero. So set \(x-2=0\) or \(x+7=0\). From \(x-2=0\) we get \(x=2\); from \(x+7=0\) we get \(x=-7\). Therefore the roots are 2 and −7. The closest distractor (A: 2 and 7) arises from taking the sign of the second factor incorrectly, so it is wrong. Exam tip: set each factor equal to zero separately and check signs of constants carefully.
समीकरण \(x^2-16=0\) को गुणनखंडों में लिखें: \((x-4)(x+4)=0\)। इसलिए मूल \(x=4\) और \(x=-4\) हैं। \(x=0\) रखने पर बाएं पक्ष \(0^2-16=-16\) होता है, जो शून्य नहीं है; अतः 0 मूल नहीं है। भ्रम के लिए निकटतम विचलन \(\sqrt{16}\) है जो \(4\) के बराबर है, इसलिए वह मूल है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग के वर्गमूल की परिभाषा याद रखें — \(\sqrt{16}=4\), न कि \(\pm4\) (दोनों साइन अलग-अलग विकल्पों से मिलते हैं)। / Factor the equation: \((x-4)(x+4)=0\), so the roots are \(x=4\) and \(x=-4\). Substituting \(x=0\) gives \(0^2-16=-16\neq0\), so 0 is not a root. A common trap is \(\sqrt{16}\), which equals 4 and hence is a root; note that \(\sqrt{16}\) denotes the principal (positive) square root. Exam tip: always check by substitution or factoring to confirm whether a candidate value satisfies the equation.
समीकरण को गुणा करने पर \(x^2-10x+25=(x-5)^2\) बनता है, इसलिए समीकरण का दोहराया (repeated) मूल \(5\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प A, यानी \(-5\), केवल तब सही होता यदि बहुपद \((x+5)^2\) होता; यहाँ संकेत उल्टा है। एक त्वरित परिक्षण युक्ति: यदि विवर्तक (discriminant) \(b^2-4ac=100-100=0\) होता है तो एक ही दोहराया मूल मिलेगा। / The polynomial factors as \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so the repeated root is \(5\). The closest distractor, \(-5\), would be correct only if the factor were \((x+5)^2\), which it is not. Quick exam tip: check for a perfect square or compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero you have a repeated root.
समीकरण को सामान्य गुणनखंड के रूप में लिखें: \(3x^2-12x=3x(x-4)\). किसी गुणनखंड का शून्य तब होता है जब कोई एक कारक शून्य हो, इसलिए \(3x=0\) से \(x=0\) और \(x-4=0\) से \(x=4\)। अतः मूल 0 और 4 हैं। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प B (3 और 4) इसलिए गलत है क्योंकि \(x=3\) रखने पर अभिव्यक्ति \(3(3)^2-12(3)=27-36=-9\) शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी द्विघात में पहले सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें; अगर आपने किसी चरण में विभाजन से x निकाल दिया है तो x=0 की संभावना अलग से जाँचे। / Factor the left side: \(3x^2-12x=3x(x-4)\). A product is zero when one factor is zero, so \(3x=0\) gives \(x=0\) and \(x-4=0\) gives \(x=4\). Hence the roots are 0 and 4. The closest distractor B (3 and 4) is wrong because substituting \(x=3\) yields \(3(3)^2-12(3)=27-36=-9\), not zero. Exam tip: always factor out the common factor first; if you divide by x, check x=0 separately.