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विकल्प B में योग के वर्ग की सर्वसमिका लागू होती है: \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)। अतः यह हर x और y के लिए सत्य है। A में \(2xy\) पद छूटता है। परीक्षा में दोनों पक्षों का विस्तार करके जाँचें। / Option B follows the square-of-a-sum identity: \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\), so it is true for every x and y. In A, the \(2xy\) term is missing. Exam tip: expand both sides to test an identity.
विकल्प A में वर्ग के योग की सर्वसमिका सही है: बीच का पद \(2ab\) होता है। विकल्प B में \(ab\) अधूरा है। परीक्षा में वर्ग खोलते समय दोनों गुणनफल \(ab\) जोड़ना याद रखें। / Option A is the correct square-of-a-sum identity: the middle term is \(2ab\). In option B, one \(ab\) term is missing. Exam tip: multiply each term in the first bracket by both terms in the second bracket.
रेखीय समीकरण के रूप \(y=mx+c\) में \(c\), y-अवरोधन होता है। विकल्प A में \(y=2x-3\) है, अतः \(x=0\) रखने पर \(y=-3\) मिलता है। इसलिए इसका y-अवरोधन \(-3\) है। विकल्प C में \(-3\) ढाल है, जबकि विकल्प D को \(y=\frac{x}{3}-\frac{2}{3}\) लिखा जा सकता है। परीक्षा टिप: y-अवरोधन जाँचने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept. For option A, \(y=2x-3\); putting \(x=0\) gives \(y=-3\). Hence, its y-intercept is \(-3\). In option C, \(-3\) is the slope, while option D can be written as \(y=\frac{x}{3}-\frac{2}{3}\). Exam tip: to find a y-intercept, put \(x=0\).
दी गई रेखा की ढाल \(3/2\) है। A को \(y=(3/2)x-4\) लिखने पर वही ढाल और \(y\)-अवरोध \(-4\) मिलता है। C का अवरोध सही है, पर ढाल \(2/3\) है। टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) मिलाएँ। / The given line has slope \(3/2\). Option A gives \(y=(3/2)x-4\), so it is parallel and has intercept \(-4\). C has intercept \(-4\) but slope \(2/3\). Tip: compare \(m\) in \(y=mx+c\).
\(2x-y=4\) को \(y=2x-4\) लिखने पर ढाल \(2\) धनात्मक और y-अवरोध \(-4\) ऋणात्मक मिलता है। \(-2x+y=4\) की ढाल धनात्मक है, पर उसका अवरोध \(4\) है। परीक्षा में समीकरण को पहले \(y=mx+c\) रूप में लिखें। / Rewriting \(2x-y=4\) as \(y=2x-4\) gives slope \(m=2\), which is positive, and y-intercept \(c=-4\), which is negative. Although \(-2x+y=4\) also has a positive slope, its intercept is \(4\). Exam tip: convert to \(y=mx+c\) before identifying signs.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=3\) धनात्मक तथा \(c=-5\) ऋणात्मक है। B का अवरोध सही है, पर उसकी ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(m\) और \(c\) के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For option A, \(m=3\) is positive and \(c=-5\) is negative. Option B has a negative intercept but its slope is negative. Exam tip: check the signs of \(m\) and \(c\) separately.
\(x=3\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसमें \(\Delta x=0\) होता है, इसलिए \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) अपरिभाषित है। यह \(y\)-अक्ष \((x=0)\) को नहीं काटती। \(y=3\) की ढाल शून्य होती है। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) वाली रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। / \(x=3\) is a vertical line. Here \(\Delta x=0\), so \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) is undefined. It does not meet the \(y\)-axis, where \(x=0\). In contrast, \(y=3\) has zero slope. Exam tip: a line of the form \(x=\text{constant}\) is vertical.
दिया गया समीकरण \(y=-3x+5\) है, इसलिए उसकी ढाल \(-3\) है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है। साथ ही, \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है; यहाँ यह \(-2\) होना चाहिए। अतः अपेक्षित समीकरण \(y=-3x-2\) है। विकल्प C की ढाल सही है, लेकिन उसका \(y\)-अवरोध \(+2\) है। परीक्षा टिप: पहले ढाल मिलाइए, फिर स्थिर पद से \(y\)-अवरोध जाँचिए। / The given line \(y=-3x+5\) has slope \(-3\). Parallel lines must have the same slope. Also, in \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept, which must be \(-2\) here. Therefore, the required equation is \(y=-3x-2\). Option C has the correct slope but its y-intercept is \(+2\). Exam tip: verify the slope first and then check the constant term for the y-intercept.
ढाल-अवरोधन रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोधन होता है। \(y=2x-3\) में \(m=2\), \(c=-3\) हैं। विकल्प B की ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: पहले \(x\) का गुणांक और फिर स्थिर पद पहचानें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=2x-3\), \(m=2\) and \(c=-3\). Option B has a negative slope. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) and the constant term first.
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। \(y=2x-5\) में \(m=2>0\) तथा \(c=-5<0\) है। \(y=-2x-5\) का अवरोध ऋणात्मक है, पर ढाल भी ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: ढाल के लिए x का गुणांक देखें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=2x-5\), \(m=2>0\) and \(c=-5<0\). Although \(y=-2x-5\) has a negative intercept, its slope is negative too. Exam tip: check the coefficient of x first.
\(y\)-अक्ष के समानांतर रेखा ऊर्ध्वाधर होती है, इसलिए उसका रूप \(x=\text{स्थिरांक}\) होता है। बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 3 है, अतः \(x=3\)। \(y=-2\) क्षैतिज रेखा है। परीक्षा टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित होती है। / A line parallel to the \(y\)-axis is vertical, so its equation has the form \(x=\text{constant}\). Since the point has \(x\)-coordinate 3, the line is \(x=3\). \(y=-2\) is horizontal. Exam tip: a vertical line has undefined slope.
\(x=5\) में x का मान हर बिंदु पर 5 रहता है, इसलिए रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित है और यह y-अक्ष को नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) को ऊर्ध्वाधर रेखा पहचानें। / In \(x=5\), the x-coordinate remains 5 for every point, so the line is vertical. A vertical line has undefined slope and does not meet the y-axis. Exam tip: identify \(x=\text{constant}\) as a vertical line.
