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A. ढाल (-4), (y)-अवरोध (13)/Slope (-4), (y)-intercept (13)
Explanation
Simple Explanation
(4y=-16x+52) से (y=-4x+13) मिलता है। गुणांक ढाल और स्थिर पद (y)-अवरोध होता है। / From (4y=-16x+52), we get (y=-4x+13). The coefficient is the slope and the constant term is the (y)-intercept.
\(x=3\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसमें \(\Delta x=0\) होता है, इसलिए \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) अपरिभाषित है। यह \(y\)-अक्ष \((x=0)\) को नहीं काटती। \(y=3\) की ढाल शून्य होती है। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) वाली रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। / \(x=3\) is a vertical line. Here \(\Delta x=0\), so \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) is undefined. It does not meet the \(y\)-axis, where \(x=0\). In contrast, \(y=3\) has zero slope. Exam tip: a line of the form \(x=\text{constant}\) is vertical.
दिए गए समीकरण में दोनों पक्षों को 8 से भाग देने पर y=3x-8 प्राप्त होता है। y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं, जिससे y=-8 मिलता है। अतः y-अवरोध -8 है। -64 मूल समीकरण का स्थिर पद है, लेकिन उसे 8 से विभाजित किए बिना y-अवरोध नहीं माना जा सकता। परीक्षा टिप: y=mx+c के रूप में लिखने पर c ही y-अवरोध होता है। / Dividing both sides of the equation by 8 gives y=3x-8. For the y-intercept, put x=0, which gives y=-8. Therefore, the y-intercept is -8. Although -64 is the constant term in the original equation, it must be divided by 8 before identifying the y-intercept. Exam tip: In the form y=mx+c, c is the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=3\) धनात्मक तथा \(c=-5\) ऋणात्मक है। B का अवरोध सही है, पर उसकी ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(m\) और \(c\) के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For option A, \(m=3\) is positive and \(c=-5\) is negative. Option B has a negative intercept but its slope is negative. Exam tip: check the signs of \(m\) and \(c\) separately.
बिंदु \((-5,12)\) को रेखा \(y=mx-13\) में रखने पर \(12=m(-5)-13\) प्राप्त होता है। अतः \(25=-5m\), इसलिए \(m=-5\)। इसलिए सही विकल्प \(\mathbf{-5}\) है। \(5\) लेने पर समीकरण में बिंदु के \(y\)-निर्देशांक के रूप में \(-38\) आएगा, जो गलत है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के रेखा पर होने पर उसके \(x\) और \(y\) मान सीधे रेखा के समीकरण में रखकर अज्ञात ढाल ज्ञात करें। / Substitute the point \((-5,12)\) into \(y=mx-13\): \(12=m(-5)-13\). Hence, \(25=-5m\), so \(m=-5\). Therefore, the correct option is \(\mathbf{-5}\). If \(m=5\), the equation gives \(y=-38\) when \(x=-5\), so it cannot pass through the given point. Exam tip: To find an unknown slope parameter, substitute the coordinates of the given point into the line equation.
\(2x-y=4\) को \(y=2x-4\) लिखने पर ढाल \(2\) धनात्मक और y-अवरोध \(-4\) ऋणात्मक मिलता है। \(-2x+y=4\) की ढाल धनात्मक है, पर उसका अवरोध \(4\) है। परीक्षा में समीकरण को पहले \(y=mx+c\) रूप में लिखें। / Rewriting \(2x-y=4\) as \(y=2x-4\) gives slope \(m=2\), which is positive, and y-intercept \(c=-4\), which is negative. Although \(-2x+y=4\) also has a positive slope, its intercept is \(4\). Exam tip: convert to \(y=mx+c\) before identifying signs.
दी गई रेखा की ढाल \(3/2\) है। A को \(y=(3/2)x-4\) लिखने पर वही ढाल और \(y\)-अवरोध \(-4\) मिलता है। C का अवरोध सही है, पर ढाल \(2/3\) है। टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) मिलाएँ। / The given line has slope \(3/2\). Option A gives \(y=(3/2)x-4\), so it is parallel and has intercept \(-4\). C has intercept \(-4\) but slope \(2/3\). Tip: compare \(m\) in \(y=mx+c\).
