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A. ढाल (-3), (y)-अवरोध (8)/Slope (-3), (y)-intercept (8)
Explanation
Simple Explanation
(4y=-12x+32) से (y=-3x+8) मिलता है। (x) का गुणांक ढाल और स्थिर पद (y)-अवरोध होता है। / From (4y=-12x+32), (y=-3x+8). The coefficient of (x) is slope and the constant term is the (y)-intercept.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। यहाँ ढाल 2k - 5 है। अतः 2k - 5 = 13, इसलिए 2k = 18 और k = 9। विकल्प 8 लेने पर ढाल 11 होगी, 13 नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा x के गुणांक को देखें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. Here, the slope is 2k - 5. So, 2k - 5 = 13, which gives 2k = 18 and k = 9. If k were 8, the slope would be 11, not 13. Exam tip: To identify slope, look for the coefficient of x.
दिए गए समीकरण में पहले 5 से भाग दें: \(y=3x-8\)। रेखा के रूप \(y=mx+c\) में स्थिर पद \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। अतः \(y\)-अवरोध \(-8\) है; रेखा \(y\)-अक्ष को बिंदु \((0,-8)\) पर काटती है। \(-40\) मूल समीकरण का स्थिर पद है, लेकिन 5 से भाग देने के बाद यह अवरोध नहीं रहता। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / First divide the equation by 5: \(y=3x-8\). In the form \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept. Therefore, the \(y\)-intercept is \(-8\), and the line meets the \(y\)-axis at \((0,-8)\). Although \(-40\) is the constant term in the original equation, it is not the intercept until the equation is written in slope-intercept form. Exam tip: set \(x=0\) to find the \(y\)-intercept directly.
दिया है कि रेखा \(y=-5x+c\) बिंदु \((4,-11)\) से गुजरती है। अतः \(x=4\) और \(y=-11\) रखने पर \(-11=-5(4)+c=-20+c\) मिलता है। इसलिए \(c=9\)। \(y\)-अवरोध का \(y\)-निर्देशांक \(9\) है, इसलिए सही विकल्प \(9\) है; रेखा \((0,9)\) पर \(y\)-अक्ष को काटती है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे \(y\)-अवरोध का मान होता है। / Since the line \(y=-5x+c\) passes through \((4,-11)\), substitute \(x=4\) and \(y=-11\): \(-11=-5(4)+c=-20+c\). Hence, \(c=9\). Therefore, the y-coordinate of the \(y\)-intercept is \(9\), so the correct option is \(9\); the line meets the y-axis at \((0,9)\). Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) directly gives the y-intercept value.
रेखा में बिंदु \((-3,6)\) रखने पर \(6=m(-3)-9\) प्राप्त होता है। अतः \(6=-3m-9\), इसलिए \(15=-3m\) और \(m=-5\)। इसलिए ढाल \(-5\) है। \(5\) चिन्ह की गलती से मिल सकता है; ऋणात्मक \(x\)-निर्देशांक के कारण \(-3m\) को सही रखना आवश्यक है। परीक्षा टिप: दिए गए बिंदु के \(x\) और \(y\) मानों को क्रमशः समीकरण में रखकर अज्ञात ढाल हल करें। / Substitute the point \((-3,6)\) into the line: \(6=m(-3)-9\). Hence, \(6=-3m-9\), so \(15=-3m\) and \(m=-5\). Therefore, the slope is \(-5\). The value \(5\) may result from a sign error; the negative \(x\)-coordinate gives \(-3m\). Exam tip: substitute the given point carefully, keeping the signs intact, and then solve for the slope.
\(x=a\) के रूप की रेखा में x का मान स्थिर रहता है, इसलिए वह ऊर्ध्वाधर होकर y-अक्ष के समानांतर होती है। \(y=4\) x-अक्ष के समानांतर है। परीक्षा टिप: \(x=\) स्थिर को vertical पहचानें। / In a line of the form \(x=a\), the x-coordinate remains fixed, so the line is vertical and parallel to the y-axis. \(y=4\) is horizontal instead. Exam tip: a constant \(x\) indicates a vertical line.
रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-2\) ऋणात्मक है तथा \(c=4\) है। विकल्प B की ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक देखकर ढाल पहचानें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Option A has \(m=-2\), which is negative, and \(c=4\). Option B has a positive slope. Exam tip: check the coefficient of \(x\) first.