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\)। इसलिए \((x+3)^2=0\) से एक ही मूल आता है, \(x=-3\) (दोहराया हुआ मूल)। विकर्णांक \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0\) भी एक-दोहराव वाला मूल दर्शाता है। विकल्प A में साइन उल्टा है, विकल्प C और D से व्युत्पन्न जोड़े के गुणन और योग इस समीकरण के साथ मेल नहीं खाते। परीक्षा-सूत्र: यदि \(\Delta=0\) हो तो द्विघात समीकरण का द्वैतिक मूल दोहरा होता है। / Factor the quadratic: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Hence \((x+3)^2=0\) gives the repeated root \(x=-3\). The discriminant \(\Delta=b^2-4ac=36-36=0\) confirms a double root. Option A is the sign-mistake counterpart; options C and D do not satisfy the sum and product required by the coefficients. Exam tip: check \(\Delta\) first—if it is zero, the equation has one repeated root.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=2\) और \(c=-2\) है, अतः गुणनफल \(\dfrac{-2}{2}=-1\)। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा है; विकल्प C (-2) गलत है क्योंकि वह केवल \(c\) की मान है न कि \(c/a\)। परीक्षा-सुझाव: सीधे \(a\) और \(c\) पहचानें और साइन पर ध्यान रखें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(\frac{c}{a}\). Here \(a=2\) and \(c=-2\), so product = \(\frac{-2}{2}=-1\). Option B (1) is wrong due to incorrect sign; option C (-2) wrongly uses \(c\) instead of \(c/a\). Exam tip: Always identify \(a\) and \(c\) first and be careful with signs.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α और β हैं, तो समीकरण का मानक रूप x-2-(α+β)x+αβ=0 होता है। यहाँ α=4 और β=−1 हैं, अतः α+β=3 और αβ=−4। इनका स्थानापन्न करने पर समीकरण x-2-3x-4=0 मिलता है, जो (x-4)(x+1)=0 के रूप में भी लिखा जा सकता है। निकटतम भ्रामक विकल्प C, x-2-5x+4=0, के मूल 1 और 4 हैं — इसमें 4 मेल खाता है पर −1 नहीं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा युक्ति: सीधे मूलों का योग और गुणनफल निकालकर x-2-(sum)x+(product)=0 बनाएं। / For a quadratic with roots α and β the monic form is x-2-(α+β)x+αβ=0. Here α=4 and β=−1 so α+β=3 and αβ=−4. Substituting gives x-2-3x-4=0, which factors as (x-4)(x+1)=0. The closest distractor C, x-2-5x+4=0, has roots 1 and 4 — it shares root 4 but not −1, so it is incorrect. Exam tip: compute sum and product of the given roots and form x-2-(sum)x+(product)=0.
मूल को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: \(x=3\) देने पर \(3^2+ p\cdot3-6=0\) अर्थात् \(9+3p-6=0\) ⇒ \(3+3p=0\) ⇒ \(3p=-3\) ⇒ \(p=-1\)। सबसे पास की ग़लत विकल्प (1) तब बन सकता है जब योग या ऋणात्मक चिह्नों की गलत व्याख्या हो; इसलिए संकेतों और अंकगणित की जाँच करें। परीक्षा-टिप: किसी पैरामीटर के लिए मूल मिलने पर सीधे उस मूल को रखें और ध्यान से सरल करें। / Substitute the root into the equation: with \(x=3\) we get \(3^2+3p-6=0\), so \(9+3p-6=0\) ⇒ \(3+3p=0\) ⇒ \(p=-1\). A common wrong choice (1) comes from an arithmetic or sign mistake when simplifying; check signs carefully. Exam tip: always substitute the given root directly and simplify step by step to avoid sign errors.
