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Subjects
Class 10 Mathematics Pair of Linear Equations in Two Variables Conditions for solvability Expert Level 60

दो वस्तुओं की कीमतों के लिए (10x+3y=470) और (20x+6y=955) समीकरण बने। यह प्रणाली कैसी है?

For prices of two items, the equations (10x+3y=470) and (20x+6y=955) are formed. What type of system is this?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. समांतर रेखाएँ, जिनका कोई हल नहीं हैParallel lines with no solution

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a_1/a_2=10/20=1/2\) और \(b_1/b_2=3/6=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\)। अतः रेखाओं की ढाल समान और अंतःखंड अलग हैं, इसलिए वे समांतर हैं और कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं है। इसीलिए प्रणाली असंगत है। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि पहले दो अनुपात समान होने से अनंत हल होंगे, परंतु अनंत हल के लिए तीसरा अनुपात भी समान होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\) होने पर प्रणाली असंगत होती है। / Here, \(a_1/a_2=10/20=1/2\) and \(b_1/b_2=3/6=1/2\), but \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\). Thus, the two lines have the same slope but different intercepts, so they are parallel and have no point of intersection. Therefore, the system is inconsistent. A common mistake is to conclude that equal first two ratios imply infinitely many solutions; the third ratio must also be equal for coincident lines. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), the system is inconsistent.

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दो वस्तुओं की कीमतों के लिए (10x+3y=470) और (20x+6y=955) समीकरण बने। यह प्रणाली कैसी है? / For prices of two items, the equations (10x+3y=470) and (20x+6y=955) are formed. What type of system is this?

Correct Answer: C. समांतर रेखाएँ, जिनका कोई हल नहीं है / Parallel lines with no solution. Explanation: यहाँ \(a_1/a_2=10/20=1/2\) और \(b_1/b_2=3/6=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\)। अतः रेखाओं की ढाल समान और अंतःखंड अलग हैं, इसलिए वे समांतर हैं और कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं है। इसीलिए प्रणाली असंगत है। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि पहले दो अनुपात समान होने से अनंत हल होंगे, परंतु अनंत हल के लिए तीसरा अनुपात भी समान होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\) होने पर प्रणाली असंगत होती है। / Here, \(a_1/a_2=10/20=1/2\) and \(b_1/b_2=3/6=1/2\), but \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\). Thus, the two lines have the same slope but different intercepts, so they are parallel and have no point of intersection. Therefore, the system is inconsistent. A common mistake is to conclude that equal first two ratios imply infinitely many solutions; the third ratio must also be equal for coincident lines. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), the system is inconsistent.