रेखा \(x=5\) y-अक्ष के समानांतर है। y-अवरोध जाँचने के लिए \(x=0\) रखें, पर \(0=5\) असंभव है; इसलिए यह y-अक्ष को नहीं काटती। \(y=5\) का y-अवरोध 5 है। परीक्षा टिप: \(x=a\), जहाँ \(a\ne0\), का y-अवरोध नहीं होता। / The line \(x=5\) is parallel to the y-axis. For a y-intercept, put \(x=0\), but \(0=5\) is impossible, so it never meets the y-axis. In contrast, \(y=5\) has y-intercept 5. Exam tip: \(x=a\), for \(a\ne0\), has no y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है। यहाँ ढाल \(3p+1\) है। अतः \(3p+1=22\), इसलिए \(3p=21\) और \(p=7\)। विकल्प 6 लेने पर ढाल \(3(6)+1=19\) होगी, 22 नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक की तुलना करें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). Here, the slope is \(3p+1\). So, \(3p+1=22\), giving \(3p=21\) and \(p=7\). If \(p=6\), the slope would be \(3(6)+1=19\), not 22. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) before equating slopes.
रेखा का रूप y = mx + c है, जहाँ ढाल m = r + 6 तथा y-अवरोध c = r - 3 है। मूल बिंदु (0, 0) से गुजरने वाली रेखा के लिए y-अवरोध 0 होना चाहिए। अतः r - 3 = 0, इसलिए r = 3। अब ढाल r + 6 = 3 + 6 = 9 होगी। विकल्प 3 केवल r का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: y = mx + c में मूल बिंदु से गुजरने पर सीधे c = 0 रखें। / The line is in the form y = mx + c, where the slope m = r + 6 and the y-intercept c = r - 3. A line passing through the origin (0, 0) must have y-intercept 0. Hence, r - 3 = 0, so r = 3. Therefore, the slope is r + 6 = 3 + 6 = 9. Option 3 is the value of r, not the slope. Exam tip: For y = mx + c to pass through the origin, set c = 0 directly.
A. रेखा दाईं ओर 1 इकाई जाने पर 2 इकाई नीचे जाती है और y-अक्ष को 6 पर काटती है।/The line goes down by 2 units for every 1 unit move to the right and cuts the y-axis at 6.
Explanation
Simple Explanation
रूप y = mx + c में m ढाल और c y-अवरोध होता है। यहाँ m = -2 है, इसलिए x में 1 बढ़ने पर y 2 घटता है; c = 6 है। परीक्षा में ढाल का ऋण चिह्न अवश्य जाँचें। / In y = mx + c, m is the slope and c is the y-intercept. Here m = -2, so y decreases by 2 when x increases by 1; c = 6. Exam tip: always check the sign of the slope.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं, क्योंकि y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। तब -3y+15=0, अतः -3y=-15 और y=5। इसलिए y-अवरोध 5 है। -5 लेने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0 because every point on the y-axis has x-coordinate 0. Then -3y+15=0, so -3y=-15 and y=5. Hence, the y-intercept is 5. Taking -5 does not satisfy the equation. Exam tip: for a y-intercept, always set x=0.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। पहली रेखा की ढाल q - 4 और दूसरी रेखा की ढाल 8 है। समान ढाल के लिए q - 4 = 8, अतः q = 12। विकल्प 8 दूसरी रेखा की ढाल है, q का मान नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करते समय x के गुणांक को पहचानें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. The slopes of the first and second lines are q - 4 and 8 respectively. For equal slopes, q - 4 = 8, so q = 12. Option 8 is the slope of the second line, not the value of q. Exam tip: identify the coefficient of x when finding a slope.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। पहली रेखा \(y=-8x+s\) का \(y\)-अवरोध \(s\) है, जबकि दूसरी रेखा \(y=5x-13\) का \(y\)-अवरोध \(-13\) है। दोनों अवरोध समान हैं, इसलिए \(s=-13\) होगा। \(-8\) पहली रेखा का ढाल है, अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept. The \(y\)-intercept of \(y=-8x+s\) is \(s\), while that of \(y=5x-13\) is \(-13\). Since the intercepts are equal, \(s=-13\). Note that \(-8\) is the slope of the first line, not its intercept. Exam tip: put \(x=0\) to find the \(y\)-intercept.