\(x=5\) के प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 5 होता है, इसलिए यह ऊर्ध्वाधर रेखा है और x-अक्ष के लंबवत होती है। y-अक्ष पर \(x=0\) होता है, अतः यह उसे नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। / For \(x=5\), every point has x-coordinate 5, so the graph is a vertical line and is perpendicular to the x-axis. On the y-axis, \(x=0\), so this line cannot meet it. Exam tip: \(x=\text{constant}\) always represents a vertical line.
\(2x+y=5\) को y के लिए लिखने पर \(y=-2x+5\) मिलता है। अतः ढाल \(-2\) ऋणात्मक और y-अवरोध \(5\) धनात्मक है। परीक्षा में समीकरण को \(y=mx+c\) रूप में लिखकर \(m\) व \(c\) के चिह्न जाँचें। / Writing \(2x+y=5\) in terms of y gives \(y=-2x+5\). Thus, the slope \(-2\) is negative and the y-intercept \(5\) is positive. Exam tip: rewrite the equation as \(y=mx+c\) and check the signs of \(m\) and \(c\).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। नीचे उतरती रेखा के लिए \(m<0\) तथा 4 इकाई नीचे काटने के लिए \(c=-4\) चाहिए; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B का y-अवरोध सही है, पर उसकी ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: चिन्ह देखकर ढाल की दिशा तुरंत पहचानें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. A falling line needs \(m<0\), and an intercept 4 units below the origin means \(c=-4\); hence A is correct. Option B has the correct intercept but a positive slope. Exam tip: use the sign of \(m\) to identify the direction quickly.
\(x=3\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसमें \(\Delta x=0\) होने से ढाल अपरिभाषित होती है और यह y-अक्ष \(x=0\) को नहीं काटती। \(y=3\) की ढाल शून्य है। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) वाली रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। / \(x=3\) is a vertical line. Since \(\Delta x=0\), its slope is undefined, and it does not meet the y-axis \(x=0\). In contrast, \(y=3\) has zero slope. Exam tip: a line of the form \(x=\text{constant}\) is vertical.
दी गई रेखा को \(y=2x+5\) लिखने पर उसकी ढाल \(2\) है। लंबवत रेखा की ढाल \(-\frac12\) होगी। \(y\)-अवरोध \(-3\) रखने पर \(y=-\frac12x-3\), अर्थात \(x+2y+6=0\)। परीक्षा में ढालों का गुणनफल \(-1\) जाँचें। / Writing the given line as \(y=2x+5\) gives slope \(2\). A perpendicular line has slope \(-\frac12\). With y-intercept \(-3\), it is \(y=-\frac12x-3\), or \(x+2y+6=0\). Exam tip: perpendicular slopes multiply to \(-1\).
रेखा \(y=mx+c\) में \(m=-2\) ऋणात्मक है, इसलिए रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है। \(c=-3\) होने से y-अवरोध मूलबिंदु के नीचे है। परीक्षा टिप: ढाल और स्थिर पद के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m=-2\) is negative, so the line falls from left to right. Since \(c=-3\), its y-intercept lies below the origin. Exam tip: check the signs of the slope and constant term separately.
रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-2\) ऋणात्मक है तथा \(c=4\) है। विकल्प B की ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक देखकर ढाल पहचानें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Option A has \(m=-2\), which is negative, and \(c=4\). Option B has a positive slope. Exam tip: check the coefficient of \(x\) first.
\(x=a\) के रूप की रेखा में x का मान स्थिर रहता है, इसलिए वह ऊर्ध्वाधर होकर y-अक्ष के समानांतर होती है। \(y=4\) x-अक्ष के समानांतर है। परीक्षा टिप: \(x=\) स्थिर को vertical पहचानें। / In a line of the form \(x=a\), the x-coordinate remains fixed, so the line is vertical and parallel to the y-axis. \(y=4\) is horizontal instead. Exam tip: a constant \(x\) indicates a vertical line.
रेखा \(y=mx+c\) में नीचे उतरने के लिए ढाल \(m<0\) और \(y\)-अक्ष पर मूलबिंदु के ऊपर कटने के लिए \(c>0\) होना चाहिए। विकल्प B में \(m=-4\), \(c=7\) हैं। विकल्प A का अवरोध सही है, पर उसकी ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: ढाल और अवरोध के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / For \(y=mx+c\), a line falls left to right when \(m<0\), and it meets the \(y\)-axis above the origin when \(c>0\). In option B, \(m=-4\) and \(c=7\). Option A has the correct intercept sign but a positive slope. Exam tip: check the signs of slope and intercept separately.
विकल्प A को y के लिए लिखने पर \(y=-2x+4\) मिलता है। अतः ढाल \(-2\) ऋणात्मक और y-अवरोध 4 है। विकल्प D की ढाल ऋणात्मक है, पर उसका y-अवरोध 2 है। परीक्षा में पहले समीकरण को \(y=mx+c\) रूप में लिखें। / Rewriting option A gives \(y=-2x+4\). Therefore, its slope is \(-2\), which is negative, and its y-intercept is 4. Option D has a negative slope but intercepts the y-axis at 2. Exam tip: convert the equation to \(y=mx+c\) first.
\(x=3\) में x स्थिर है, अतः रेखा ऊर्ध्वाधर और y-अक्ष के समानांतर है; इसकी ढाल अपरिभाषित होती है। \(x=0\) न होने से यह y-अक्ष नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=k\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। / In \(x=3\), x is fixed, so the graph is vertical and parallel to the y-axis; therefore, its slope is undefined. Since it is not \(x=0\), it does not meet the y-axis. Exam tip: \(x=k\) represents a vertical line.
समीकरण \(y=3x-4\) में \(x=0\) रखने पर \(y=-4\) मिलता है, इसलिए ग्राफ y-अक्ष को \((0,-4)\) पर काटता है। विकल्प C का y-अवरोध \(-4/3\) है। परीक्षा में y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें। / In \(y=3x-4\), putting \(x=0\) gives \(y=-4\), so the graph meets the y-axis at \((0,-4)\). Option C has y-intercept \(-4/3\). Exam tip: set \(x=0\) to identify the y-intercept.