\(x=4\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, इसलिए इसका ढाल अपरिभाषित है। यह \(y\)-अक्ष, जहाँ \(x=0\) होता है, को नहीं काटती। \(y=-3\) की ढाल 0 होती है। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) वाली रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। / \(x=4\) is a vertical line, so its slope is undefined. It cannot meet the \(y\)-axis because every point on the \(y\)-axis has \(x=0\). In contrast, \(y=-3\) has slope 0. Exam tip: \(x=\text{constant}\) represents a vertical line.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। यहाँ ढाल \(5p-2\) है, इसलिए \(5p-2=38\)। अतः \(5p=40\) और \(p=8\) मिलता है। \(p=7\) रखने पर ढाल \(33\) होगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x\) का गुणांक पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope. Here, the slope is \(5p-2\), so \(5p-2=38\). Thus, \(5p=40\) and \(p=8\). If \(p=7\), the slope would be \(33\), so it is not correct. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) to find the slope.
रेखा मूल बिंदु \((0,0)\) से गुजरती है, इसलिए \(x=0\) और \(y=0\) रखने पर स्थिर पद शून्य होना चाहिए: \(r-6=0\)। अतः \(r=6\)। अब ढाल \(x\) का गुणांक है, अर्थात \(r+10=6+10=16\)। विकल्प \(6\) केवल \(r\) का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल \(m\) और y-अवरोध \(c\) होता है। / Since the line passes through the origin \((0,0)\), put \(x=0\) and \(y=0\). Its constant term must be zero: \(r-6=0\). Hence, \(r=6\). The slope is the coefficient of \(x\), so \(r+10=6+10=16\). Option \(6\) is the value of \(r\), not the slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept.
A. रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है और \(y\)-अक्ष को 4 पर काटती है/The line falls from left to right and crosses the \(y\)-axis at 4.
Explanation
Simple Explanation
\(y=mx+c\) से तुलना करने पर \(m=-3\) और \(c=4\) मिलते हैं। ऋणात्मक ढाल के कारण रेखा दाएँ जाने पर नीचे जाती है और \(y\)-अवरोध 4 है। परीक्षा टिप: \(c\) हमेशा \(y\)-अक्ष का कटान बताता है। / Comparing with \(y=mx+c\), we get \(m=-3\) and \(c=4\). A negative slope means the line falls as we move right, and its \(y\)-intercept is 4. Exam tip: \(c\) always gives the \(y\)-axis intercept.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। तब \(-6y+30=0\), इसलिए \(-6y=-30\) और \(y=5\) प्राप्त होता है। अतः y-अवरोध \(5\) है। \(-5\) चिह्न की गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the y-intercept, put \(x=0\). This gives \(-6y+30=0\), so \(-6y=-30\) and \(y=5\). Hence, the y-intercept is \(5\). The value \(-5\) can result from a sign error. Exam tip: always set \(x=0\) to find the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है। पहली रेखा की ढाल \(q-9\) और दूसरी रेखा की ढाल \(12\) है। समान ढाल के लिए \(q-9=12\), अतः \(q=21\)। विकल्प 20 लेने पर पहली ढाल 11 होगी, जो 12 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: समानांतर या समान ढाल वाली रेखाओं में \(x\) के गुणांकों की तुलना करें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). The slopes of the first and second lines are \(q-9\) and \(12\), respectively. For equal slopes, \(q-9=12\), so \(q=21\). If 20 were chosen, the first slope would be 11, not 12. Exam tip: for parallel lines or lines with equal slopes, compare the coefficients of \(x\).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(c\) होता है। पहली रेखा \(y=-10x+s\) का \(y\)-अवरोध \(s\) है, जबकि दूसरी रेखा \(y=7x-19\) का \(y\)-अवरोध \(-19\) है। दोनों अवरोध समान हैं, इसलिए \(s=-19\)। \(-10\) पहली रेखा की ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept. The \(y\)-intercept of \(y=-10x+s\) is \(s\), while that of \(y=7x-19\) is \(-19\). Since the intercepts are equal, \(s=-19\). Note that \(-10\) is the slope of the first line, not its \(y\)-intercept. Exam tip: Put \(x=0\) to find the \(y\)-intercept.