A. यह प्रत्येक वास्तविक मान a के लिए सही है/It is true for every real value of a
Explanation
Simple Explanation
रेखा को मानक रूप \(y=mx+c\) से तुलना करने पर ढाल \(m=a+5\) और \(y\)-अवरोध \(c=a\) मिलता है। अतः ढाल और \(y\)-अवरोध का अंतर \((a+5)-a=5\) है, जो a के हर वास्तविक मान के लिए सत्य है। \(a=5\) या \(a=0\) लगाने पर भी कथन सत्य है, पर वह केवल उन्हीं मानों तक सीमित नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में x का गुणांक ढाल और स्थिर पद \(y\)-अवरोध होता है। / Comparing the line with the standard form \(y=mx+c\), its slope is \(m=a+5\) and its \(y\)-intercept is \(c=a\). Therefore, their difference is \((a+5)-a=5\), which is true for every real value of a. Although it is true for \(a=5\) and \(a=0\), it is not restricted to those values. Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient of x is the slope and the constant term is the \(y\)-intercept.
बिंदु \((1,12)\) को \(y=5x+b\) में रखने पर \(12=5(1)+b\) मिलता है। अतः \(b=12-5=7\)। जाँच के लिए, \(x=4\) पर \(y=5(4)+7=27\) आता है, इसलिए दूसरा बिंदु भी रेखा पर है। \(b=5\) लेना गलत होगा, क्योंकि 5 ढाल है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए किसी भी बिंदु के \(x,y\) मान समीकरण में रखकर अज्ञात पद ज्ञात करें। / Substitute the point \((1,12)\) in \(y=5x+b\): \(12=5(1)+b\). Hence, \(b=12-5=7\). Checking with \(x=4\), we get \(y=5(4)+7=27\), so the second point also lies on the line. Taking \(b=5\) is incorrect because 5 is the slope, not the y-intercept. Exam tip: substitute the coordinates of a given point into the line equation to find an unknown constant.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m=-2\) ऋणात्मक है, इसलिए रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है। \(c=-3\) होने से y-अवरोध मूलबिंदु के नीचे है। परीक्षा टिप: ढाल और स्थिर पद के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m=-2\) is negative, so the line falls from left to right. Since \(c=-3\), its y-intercept lies below the origin. Exam tip: check the signs of the slope and constant term separately.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। पहली रेखा की ढाल k - 7 और दूसरी रेखा की ढाल 4 है। ढालें समान होने पर k - 7 = 4, अतः k = 11। विकल्प 12 लेने पर पहली ढाल 5 होगी, जो 4 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: दो रेखाओं की ढालों की तुलना करते समय केवल x के गुणांकों को बराबर करें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. The slopes of the two lines are k - 7 and 4 respectively. Since the slopes are equal, k - 7 = 4, so k = 11. If k were 12, the first slope would be 5, not 4. Exam tip: when comparing slopes, equate only the coefficients of x.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(c\) होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(-6\) और दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(m-10\) है। समान अवरोध के लिए \(m-10=-6\), अतः \(m=4\)। विकल्प 5 लेने पर दूसरा अवरोध \(-5\) होगा, जो \(-6\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), the y-intercept is the constant term \(c\). The first line has y-intercept \(-6\), while the second has y-intercept \(m-10\). For equal intercepts, \(m-10=-6\), so \(m=4\). If \(m=5\), the second intercept would be \(-5\), not \(-6\). Exam tip: put \(x=0\) to find a y-intercept.
\(m\) ढाल है। \(m>0\) होने पर रेखा बाएँ से दाएँ ऊपर जाती है और \(m<0\) होने पर नीचे जाती है। y-अवरोध \(c\) से तय होता है। परीक्षा टिप: पहले \(m\) का चिह्न देखें। / \(m\) is the slope. If \(m>0\), the line rises from left to right; if \(m<0\), it falls. The y-intercept is determined by \(c\), not by the sign of \(m\). Exam tip: inspect the sign of \(m\) first.
रेखा की ढाल \(\frac{5}{4}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 4 इकाई वृद्धि पर \(y\) 5 इकाई बढ़ता है। इसलिए \(\Delta y=\frac{5}{4}\Delta x\) होगा। \(25=\frac{5}{4}\Delta x\) से \(\Delta x=25\times\frac{4}{5}=20\) मिलता है। 25, \(y\) में अपेक्षित वृद्धि है, \(x\) में वृद्धि नहीं। परीक्षा टिप: परिवर्तन वाले प्रश्नों में स्थिर पद \(-9\) का प्रभाव नहीं होता; केवल ढाल का उपयोग करें। / The slope is \(\frac{5}{4}\), so an increase of 4 units in \(x\) increases \(y\) by 5 units. Thus, \(\Delta y=\frac{5}{4}\Delta x\). Putting \(\Delta y=25\), we get \(25=\frac{5}{4}\Delta x\), hence \(\Delta x=25\times\frac{4}{5}=20\). Option 25 is the required change in \(y\), not the change in \(x\). Exam tip: for change-based questions on a line, use the slope; the constant term \(-9\) does not affect the change.