\(x=5\) में x-निर्देशांक स्थिर रहता है, इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रेखा है और इसका ढाल अपरिभाषित है। \(y=5\) की ढाल 0 होती है। परीक्षा टिप: \(x=\text{constant}\) ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। / In \(x=5\), x remains fixed, so the line is vertical, parallel to the y-axis, and has an undefined slope. \(y=5\) is horizontal with slope 0. Exam tip: \(x=\text{constant}\) represents a vertical line.
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=2\) धनात्मक तथा \(c=-3\) ऋणात्मक है। विकल्प B का y-अवरोध सही है, पर उसकी ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा में \(x\) के गुणांक और स्थिर पद के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=2\) is positive and \(c=-3\) is negative. Option B has the correct intercept sign but a negative slope. Exam tip: check the signs of the coefficient of \(x\) and the constant separately.
\(x=4\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसमें \(x\) का परिवर्तन शून्य होता है, इसलिए ढाल \(\Delta y/\Delta x\) अपरिभाषित है। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) वाली रेखा की ढाल सदैव अपरिभाषित होती है। / \(x=4\) is a vertical line. Its change in \(x\) is zero, so the slope \(\Delta y/\Delta x\) is undefined. Exam tip: any line of the form \(x=\text{constant}\) has an undefined slope.
दी गई रेखा की ढाल \(2\) है। लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणन \(-1\) होता है, इसलिए आवश्यक ढाल \(-\frac{1}{2}\) होगी। \(y\)-अवरोध \(3\) रखने पर समीकरण \(y=-\frac{1}{2}x+3\) मिलता है। विकल्प D की ढाल सही है, पर उसका अवरोध \(-3\) है। परीक्षा में \(y=mx+c\) में \(m\) और \(c\) अलग-अलग जाँचें। / The given line has slope \(2\). For perpendicular lines, the product of slopes is \(-1\), so the required slope is \(-\frac{1}{2}\). With y-intercept \(3\), the equation is \(y=-\frac{1}{2}x+3\). Option D has the correct slope but intercept \(-3\). Exam tip: check \(m\) and \(c\) separately in \(y=mx+c\).
\(y=mx+c\) में \(m>0\) होने पर रेखा बाएँ से दाएँ ऊपर जाती है और \(c=-5\) y-अक्ष पर कटाव को मूल बिंदु से नीचे रखता है। इसलिए A सही है; B में \(m<0\) है। परीक्षा टिप: \(m\) व \(c\) के चिन्ह अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m>0\) means the line rises left to right, and \(c=-5\) puts its y-intercept below zero. Thus A is correct; B has \(m<0\). Exam tip: inspect \(m\) and \(c\) separately.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-3\) ऋणात्मक तथा \(c=5\) धनात्मक है। विकल्प C की ढाल सही है, पर उसका अवरोध ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) के गुणांक का चिह्न पहले जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=-3\) is negative and \(c=5\) is positive. Option C has a negative slope but a negative intercept. Exam tip: check the signs of both coefficients separately.
\(x=5\) में x का मान नियत है, इसलिए इसकी रेखा ऊर्ध्वाधर होती है और y-अक्ष के समानांतर रहती है। y-अक्ष का समीकरण \(x=0\) है, अतः \(x=5\) उसे नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=\text{नियतांक}\) हमेशा ऊर्ध्वाधर रेखा है। / In \(x=5\), the x-coordinate is fixed, so the graph is a vertical line parallel to the y-axis. Since the y-axis is \(x=0\), it cannot meet \(x=5\). Exam tip: any equation \(x=\text{constant}\) represents a vertical line.
\(x=5\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो y-अक्ष \((x=0)\) को नहीं काटती; इसलिए इसका y-अवरोध नहीं है। \(y=2x+1\) में y-अवरोध 1 है। परीक्षा टिप: \(x=c\), जहाँ \(c\ne0\), का y-अवरोध नहीं होता। / \(x=5\) is a vertical line and never meets the y-axis, whose equation is \(x=0\); hence it has no y-intercept. In contrast, \(y=2x+1\) meets it at 1. Exam tip: \(x=c\), for \(c\ne0\), has no y-intercept.
दी गई रेखा की ढाल \(\frac{3}{2}\) है; लम्बवत रेखा की ढाल \(-\frac{2}{3}\) होगी। y-अवरोध 4 रखने पर A मिलता है। B समानांतर है। टिप: लम्बवत ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है। / The given line has slope \(\frac{3}{2}\), so a perpendicular line has slope \(-\frac{2}{3}\). With y-intercept 4, A follows. B is parallel. Tip: perpendicular slopes multiply to \(-1\).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। \(y=-2x+4\) में ढाल \(-2\) ऋणात्मक तथा अवरोध 4 है। परीक्षा में पहले समीकरण को इसी रूप में पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=-2x+4\), the slope is \(-2\) and the intercept is 4. Exam tip: identify \(m\) and \(c\) directly first.
\(x=4\) में x का मान स्थिर रहता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और इसकी ढाल अपरिभाषित होती है। यह y-अक्ष से नहीं मिलती। परीक्षा टिप: \(x=c\) सदैव vertical line होती है। / In \(x=4\), the x-coordinate is fixed, so the graph is a vertical line and its slope is undefined. It does not meet the y-axis. Exam tip: an equation \(x=c\) always represents a vertical line.
ढाल-अंतःखंड रूप में \(y\) अकेला होता है, \(x\) का गुणांक ढाल और स्थिर पद \(y\)-अंतःखंड होता है। A में ढाल \(-3\) तथा अंतःखंड 7 है। B को पहले \(y\) के लिए हल करना पड़ेगा। परीक्षा में \(y=mx+c\) का स्वरूप पहचानें। / In slope-intercept form, \(y\) is isolated; the coefficient of \(x\) is the slope and the constant is the y-intercept. In A, the slope is \(-3\) and the intercept is 7. Option B must first be rearranged for \(y\). Exam tip: look for \(y=mx+c\) directly.
x = 4 वाली रेखा y-अक्ष के समानांतर है, अतः उसे नहीं काटती और इसका y-अवरोध नहीं होता। y = 4, y-अक्ष को काटती है। परीक्षा टिप: x = स्थिरांक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। / The line x = 4 is parallel to the y-axis, so it never meets the y-axis and has no y-intercept. In contrast, y = 4 meets it at (0, 4). Exam tip: x = constant denotes a vertical line.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। \(y=-2x\) में \(m=-2\) तथा \(c=0\) है, इसलिए यह मूलबिंदु से गुजरती है। परीक्षा टिप: \(c=0\) होने पर रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=-2x\), \(m=-2\) and \(c=0\), so it passes through the origin. Exam tip: check \(c=0\) first for an origin-passing line.