यदि \(x-a\) गुणनखंड है तो गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार बहुपद में \(x=a\) रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए \(a\) उस बहुपद का मूल (root या zero) है। विकल्प A (गुणांक) भ्रमित कर सकता है पर वह किसी पद का गुणा करने वाला स्थायी गुण है और यह बताता नहीं कि किसी विशेष मान पर बहुपद शून्य होगा। विकल्प D (अचर पद) भी अलग है — यह स्वतंत्र स्थिर पद होता है, जो स्वतः किसी खास \(x\) पर शून्य नहीं होने का संकेत नहीं देता। परीक्षा‑टिप: शीघ्र जाँच के लिए बहुपद में \(x=a\) रखकर मान निकालें; यदि परिणाम 0 आए तो \(x-a\) निश्चित रूप से गुणनखंड है। / By the factor theorem, if \(x-a\) is a factor then substituting \(x=a\) into the polynomial gives value 0. Hence \(a\) is a root (zero) of the polynomial. Option A (coefficient) is incorrect because a coefficient is the multiplier of a term and does not indicate a value that makes the polynomial zero. Option D (constant term) is a different concept — the term independent of \(x\). Exam tip: plug in \(x=a\); if the polynomial evaluates to 0, then \(x-a\) is a factor.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\)। इसलिए \((x+1)^2=0\) से मूल \(x=-1\) दोहरा (गुणांक 2) है। नज़दीकी भ्रांति है \(1\), जो \((x-1)^2\) से जुड़ा होगा (लेकिन वह समीकरण \(x^2-2x+1\) देता है)। परीक्षा-सूत्र: यदि वर्णांकों पर विचार करें तो डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=4-4=0\) आने पर मूल दोहरा होता है। / Factor the quadratic: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\). Thus \((x+1)^2=0\) gives the double root \(x=-1\). A common mistake is choosing \(1\), which would correspond to \((x-1)^2\) and the polynomial \(x^2-2x+1\). Exam tip: check either factorisation or compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals 0, the quadratic has a repeated root.
\(2x^2-8=0\) को पहले दोनों पक्षों को 2 से भाग देकर सरल करें: \(x^2=4\)। अब वर्गमूल लेने पर \(x=\pm 2\) मिलते हैं, अर्थात् 2 और −2। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ पर गलती से \(x^2=16\) मान लिया गया होगा; विकल्प C में 0 जोड़ा गया है पर \(0\) समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; विकल्प D केवल धनात्मक जड़ ले रहा है और ऋणात्मक जड़ \(-2\) छोड़ रहा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह \(+\) और \(-\) दोनों परखें। / Divide both sides by 2: from \(2x^2-8=0\) we get \(x^2=4\). Taking square roots gives \(x=\pm 2\), i.e. 2 and −2. Option B would come from incorrectly assuming \(x^2=16\); option C is wrong because 0 does not satisfy the equation; option D is incomplete because it omits the negative root. Exam tip: when taking square roots always include both \(+\) and \(-\) solutions after squaring.
समीकरण को शून्य के रूप में लिखें: \(x^2-x=0\). इसे गुणा विभाजित करें: \(x(x-1)=0\). इसलिए गुणनखंड से प्राप्त मूल \(x=0\) और \(x=1\) हैं। विकल्प B (1 and 2) इसलिए गलत है क्योंकि \(x=2\) डालने पर \(2^2\neq2\)। विकल्प C (-1 and 1) में \(x=-1\) सही नहीं है क्योंकि \((-1)^2=1\) जो \(-1\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा बहुपद को \(=0\) करके गुणनखंड निकालें — यह मूल पाने का तेज और सुरक्षित तरीका है। / Write the equation as \(x^2-x=0\) and factorize: \(x(x-1)=0\). Hence the roots are \(x=0\) and \(x=1\). Option B (1 and 2) is wrong because substituting \(x=2\) gives \(4\neq2\). Option C (-1 and 1) is wrong since \(x=-1\) does not satisfy the equation (\((-1)^2=1\neq-1\)). Exam tip: always bring the equation to \(=0\) and factorize to find roots quickly and reliably.
समीकरण में \(x=0\) रखकर प्राप्त होगा: \(3(0)^2+2(0)=0\)। इसलिए बाएँ पक्ष शून्य होता है और \(x=0\) समीकरण का मूल है। वैकल्पिक रूप से समीकरण को गुणा करके देखें: \(3x^2+2x=x(3x+2)=0\) से मूल \(x=0\) और \(x=-\tfrac{2}{3}\) मिलते हैं। विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(x=2\) रखने पर \(3(2)^2+2(2)=16\neq0\)। विकल्प (D) गलत है क्योंकि दिए गए बहुपद में मान प्रतिस्थापित कर सत्य की जाँच की जा सकती है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दिये गए मूल्य को जाँचने के लिए सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करें या बहुपद को गुणाकर शून्य-गुणनफल खोजें। / Substituting \(x=0\) gives \(3(0)^2+2(0)=0\). Hence the left-hand side is zero and \(x=0\) is a root. Alternatively factor: \(3x^2+2x=x(3x+2)=0\), giving roots \(x=0\) and \(x=-\tfrac{2}{3}\). Option (C) is incorrect because substituting \(x=2\) yields \(3(2)^2+2(2)=16\neq0\). Option (D) is wrong since the equation is explicit and substitution determines whether a value is a root. Exam tip: To check a root substitute the value into the polynomial or factor the polynomial to find all roots quickly.