B. रेखा घटती है और y-अवरोध धनात्मक है/The line falls and the y-intercept is positive
Explanation
Simple Explanation
रेखा का समीकरण y = px + q के रूप में है, जहाँ p ढाल और q y-अवरोध होता है। p = -7 ऋणात्मक है, इसलिए x बढ़ने पर रेखा नीचे की ओर जाती है, अर्थात रेखा घटती है। q = 6 धनात्मक है, इसलिए रेखा y-अक्ष को 6 पर काटती है। विकल्प C में y-अवरोध सही है, पर क्षैतिज रेखा के लिए ढाल 0 होनी चाहिए। परीक्षा टिप: ढाल का चिह्न रेखा के बढ़ने या घटने को बताता है। / The equation is in the form y = px + q, where p is the slope and q is the y-intercept. Since p = -7 is negative, the line goes downward as x increases, so it falls. Since q = 6 is positive, the line meets the y-axis at 6. Option C has the correct intercept but is wrong because a horizontal line must have slope 0. Exam tip: the sign of the slope tells whether a line rises or falls.
A. वे अलग-अलग समानांतर रेखाएँ हैं/They are distinct parallel lines.
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की ढाल \(m\) समान है, इसलिए वे समानांतर हैं। क्योंकि \(c_1\ne c_2\), उनके \(y\)-अवरोध अलग हैं और वे एक ही रेखा नहीं हो सकतीं। परीक्षा टिप: ढाल समान तथा अवरोध अलग हो तो रेखाएँ समानांतर होती हैं। / Both lines have the same slope, \(m\), so they are parallel. Since \(c_1\ne c_2\), their y-intercepts differ, so they cannot be the same line. Exam tip: equal slopes and different intercepts indicate distinct parallel lines.
दी गई रेखा को \(y=2x+5\) लिखने पर उसकी ढाल \(2\) है। लंबवत रेखा की ढाल \(-\frac12\) होगी। \(y\)-अवरोध \(-3\) रखने पर \(y=-\frac12x-3\), अर्थात \(x+2y+6=0\)। परीक्षा में ढालों का गुणनफल \(-1\) जाँचें। / Writing the given line as \(y=2x+5\) gives slope \(2\). A perpendicular line has slope \(-\frac12\). With y-intercept \(-3\), it is \(y=-\frac12x-3\), or \(x+2y+6=0\). Exam tip: perpendicular slopes multiply to \(-1\).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(c\) होता है। यहाँ \(3n-2=19\), अतः \(3n=21\) और \(n=7\)। इसलिए ढाल \(n-6=7-6=1\) है। विकल्प 2 तब मिलता यदि ढाल में \(n-6\) के स्थान पर कोई गलत गणना की जाए। परीक्षा टिप: पहले स्थिर पद से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर \(x\) के गुणांक को ढाल मानें। / In the form \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is the constant term \(c\). Here, \(3n-2=19\), so \(3n=21\) and \(n=7\). Hence, the slope is \(n-6=7-6=1\). Option 2 could result from an incorrect calculation of \(n-6\). Exam tip: first use the constant term to find the parameter, then take the coefficient of \(x\) as the slope.
\(x=3\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो y-अक्ष \(x=0\) के समानांतर है; इसलिए वे नहीं मिलतीं और y-अवरोध नहीं होता। \(x+y=3\) में \(x=0\) रखने पर y-अवरोध 3 मिलता है। परीक्षा टिप: \(x=c,\ c\ne0\) का y-अवरोध नहीं होता। / \(x=3\) is a vertical line parallel to the y-axis, \(x=0\), so it never meets the y-axis and has no y-intercept. In contrast, \(x+y=3\) gives \(y=3\) when \(x=0\). Exam tip: \(x=c\), for \(c\ne0\), has no y-intercept.
यहाँ ढाल \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{40}{5}=8\) है। रेखा (0,-11) पर (y)-अक्ष को काटती है, इसलिए उसका (y)-अवरोध \(-11\) है। अतः \(y=mx+c\) में \(m=8\) और \(c=-11\) रखने पर \(y=8x-11\) मिलता है। \(y=40x-11\) में ढाल 40 है, जबकि \(y=-8x-11\) घटती हुई रेखा है। परीक्षा टिप: परिवर्तन की दर से ढाल निकालने के लिए हमेशा \(\Delta y/\Delta x\) लें। / The slope is \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{40}{5}=8\). Since the line meets the (y)-axis at (0,-11), its (y)-intercept is \(-11\). Substituting \(m=8\) and \(c=-11\) in \(y=mx+c\) gives \(y=8x-11\). The equation \(y=40x-11\) has slope 40, while \(y=-8x-11\) represents a decreasing line. Exam tip: calculate slope as \(\Delta y/\Delta x\).