\(y=mx+c\) में \(m\) रेखा की ढाल है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है; यहाँ \(m=-3\) है। विकल्प A की ढाल \(-3\) और अवरोध अलग है, इसलिए यह भिन्न समानांतर रेखा है। विकल्प D वही रेखा है। परीक्षा टिप: पहले \(x\) का गुणांक मिलाइए। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. Parallel lines have equal slopes; the given line has slope \(-3\). Option A also has slope \(-3\) but a different intercept, so it is distinct. Option D is the same line. Exam tip: compare the coefficient of \(x\) first.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है; समान अवरोध के लिए \(c=-5\) भी चाहिए। इसलिए केवल \(y=3x-5\) सही है। परीक्षा टिप: \(m\) और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. A parallel line needs slope \(3\), and the same intercept requires \(c=-5\). Thus only \(y=3x-5\) fits. Exam tip: check slope and constant separately.
सही समीकरण \(y=-2x+3\) है। \(x\) का गुणांक \(-2\) होने से ढाल ऋणात्मक है और नियत पद \(3\) y-अवरोध है। \(y=-2x-3\) में अवरोध मूलबिंदु के नीचे है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) और \(c\) के चिन्ह देखें। / The correct equation is \(y=-2x+3\). Its slope is \(-2\), so the line falls from left to right, and its y-intercept is 3. \(y=-2x-3\) has a negative intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), check the signs of \(m\) and \(c\).
\(4x+2y=8\) को \(y=-2x+4\) लिखने पर ढाल \(-2\) और y-अवरोध \(4\) मिलता है। विकल्प C में y-अवरोध धनात्मक है, पर ढाल धनात्मक है। परीक्षा में समीकरण को \(y=mx+c\) रूप में पहचानें। / Rewriting \(4x+2y=8\) gives \(y=-2x+4\), so the slope is \(-2\) and the y-intercept is \(4\). Option C has a positive intercept but also a positive slope. In exams, compare equations using \(y=mx+c\).
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। \(y=-3x+5\) में \(m=-3\) ऋणात्मक तथा \(c=5\) धनात्मक है। \(y=-3x-5\) की ढाल सही है, पर उसका y-अवरोध ऋणात्मक है। परीक्षा में \(x\) का गुणांक और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=-3x+5\), \(m=-3\) is negative and \(c=5\) is positive. Although \(y=-3x-5\) has a negative slope, its y-intercept is negative. Exam tip: check the coefficient of \(x\) and the constant separately.
x-अक्ष के समानांतर रेखा क्षैतिज होती है, इसलिए उसका y-मान हर बिंदु पर स्थिर रहता है। y-अवरोध 8 होने पर समीकरण \(y=8\) होगा। \(x=8\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। परीक्षा टिप: स्थिर y वाली रेखा हमेशा क्षैतिज होती है। / A line parallel to the x-axis is horizontal, so its y-coordinate remains constant for every point on it. With y-intercept 8, its equation is \(y=8\). In contrast, \(x=8\) is vertical. Exam tip: a constant y-value always indicates a horizontal line.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(c\) y-अवरोध और \(m\) ढाल होता है। \(y=-2x+5\) में \(c=5\) तथा \(m=-2\) है। विकल्प B की ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर y-अवरोध तुरंत मिलता है। / In \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept and \(m\) is the slope. For \(y=-2x+5\), \(c=5\) and \(m=-2\), so the slope is negative. Option B has a positive slope. Exam tip: put \(x=0\) to check the y-intercept.
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। विकल्प A में y पहले से अकेला है। विकल्प B को पहले \(y=-3x+7\) में बदलना पड़ेगा। परीक्षा टिप: y को अलग देखकर रूप पहचानें। / Slope-intercept form is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, y is already isolated. Option B must first be rearranged to \(y=-3x+7\). Exam tip: check whether y stands alone.
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(m=2\), \(c=-3\) रखने पर \(y=2x-3\) मिलता है। \(y=2x+3\) में अवरोध का चिह्न गलत है। परीक्षा में \(x\) का गुणांक और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. With \(m=2\) and \(c=-3\), the equation is \(y=2x-3\). In \(y=2x+3\), the intercept has the wrong sign. Exam tip: check the coefficient of \(x\) and the constant separately.
रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-3\) ऋणात्मक तथा \(c=4\) है। विकल्प B का अवरोध 4 है, पर उसकी ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल बताता है। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=-3\) is negative and \(c=4\). Option B has intercept 4 but a positive slope. Exam tip: check the coefficient of \(x\) for slope.
\(y=5\) में \(x\) का गुणांक 0 है, इसलिए ढाल \(m=0\) होगी और रेखा क्षैतिज बनेगी। \(x=5\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m=0\) हो तो रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है। / In \(y=5\), the coefficient of \(x\) is 0, so the slope is \(m=0\) and the line is horizontal. \(x=5\) is a vertical line. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m=0\) means the line is parallel to the x-axis.
x-अक्ष के समानांतर रेखा का ढाल 0 होता है, इसलिए उसका समीकरण \(y=c\) होता है। y-अवरोध \(-4\) रखने पर \(c=-4\), अतः \(y=-4\)। \(x=-4\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। परीक्षा टिप: \(y=c\) हमेशा क्षैतिज रेखा होती है। / A line parallel to the x-axis has slope 0, so its equation is \(y=c\). With y-intercept \(-4\), \(c=-4\), giving \(y=-4\). In contrast, \(x=-4\) is a vertical line. Exam tip: every equation of the form \(y=c\) is horizontal.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में स्थिर पद \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। \(y=4x-3\) में \(c=-3\) है। \(y=-3x+4\) में \(-3\) ढाल है, अवरोध नहीं। परीक्षा में स्थिर पद पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept. In \(y=4x-3\), \(c=-3\). In \(y=-3x+4\), \(-3\) is the slope, not the intercept. Exam tip: identify the constant term.