द्विघात समीकरण के गुण के अनुसार डिस्क्रिमिनेंट \(D= b^2-4ac\) की मान्यता तय करती है कि मूल वास्तविक हैं या नहीं। यदि \(D>0\) तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होंगे, यदि \(D=0\) तो सममूल (दो बराबर वास्तविक मूल) होंगे, इसलिए वास्तविक मूलों के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त \(D\ge 0\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(D<0\) होने पर मूल सम्मिश्र/कॉम्प्लेक्स होते हैं; विकल्प C बेकार-विशिष्ट मान है और सभी समीकरणों पर लागू नहीं होता; विकल्प D गलत है क्योंकि \(a=0\) पर समीकरण द्विघात नहीं रह जाता। परीक्षा-सुझाव: किसी द्विघात के मूल जल्दी जानने के लिए पहले हमेशा \(D=b^2-4ac\) निकालें। / The discriminant \(D=b^2-4ac\) determines the nature of roots. If \(D>0\) there are two distinct real roots, if \(D=0\) there is one repeated real root; hence real roots occur exactly when \(D\ge 0\). Option A is incorrect because \(D<0\) gives complex (non-real) roots. Option C is just a specific value and not a general condition. Option D is incorrect because \(a=0\) makes the equation linear, not quadratic. Exam tip: compute \(D=b^2-4ac\) first to decide root nature quickly.
डिस्क्रिमिनेंट की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=1,\;b=-4,\;c=4\)। अत: \(D=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\)। इसलिए \(D=0\) और द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान (दोहराए गए) होंगे। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि सही घटा-भाग करने पर मान 0 आता है, न कि 4। परीक्षा टिप: सबसे पहले स्पष्ट रूप से \(a,b,c\) लिखें और फिर ही \(b^2-4ac\) में स्थानापन्न करें। / Discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-4,\;c=4\). Thus \(D=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\). So the discriminant is 0 and the quadratic has equal (repeated) roots. Option A (4) is incorrect because correct substitution and arithmetic give 0, not 4. Exam tip: always list values of \(a,b,c\) explicitly before computing \(b^2-4ac\) to avoid sign or multiplication mistakes.
डिस्क्रिमिनेंट को परिभाषित किया जाता है \\(D = b^2 - 4ac\\)। यदि द्विघात समीकरण के दो समान (दोहरे) वास्तविक मूल हों तो \\(D=0\\) होता है और मूल की मान \\(-\frac{b}{2a}\\) होता है। नजदीकी भ्रामक विकल्प A (\\(D>0\\)) गलत है क्योंकि उस स्थिति में दो पृथक वास्तविक मूल होंगे; C (\\(D<0\\)) गलत है क्योंकि वहाँ मूल सम्मिश्र (complex) होते हैं; D (\\(D=1\\)) केवल एक विशिष्ट संख्या है और समान मूल होने के लिए आवश्यक नहीं है। परीक्षा सलाह: किसी भी क्वाड्रैटिक में पहले \\(D=b^2-4ac\\) निकालें और उसे 0 से तुलना करें। / The discriminant is defined by \(D = b^2 - 4ac\). Two equal (repeated) real roots occur exactly when \(D = 0\); the repeated root is \(-b/(2a)\). The closest distractor A (D > 0) is wrong because that case gives two distinct real roots; C (D < 0) gives complex conjugate roots; D (D = 1) is just a specific value and does not generally imply equal roots. Exam tip: always compute \(D=b^2-4ac\) and compare with zero to determine the nature of roots quickly.