जब \(x\) में \(6\) की वृद्धि पर \(y\) में \(42\) की कमी होती है, तब ढाल \(m=\frac{-42}{6}=-7\) होती है। रेखा \((0,16)\) पर \(y\)-अक्ष को काटती है, इसलिए \(y\)-अवरोध \(16\) है। अतः समीकरण \(y=-7x+16\) होगा। \(y=-42x+16\) में ढाल \(-42\) है, जो दी गई परिवर्तन-दर नहीं है। परीक्षा टिप: पहले ढाल को \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) से निकालें, फिर \(y\)-अवरोध जोड़ें। / As \(x\) increases by \(6\), \(y\) decreases by \(42\), so the slope is \(m=\frac{-42}{6}=-7\). The line crosses the \(y\)-axis at \((0,16)\), hence its \(y\)-intercept is \(16\). Therefore, the equation is \(y=-7x+16\). In \(y=-42x+16\), the slope is \(-42\), not the required rate of change. Exam tip: find the slope using \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) first, then use the \(y\)-intercept.
रेखा का समीकरण \(y=(a+7)x+(a-12)\) है। मूल बिंदु \((0,0)\) से गुजरने पर \(x=0\) और \(y=0\) रखने से \(a-12=0\) मिलता है, अतः \(a=12\)। इसलिए ढाल, अर्थात \(x\) का गुणांक, \(a+7=12+7=19\) है। \(18\) निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह \(a+7\) में सही मान रखने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल \(m\) और y-अवरोध \(c\) होता है। / The equation of the line is \(y=(a+7)x+(a-12)\). Since it passes through the origin \((0,0)\), substitute \(x=0\) and \(y=0\) to get \(a-12=0\), so \(a=12\). Hence, the slope, the coefficient of \(x\), is \(a+7=12+7=19\). Option \(18\) is a close distractor, but it does not result from substituting the correct value of \(a\). Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept.
रेखा के रूप y = mx + c में y-अवरोध स्थिर पद c होता है। यहाँ y-अवरोध u+5 है, इसलिए u+5=14 से u=9 मिलता है। अतः ढाल 2u-3=2(9)-3=15 है। 13 एक संभावित भ्रमक है, क्योंकि वह ढाल के व्यंजक में u का मान सही रखने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: y=mx+c में x का गुणांक ढाल और स्थिर पद y-अवरोध होता है। / In the form y = mx + c, the y-intercept is the constant term c. Here, the y-intercept is u+5, so u+5=14 gives u=9. Therefore, the slope is 2u-3=2(9)-3=15. The value 13 is a distractor because it does not result from substituting the correct value of u into the slope expression. Exam tip: in y=mx+c, the coefficient of x is the slope and the constant term is the y-intercept.
A. (y)-अवरोध (10), ढाल \(-\frac{8}{3}\)/(y)-intercept (10), slope \(-\frac{8}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
(3y=-8x+30) से \(y=-\frac{8}{3}x+10\) मिलता है। इसलिए (y)-अवरोध (10) और ढाल \(-\frac{8}{3}\) है। / From (3y=-8x+30), \(y=-\frac{8}{3}x+10\). So the (y)-intercept is (10) and slope is \(-\frac{8}{3}\).
रेखा का y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। पहली रेखा y=7x+b का y-अवरोध b है, जबकि दूसरी रेखा y=-5x+9 का y-अवरोध 9 है। दोनों रेखाएँ y-अक्ष को एक ही बिंदु पर काटती हैं, इसलिए उनके y-अवरोध समान होंगे: b=9। 12 ढालों के अंतर से मिल सकता है, लेकिन ढाल y-अवरोध निर्धारित नहीं करती। परीक्षा टिप: y-अवरोध के प्रश्न में हमेशा x=0 रखें। / To find a line’s y-intercept, put x=0. The y-intercept of y=7x+b is b, while that of y=-5x+9 is 9. Since both lines cut the y-axis at the same point, their y-intercepts must be equal: b=9. The value 12 may come from the difference of the slopes, but slopes do not determine the y-intercept. Exam tip: for a y-intercept question, always substitute x=0.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। दोनों रेखाओं की ढाल समान होने से a = 9 होगा। अतः पहली रेखा y = 9x - 10 है। x = 2 रखने पर y = 9(2) - 10 = 18 - 10 = 8 मिलता है। 10 लेने पर केवल 9×2 का मान मिलता है; उसमें से -10 घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: ढाल की तुलना करते समय हमेशा x के गुणांक की तुलना करें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. Since the slopes are equal, a = 9. Thus, the first line is y = 9x - 10. Substituting x = 2 gives y = 9(2) - 10 = 18 - 10 = 8. Option 10 would result from not subtracting 10. Exam tip: compare the coefficients of x to compare slopes.