\(y=4\) में y का मान प्रत्येक बिंदु पर स्थिर है, जबकि x बदल सकता है; इसलिए यह x-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। \(x=4\) y-अक्ष के समानांतर होती है। परीक्षा टिप: स्थिर y वाली रेखा क्षैतिज होती है। / In \(y=4\), the y-coordinate remains constant while x can vary, so the graph is a horizontal line parallel to the x-axis. \(x=4\) is instead parallel to the y-axis. Exam tip: a constant y-value always gives a horizontal line.
\(y=18-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) के हर 1 बढ़ने पर \(y\) 3 घटता है। यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। \(18-3x^2\) में घात 2 होने से संबंध रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) में \(b<0\) ह्रास बताता है। / In \(y=18-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) decreases by 3 for every increase of 1 in \(x\). This is linear decay at a constant rate. \(18-3x^2\) is not linear because it contains \(x^2\). Exam tip: in \(y=a+bx\), \(b<0\) indicates decay.
\(y=18-2.5x\) में स्थिर पद 18 प्रारम्भिक मान है और x का गुणांक \(-2.5\) प्रति इकाई समान कमी बताता है। विकल्प C रैखिक नहीं है क्योंकि उसमें \(x^2\) है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 तथा उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(y=18-2.5x\), the constant term 18 is the initial value and the coefficient \(-2.5\) shows an equal decrease per unit of x. Option C is not linear because it contains \(x^2\). Exam tip: for linear decay, x has power 1 and a negative coefficient.
\(y=12-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x के 1 इकाई बढ़ने पर y हर बार 4 इकाई घटता है। विकल्प B वृद्धि दर्शाता है, जबकि C और D रैखिक नहीं हैं। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर होता है। / In \(y=12-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so y falls by 4 units for every 1-unit rise in x. Option B represents growth, while C and D are not linear. Exam tip: linear decay has a constant negative coefficient of x.
\(y=12-3x\) में स्थिर पद 12 धनात्मक प्रारम्भिक मान देता है और x का गुणांक −3 है, इसलिए x बढ़ने पर y घटता है। \(y=12+3x\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: स्थिर पद और ढाल का चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=12-3x\), the constant term 12 gives a positive initial value, while the coefficient −3 makes y decrease as x increases. \(y=12+3x\) represents growth instead. Exam tip: check the signs of the intercept and slope separately.
\(y=18-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 2 घटता है। B में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक और घात 1 होनी चाहिए। / In \(y=18-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 for every increase of 1 in x. Option B represents growth. Exam tip: linear decay has a negative x-coefficient and degree 1.
\(y=50-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) की हर 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाले संबंध रैखिक नहीं होते। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर ढाल पहचानें। / In \(y=50-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 for each one-unit rise in \(x\). Relations involving \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: identify decay by a constant negative slope.
\(y=12-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 4 घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाले संबंध रैखिक नहीं होते। परीक्षा टिप: रैखिक कमी में x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=12-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so y decreases by 4 for every increase of 1 in x. Relations involving \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: a negative x-coefficient indicates linear decay.
विकल्प B में \(x\) का गुणांक \(-7\) है। अतः \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) हर बार 7 घटता है; यह समान दर का रैखिक क्षय है। \(x^2\) और \(1/x\) वाले संबंध रैखिक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल क्षय दिखाती है। / In option B, the coefficient of \(x\) is \(-7\). So, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 7 each time; this is constant-rate linear decay. Relations involving \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: a negative slope indicates decay.
\(y=12-5x\) में \(x\) के गुणांक \(-5\) का अर्थ है कि \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\), 5 इकाई घटता है। \(y=5x+12\) स्थिर दर से वृद्धि दिखाता है। परीक्षा में रैखिक ह्रास पहचानने के लिए \(x\) का ऋणात्मक गुणांक देखें। / In \(y=12-5x\), the coefficient \(-5\) means that \(y\) decreases by 5 units whenever \(x\) increases by 1. \(y=5x+12\) shows constant growth instead. Exam tip: a negative coefficient of \(x\) identifies linear decay.
\(y=30-2x\) में x का गुणांक \(-2\) स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए x में 1 की वृद्धि पर y 2 घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) पहचानें। / In \(y=30-2x\), the coefficient of x is the constant negative number \(-2\), so y decreases by 2 for every 1-unit rise in x. Expressions with \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: identify the form \(y=a+bx\).
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both lines are the same and have infinitely many solutions.
C. समांतर रेखाएँ, जिनका कोई हल नहीं है/Parallel lines with no solution
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1/a_2=10/20=1/2\) और \(b_1/b_2=3/6=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\)। अतः रेखाओं की ढाल समान और अंतःखंड अलग हैं, इसलिए वे समांतर हैं और कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं है। इसीलिए प्रणाली असंगत है। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि पहले दो अनुपात समान होने से अनंत हल होंगे, परंतु अनंत हल के लिए तीसरा अनुपात भी समान होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\) होने पर प्रणाली असंगत होती है। / Here, \(a_1/a_2=10/20=1/2\) and \(b_1/b_2=3/6=1/2\), but \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\). Thus, the two lines have the same slope but different intercepts, so they are parallel and have no point of intersection. Therefore, the system is inconsistent. A common mistake is to conclude that equal first two ratios imply infinitely many solutions; the third ratio must also be equal for coincident lines. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), the system is inconsistent.
C. (7/13 \ne 19 / 35), इसलिए एक अद्वितीय हल / 35), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक अद्वितीय हल देती हैं। / The first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one unique solution.