A. यह प्रत्येक वास्तविक मान a के लिए सही है/It is true for every real value of a
Explanation
Simple Explanation
रेखा का ढाल x का गुणांक होता है, इसलिए ढाल a+8 है। y-अवरोध स्थिर पद होता है, इसलिए y-अवरोध a है। अतः उनका अंतर (a+8)-a=8 प्राप्त होता है, जो a के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए सत्य है। a=8 या a=0 केवल विशेष मान हैं; शर्त इनके तक सीमित नहीं है। परीक्षा टिप: y=mx+c में m ढाल और c y-अवरोध होता है। / For a line, the coefficient of x is its slope, so the slope is a+8. The constant term is the y-intercept, so the y-intercept is a. Their difference is (a+8)-a=8, which is true for every real value of a. Values such as a=8 or a=0 are only particular cases; the condition is not restricted to them. Exam tip: In y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept.
समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है। दी गई रेखा की ढाल \(-3\) है और वांछित \(y\)-अवरोध \(-2\) है, इसलिए रूप \(y=mx+c\) में समीकरण \(y=-3x-2\) होगा। विकल्प D की ढाल सही है, पर उसका अवरोध \(+2\) है। परीक्षा में \(x\) का गुणांक ढाल और स्थिर पद को \(y\)-अवरोध मानें। / Parallel lines have equal slopes. The given line has slope \(-3\), while the required \(y\)-intercept is \(-2\); hence, in \(y=mx+c\), the equation is \(y=-3x-2\). Option D has the correct slope but intercept \(+2\). Exam tip: identify slope from the coefficient of \(x\) and intercept from the constant term.
रेखीय समीकरण के रूप \(y=mx+c\) में \(c\), y-अवरोधन होता है। विकल्प A में \(y=2x-3\) है, अतः \(x=0\) रखने पर \(y=-3\) मिलता है। इसलिए इसका y-अवरोधन \(-3\) है। विकल्प C में \(-3\) ढाल है, जबकि विकल्प D को \(y=\frac{x}{3}-\frac{2}{3}\) लिखा जा सकता है। परीक्षा टिप: y-अवरोधन जाँचने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept. For option A, \(y=2x-3\); putting \(x=0\) gives \(y=-3\). Hence, its y-intercept is \(-3\). In option C, \(-3\) is the slope, while option D can be written as \(y=\frac{x}{3}-\frac{2}{3}\). Exam tip: to find a y-intercept, put \(x=0\).
रेखा के रूप
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल होती है। पहली रेखा की ढाल \(k-10\) और दूसरी रेखा की ढाल \(6\) है। ढालें समान होने पर \(k-10=6\), अतः \(k=16\)। विकल्प 15 लेने पर पहली ढाल 5 होगी, जो 6 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: समानांतर रेखाओं की ढालें समान होती हैं; स्थिर पद ढाल को प्रभावित नहीं करता। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. The first line has slope \(k-10\), while the second has slope \(6\). Since the slopes are equal, \(k-10=6\), so \(k=16\). For example, if \(k=15\), the first slope is 5, not 6. Exam tip: parallel lines have equal slopes; the constant term does not affect slope.
रेखा के रूप y = ax + b में y-अवरोध स्थिर पद b होता है। पहली रेखा का y-अवरोध -9 और दूसरी रेखा का y-अवरोध m - 14 है। समान y-अवरोध के लिए m - 14 = -9, अतः m = 5। विकल्प 4 लेने पर दूसरा y-अवरोध -10 होगा, इसलिए वह समान नहीं है। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x = 0 रखें। / In the form y = ax + b, the y-intercept is the constant term b. The first line has y-intercept -9, while the second has y-intercept m - 14. For equal y-intercepts, m - 14 = -9, so m = 5. If m were 4, the second y-intercept would be -10, so the intercepts would not match. Exam tip: put x = 0 to find the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-3\), जो ऋणात्मक है, तथा \(c=5\) है। विकल्प B का y-अवरोध 5 है, पर उसका ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक देखकर ढाल पहचानें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Option A has \(m=-3\), so its slope is negative, and \(c=5\). Option B has intercept 5 but a positive slope. Exam tip: identify the slope from the coefficient of \(x\).
