What is the number of solutions of (3x+5y=20) and (6x+10y=40)?समीकरणों (3x+5y=20) और (6x+10y=40) के हलों की संख्या क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Infinitely many solutionsअनंत हल
The second equation is obtained by multiplying every term of the first equation by 2: \(2(3x+5y=20)\) gives \(6x+10y=40\). Multiplying an equation by a nonzero number does not create a new line; it produces an equivalent equation with exactly the same solutions. Therefore both equations represent one coincident line.
Because the two equations are identical in meaning, every point satisfying \(3x+5y=20\) satisfies the second equation as well. There are infinitely many such points: choosing different x-values gives corresponding y-values, such as \(y=(20-3x)/5\). The system does not force a single point, and it is not contradictory. Hence option A, infinitely many solutions, follows. A no-solution result would require unequal constant ratios for otherwise proportional coefficients.दूसरा समीकरण पहले समीकरण के प्रत्येक पद को 2 से गुणा करके मिलता है: \(2(3x+5y=20)\) से \(6x+10y=40\) प्राप्त होता है। किसी समीकरण को शून्य के अलावा किसी संख्या से गुणा करने पर उसका अर्थ या उसके हल नहीं बदलते। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
जो भी बिंदु \(3x+5y=20\) को संतुष्ट करता है, वह दूसरे समीकरण को भी संतुष्ट करेगा। ऐसे बिंदु अनंत हैं; उदाहरण के लिए किसी x का मान चुनने पर \(y=(20-3x)/5\) से y मिल सकता है। इसलिए केवल एक निश्चित बिंदु नहीं मिलता और समीकरणों में कोई विरोधाभास भी नहीं है। अतः विकल्प A, यानी अनंत हल, सही है। कोई हल नहीं होने के लिए समान गुणांकों के साथ असमान नियतांक अनुपात चाहिए होता।
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