यहाँ \(a_1/a_2=12/36=1/3\) और \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), लेकिन \(c_1/c_2=29/91\), जो \(1/3\) के बराबर नहीं है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जिससे दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग होती हैं। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति की पहचान के लिए पहले a और b के गुणांकों का अनुपात मिलाएँ, फिर उसे c के अनुपात से तुलना करें। / Here, \(a_1/a_2=12/36=1/3\) and \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), but \(c_1/c_2=29/91\), which is not equal to \(1/3\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are parallel and distinct. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: First compare the ratios of the coefficients of x and y, and then compare them with the ratio of the constant terms.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तभी होता है जब उनके गुणांकों का अनुपात समान न हो। यहाँ शर्त \(\frac{11}{5}\ne\frac{k}{4}\) है। इसे हल करने पर \(44\ne5k\), अर्थात् \(k\ne\frac{44}{5}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा में याद रखें: अद्वितीय हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) होना चाहिए। विकल्प A में अनुपात समान हो जाते हैं, इसलिए वह अद्वितीय हल की शर्त नहीं है। / Two linear equations have a unique solution when the ratios of the coefficients of the variables are unequal. Here, the required condition is \(\frac{11}{5}\ne\frac{k}{4}\). On simplifying, this gives \(44\ne5k\), or \(k\ne\frac{44}{5}\). Therefore, option B is correct. Exam tip: for a unique solution, use \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). In option A, the two ratios become equal, so it does not represent a unique solution.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: गुणांकों का अनुपात समान हो, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग हो। अतः p/14 = 10/35 = 2/7, जिससे p = 4 प्राप्त होता है। जाँचने पर 50/122 = 25/61, जो 2/7 के बराबर नहीं है; इसलिए वास्तव में कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ याद रखें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, p/14 = 10/35 = 2/7, giving p = 4. Also, 50/122 = 25/61, which is not equal to 2/7, so the equations are inconsistent. Exam tip: Remember the condition a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ for no solution.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{6}{18}=\frac{42}{126}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{a}{33}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=11\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान होने चाहिए; केवल एक अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{6}{18}=\frac{42}{126}=\frac{1}{3}\). Therefore, \(\frac{a}{33}=\frac{1}{3}\), giving \(a=11\). Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constant terms must all be equal; checking only one ratio is not sufficient.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(t\ne192\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(t\ne192\).
समान ढाल वाली दो रेखाएँ या तो सम्पाती होती हैं या समांतर। अलग-अलग (y)-अवरोध होने पर वे सम्पाती नहीं हो सकतीं, इसलिए वे भिन्न समांतर रेखाएँ होंगी और कभी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी। अतः समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ हमेशा ‘कोई हल नहीं’ होता है; समान ढाल और समान अवरोध होने पर अनंत हल होते हैं। / Two lines with the same slope are either coincident or parallel. Different (y)-intercepts show that the lines are not coincident, so they are distinct parallel lines and never intersect. Hence, the pair of equations has no solution. Exam tip: equal slopes with different intercepts indicate no solution, whereas equal slopes with equal intercepts indicate infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
A. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है। तीनों अनुपात समान होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, इसलिए उसके प्रत्येक बिंदु से हल मिलता है। विकल्प C समानांतर अलग रेखाएँ देता है। परीक्षा टिप: अनुपातों का क्रम \(a,b,c\) में जाँचें। / Option A is correct. When all three ratios are equal, both equations represent the same line, so every point on it is a solution. Option C gives distinct parallel lines. Exam tip: always compare the ratios in the order \(a,b,c\).
यहाँ \\(\frac{29}{14} \ne \frac{12}{6}\\) है। अतः दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। वास्तव में, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करके पहले समीकरण से घटाने पर \(x=3\) मिलता है और फिर \(y=\frac{7}{6}\) प्राप्त होता है। इसलिए हल अद्वितीय है, लेकिन पूर्णांक नहीं; अतः विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो रैखिक समीकरण-युग्म का सदैव एक अद्वितीय हल होता है। / Here, \\(\frac{29}{14} \ne \frac{12}{6}\\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the pair of equations has a unique solution. In fact, multiplying the second equation by 2 and subtracting it from the first gives \(x=3\), followed by \(y=\frac{7}{6}\). Thus, the solution is unique but not an integer, so option D is incorrect. Exam tip: If \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations always has a unique solution.
दोनों समीकरणों के लिए
1/
2 = 24/4 = 6 और
1/
2 = (-18)/(-3) = 6, लेकिन स्थिरांकों का अनुपात 102/18 = 17/3 है, जो 6 के बराबर नहीं है। अतः
1/
2 =
2/
2
3/
2 की स्थिति है, इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं तथा कोई हल नहीं है। विकल्प B या संपाती रेखाओं का निष्कर्ष तब होता जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-टिप: पहले गुणांकों के अनुपात की तुलना करें और फिर स्थिरांकों के अनुपात से मिलान करें। / For the two equations, a₁/a₂ = 24/4 = 6 and b₁/b₂ = (-18)/(-3) = 6, but c₁/c₂ = 102/18 = 17/3, which is not 6. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, so the lines are parallel and distinct and the pair has no solution. Infinitely many solutions would occur only when all three corresponding ratios are equal. Exam tip: compare the ratios of the coefficients first, then compare them with the ratio of the constants.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: \(2(18x+13y=89)\) से \(36x+26y=178\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत अनेक हल हैं। विकल्प A गलत है, क्योंकि समानांतर और अलग रेखाओं के लिए गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होता है। परीक्षा में \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\) और \(c_1/c_2\) की तुलना करें; तीनों समान हों तो रेखाएं संपाती होती हैं। / The second equation is exactly twice the first: multiplying \(18x+13y=89\) by 2 gives \(36x+26y=178\). Hence, both equations represent the same line and the pair has infinitely many solutions. Option A is incorrect because distinct parallel lines have equal ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\), but a different ratio for the constant terms. Exam tip: compare \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and \(c_1/c_2\); if all three ratios are equal, the lines are coincident.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। यहाँ 12/3 = 132/33 = 4 है। इसलिए k/10 = 4, जिससे k = 40 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में पहले स्थिरांकों का अनुपात जाँचें और फिर अज्ञात गुणांक का मान निकालें। / Two linear equations have infinitely many solutions when a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Here, 12/3 = 132/33 = 4. Therefore, k/10 = 4, giving k = 40. Hence, option C is correct. Exam tip: In such questions, first compare the ratios of the known coefficients and constants, then determine the unknown coefficient.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए, इसलिए \(\frac{9}{a}=\frac{1}{2}\), जिससे \(a=18\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(\frac{38}{91}\ne\frac{1}{2}\), इसलिए रेखाएँ समानांतर और असंगत होंगी। अतः सही विकल्प 18 है। परीक्षा टिप: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात समान और अचर पदों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{9}{a}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=18\). Also, \(\frac{38}{91}\ne\frac{1}{2}\), so the two lines are parallel and inconsistent. Therefore, the correct answer is 18. Exam tip: For ‘no solution,’ first check that the ratios of the coefficients of both variables are equal but the ratio of the constant terms is different.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(r\ne98\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(r\ne98\).