रेखा का ढाल \(\frac{9}{4}\) है, अर्थात \(x\) में \(\Delta x\) की वृद्धि पर \(y\) में \(\frac{9}{4}\Delta x\) की वृद्धि होती है। इसलिए \(\frac{9}{4}\Delta x=36\), जिससे \(\Delta x=36\times\frac{4}{9}=16\) मिलता है। \(18\) लेने पर \(y\) में वृद्धि \(\frac{9}{4}\times18=40.5\) होगी, 36 नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में परिवर्तन वाले प्रश्नों के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) प्रयोग करें; स्थिर पद \(c\) परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। / The slope is \(\frac{9}{4}\), so an increase \(\Delta x\) in \(x\) produces an increase \(\frac{9}{4}\Delta x\) in \(y\). Thus, \(\frac{9}{4}\Delta x=36\), giving \(\Delta x=36\times\frac{4}{9}=16\). If \(x\) increased by 18, then \(y\) would increase by \(\frac{9}{4}\times18=40.5\), not 36. Exam tip: for change questions in \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\); the constant term \(c\) does not affect the change.
B. रेखा घटती है और y-अवरोध धनात्मक है/The line decreases and the y-intercept is positive
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप (y=px+q) में p ढाल तथा q y-अवरोध होता है। यहाँ p=-9 है, इसलिए x बढ़ने पर y घटता है और रेखा घटती हुई होती है। q=14 धनात्मक है, इसलिए रेखा y-अक्ष को मूलबिंदु के ऊपर काटती है। विकल्प C में क्षैतिज रेखा के लिए ढाल 0 होनी चाहिए। परीक्षा टिप: ढाल का चिह्न रेखा के बढ़ने या घटने को बताता है, जबकि q y-अवरोध बताता है। / In the form (y=px+q), p is the slope and q is the y-intercept. Here, p=-9, so y decreases as x increases; hence, the line decreases. Since q=14 is positive, the line meets the y-axis above the origin. Option C is incorrect because a horizontal line has slope 0. Exam tip: use the sign of the slope for increasing or decreasing behaviour, and use q for the y-intercept.
रेखा \(y=mx+c\) में \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है, इसलिए उसका \(y\)-अवरोध \(c\) होता है। अतः दोनों रेखाओं के \(y\)-अवरोध समान होने के लिए \(c_1=c_2\) आवश्यक और पर्याप्त है। \(m_1=m_2\) केवल समान ढाल वाली, अर्थात समानांतर या संपाती रेखाओं की शर्त है; इससे \(y\)-अवरोध समान होना निश्चित नहीं होता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध दर्शाता है। / For a line \(y=mx+c\), setting \(x=0\) gives \(y=c\); therefore, \(c\) is its \(y\)-intercept. Hence the two lines have the same \(y\)-intercept if and only if \(c_1=c_2\). The condition \(m_1=m_2\) only gives equal slopes, so it does not guarantee equal \(y\)-intercepts. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept.
समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखें: \(12y=-bx+96\), अतः \(y=-\frac{b}{12}x+8\)। इसलिए ढाल \(-\frac{b}{12}\) है। \(-\frac{b}{12}=-4\) रखने पर \(b=48\) मिलता है। विकल्प 36 के लिए ढाल \(-3\) होती, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(Ax+By=C\) की ढाल \(-\frac{A}{B}\) होती है। / Write the equation in slope-intercept form: \(12y=-bx+96\), so \(y=-\frac{b}{12}x+8\). Hence, the slope is \(-\frac{b}{12}\). On setting \(-\frac{b}{12}=-4\), we get \(b=48\). If \(b=36\), the slope would be \(-3\), so it is not correct. Exam tip: for \(Ax+By=C\), the slope is \(-\frac{A}{B}\).
रेखा का मानक रूप \(y=mx+c\) है, जहाँ \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। यहाँ \(5n-7=38\) होने पर \(5n=45\), अतः \(n=9\)। इसलिए ढाल \(m=n-9=9-9=0\) है। विकल्प 1 ढाल नहीं है, क्योंकि \(n\) का मान 9 आने के बाद \(n-9\) शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक सीधे ढाल होता है। / The standard form of a line is \(y=mx+c\), where \(c\) is the \(y\)-intercept. Here, \(5n-7=38\), so \(5n=45\) and hence \(n=9\). Therefore, the slope is \(m=n-9=9-9=0\). Option 1 is not the slope because after finding \(n=9\), the expression \(n-9\) becomes zero. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope.
