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दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{7}{28}=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}\) है। अतः \(\frac{d}{36}=\frac{1}{4}\), इसलिए \(d=9\)। विकल्प 8 निकट है, लेकिन इससे \(\frac{d}{36}=\frac{2}{9}\) होगा, जो \(\frac{1}{4}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान और निश्चित रूप से संगत होने चाहिए। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{7}{28}=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}\). Therefore, \(\frac{d}{36}=\frac{1}{4}\), giving \(d=9\). Option 8 is a close distractor, but it gives \(\frac{d}{36}=\frac{2}{9}\), which is not equal to \(\frac{1}{4}\). Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding coefficient-to-constant ratios must be equal.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान हो। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना होना चाहिए: 26=2×13 और 104=2×52। इसलिए 18=2q, जिससे q=9 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂ जाँचें। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when the ratios of corresponding coefficients and constants are equal. Here, the second equation must be twice the first because 26=2×13 and 104=2×52. Therefore, 18=2q, giving q=9. Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, verify a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है, इसलिए 18 = 2q होना आवश्यक है। अतः q = 9। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of their corresponding coefficients and constant terms must be equal. Here, the second equation must be twice the first, so 18 = 2q. Therefore, q = 9. Exam tip: For infinitely many solutions, check \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{5}{20}=\frac{40}{160}=\frac{1}{4}\) है। इसलिए \(\frac{d}{28}=\frac{1}{4}\), जिससे \(d=7\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि केवल गुणांकों का अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है; नियतांकों का अनुपात भी समान होना चाहिए। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{5}{20}=\frac{40}{160}=\frac{1}{4}\). Thus, \(\frac{d}{28}=\frac{1}{4}\), which gives \(d=7\). Therefore, option C is correct. Remember that the ratios of both variable coefficients and the constants must be equal; matching only one ratio is insufficient.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान हो। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना होना चाहिए: 18x = 2(9x) और 72 = 2(36)। इसलिए qy = 2(qy) के अनुरूप q का संबंध 14 = 2q से होगा, अर्थात q = 7। अतः सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ की शर्त जाँचें। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when the ratios of the corresponding coefficients and constant terms are equal. Here, the second equation must be twice the first: 18x = 2(9x) and 72 = 2(36). Therefore, 14 = 2q, giving q = 7. Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check the condition a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो। यहाँ 3/12 = 24/96 = 1/4 है। इसलिए b/20 = 1/4, जिससे b = 5 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि केवल एक अनुपात के बराबर होने से अनंत हल सुनिश्चित नहीं होते; तीनों अनुपातों का बराबर होना आवश्यक है। / A pair of linear equations has infinitely many solutions when a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Here, 3/12 = 24/96 = 1/4. Therefore, b/20 = 1/4, which gives b = 5. Hence, option C is correct. Exam tip: all three coefficient-to-constant ratios must be equal; checking only one ratio is insufficient.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 होना चाहिए। यहाँ a_1/a_2=7/14=1/2 और c_1/c_2=29/58=1/2 हैं। इसलिए q/10=1/2 , जिससे q=5 प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, q=4 रखने पर गुणांकों का अनुपात 4/10=2/5 हो जाएगा, इसलिए समीकरण आश्रित नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 must hold. Here, a_1/a_2=7/14=1/2 and c_1/c_2=29/58=1/2 . Therefore, q/10=1/2 , giving q=5 . For instance, if q=4, the coefficient ratio becomes 4/10=2/5, so the equations are not dependent. Exam tip: For infinitely many solutions, check that all three ratios are equal.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए आश्रित समीकरण की शर्त \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{3}{12}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}\), इसलिए \(\frac{b}{20}=\frac{1}{4}\), जिससे \(b=5\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपातों का समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the dependent-pair condition \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{3}{12}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}\), so \(\frac{b}{20}=\frac{1}{4}\), giving \(b=5\). Therefore, option C is correct. Exam tip: for infinitely many solutions, all three corresponding ratios must be equal; equality of only two ratios is not sufficient.