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ 27=3×9 और 48=3×16 हैं, इसलिए दूसरा समीकरण पहले का 3 गुना होना चाहिए। अतः s=3×77=231। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: आश्रित समीकरणों में दोनों समीकरणों के सभी संगत पद समान गुणक से गुणित होते हैं। / For a pair of consistent and dependent linear equations, the corresponding coefficients and constant terms must have the same ratio. Here, 27=3×9 and 48=3×16, so the second equation must be three times the first. Therefore, s=3×77=231, making option C correct. Exam tip: In dependent equations, every corresponding term of one equation is obtained by multiplying the other equation by the same non-zero constant.
B. 12/24 ≠ 13 / 25, अतः एक अद्वितीय हल है / 25, so there is a unique solution
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों में यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो उनका एक अद्वितीय हल होता है। यहाँ 12/24 = 1/2 और 13/25 = 0.52 हैं, इसलिए दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। वास्तव में, समीकरणों को हल करने पर y = 3 और x = 4/3 प्राप्त होता है। इसलिए B सही है; विकल्प A और C में समान अनुपात की गलत शर्त लगाई गई है, जबकि D में x और y के मान उलट दिए गए हैं। परीक्षा-टिप: पहले a₁/a₂ और b₁/b₂ की तुलना करके हलों की संख्या निर्धारित करें। / For two linear equations, the condition a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ indicates a unique solution. Here, 12/24 = 1/2 and 13/25 = 0.52, so the two ratios are unequal. Solving the equations gives y = 3 and x = 4/3. Therefore, B is correct; A and C incorrectly assume equal ratios, while D reverses the values of x and y. Exam tip: Compare a₁/a₂ and b₁/b₂ first to determine the number of solutions.
यहाँ \(a_1=18, b_1=27, c_1=126\) और \(a_2=2, b_2=3, c_2=16\) हैं। अतः \(a_1/a_2=18/2=9\) तथा \(b_1/b_2=27/3=9\), लेकिन \(c_1/c_2=126/16=63/8\), जो 9 के बराबर नहीं है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), और रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है; इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दोनों गुणांकों के अनुपात बराबर और स्थिर पद का अनुपात अलग हो, तो ‘कोई हल नहीं’ निष्कर्ष निकालें। / Here, \(a_1=18, b_1=27, c_1=126\) and \(a_2=2, b_2=3, c_2=16\). Thus, \(a_1/a_2=18/2=9\) and \(b_1/b_2=27/3=9\), whereas \(c_1/c_2=126/16=63/8\), which is not 9. Therefore, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the pair of linear equations is inconsistent and has no solution. Exam tip: equal ratios of the coefficients but an unequal ratio of the constant terms indicate no solution.
A. तीनों अनुपात बराबर हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ तीन अनुपात हैं: \(11/33\), \(18/54\) और \(86/258\)। प्रत्येक का मान \(1/3\) है, इसलिए \(11/33=18/54=86/258\)। अतः तीनों अनुपात बराबर हैं और दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, इसलिए वे संपाती समीकरण हैं। परीक्षा-टिप: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होते हैं। / The three ratios are \(11/33\), \(18/54\), and \(86/258\). Each ratio equals \(1/3\), so \(11/33=18/54=86/258\). Hence, all three ratios are equal, and the two equations represent the same line; therefore, they are coincident equations. Exam tip: If \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the pair of linear equations has infinitely many solutions.
समीकरणों के गुणांकों के लिए \\(\frac{7}{4} \ne \frac{5}{-3}\\) है। समतुल्य रूप से, गुणांक-आव्यूह का निर्धारक \\(7(-3)-5(4)=-41\\) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। वास्तव में \\(x=\frac{229}{41}, y=\frac{155}{41}\\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\) होने पर दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / For the coefficients, \\(\frac{7}{4} \ne \frac{5}{-3}\\). Equivalently, the determinant of the coefficient matrix is \\(7(-3)-5(4)=-41\\), which is non-zero. Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the pair has one unique solution. In fact, \\(x=\frac{229}{41}, y=\frac{155}{41}\\). Exam tip: If \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\), a pair of linear equations has a unique solution.
C. असंगत, अर्थात् कोई हल नहीं/Inconsistent, with no solution
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1/a_2=9/18=1/2\) और \(b_1/b_2=4/8=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=380/775\neq1/2\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), जो असंगत रैखिक समीकरणों की शर्त है; इनकी संगत समानांतर रेखाएँ नहीं मिलतीं और कोई हल नहीं होता। विकल्प B के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना करते समय पहले दोनों चर के गुणांकों और फिर अचर पदों के अनुपात की जाँच करें। / Here, \(a_1/a_2=9/18=1/2\) and \(b_1/b_2=4/8=1/2\), but \(c_1/c_2=380/775\neq1/2\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), which is the condition for an inconsistent pair of linear equations; the corresponding distinct parallel lines do not intersect, so there is no solution. For option B, all three ratios would have to be equal. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of both variables first, and then compare the ratio of the constant terms.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
यहाँ \\(\frac{18}{9}=2\\) है, जबकि \\(\frac{7}{4}\\) है; दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एकमात्र हल होता है। अतः यह युग्म संगत और स्वतंत्र है। संगत और आश्रित युग्म के लिए दोनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होता है। / Here, \\(\frac{18}{9}=2\\), whereas \\(\frac{7}{4}\\) is different. Since the ratios of the coefficients of x and y are unequal, the two lines intersect at exactly one point, giving a unique solution. Therefore, the pair is consistent and independent. A consistent dependent pair would require the corresponding coefficient ratios to be equal. Exam tip: if \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\), a pair of linear equations has a unique solution.