रेखा का रूप y = mx + c है, जहाँ x का गुणांक ढाल होता है। अतः t - 12 = 6, इसलिए t = 18। अब y-अवरोध 4t - 3 = 4(18) - 3 = 69 है। इसलिए सही उत्तर 69 है। 68 तब मिलता यदि स्थिर पद में गलती से 4t - 4 लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले ढाल से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर उसे स्थिर पद में रखकर y-अवरोध निकालें। / A line in the form y = mx + c has slope equal to the coefficient of x. Thus, t - 12 = 6, so t = 18. The y-intercept is 4t - 3 = 4(18) - 3 = 69. Therefore, the correct answer is 69. The value 68 would result from incorrectly using 4t - 4 as the constant term. Exam tip: first find the parameter from the slope, then substitute it into the constant term to obtain the y-intercept.
रेखा की ढाल \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{70}{7}=10\) है। यह y-अक्ष को \((0,-16)\) पर काटती है, इसलिए y-अवरोध \(-16\) है। ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(m=10\) और \(c=-16\) रखने पर \(y=10x-16\) मिलता है। \(y=70x-16\) में ढाल 70 होगी, जो 7 इकाई x बढ़ने पर y को 490 बढ़ाएगी। परीक्षा टिप: पहले परिवर्तन का अनुपात लेकर ढाल निकालें, फिर y-अवरोध रखें। / The slope is \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{70}{7}=10\). Since the line meets the y-axis at \((0,-16)\), its y-intercept is \(-16\). Substituting \(m=10\) and \(c=-16\) in slope-intercept form \(y=mx+c\) gives \(y=10x-16\). In \(y=70x-16\), the slope would be 70, so a rise of 7 in x would increase y by 490. Exam tip: find the slope from the given changes first, then use the y-intercept.
जब \(x\) में \(8\) की वृद्धि पर \(y\) में \(72\) की कमी होती है, तो ढाल \(m=\frac{-72}{8}=-9\) होगी। रेखा \((0,20)\) पर \(y\)-अक्ष को काटती है, इसलिए \(y\)-अवरोध \(20\) है। अतः समीकरण \(y=-9x+20\) है। विकल्प \(y=-72x+20\) में अवरोध सही है, लेकिन उसकी ढाल \(-72\) है। परीक्षा टिप: पहले परिवर्तन से ढाल निकालें, फिर \(y=mx+c\) में अवरोध रखें। / When \(x\) increases by \(8\), \(y\) decreases by \(72\), so the slope is \(m=\frac{-72}{8}=-9\). The line meets the \(y\)-axis at \((0,20)\), so its \(y\)-intercept is \(20\). Therefore, the equation is \(y=-9x+20\). Option \(y=-72x+20\) has the correct intercept but an incorrect slope of \(-72\). Exam tip: find the slope from the change first, then use \(y=mx+c\) with the intercept.
रेखा का रूप y = mx + c होता है, जहाँ c y-अवरोध है। मूल बिंदु (0, 0) से गुजरने पर y-अवरोध 0 होना चाहिए। अतः a - 18 = 0, इसलिए a = 18। अब ढाल m = a + 11 = 18 + 11 = 29 है। 28 विकल्प तब मिलता यदि a के मान में 1 की त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: मूल बिंदु से गुजरने वाली y = mx + c रेखा के लिए हमेशा c = 0 रखें। / A line has the form y = mx + c, where c is the y-intercept. Since the line passes through the origin (0, 0), its y-intercept must be 0. Thus, a - 18 = 0, so a = 18. Therefore, the slope is m = a + 11 = 18 + 11 = 29. Option 28 would result from an error of 1 in finding a. Exam tip: for a line y = mx + c passing through the origin, always set c = 0.
रेखा के रूप y = mx + c में y-अवरोध c होता है और ढाल m होती है। यहाँ y-अवरोध u + 7 है। अतः u + 7 = 19, इसलिए u = 12। अब ढाल 4u - 3 = 4(12) - 3 = 45 है। 47 विकल्प तब मिलता यदि घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहले y-अवरोध से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर उसे ढाल के व्यंजक में रखें। / In the form y = mx + c, c is the y-intercept and m is the slope. Here, the y-intercept is u + 7. So, u + 7 = 19, giving u = 12. Therefore, the slope is 4u - 3 = 4(12) - 3 = 45. Option 47 may result from an arithmetic error in subtraction. Exam tip: first use the intercept to find the parameter, then substitute it into the slope expression.
A. (y)-अवरोध (13), ढाल \(-\frac{12}{5}\)/(y)-intercept (13), slope \(-\frac{12}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
(5y=-12x+65) से \(y=-\frac{12}{5}x+13\) मिलता है। इसलिए (y)-अवरोध (13) और ढाल \(-\frac{12}{5}\) है। / From (5y=-12x+65), \(y=-\frac{12}{5}x+13\). So the (y)-intercept is (13) and slope is \(-\frac{12}{5}\).