रेखा का y-अवरोध 6 होने का अर्थ है कि x=0 पर y=6 है, इसलिए c=6। अब x=-2 रखने पर y=-10(-2)+6=20+6=26 मिलता है। विकल्प 20 केवल -10(-2) का मान है; इसमें y-अवरोध 6 जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक x को ऋणात्मक गुणांक से गुणा करने पर परिणाम धनात्मक होता है। / A y-intercept of 6 means that y=6 when x=0, so c=6. Substituting x=-2 gives y=-10(-2)+6=20+6=26. Option 20 is only the value of -10(-2); the y-intercept 6 must still be added. Exam tip: multiplying a negative x-value by a negative coefficient gives a positive result.
रेखा का ढाल \,\(k-4\) है। अतः \,\(x\) में 7 की वृद्धि पर \,\(y\) में वृद्धि \,\(7(k-4)\) होगी। दिया है \,\(7(k-4)=56\), इसलिए \,\(k-4=8\) और \,\(k=12\)। विकल्प 11 लेने पर ढाल 7 होगी तथा \,\(x\) में 7 की वृद्धि पर \,\(y\) केवल 49 बढ़ेगा। परीक्षा टिप: परिवर्तन-आधारित प्रश्नों में पहले \,\(\text{ढाल}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) लिखें। / The slope of the line is \,\(k-4\). Therefore, when \,\(x\) increases by 7, the change in \,\(y\) is \,\(7(k-4)\). Given \,\(7(k-4)=56\), we get \,\(k-4=8\) and hence \,\(k=12\). If 11 were chosen, the slope would be 7, giving a change of only 49 in \,\(y\) for a change of 7 in \,\(x\). Exam tip: In change-based line questions, first write \,\(\text{slope}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
रेखा की ढाल \,\( -(p+3) \) है। \(x\) में 4 की वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन \(4[-(p+3)]\) होगा। प्रश्न के अनुसार \(y\) 36 घटता है, इसलिए \(4[-(p+3)]=-36\)। अतः \(p+3=9\), इसलिए \(p=6\)। विकल्प 5 लेने पर ढाल \(-8\) होगी और \(y\) केवल 32 घटेगा। परीक्षा टिप: किसी रेखीय समीकरण में \(\Delta y=m\Delta x\) का उपयोग करके परिवर्तन सीधे ज्ञात करें। / The slope of the line is \( -(p+3) \). When \(x\) increases by 4, the change in \(y\) is \(4[-(p+3)]\). Since \(y\) decreases by 36, \(4[-(p+3)]=-36\). Thus, \(p+3=9\), so \(p=6\). If \(p=5\), the slope would be \(-8\), giving a decrease of only 32. Exam tip: for a linear equation, use \(\Delta y=m\Delta x\) to find changes quickly.
\(x=3\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसमें \(\Delta x=0\) होने से ढाल अपरिभाषित होती है और यह y-अक्ष \(x=0\) को नहीं काटती। \(y=3\) की ढाल शून्य है। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) वाली रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। / \(x=3\) is a vertical line. Since \(\Delta x=0\), its slope is undefined, and it does not meet the y-axis \(x=0\). In contrast, \(y=3\) has zero slope. Exam tip: a line of the form \(x=\text{constant}\) is vertical.
रेखा के समीकरण में ढाल का मान \(m\) होता है। दिया है \(m+c=18\) और \(c=7\)। अतः \(m+7=18\), इसलिए \(m=18-7=11\)। इसलिए सही उत्तर 11 है। विकल्प 7, \(c\) अर्थात y-अवरोध का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में हमेशा \(m\) को ढाल और \(c\) को y-अवरोध पहचानें। / In the equation of a line, \(m\) represents the slope. Given \(m+c=18\) and \(c=7\), we get \(m+7=18\). Therefore, \(m=18-7=11\). Hence, 11 is the correct answer. The value 7 is \(c\), the y-intercept, not the slope. Exam tip: In \(y=mx+c\), identify \(m\) as the slope and \(c\) as the y-intercept.