C. असंगत; कोई हल नहीं/Inconsistent; having no solution
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a₁/a₂ = 26/2 = 13 और b₁/b₂ = 39/3 = 13, लेकिन c₁/c₂ = 117/10 है, जो 13 के बराबर नहीं है। अतः a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं। इस युग्म का कोई हल नहीं है, इसलिए यह असंगत युग्म है। विकल्प B तब सही होता जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-युक्ति: पहले a₁/a₂ और b₁/b₂ की तुलना करें; यदि वे समान हों और c₁/c₂ अलग हो, तो युग्म असंगत होता है। / Here, a₁/a₂ = 26/2 = 13 and b₁/b₂ = 39/3 = 13, but c₁/c₂ = 117/10, which is not equal to 13. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, so the two lines are distinct and parallel. The pair has no solution and is therefore inconsistent. Option B would be correct only if all three ratios were equal. Exam tip: first compare a₁/a₂ and b₁/b₂; if they are equal but c₁/c₂ is different, the pair is inconsistent.
पहला समीकरण दूसरे का (15) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (15) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
C. (19/9 \ne 12 / 6), इसलिए एक अद्वितीय हल / 6), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक हल देती हैं। / Here the first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one solution.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग है/The first two ratios are equal, but the ratio of the constant terms is different
Explanation
Simple Explanation
यहां
(24/3=8) और (32/4=8), लेकिन (96/13) 8 के बराबर नहीं है। अतः
(a_1/a_2=b_1/b_2
\ne c_1/c_2), इसलिए दोनों रेखाएं समांतर और असंपाती हैं तथा समीकरणों का कोई हल नहीं है। परीक्षा में पहले गुणांकों के अनुपात और फिर स्थिर पदों के अनुपात की तुलना करें। / Here, 24/3=8 and 32/4=8, but 96/13 is not equal to 8. Thus, a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2, so the two lines are parallel and distinct, and the pair has no solution. Exam tip: compare the ratios of the coefficients first and then compare the ratio of the constant terms.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 3 गुना है: 3(8x+15y=73) से 24x+45y=219 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और प्रणाली के अनंत हल हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत हल मिलते हैं। / The second equation is exactly 3 times the first: multiplying 8x+15y=73 by 3 gives 24x+45y=219. Hence, both equations represent the same line, so the system has infinitely many solutions. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the lines are coincident and infinitely many solutions exist.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल होने की शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{17}{8}\ne\frac{p}{3}\) होना चाहिए। क्रॉस-गुणा करने पर \(51\ne8p\), अर्थात् \(p\ne\frac{51}{8}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपातों को असमान रखें; विकल्प A में अनुपात बराबर हो जाते हैं और अद्वितीय हल नहीं मिलता। / Two linear equations have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{17}{8}\ne\frac{p}{3}\) is required. Cross-multiplication gives \(51\ne8p\), or \(p\ne\frac{51}{8}\). Hence, option B is correct. Exam tip: For a unique solution, the ratios of corresponding coefficients must be unequal; in option A, the ratios become equal, so the equations do not have a unique solution.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{7}{28}=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}\) है। अतः \(\frac{d}{36}=\frac{1}{4}\), इसलिए \(d=9\)। विकल्प 8 निकट है, लेकिन इससे \(\frac{d}{36}=\frac{2}{9}\) होगा, जो \(\frac{1}{4}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान और निश्चित रूप से संगत होने चाहिए। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{7}{28}=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}\). Therefore, \(\frac{d}{36}=\frac{1}{4}\), giving \(d=9\). Option 8 is a close distractor, but it gives \(\frac{d}{36}=\frac{2}{9}\), which is not equal to \(\frac{1}{4}\). Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding coefficient-to-constant ratios must be equal.
यहां \(15/30 \ne 8/17\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। ऐसी स्थिति में एक अद्वितीय हल मिलता है। / Here \(15/30 \ne 8/17\), so the lines intersect at one point. In this case, one unique solution is obtained.
A. \(\frac{16}{32}=\frac{-9}{-18}\ne\frac{55}{113}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1=16, b_1=-9, c_1=55\) तथा \(a_2=32, b_2=-18, c_2=113\) हैं। \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-9}{-18}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{55}{113}\ne\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), अतः रेखाएँ समानांतर हैं और युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात में पहले दो बराबर और तीसरा अलग हो, तो युग्म असंगत होता है। / Here, \(a_1=16, b_1=-9, c_1=55\) and \(a_2=32, b_2=-18, c_2=113\). We get \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-9}{-18}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{55}{113}\ne\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and the pair has no solution. Exam tip: when the first two coefficient ratios are equal but the constant-term ratio is different, the pair is inconsistent.
C. \(\frac{10}{30}=\frac{13}{39}=\frac{-71}{-213}\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात समान हैं: \(\frac{10}{30}=\frac{13}{39}=\frac{-71}{-213}=\frac{1}{3}\)। अतः दूसरे समीकरण के सभी गुणांक पहले समीकरण के गुणांकों के 3 गुने हैं, इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इस युग्म के अनंत हल होंगे। विकल्प A और D इसलिए गलत हैं क्योंकि वे किसी एक अनुपात को असमान बताते हैं, जबकि परीक्षा में स्थिर पद के चिह्न सहित उसका अनुपात भी जाँचना चाहिए। / All three ratios are equal: \(\frac{10}{30}=\frac{13}{39}=\frac{-71}{-213}=\frac{1}{3}\). Thus, every coefficient in the second equation is 3 times the corresponding coefficient in the first equation, so both equations represent the same line. The pair therefore has infinitely many solutions. Options A and D are incorrect because they wrongly treat one ratio as unequal. Exam tip: always compare the ratios of the coefficients of \(x\), \(y\), and the constant term, including their signs.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के गुणांकों के लिए \(\frac{5}{12} \ne \frac{17}{41}\) है। इसलिए रेखाएं समानांतर या संपाती नहीं हैं, बल्कि एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। इसे निर्धारक से भी जाँचा जा सकता है: \(5\times41-12\times17=1\ne0\)। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। / For the coefficients of the two equations, \(\frac{5}{12} \ne \frac{17}{41}\). Therefore, the lines are neither parallel nor coincident; they intersect at exactly one point, giving a unique solution. This can also be verified using the determinant: \(5\times41-12\times17=1\ne0\). Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), the pair of lines intersects at one point.