रेखा \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध \(c\) होता है, क्योंकि \(y\)-अक्ष पर \(x=0\) होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(b\) और दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(15\) है। दोनों एक ही बिंदु पर \(y\)-अक्ष को काटती हैं, इसलिए \(b=15\)। \(9\) पहली रेखा का ढाल है, अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) को सीधे \(y\)-अवरोध पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is \(c\), because \(x=0\) on the \(y\)-axis. The first line has \(y\)-intercept \(b\), while the second has \(y\)-intercept \(15\). Since they meet the \(y\)-axis at the same point, \(b=15\). The number \(9\) is the slope of the first line, not its intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), identify \(c\) directly as the \(y\)-intercept.
रेखा का रूप \(y=mx+c\) है, जहाँ \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में दोनों के लिए \(c=3\) है, जबकि ढालें 2 और −5 हैं। परीक्षा में स्थिर पद देखकर y-अवरोध पहचानें। / A line in the form \(y=mx+c\) has y-intercept \(c\). In option A, \(c=3\) for both lines, while the slopes are 2 and −5. Exam tip: compare the constant terms first to identify y-intercepts.
y-अवरोध वह y-मान होता है जब x=0 हो। अतः y=-12x+c में c=9 है। अब x=-4 रखने पर y=-12(-4)+9=48+9=57 मिलता है। 48 केवल -12×(-4) का मान है; इसमें y-अवरोध 9 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: y=mx+c में y-अवरोध सीधे c होता है। / The y-intercept is the value of y when x=0. Therefore, in y=-12x+c, we have c=9. Substituting x=-4 gives y=-12(-4)+9=48+9=57. The value 48 is only the product -12×(-4); the y-intercept 9 must also be added. Exam tip: in y=mx+c, the y-intercept is c.
रेखा की ढाल (k-6) है। ढाल = y में परिवर्तन / x में परिवर्तन, इसलिए (k-6)=108/9=12। अतः (k=18)। विकल्प 17 लेने पर ढाल 11 होगी और x में 9 की वृद्धि पर y केवल 99 बढ़ेगा, 108 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण (y=mx+c) में स्थिर पद c परिवर्तन की दर को प्रभावित नहीं करता; केवल m ढाल होता है। / The slope of the line is (k-6). Since slope = change in y / change in x, (k-6)=108/9=12. Hence, (k=18). If 17 were chosen, the slope would be 11, so an increase of 9 in x would increase y by only 99, not 108. Exam tip: in a linear equation (y=mx+c), the constant c does not affect the rate of change; only m is the slope.
रेखा की ढाल
\(-(p+5)\) है। जब \(x\) में \(6\) की वृद्धि पर \(y\) में \(72\) की कमी होती है, तब ढाल \(\frac{-72}{6}=-12\) होगी। अतः \(-(p+5)=-12\), इसलिए \(p+5=12\) और \(p=7\)। विकल्प 8 लेने पर ढाल \(-13\) होती, जिससे \(x\) में 6 की वृद्धि पर \(y\) 78 घटता। परीक्षा टिप: परिवर्तन वाली स्थितियों में पहले ढाल को \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) से निकालें। / The slope of the line is \(-(p+5)\). A decrease of \(72\) in \(y\) for an increase of \(6\) in \(x\) gives slope \(\frac{-72}{6}=-12\). Therefore, \(-(p+5)=-12\), so \(p+5=12\) and \(p=7\). If \(p=8\), the slope would be \(-13\), giving a decrease of \(78\) for an increase of 6 in \(x\). Exam tip: In change-based questions, first find the slope using \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
A. (y=6), ढाल \(\frac{9}{10}\)/(y=6), slope \(\frac{9}{10}\)
Explanation
Simple Explanation
(10y=9x+60) से \(y=\frac{9}{10}x+6\) मिलता है। इसलिए (x=0) पर (y=6) और ढाल \(\frac{9}{10}\) है। / From (10y=9x+60), \(y=\frac{9}{10}x+6\). So at (x=0), (y=6) and the slope is \(\frac{9}{10}\).
y-अवरोध वह बिंदु है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, इसलिए वहाँ \(x=0\) होता है। \(y=mx+c\) में \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है; अतः बिंदु \((0,c)\) है। परीक्षा में y-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / The y-intercept is where the line meets the y-axis, so \(x=0\). Substituting \(x=0\) in \(y=mx+c\) gives \(y=c\), hence the point is \((0,c)\). Do not confuse it with \((c,0)\), which is related to the x-axis. Exam tip: set \(x=0\) for a y-intercept.