रेखा के समीकरण y=mx+c में m ढाल तथा c, y-अवरोध होता है। ढाल -6 दी गई है, अतः m=-6। अब m+c=4 में रखने पर -6+c=4, इसलिए c=10। अतः y-अवरोध 10 है। विकल्प -10 चिन्ह की गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा c का मान अलग करके निकालें। / In the line equation y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. Since the slope is -6, m=-6. Substituting in m+c=4 gives -6+c=4, so c=10. Therefore, the y-intercept is 10. The option -10 may result from a sign error. Exam tip: isolate c carefully when finding the y-intercept.
दिया गया बिंदु \((10,15)\) रेखा पर है, इसलिए \(x=10\) और \(y=15\) रखने पर \(15=\frac{4}{5}\times10+c\) मिलता है। अतः \(15=8+c\), इसलिए \(c=7\)। विकल्प 8 तब मिलता यदि \(\frac{4}{5}\times10\) की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: किसी रेखा के समीकरण में दिए गए बिंदु के \(x\) और \(y\) मान सीधे रखकर अज्ञात नियतांक ज्ञात करें। / Since \((10,15)\) lies on the line, substitute \(x=10\) and \(y=15\): \(15=\frac{4}{5}\times10+c\). Thus, \(15=8+c\), so \(c=7\). Option 8 could result from incorrectly evaluating \(\frac{4}{5}\times10\). Exam tip: To find an unknown constant in a line equation, substitute the coordinates of the given point.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। नीचे उतरती रेखा के लिए \(m<0\) तथा 4 इकाई नीचे काटने के लिए \(c=-4\) चाहिए; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B का y-अवरोध सही है, पर उसकी ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: चिन्ह देखकर ढाल की दिशा तुरंत पहचानें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. A falling line needs \(m<0\), and an intercept 4 units below the origin means \(c=-4\); hence A is correct. Option B has the correct intercept but a positive slope. Exam tip: use the sign of \(m\) to identify the direction quickly.
रेखीय समीकरण में y-अवरोध वह स्थिर पद होता है जो x के बिना है। यहाँ y-अवरोध a+3 है। अतः a+3=11 से a=8 प्राप्त होता है। अब ढाल x का गुणांक है: 5a-2=5(8)-2=38। इसलिए सही उत्तर 38 है। 39 लेने पर x का गुणांक गलत निकलेगा। परीक्षा टिप: y=mx+c में m ढाल और c y-अवरोध होता है। / In a linear equation, the y-intercept is the constant term, the term not containing x. Here, the y-intercept is a+3. Thus, a+3=11 gives a=8. The slope is the coefficient of x: 5a-2=5(8)-2=38. Therefore, 38 is correct. Choosing 39 would give an incorrect coefficient of x. Exam tip: in y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept.
रेखा का मानक रूप \(y=mx+c\) है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। यहाँ ढाल \(b-11\) है। दिया है \(b-11=2\), अतः \(b=13\)। इसलिए \(y\)-अवरोध \(2b+5=2(13)+5=31\) होगा। अतः सही विकल्प C है। \(29\) तब मिलता यदि \(2b+5\) में गलती से \(b=12\) रखा जाए। परीक्षा टिप: पहले ढाल के गुणांक को दिए गए ढाल के बराबर रखकर पैरामीटर ज्ञात करें। / A line in the form \(y=mx+c\) has slope \(m\) and \(y\)-intercept \(c\). Here, the slope is \(b-11\). Given \(b-11=2\), we get \(b=13\). Therefore, the \(y\)-intercept is \(2b+5=2(13)+5=31\). Hence, option C is correct. \(29\) would result from incorrectly using \(b=12\). Exam tip: first equate the coefficient of \(x\) to the given slope, then substitute the parameter into the constant term.