अनंत हलों के लिए दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए; अर्थात एक समीकरण दूसरे का गुणज होना चाहिए। यहाँ \(14x+10y=58\), पहले समीकरण का \(2\) गुना होगा। इसलिए \(2q=10\), जिससे \(q=5\) मिलता है। \(q=4\) जैसा निकट विकल्प लेने पर \(y\) के गुणांक समान अनुपात में नहीं होंगे, इसलिए अनंत हल नहीं मिलेंगे। परीक्षा टिप: अनंत हल के लिए \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) जाँचें। / For infinitely many solutions, the two linear equations must represent the same line, so one equation must be a multiple of the other. Here, \(14x+10y=58\) must be twice the first equation. Thus, \(2q=10\), giving \(q=5\). With a close option such as \(q=4\), the coefficients of \(y\) would not be in the same ratio, so infinitely many solutions would not occur. Exam tip: for infinitely many solutions, check \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\).
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों में दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं, इसलिए उनके अनंत हल होते हैं। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: \(2(2x+5y=17)\), जिससे \(4x+10y=34\) प्राप्त होता है। अतः \(s=34\) और सही विकल्प C है। 33 या 35 लेने पर दोनों समीकरण समान नहीं रहेंगे और वे आश्रित नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: आश्रित समीकरणों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) जाँचें। / For a pair of consistent and dependent linear equations, the corresponding coefficients and constants must be proportional, giving infinitely many solutions. Here, multiplying the first equation by 2 gives \(2(2x+5y=17)\), or \(4x+10y=34\). Therefore, \(s=34\), so option C is correct. If \(s\) were 33 or 35, the equations would not represent the same line and would not be dependent. Exam tip: For dependent equations, check \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण के सभी पद पहले समीकरण के 3 गुना हैं: 15x+9y=3(5x+3y) और 51=3×17। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, अर्थात वे आश्रित संगत समीकरण हैं और इनके अनंत हल हैं। विकल्प B या अलग समानांतर रेखाओं का निष्कर्ष तब होता जब बाएँ पक्ष के अनुपात समान, लेकिन दाएँ पक्ष का अनुपात अलग होता। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो अनंत हल होते हैं। / Every term in the second equation is three times the corresponding term in the first: 15x+9y=3(5x+3y) and 51=3×17. Thus, both equations represent the same line; they are dependent and consistent, so they have infinitely many solutions. No solution or distinct parallel lines would result if the coefficients had the same ratio but the constant terms had a different ratio. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the pair has infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{5}{10}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{b}{6}=\frac{1}{2}\), जिससे \(b=3\) प्राप्त होता है। \(b=4\) लेने पर \(\frac{b}{6}\neq\frac{1}{2}\), इसलिए अनंत हल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{5}{10}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{b}{6}=\frac{1}{2}\), giving \(b=3\). If \(b=4\), then \(\frac{b}{6}\neq\frac{1}{2}\), so the equations would not have infinitely many solutions. Exam tip: For infinitely many solutions, verify that all three corresponding ratios are equal.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा दर्शाते हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both represent the same line and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा दर्शाते हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both represent the same line and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (7) गुना है। इसलिए दोनों समान समीकरण हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (7) times the second. Therefore both are identical equations and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों एक ही समीकरण हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore both are the same equation and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (3) times the second. Hence both are the same line and have infinitely many solutions.
B. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही समीकरण हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (2) times the second. Therefore both are the same equation and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण समान हैं और अनंत हल देते हैं। / The first equation is (2) times the second. Therefore both equations are identical and give infinitely many solutions.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा दर्शाते हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Hence both represent the same line and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ऐसे युग्म के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both represent the same line. Such a pair has infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। समानुपाती समीकरणों को पहचानें। / The second equation is (2) times the first, so both are the same line and have infinitely many solutions. Identify proportional equations.
B. पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना है/The first equation is (2) times the second
Explanation
Simple Explanation
पहला समीकरण (2(x+2y)=18) है, इसलिए यह दूसरे का (2) गुना है। समानुपाती समीकरणों को पहचानना भी जरूरी है। / The first equation is (2(x+2y)=18), so it is (2) times the second. Recognizing proportional equations is also important.