सामान्य रूप से, \(ax^2+bx+c=0\) को \(a\neq 0\) मानकर \(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\) लिखा जा सकता है। यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों तो सामान्य रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) के साथ तुलना करने पर गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) मिलता है। विकल्प B का चिन्ह (-) गलत है; C और D में मध्यवर्ती गुणांक \(b\) को प्रयोग करके भ्रम पैदा किया गया है, पर गुणनफल हमेशा स्वतंत्र पद (constant term) ÷ अग्रणी गुणांक (leading coefficient) होता है। परीक्षा टिप: गुणनफल के लिए हमेशा constant term को leading coefficient से भाग दें और चिन्हों पर ध्यान रखें। / Divide the equation by \(a\) (assuming \(a\neq 0\)) to get \(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\). Comparing with \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) gives \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Option B has the wrong sign; options C and D confuse the coefficient \(b\) with the constant term. Exam tip: product of roots = constant term ÷ leading coefficient, and sum of roots = -(middle coefficient) ÷ leading coefficient.
समीकरण को गुणा-खंड में बाँटें: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). जब कोई गुणनखण्ड शून्य होता है तो उस गुणनखण्ड का प्रत्येक कारक शून्य हो सकता है, इसलिए \(x+2=0\) से \(x=-2\) और \(x+3=0\) से \(x=-3\)। निकटतम भ्रामक विकल्प (B) का संकेत चिह्न उल्टा है — वह +2 और +3 देता है, जबकि सही मूल दोनों ऋणात्मक हैं। परीक्षा-टिप: तेज जाँच के लिए सम और गुणनफल का प्रयोग करें — सम = \(-b/a\) = \(-5\), गुणनफल = \(c/a\) = \(6\)। / Factor the quadratic: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Setting each factor to zero gives \(x+2=0\Rightarrow x=-2\) and \(x+3=0\Rightarrow x=-3\). The closest distractor (B) simply has the signs reversed (+2 and +3), which is the common sign error. Exam tip: verify quickly using sum and product of roots — sum = \(-b/a\) = \(-5\) and product = \(c/a\) = \(6\).
विकेटा के अनुसार एक घनत्वीय द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। दिए गए मूलों का योग \((p+2)+(q-2)=p+q=8\) है, अतः \(-p=8\) और इसलिए \(p=-8\)। जाँच करने पर गुणनफल की शर्त \((p+2)(q-2)=q\) के साथ यह डेटा असंगत निकलता है: \(p=-8\) व \(q=16\) लेने पर बाएँ ओर \(-84\) मिलता है जो \(q=16\) से मेल नहीं खाता। पर प्रश्न सीधे योग से \(p\) पूछ रहा है, अतः उत्तर \(-8\) है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा योग और गुणनफल दोनों की जाँच करें; साइन में गलती होने पर अक्सर विरोधी विकल्प \(8\) जैसा मिलेगा। / By Vieta's relations for \(x^2+px+q=0\), the sum of roots equals \(-p\). The given roots sum to \((p+2)+(q-2)=p+q=8\), so \(-p=8\) and hence \(p=-8\). Note: checking the product condition \((p+2)(q-2)=q\) with \(p=-8\) (so \(q=16\)) gives \(-84\neq16\), so the full set of data is inconsistent; nevertheless the value of \(p\) is determined by the sum relation asked in the question. Exam tip: check both sum and product; a common mistake is to miss the negative sign and pick \(8\).
मूलों का योग (2k+5) और गुणनफल \(k^2+5k+6\) है। ((k+2)+(k+3)=2k+5) और ((k+2)(k+3)=k-2+5k+6) सही है। / The sum of roots is (2k+5) and the product is \(k^2+5k+6\). ((k+2)+(k+3)=2k+5) and ((k+2)(k+3)=k-2+5k+6) are correct.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) और \(\alpha\beta=2\), इसलिए मान \(\frac{85}{18}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) and \(\alpha\beta=2\), so the value is \(\frac{85}{18}\).
हर हटाने पर (6{(x+3)2+(x-2)2}=13(x+3)(x-2)) मिलता है। सरल करने पर \(x^2+x-156=0\) सही रूप है। / After clearing denominators, (6{(x+3)2+(x-2)2}=13(x+3)(x-2)). Simplifying gives the correct form \(x^2+x-156=0\).