A. ढाल \(\frac{5}{6}\), (y)-अवरोध (3)/Slope \(\frac{5}{6}\), (y)-intercept (3)
Explanation
Simple Explanation
(-6y=-5x-18) से \(y=\frac{5}{6}x+3\) मिलता है। इसलिए ढाल \(\frac{5}{6}\) और (y)-अवरोध (3) है। / From (-6y=-5x-18), \(y=\frac{5}{6}x+3\). So the slope is \(\frac{5}{6}\) and the (y)-intercept is (3).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। समान ढालों के लिए \(t+4=12\), अतः \(t=8\)। दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(2t-5=2(8)-5=11\) है। विकल्प 12 ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: पहले ढालों को बराबर करके पैरामीटर ज्ञात करें, फिर नियत पद में उसका मान रखें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Equal slopes give \(t+4=12\), so \(t=8\). Therefore, the second line has \(y\)-intercept \(2t-5=2(8)-5=11\). Option 12 is the slope, not the \(y\)-intercept. Exam tip: first equate the slopes to find the parameter, then substitute it into the constant term.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(v-7\) और दूसरी रेखा का \(5\) है। अतः \(v-7=5\), इसलिए \(v=12\)। दूसरी रेखा की ढाल \(x\) का गुणांक है: \(v+3=12+3=15\)। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह \(v\) का सही मान रखने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल हमेशा \(x\) का गुणांक होती है। / In the form \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept. The first line has \(y\)-intercept \(v-7\), while the second has \(y\)-intercept \(5\). Therefore, \(v-7=5\), so \(v=12\). The slope of the second line is the coefficient of \(x\): \(v+3=12+3=15\). Option 14 is incorrect because it does not result after substituting the correct value of \(v\). Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope.
रेखा की ढाल \(-\frac{5}{3}\) है। अतः \(x\) में प्रत्येक 3 इकाई की वृद्धि पर \(y\) में 5 इकाई की कमी होती है। यदि \(\Delta x\) वृद्धि हो, तो \(y\) की कमी \(\frac{5}{3}\Delta x\) होगी। इसलिए \(\frac{5}{3}\Delta x=40\), जिससे \(\Delta x=40\times\frac{3}{5}=24\) मिलता है। विकल्प 30 लेने पर \(y\) में 50 की कमी होगी, 40 की नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ऋणात्मक हो तो \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटता है। / The slope is \(-\frac{5}{3}\). Thus, for every increase of 3 units in \(x\), \(y\) decreases by 5 units. If the increase in \(x\) is \(\Delta x\), the decrease in \(y\) is \(\frac{5}{3}\Delta x\). Hence \(\frac{5}{3}\Delta x=40\), so \(\Delta x=40\times\frac{3}{5}=24\). Choosing 30 would decrease \(y\) by 50, not 40. Exam tip: a negative slope means that \(y\) decreases as \(x\) increases.
रेखीय समीकरण में \(x\) के सापेक्ष \(y\) के परिवर्तन की दर (ढाल) \(k+6\) है। अतः \(\Delta y=(k+6)\Delta x\) से \(52=(k+6)\times4\) होगा। इसलिए \(k+6=13\), अतः \(k=7\)। \(k=6\) लेने पर ढाल \(12\) मिलती और \(x\) में \(4\) की वृद्धि पर \(y\) केवल \(48\) बढ़ता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में स्थिर पद \(+1\) परिवर्तन \(\Delta y\) को प्रभावित नहीं करता। / In this linear equation, the rate of change of \(y\) with respect to \(x\), or slope, is \(k+6\). Using \(\Delta y=(k+6)\Delta x\), we get \(52=(k+6)\times4\). Hence \(k+6=13\), so \(k=7\). If \(k=6\), the slope would be \(12\), giving an increase of only \(48\) in \(y\) for an increase of \(4\) in \(x\). Exam tip: the constant term \(+1\) does not affect the change in \(y\).
रेखा के समीकरण में ढाल का मान \(m\) होता है। \(c=-12\) को \(m-c=21\) में रखने पर \(m-(-12)=21\) मिलता है। अतः \(m+12=21\), इसलिए \(m=9\)। विकल्प 8 लेने पर \(8-(-12)=20\) होगा, जो दी गई शर्त 21 को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को घटाने पर उसका चिह्न धनात्मक हो जाता है। / In the line equation, the slope is represented by \(m\). Substituting \(c=-12\) into \(m-c=21\) gives \(m-(-12)=21\). Thus, \(m+12=21\), so \(m=9\). If 8 were chosen, then \(8-(-12)=20\), which does not satisfy the given condition of 21. Exam tip: subtracting a negative number is the same as adding it.
दिया है कि m=-4 और 2c+m=18। m का मान रखने पर 2c-4=18, अतः 2c=22 और c=11 मिलता है। रेखा y=mx+c में y-अवरोध c होता है, इसलिए सही उत्तर 11 है। 12 लेने पर समीकरण 2c+m=20 बन जाएगा, जो दिए गए 18 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए y=mx+c में स्थिर पद c पहचानें। / Given m=-4 and 2c+m=18, substitute m to get 2c-4=18. Hence, 2c=22 and c=11. In the line y=mx+c, the y-intercept is c, so the correct answer is 11. If c were 12, then 2c+m would equal 20, not the given 18. Exam tip: in y=mx+c, identify the constant term c as the y-intercept.