रेखा के रूप (y=mx+c) में ढाल (m) होती है और (y)-अवरोध (c) होता है। यहाँ (m=-8) है। इसलिए (m+c=6) में रखने पर (-8+c=6) मिलता है, अतः (c=14)। इसलिए (y)-अवरोध 14 है। (-14) लेने पर (-8-14=-22) होगा, जो दी गई शर्त को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: (y=mx+c) में स्थिर पद (c) ही सीधे (y)-अवरोध बताता है। / In the form (y=mx+c), (m) is the slope and (c) is the y-intercept. Here, (m=-8). Substituting in (m+c=6) gives (-8+c=6), so (c=14). Therefore, the y-intercept is 14. Choosing (-14) would give (-8-14=-22), which does not satisfy the given condition. Exam tip: In (y=mx+c), the constant term (c) is the y-intercept.
दिया गया बिंदु \((16,25)\) रेखा पर स्थित है, इसलिए \(x=16\) और \(y=25\) रखें: \(25=\frac{7}{8}\times16+c=14+c\)। अतः \(c=25-14=11\)। विकल्प 10 तब मिलता यदि गुणन या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में बिंदु के दोनों निर्देशांक सीधे रखकर \(c=y-mx\) निकालें। / Since \((16,25)\) lies on the line, substitute \(x=16\) and \(y=25\): \(25=\frac{7}{8}\times16+c=14+c\). Hence, \(c=25-14=11\). Option 10 can result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: for \(y=mx+c\), use \(c=y-mx\) after substituting the given point.
दी गई रेखा को \(y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\) लिखने पर इसकी ढाल \(\frac{2}{3}\) मिलती है। समानांतर रेखा की ढाल भी यही होगी और उसका \(y\)-अवरोध \(-4\) होना चाहिए। विकल्प A में \(y=\frac{2}{3}x-4\) है। परीक्षा टिप: समानांतर रेखाओं की ढालें समान होती हैं। / Writing the given line as \(y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\) shows that its slope is \(\frac{2}{3}\). A parallel line must have this same slope and y-intercept \(-4\). Option A rearranges to \(y=\frac{2}{3}x-4\). Exam tip: parallel lines always have equal slopes.
रेखा के रूप
ിംGPT-4o-mini: y=mx+c में y-अवरोध c होता है। यहाँ a+5=17, इसलिए a=12। अतः ढाल m=7a-6=7(12)-6=78 है। 76 तब मिलता जब 7a-8 होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले स्थिर पद से y-अवरोध बराबर रखकर पैरामीटर ज्ञात करें, फिर x के गुणांक से ढाल निकालें। / In the form y=mx+c, the y-intercept is c. Here, a+5=17, so a=12. Therefore, the slope is m=7a-6=7(12)-6=78. Option 76 would result if the expression were 7a-8, so it is not correct. Exam tip: first equate the constant term to the given y-intercept, then substitute the parameter into the coefficient of x.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक ढाल होता है। अतः b - 15 = 5, इसलिए b = 20। अब y-अवरोध स्थिर पद 4b + 2 है: 4(20) + 2 = 82। इसलिए सही उत्तर 82 है। 81 तब मिलता यदि स्थिर पद 4b + 1 होता। परीक्षा टिप: पहले ढाल से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर उसे स्थिर पद में रखकर y-अवरोध निकालें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x is the slope. Therefore, b - 15 = 5, so b = 20. The y-intercept is the constant term 4b + 2: 4(20) + 2 = 82. Hence, 82 is correct. The value 81 would result if the constant term were 4b + 1. Exam tip: first find the parameter using the slope, then substitute it into the constant term to get the y-intercept.