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). अतः \((x-a)^2=49\) से दोनों मूल \(a+7\) और \(a-7\) होंगे। इन दोनों का अंतर \((a+7)-(a-7)=14\) है। विकल्प (B)‑ 7 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल अंकात्मक अंतर का आधा है; विकल्प (C)‑ 2a और (D)‑ a+7 भी गलत हैं — (C) को मूलों के योग या गुणनफल से गलत निहितार्थ जोड़ा गया है और (D) एक मात्र एक मूल है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: कभी भी द्विघात में समान रूप से व्यवस्थित सदस्य दिखें तो पहले पूर्ण वर्ग बनाने की कोशिश करें — इससे मूल सरलता से मिल जाते हैं। / Complete the square: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). So \((x-a)^2=49\) and the roots are \(a+7\) and \(a-7\). Their difference is \((a+7)-(a-7)=14\). Option B (7) is incorrect — it is half the actual difference. Option C (2a) is unrelated to the difference here (it would be a mistaken use of coefficients), and option D (a+7) is just one root, not the difference. Exam tip: try completing the square or factor as \((x-a-7)(x-a+7)=0\) to read off roots quickly.
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विभेदक (discriminant) \(D=b^2-4ac\) नकारात्मक होना चाहिए। यहाँ \(a=1,\; b=14,\; c=k\)। अतः \(D=14^2-4\cdot1\cdot k=196-4k\)। \(D<0\) होने पर \(196-4k<0\Rightarrow k>49\)। इसलिए सही उत्तर \(k>49\) है। निकटतम विकर्षक \(k=49\) पर \(D=0\) होता है और एक दोहराव वाला वास्तविक मूल मिलेगा, अतः वह विकल्प गलत है। परीक्षा-सूत्र: कोई वास्तविक मूल नहीं के लिये \(D<0\), एक समान वास्तविक मूल के लिये \(D=0\), दो अलग वास्तविक मूलों के लिये \(D>0\)। / For no real roots the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be negative. Here \(a=1,\; b=14,\; c=k\), so \(D=14^2-4\cdot1\cdot k=196-4k\). Requiring \(D<0\) gives \(196-4k<0\Rightarrow k>49\). Thus \(k>49\) is correct. The closest distractor \(k=49\) yields \(D=0\), giving one repeated real root, not “no real roots.” Exam tip: compute \(D\) first and use its sign to decide the nature of roots (\(D<0,=0,>0\)).
यहाँ \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=-33\) है। इसलिए (\alpha\beta+5\alpha+5\beta=-33+5(8)=7)। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=-33\). Thus (\alpha\beta+5\alpha+5\beta=-33+5(8)=7).
सामान्य द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1,\; b=-19,\; c=84\) है, इसलिए \(\alpha+\beta=-\dfrac{-19}{1}=19\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=19^2=361\)। विकल्प B (84) वास्तव में मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta\) है, न कि योग का वर्ग। विकल्प C (256) और D (324) क्रमशः \(16^2\) और \(18^2\) हैं — ये गलत हैं क्योंकि मूलों का योग 16 या 18 नहीं है। परीक्षात्मक टिप: हमेशा पहले \(a,b,c\) पहचान कर \(\alpha+\beta=-b/a\) और \(\alpha\beta=c/a\) लिखें; बाईनरी संकेत (sign) पर विशेष ध्यान दें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) and the product is \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\). In this equation \(a=1,\; b=-19,\; c=84\), so \(\alpha+\beta=-\dfrac{-19}{1}=19\). Therefore \((\alpha+\beta)^2=19^2=361\). Option B (84) is the product \(\alpha\beta\), not the square of the sum. Options C (256) and D (324) are \(16^2\) and \(18^2\) respectively and are incorrect because the sum is 19, not 16 or 18. Exam tip: identify \(a,b,c\) quickly and use \(\alpha+\beta=-b/a\); watch the sign of \(b\).