A. ढाल \(\frac{9}{10}\), (y)-अवरोध (3)/Slope \(\frac{9}{10}\), (y)-intercept (3)
Explanation
Simple Explanation
(-10y=-9x-30) से \(y=\frac{9}{10}x+3\) मिलता है। इसलिए ढाल \(\frac{9}{10}\) और (y)-अवरोध (3) है। / From (-10y=-9x-30), \(y=\frac{9}{10}x+3\). So the slope is \(\frac{9}{10}\) and the (y)-intercept is (3).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल तथा \(c\) y-अवरोध होता है। दोनों रेखाओं की ढालें समान हैं, इसलिए \(t+6=16\)। अतः \(t=10\)। दूसरी रेखा का y-अवरोध \(2t-9=2(10)-9=11\) है। इसलिए सही उत्तर 11 है। \(-10\) पहली रेखा का y-अवरोध है, दूसरी रेखा का नहीं। परीक्षा टिप: ढाल की तुलना करते समय \(x\) के गुणांक और y-अवरोध के लिए स्थिर पद पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Since the slopes are equal, \(t+6=16\), so \(t=10\). For the second line, the y-intercept is \(2t-9=2(10)-9=11\). Therefore, 11 is correct. The value \(-10\) is the y-intercept of the first line, not the second. Exam tip: compare the coefficients of \(x\) for slopes and use the constant term for the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध \(c\) होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(v-11\) और दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(10\) है। समान अवरोध के लिए \(v-11=10\), अतः \(v=21\)। इसलिए दूसरी रेखा की ढाल \(v+5=21+5=26\) है। \(25\) तब मिलता यदि \(v\) को 20 मान लिया जाए, जो अवरोधों की समानता से सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। / In the form \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is \(c\). The first line has \(y\)-intercept \(v-11\), while the second has \(y\)-intercept \(10\). Since they are equal, \(v-11=10\), so \(v=21\). Therefore, the slope of the second line is \(v+5=21+5=26\). Option \(25\) would result from incorrectly taking \(v=20\). Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept.
रेखा की ढाल \(-\frac{9}{5}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 5 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 9 इकाई घटता है। इसलिए \(y\) को 54 घटाने के लिए \(\frac{9}{5}\Delta x=54\) होगा। अतः \(\Delta x=54\times\frac{5}{9}=30\)। विकल्प 35 लेने पर \(y\) में \(63\) की कमी होगी, 54 की नहीं। परीक्षा टिप: परिवर्तन वाले प्रश्नों में स्थिरांक 22 नहीं बदलता; केवल ढाल और \(\Delta x\) का उपयोग करें। / The slope is \(-\frac{9}{5}\), so for every increase of 5 units in \(x\), \(y\) decreases by 9 units. For a decrease of 54 in \(y\), \(\frac{9}{5}\Delta x=54\). Hence, \(\Delta x=54\times\frac{5}{9}=30\). If 35 were chosen, \(y\) would decrease by \(63\), not 54. Exam tip: in change-based questions, the constant 22 does not affect the change; use only the slope and \(\Delta x\).
A. ढाल ऋणात्मक है और y-अवरोधन \(5\) है/The slope is negative and the y-intercept is \(5\).
Explanation
Simple Explanation
रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोधन होता है। यहाँ \(m=-3\) तथा \(c=5\) है, इसलिए रेखा नीचे की ओर जाती है और y-अक्ष को \(5\) पर काटती है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल होता है। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here \(m=-3\) and \(c=5\), so the line falls from left to right and meets the y-axis at \(5\). Exam tip: the coefficient of \(x\) gives the slope.
दिया है कि c=-18 और m-c=31। इसलिए m-(-18)=31, अर्थात m+18=31। अतः m=13। इसलिए ढाल 13 है। 12 लेने पर m-c=12-(-18)=30 होगा, जो दी गई शर्त 31 को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को घटाने पर उसे जोड़ते हैं। / Given c=-18 and m-c=31, we get m-(-18)=31, or m+18=31. Hence, m=13. Therefore, the slope is 13. If m were 12, then m-c=12-(-18)=30, not 31. Exam tip: subtracting a negative number is the same as adding it.
A. छात्र ने ढाल को \(y\)-अवरोध समझ लिया है; \(y\)-अवरोध \(-5\) है।/The student has confused the slope with the y-intercept; the y-intercept is \(-5\).
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। यहाँ \(m=3\), \(c=-5\) है। जाँच के लिए \(x=0\) रखें: \(y=-5\)। परीक्षा टिप: अवरोध निकालते समय \(x\) को शून्य रखें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here \(m=3\) and \(c=-5\). Check by putting \(x=0\): \(y=-5\). Exam tip: set \(x=0\) to find the y-intercept.
